专题02 整式的乘除法6大题型（压轴题专项训练）数学沪教版五四制2024七年级上册

专题02 整式的乘除法 目录 典例详解 类型一、利用单项式乘法求字母或代数式的值 类型二、整体代换进行求值 类型三、不含某一项的求值问题 类型四、多项式乘多项式与图形面积问题 类型五、多项式乘法中的规律性问题 类型六、整式的除法 压轴专练 类型一、利用单项式乘法求字母或代数式的值 （1）单项式乘单项式的乘法法则：单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． （2）单项式乘多项式的乘法法则：单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加． 【例1】若，则求的值． 【答案】． 【详解】解：∵， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了单项式与单项式相乘，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【例2】设实数满足，若，则的值为（   ） A． B．14 C． D．6 【答案】B 【详解】解：根据题意，设， ， ， ，，， ， 故选：B． 【变式1-1】若恒成立，求的值． 【答案】0 【详解】解：∵， 又∵恒成立， ∴恒成立， 即：恒成立， ∴，，， 解得：，，， ∴， 即的值为． 【变式1-2】数学课上，老师讲了单项式与多项式相乘：先用单项式乘多项式中的每一项，再把所得的积相加，小丽在练习时，发现了这样一道题：“（3x﹣■+1）＝”那么“■”中的一项是 ． 【答案】 【详解】解：∵ 即 ， ∴“■”中的一项是2y． 故答案为：2y． 【点睛】此题考查了单项式乘多项式和多项式除以单项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加． 【变式1-3】仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知关于x的多项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得：，则， ∴，解得：，． ∴另一个因式为，m的值为－21． 问题：仿照以上方法解答下面问题： (1)二次三项式有一个因式是，求p的值； (2)已知关于x的多项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值； (3)已知关于x的多项式有一个因式为，求b的值． 【答案】(1)p的值为6 (2)另一个因式是， (3) 【详解】（1）解：设二次三项式的另一个因式为， 则， 即， ∴， 解得， 答：p的值为6； （2）设关于x的多项式的另一个因式是， 则， 即， ∴， 解得， ∴关于x的多项式的另一个因式是，； （3）设关于x的多项式的另一个因式为， 则， 即， ∴， ∴， 即． 类型二、整体代换进行求值 【例3】当时，代数式的值为 ． 【答案】 【详解】解： ， ， ， ∵， ∴， ∴原式， 故答案为： 【例4】先化简，再求值：，其中 【答案】， 【详解】解： ∴ ∴ ∴原式 【变式2-1】若规定符号的意义是：，当时，的值为 ． 【答案】12 【详解】解：由题意得： ， ， ， 原式． 故答案为12． 【变式2-2】已知，则代数式的值为 ． 【答案】17 【详解】解：， ∴， ∴ ； 故答案为：17． 【变式2-3】对于任意有理数，我们规定符号，例如 (1)求的值； (2)求的值，其中． 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）解：． 故答案为：． （2）解： ， ∵， ∴， 故原式． 类型三、不含某一项的求值问题 【例5】若的积不含项，则 ． 【答案】 【详解】解： = = ∵的积不含项， ∴， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键． 【例6】已知、均为常数，若的乘积既不含有二次项又不含有一次项，则的值是多少？ 【答案】 【详解】解： ， ∵既不含x的二次项，也不含x的一次项， ∴， 解得， ∴． 【变式3-1】已知关于x的多项式与的乘积展开式中不含x的二次项，且一次项系数为10，则a的值为 ． 【答案】6 【详解】解： ， ∵展开式中不含的二次项，且一次项系数为， ∴， 由得，代入， ∴， ， ； 把代入， 得 ． 故答案为：6． 【变式3-2】若的乘积中不含 与 项，求的值． 【答案】 【详解】解：原式， ， ∵乘积中不含 与 项， ∴，， 解得：，， ∴． 