广东省揭阳市2024-2025学年高一下学期期末教学质量测试数学试卷

揭阳市2024一2025学年度高中一年级教学质量测试 答案及评分标准（参考）数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的 题号 1 2 3 4 5 7 8 答案 B A D C B A B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 题号 9 10 11 答案 ABD AC ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.0.613.(-0,-4)14.6(2-3) 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(1)证明：如图，在△ABC中，设AB=c,AC=b,BC=a,则a=b-c, …2分 所以a2=b2+c2-2b…c=b+c2-2b|·lelcos A,…5分 即a2=b2+c2-2bcc0sA.… 6分 (2)解：由正弦定理，得a2=53b-2c,所以a2=15-2c,…8分 由余弦定理.得a2=b2+c2-2 bccos A=3+c2-3c,…10分 联立方程组整理，得c2-c-12=0,所以c=4或c=-3(舍去).…11分 所以Sa度=-esin A瓦 …13分 16.解：(1)由10+a+30+30+10=100,……1分 解得a=20,则b=0.2,…3分 平均数的估计值为55×0.1+65×0.2+75×0.3+85×0.3+95×0.1=76. …6分 (2)由表可知，分数在区间[50,60)内的频数为10，在区间[60,70)内的频数为20， 小小小小小小小…8分 20 放两组成绩的总平均数三0020x56+0+20×6=62,…… 11分 两组成绩的总方差=0”207+(56-62)门+0204+(65-62)门=23 …14分 所以两组成绩的总平均数是62，总方差是23.…15分 17.(1)证明：因为AB是底面圆的一条直径，C是下底面圆周上异于A,B的动点， 所以AC⊥BC,…1分 又因为CD是圆柱的一条母线，所以CD⊥底面ABC,…2分 而ACC底面ABC,所以CD⊥AC,…3分 因为CDC平面BCDE,BCC平面BCDE,且CD门BC=C,…4分 高一·数学答案及评分标准（参考）第1页（共3页） 所以AC⊥平面BCDE,…5分 又因为ACC平面ACD,所以平面ACD⊥平面BCDE. 6分 (2)解：如图所示，过点A作圆柱的母线AM,连接DM,EM 因为底面ABC∥底面DME,所以即求平面ADE与平面DME的夹角. …7分 因为M,E在底面ABC的射影为A,B,且AB为下底面圆的直径， 所以EM为上底面圆的直径， 因为AM是圆柱的母线，所以AM⊥平面DME…8分 因为DEC平面DME,所以AM⊥DE. 又因为EM为上底面圆的直径，所以MD1DE, 因为AM,DMC平面AMD,AMODM=M,所以DE⊥平面AMD, 因为ADC平面AMD,所以DE⊥AD,又因为平面ADE∩平面DME=DE 所以∠MDA为平面ADE与平面DME的夹角，…9分 又因为D在底面ABC的射影为C,所以DE=BC=2,ME=AB=5, 所以DM=√5-2=√2I,又因为母线长为25，所以AM=25. 11分 又因为AML平面DME,DMC平面DME,所以AM LMD,…12分 所以AD=(25)2+(2I)2=33. 13分 所以cos LMDA=匹-页 3311 14分 即平面ADE与平面ABC夹角的余弦值为 444t…4444+4+…4……+4+4…44… 15分 18.解：)=or4+君）+o(4红-君）+sin4r+a =2cos 4xcos- +对in4x+a=/5cos4x+sin4x+a…1分 6 =2sin(4+）+a 3分 (1)因为f(x)m=2+a=1,所以a=-1 4分 (2)由(1)知，八x)=2sim4+）-1, 令号+2m≤4+号≤7+2m,keZ。 6分 2 解得+≤x≤妥+，keZ。 ……8分 所以函数)的单调递诚区间为[员+织，要+引(keZ。 …9分 (3)冷八x)=2i4+胃）-1=0，得m(4+号）-2 ……10分 因为x,为x)的两个相异零点，所以in4,+）=之，sim4,+）=之， 高一·数学答案及评分标准（参考）第2页（共3页） ①4x+=夏+2h,m,4+受=夏+2hm,k1,k2∈Z,且k≠， 36 36 或4+号-爱+2m,4+号-君+2%，k,6eZ,且%6， 此时≥T=受 12分 ②4+号=若+26m,keZ,46+号-+2km,keZ, 14分 6 +号-+引=4-后+24m-腰+2%=号+26-6≥授 所以x-≥君 16分 综上所述，，-≥石，即出-的最小值为 6 …17分 19.解：(1)由a=(1,2-i),b=(1+i,1-2i) 得a+b=(2+i,3-3i),…1分 a·b=1×(1-i)+(2-i)(1+2i)=1-i+2-i+4i-2i=5+2i. …3分 |a+b|=(2+i)(2-i)+(3-3i)(3+3i)=√/23.…5分 (2)设a=(,),b=(3,4),c=(5,6)，1,,,4,5,6eC, b+c=（+3,4+6),a·b=+24,a·C=1+6, a·(b+C）=石3+石十石24+%，…8分 因为3+巧5=+5,4+6=4+6， 所以a·(b+c)=(石+)+2(+6)=1+2+15+26=a·b+4·c, 故正确。… …10分 (3)不妨令b=(m+i,m+3+i),则a-b=(3-m+(3-n)i,-m-ni),…11分 则|a-b|=√3-m+(3-n)i3-m-(3-n)i+(-m-i)(-m+ni) =√(3-m)2+(3-n)2+m2+n2=√/2m2-6m+9+2n2-6n+9 -2m-2）+20-2+9,… 13分 当m=n=时，a-b取得最小值3， 14分 此时a-b=(侵+.号-别b=(层+2，受+别 …15分 设满足条件的c=(4,4+3),4∈C, 则6-c=(层+2-}+-小 (a-)·(b-c)=(侵+2训3-2-刘+（-2-23-2-) (层+2(3别-（侵+别+（是层别+房+别-是+是- 0 9 17分 高一·数学答案及评分标准（参考）第3页（共3页） 答案详解 1.【答案】B 【详解】依题意U=11,2,3,4,5},所以0B={2,4,所以(CB)∩M=2,4. 故选B. 2.【答案】A 【详解】对于A,因为x-y>1,所以x>y+1>y,即x>y, 当x>y时，取x=2.5,y=2,则x-y<1, 所以“x-y>1”是“x>y”的一个充分不必要条件，故A正确： 对于B,x-y>0即x>y,“x-y>0”是“x>y"的充要条件，故B错误； 对于C,由>1，取x=-2,y=-1,则x<y, 由x>y,取x=1,y=-2,则<1， 所以“>1"是“x>y”的既不充分也不必要条件，故C错误： 对于D,由|x|>y