【点睛】此题考查了多项式乘以多项式，根据不含某一项就是这一项的系数等于列式求解、的值是解题的关键． 【变式3-3】若的积中不含有与项． (1)直接写出的值，即___________， ___________； (2)求代数式的值． 【答案】(1)1， (2) 【详解】（1）解： = =， ∵积中不含有与项， ∴，， 解得，． 故答案为：1，． （2）解：当，时， ． 【点睛】本题考查多项式乘多项式以及代数式求值，解题关键是熟知多项式乘多项式的计算法则． 类型四、多项式乘多项式与图形面积问题 多项式乘多项式的乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加． 【例7】在长方形中，比长1个单位，将一张边长为a和两张边长为b的正方形纸片按图1，图2两种方式放置，长方形中未被这三张正方形纸片覆盖的部分用阴影部分表示，若要知道图2中阴影部分的面积与图1中阴影部分的面积的差，则只要知道图中哪条线段的长（   ） A． B． C．a D．b 【答案】D 【详解】解：由题意得，图1种阴影部分面积为 图2中阴影部分面积为 ， ∴图2中阴影部分的面积与图1中阴影部分的面积的差为， 故选：D． 【例8】如图，某学校有一块长为，宽为的长方形土地，计划在阴影部分的区域进行绿化，中间修建一个边长为的正方形喷水池． (1)求绿化面积是多少平方米； (2)当，时，求绿化面积． 【答案】(1)绿化面积为平方米 (2)绿化面积为平方米 【详解】（1）解： ， 绿化面积为平方米； （2）解：当，时， （平方米）， 答：绿化面积为平方米． 【变式4-1】现有甲，乙，丙三张不同的正方形纸片（如图1）．将三张纸片按图2，图3两种不同方式放置于同一矩形中，记图2中阴影部分周长为，面积；图3中阴影部分周长为，面积为．已知，则= ． 【答案】 【详解】解：图2中阴影部分的周长，面积； 图2中阴影部分的周长，面积； ∵， ∴，整理得：， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式4-2】用如图所示的正方形和长方形纸片进行拼图活动．请解决以下问题： (1)若要拼成一个长为，宽为的长方形，则需要A型纸片 张，B型纸片 张，C型纸片 张． (2)现有A型纸片1张，C型纸片4张，B型纸片若干张，恰好拼成一个正方形，求B型纸片的张数． (3)现有A，B，C三种型号的纸片共8张，恰好能拼成一个长方形（每种纸片都用上），若它的一边长为，则需要三种纸片各多少张？（求出所有可能的情况） 【答案】(1)要A型纸片3张，型纸片11张，型纸片6张； (2)4 (3)方案1：A纸片1张，B纸片4张，纸片3张；方案2：A纸片2张，纸片4张，纸片2张；方案3：A纸片3张，纸片4张，纸片1张 【详解】（1）解：， 要A型纸片3张，型纸片11张，型纸片6张； （2）解∶ 设型纸片有张， 则该正方形的面积可表示为， 解得； （3）解∶ 根据题意，这个长方形一边长为，设这边的邻边长为， 则长方形的面积为：， 则有张A纸片，张纸片，张纸片， ∵拼成这个长方形恰好用8张纸片， 所以，即， 因为和都是正整数， 则只有三组正整数解：，；，；，． 所以只有下列三种情形： 方案1：A纸片1张，纸片4张，纸片3张 方案2：A纸片2张，纸片4张，纸片2张 方案3：A纸片3张，纸片4张，纸片1张 ． 【变式4-3】如图，在一个足够长且宽为的纸带上剪出一些长方形纸片，其面积分别为．图中的虚线为裁剪线，试用含的式子解决下列问题． (1)求的值； (2)若，求长方形的周长； (3)在（2）的前提下，若长方形在边上的长为，比较与的大小，并通过计算说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【详解】（1）解：由图可知：， ∴； （2）解：； ， 长方形落在边上的长为； ∴长方形的周长为； （3）解：，理由如下： 依题意， ，则 ， 即． 类型五、多项式乘法中的规律性问题 解决多项式乘法中的规律性问题，先从简单的多项式乘法运算入手，计算出结果后，观察各项系数、次数、符号的变化特征，对比不同算式间的异同，尝试用含字母的代数式归纳出通用规律，再代入新的多项式乘法算式进行验证。 【例9】观察下列算式： ，，，，…… (1)通过观察上述4组算式得到的规律是 ； (2)请证明你得到的规律． (3)利用上面的规律计算． 【答案】(1)乘积的末两位是21，前面的数字是十位数字与十位数字加1的乘积 (2)见解析 (3)15621 【详解】（1）解：， ，乘积的末两位是21，前面的数字是：， ，乘积的末两位是21，前面的数字是：， ，乘积的末两位是21，前面的数字是：， 则上述4组算式得到的规律是：乘积的末两位是21，前面的数字是十位数字与十位数字加1的乘积． （2）证明：设数字为，， 则(． （3）解： 【例10】阅读：在计算的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做特殊到一般．如下所示： [观察] ①； ② ③ …… [特例]________； [归纳]由此可得：________． [应用] （1）________； （2）计算：． 【答案】[特例]；[归纳]；[应用]（1）；（2） 【详解】[特例]解：由[观察]可知：； 故答案为：； [归纳]解：由[观察]可知：； 故答案为：； [应用]（1）解：∵ ∴ 即 ∴ 故答案为：； （2）解：原式 ∵ ∴ 即， ∴ 即. 【变式5-1】观察下列各等式： 第1个： 第2个： 第3个： … (1)这些等式反映出多项式乘法的某种运算规律，请利用规律填空：若n为大于1的正整数，则_____； (2)利用（1）的猜想计算： （n为大于1的正整数）； (3)拓展与应用：计算 （n为大于1的正整数）． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：若为大于1的正整数，则根据这些等式的运算规律可得：， 故答案为：； （2） （3） ． 【变式5-2】阅读下面材料，并完成相应的任务． “速算”是指在特定情况下用特定的方法进行计算，它有很强的技巧性．观察下列各式： ； ； … 我们发现，两位数与相乘，当时，有如下速算规律：先将十位数字与相乘，得到的结果作为积的前两位数字；再将个位数字和相乘，得到的结果作为积的后两位数字．如果结果是一位数，则在其前面补0． (1)请根据上述规律计算：________；________． (2)根据上述阅读材料，用含字母的等式表示这种速算规律：________． (3)请证明上述阅读材料中的结论． 【答案】(1)5621，7224； (2)； (3)见解析． 【详解】（1）解：由上述规律可知，， ， 故答案为：5621，7224； （2）解：， 故答案为：； （3）证明：∵， ． 【变式5-3】我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，如图所示的图表是他在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”．此图揭示了（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，由此规律可解决如下问题： (1)图中括号内的数为 ； (2)展开式共有 项； (3)根据上面的规律，写出的展开式为； (4)利用上面的规律计算：． 【答案】(1)6 (2)21 (3) (4)32 【详解】（1）解：由图知，所求的数为其肩上两个数3与3的和，即6； 故答案为：6； （2）解：的展开式中共有21项； 故答案为：21； （3）解：； 故答案为：； （4）解：由（3）知，， 上式中令， 则， ∴． 类型六、整式的除法 （1）单项式的除法法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式． （2）多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加 【例11】某科技馆中“数理世界”展厅的Wi-Fi密码被设计成如图所示的数学问题．小东在参观时认真观察，输入密码后顺利地连接到网络，则“？”处的数字是 ． 账号：shulishijie 密码：前四位：SLSJ 后四位：？ 【答案】2025 【详解】解：∵， ， ∴密码是x、y、z的指数， ∵， ∴密码是2025． 故答案为：2025 【例12】我们学过单项式除以单项式、多项式除以单项式，那么多项式除以多项式该怎么计算呢？我们也可以用竖式进行类似演算，即先把被除式、除式按某个字母的指数从大到小依次排列项的顺序，并把所缺的次数项用零补齐，再类似数的竖式除法求出商式和余式，其中余式为0或余式的次数低于除式的次数. 例：计算，可依照的计算方法用竖式进行计算.因此. (1)的商是______，余式是______. (2)利用上述方法解决：若多项式能被整除，求值. (3)已知一个长为，宽为的长方形A，若将它的长增加6，宽增加a就得到一个新长方形B，此时长方形B的周长是A周长的2倍（如图）.另有长方形C的一边长为，若长方形B的面积比C的面积大76，求长方形C的另一边长. 【答案】(1)，． (2) (3) 【详解】（1）解：用竖式计算如下， 的商是，余式是． ∴答案为：，． （2）多项式能被整除，则 ∴a+4-（-2）=0，-b-（-2）=0． ∴a=-6，b=2． ∴ab=（-6）2=36． （3）长方形A的周长为：2（x+2+x-2）=4x． 长方形B的周长为：2（x-2+a+x+2+6）=4x+2a+12． ∵长方形B的周长是A周长的2倍． ∴4x+2a+12=8x． ∴a=2x-6． ∴长方形B的面积为：（x+2+6）（x-2+2x-6）=（x+8）（3x-8） =3x2+16x-64． ∴长方形C的面积为：3x2+16x-140． ∴长方形C的另一边长为：（3x2+16x-140）÷（x+10）=3x-14． ∴长方形C的另一边长为：3x-14． 【点睛】本题考查多项式除以多项式，抓住整除的定义找到系数的关系是求解本题的关键． 【变式6-1】按要求计算下面各题： (1)已知，求的值； (2)已知为正整数，且，求的值． 【答案】(1)64 (2)56 【详解】（1）解： 当， 则原式． （2）解： 当， 则原式． 【变式6-2】阅读下面这位同学的解答过程，并完成任务． 先化简，再求值：，其中，． 解：原式第一步 第二步 第三步 当，时，原式第四步 任务： (1)第一步运用到了乘法公式：______； (2)以上步骤从第_______步开始出现了错误，错误的原因是_______； (3)请你写出正确的解答过程． 【答案】(1)完全平方公式 (2)一；去小括号时b的前面没有变号； (3)见解析 【详解】（1）解：由题意得，第一步运用了完全平方公式； （2）解：观察解题过程可知，第一步开始出现错误，错误原式是去小括号时b的前面没有变号； （3）解； ， 当，时，原式． 【变式6-3】数学课上，老师在黑板上书写了，两个整式： ； ． (1)比较，的大小； (2)若，证明：不可能小于0． 【答案】(1) (2)见解析 【详解】（1）解： ， ∴． （2）证明： ， ∴不可能小于0． 一、单选题 1．若，则有理数的末尾四位数是（    ） A．1131 B．2431 C．3131 D．4131 【答案】A 【详解】解：设， 则 ， ∵和的末尾四位数都是0，且， ∴的末尾四位数是0， ∴的末尾四位数是， 即有理数的末尾四位数是， 故选：A． 2．已知，，…，都是正数，如果， ，那么M，N的大小关系是 （   ） A． B． C． D．不确定 【答案】A 【详解】设， ∴， ， ∴ ， ∵，，…，都是正数， ∴， ∴， 故选：A． 3．阅读材料，回答下列小题． 某种微生物的数量随时间呈指数增长，经过t小时培养后数量为，其中为微生物的初始数量，为每小时微生物数量的增长倍数（）． 例：当时，经过4小时后微生物的数量为． 如图，该微生物培养小时后的数量是初始数量的3倍；培养小时后的数量是初始数量的5倍．那么培养小时后，微生物的数量是初始数量的（    ）倍．    A．15 B．30 C．45 D．75 【答案】C 【详解】解：根据题意得： ，， ∴，， ∴， ∴微生物的数量是初始数量的45倍， 故选：C． 4．求和符号“”（其中，且和表示正整数），这个符号我们进行如下定义：表示从开始取数一直取到，全部加起来．如：当时，．若则的值为（   ） A．－4 B．4 C．－5 D．5 【答案】C 【详解】解： ∵中二次项系数为4， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴，， ∴． 故选：C 5．已知等式（为整数），则的值不可能是（   ） A． B．4 C．11 D．7 【答案】D 【详解】解：展开左边：， ∵， ∴ ∴，， ∴， ∵为整数， ∴当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； ∴的值不可能是7 故选：D 二、填空题 6．已知代数式与积是一个关于的三次多项式，且化简后含项的系数为1，则的值为 【答案】 【详解】解：， 代数式与积是一个关于的三次多项式，且化简后含项的系数为， ，， 解得：，， 则， 故答案为：． 7．多项式，，若的展开式中不含项，则 ． 【答案】 【详解】解： ， ∵多项式与的乘积的展开式中不含项， ∴， ∴． 故答案为：． 8．如图，将正方形与正方形叠在一起，且这两个正方形的边长之差为，两个正方形相交于点M、N，连结，，若阴影部分的面积是9，，，则正方形的边长为 ． 【答案】4 【详解】解：连接，如图： 设正方形的边长为， ∵这两个正方形的边长之差为， ∴正方形的边长为， 依题意， ∵四边形、是正方形 ∴ ∴ ∴四边形是矩形 ∴ ∴ ∵阴影部分的面积是9， 即 ∴ 得 解得 故答案为：4． 9．已知： 由此我们可以发现： ．（只要求写出结果） 【答案】 【详解】解：观察所给等式： 当，对应； ，即； ，即； ，即 ． 总结规律： ． 故答案为： ． 10．已知，则代数式的值是 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴， 两式相减，可得， ∴， 故答案为：． 三、解答题 11．已知将乘开的结果不含和项． (1)求的值； (2)在（1）的条件下，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ， ∵将乘开的结果不含和项， ∴，， 解得，． （2）解： ， 将，代入得：原式． 12．在计算时，嘉嘉把n错看成了8，得到的结果是：；琪琪错把看成了，得到结果：． (1)求出m，n的值； (2)求的值． 【答案】(1)，； (2) 【详解】（1）解：由题意可得，，， ∴，， ∴，， 解得，； （2）解： ， 当，时，原式． 13．定义，如．已知（n为常数0），． (1)若，则x的值为 ； (2)若A的代数式中不含x的一次项，当，求的值； (3)若A中的n满足，且时，求的值． 【答案】(1)1 (2)9 (3)13 【详解】（1）解： ∵， ∴， ∴； 故答案为：1； （2）解： ∵A的代数式中不含x的一次项， ∴， ∵， ∴， ∴时， ； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴ 14．先化简，再求值： (1)，其中，． (2)，其中． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ． 当，时 原式 ； （2）解： ， ∵， ∴， ∴， ∴原式． 15．有边长分别为a，b的两种正方形（如图1）卡片若干． (1)将两种正方形卡片各一张按如图2放置，用含a，b的代数式表示阴影部分（未重叠部分）的周长； (2)将一张边长为a的正方形卡片和两张边长为b的正方形卡片按如图3放置，用含a，b的代数式表示阴影部分（三张卡片都重叠部分）的周长； (3)将两种正方形卡片各一张按如图4放置在一个边长为c的大正方形内，左下角长方形的面积为S1，两张卡片重叠部分的面积为S2．若，请直接写出与的数量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：如图2所示： ∵正方形的边长为a，正方形的边长为b， ∴， ∴， ∴阴影部分的周长为：； （2）如图3所示： ∵正方形的边长为a，正方形和正方形的边长均为b， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴阴影部分的周长为：； （3）与的数量关系是：，理由如下： 如图4所示： ∵正方形的边长为c，正方形的边长为a，正方形的边长为b， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 整式的乘除法 目录 典例详解 类型一、利用单项式乘法求字母或代数式的值 类型二、整体代换进行求值 类型三、不含某一项的求值问题 类型四、多项式乘多项式与图形面积问题 类型五、多项式乘法中的规律性问题 类型六、整式的除法 压轴专练 类型一、利用单项式乘法求字母或代数式的值 （1）单项式乘单项式的乘法法则：单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． （2）单项式乘多项式的乘法法则：单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加． 【例1】若，则求的值． 【例2】设实数满足，若，则的值为（   ） A． B．14 C． D．6 【变式1-1】若恒成立，求的值． 【变式1-2】数学课上，老师讲了单项式与多项式相乘：先用单项式乘多项式中的每一项，再把所得的积相加，小丽在练习时，发现了这样一道题：“（3x﹣■+1）＝”那么“■”中的一项是 ． 【变式1-3】仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知关于x的多项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得：，则， ∴，解得：，． ∴另一个因式为，m的值为－21． 问题：仿照以上方法解答下面问题： (1)二次三项式有一个因式是，求p的值； (2)已知关于x的多项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值； (3)已知关于x的多项式有一个因式为，求b的值． 类型二、整体代换进行求值 【例3】当时，代数式的值为 ． 【例4】先化简，再求值：，其中 【变式2-1】若规定符号的意义是：，当时，的值为 ． 【变式2-2】已知，则代数式的值为 ． 【变式2-3】对于任意有理数，我们规定符号，例如 (1)求的值； (2)求的值，其中． 类型三、不含某一项的求值问题 【例5】若的积不含项，则 ． 【例6】已知、均为常数，若的乘积既不含有二次项又不含有一次项，则的值是多少？ 【变式3-1】已知关于x的多项式与的乘积展开式中不含x的二次项，且一次项系数为10，则a的值为 ． 【变式3-2】若的乘积中不含 与 项，求的值． 【变式3-3】若的积中不含有与项． (1)直接写出的值，即___________， ___________； (2)求代数式的值． 类型四、多项式乘多项式与图形面积问题 多项式乘多项式的乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加． 【例7】在长方形中，比长1个单位，将一张边长为a和两张边长为b的正方形纸片按图1，图2两种方式放置，长方形中未被这三张正方形纸片覆盖的部分用阴影部分表示，若要知道图2中阴影部分的面积与图1中阴影部分的面积的差，则只要知道图中哪条线段的长（   ） A． B． C．a D．b 【例8】如图，某学校有一块长为，宽为的长方形土地，计划在阴影部分的区域进行绿化，中间修建一个边长为的正方形喷水池． (1)求绿化面积是多少平方米； (2)当，时，求绿化面积． 【变式4-1】现有甲，乙，丙三张不同的正方形纸片（如图1）．将三张纸片按图2，图3两种不同方式放置于同一矩形中，记图2中阴影部分周长为，面积；图3中阴影部分周长为，面积为．已知，则= ． 【变式4-2】用如图所示的正方形和长方形纸片进行拼图活动．请解决以下问题： (1)若要拼成一个长为，宽为的长方形，则需要A型纸片 张，B型纸片 张，C型纸片 张． (2)现有A型纸片1张，C型纸片4张，B型纸片若干张，恰好拼成一个正方形，求B型纸片的张数． (3)现有A，B，C三种型号的纸片共8张，恰好能拼成一个长方形（每种纸片都用上），若它的一边长为，则需要三种纸片各多少张？（求出所有可能的情况） 【变式4-3】如图，在一个足够长且宽为的纸带上剪出一些长方形纸片，其面积分别为．图中的虚线为裁剪线，试用含的式子解决下列问题． (1)求的值； (2)若，求长方形的周长； (3)在（2）的前提下，若长方形在边上的长为，比较与的大小，并通过计算说明理由． 类型五、多项式乘法中的规律性问题 解决多项式乘法中的规律性问题，先从简单的多项式乘法运算入手，计算出结果后，观察各项系数、次数、符号的变化特征，对比不同算式间的异同，尝试用含字母的代数式归纳出通用规律，再代入新的多项式乘法算式进行验证。 【例9】观察下列算式： ，，，，…… (1)通过观察上述4组算式得到的规律是 ； (2)请证明你得到的规律． (3)利用上面的规律计算． 【例10】阅读：在计算的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做特殊到一般．如下所示： [观察] ①； ② ③ …… [特例]________； [归纳]由此可得：________． [应用] （1）________； （2）计算：． 【变式5-1】观察下列各等式： 第1个： 第2个： 第3个： … (1)这些等式反映出多项式乘法的某种运算规律，请利用规律填空：若n为大于1的正整数，则_____； (2)利用（1）的猜想计算： （n为大于1的正整数）； (3)拓展与应用：计算 （n为大于1的正整数）． 【变式5-2】阅读下面材料，并完成相应的任务． “速算”是指在特定情况下用特定的方法进行计算，它有很强的技巧性．观察下列各式： ； ； … 我们发现，两位数与相乘，当时，有如下速算规律：先将十位数字与相乘，得到的结果作为积的前两位数字；再将个位数字和相乘，得到的结果作为积的后两位数字．如果结果是一位数，则在其前面补0． (1)请根据上述规律计算：________；________． (2)根据上述阅读材料，用含字母的等式表示这种速算规律：________． (3)请证明上述阅读材料中的结论． 【变式5-3】我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，如图所示的图表是他在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”．此图揭示了（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，由此规律可解决如下问题： (1)图中括号内的数为 ； (2)展开式共有 项； (3)根据上面的规律，写出的展开式为； (4)利用上面的规律计算：． 类型六、整式的除法 （1）单项式的除法法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式． （2）多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加 【例11】某科技馆中“数理世界”展厅的Wi-Fi密码被设计成如图所示的数学问题．小东在参观时认真观察，输入密码后顺利地连接到网络，则“？”处的数字是 ． 账号：shulishijie 密码：前四位：SLSJ 后四位：？ 【例12】我们学过单项式除以单项式、多项式除以单项式，那么多项式除以多项式该怎么计算呢？我们也可以用竖式进行类似演算，即先把被除式、除式按某个字母的指数从大到小依次排列项的顺序，并把所缺的次数项用零补齐，再类似数的竖式除法求出商式和余式，其中余式为0或余式的次数低于除式的次数. 例：计算，可依照的计算方法用竖式进行计算.因此. (1)的商是______，余式是______. (2)利用上述方法解决：若多项式能被整除，求值. (3)已知一个长为，宽为的长方形A，若将它的长增加6，宽增加a就得到一个新长方形B，此时长方形B的周长是A周长的2倍（如图）.另有长方形C的一边长为，若长方形B的面积比C的面积大76，求长方形C的另一边长. 【变式6-1】按要求计算下面各题： (1)已知，求的值； (2)已知为正整数，且，求的值． 【变式6-2】阅读下面这位同学的解答过程，并完成任务． 先化简，再求值：，其中，． 解：原式第一步 第二步 第三步 当，时，原式第四步 任务： (1)第一步运用到了乘法公式：______； (2)以上步骤从第_______步开始出现了错误，错误的原因是_______； (3)请你写出正确的解答过程． 【变式6-3】数学课上，老师在黑板上书写了，两个整式： ； ． (1)比较，的大小； (2)若，证明：不可能小于0． 一、单选题 1．若，则有理数的末尾四位数是（    ） A．1131 B．2431 C．3131 D．4131 2．已知，，…，都是正数，如果， ，那么M，N的大小关系是 （   ） A． B． C． D．不确定 3．阅读材料，回答下列小题． 某种微生物的数量随时间呈指数增长，经过t小时培养后数量为，其中为微生物的初始数量，为每小时微生物数量的增长倍数（）． 例：当时，经过4小时后微生物的数量为． 如图，该微生物培养小时后的数量是初始数量的3倍；培养小时后的数量是初始数量的5倍．那么培养小时后，微生物的数量是初始数量的（    ）倍．    A．15 B．30 C．45 D．75 4．求和符号“”（其中，且和表示正整数），这个符号我们进行如下定义：表示从开始取数一直取到，全部加起来．如：当时，．若则的值为（   ） A．－4 B．4 C．－5 D．5 5．已知等式（为整数），则的值不可能是（   ） A． B．4 C．11 D．7 二、填空题 6．已知代数式与积是一个关于的三次多项式，且化简后含项的系数为1，则的值为 7．多项式，，若的展开式中不含项，则 ． 8．如图，将正方形与正方形叠在一起，且这两个正方形的边长之差为，两个正方形相交于点M、N，连结，，若阴影部分的面积是9，，，则正方形的边长为 ． 9．已知： 由此我们可以发现： ．（只要求写出结果） 10．已知，则代数式的值是 ． 三、解答题 11．已知将乘开的结果不含和项． (1)求的值； (2)在（1）的条件下，求的值． 12．在计算时，嘉嘉把n错看成了8，得到的结果是：；琪琪错把看成了，得到结果：． (1)求出m，n的值； (2)求的值． 13．定义，如．已知（n为常数0），． (1)若，则x的值为 ； (2)若A的代数式中不含x的一次项，当，求的值； (3)若A中的n满足，且时，求的值． 14．先化简，再求值： (1)，其中，． (2)，其中． 15．有边长分别为a，b的两种正方形（如图1）卡片若干． (1)将两种正方形卡片各一张按如图2放置，用含a，b的代数式表示阴影部分（未重叠部分）的周长； (2)将一张边长为a的正方形卡片和两张边长为b的正方形卡片按如图3放置，用含a，b的代数式表示阴影部分（三张卡片都重叠部分）的周长； (3)将两种正方形卡片各一张按如图4放置在一个边长为c的大正方形内，左下角长方形的面积为S1，两张卡片重叠部分的面积为S2．若，请直接写出与的数量关系． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$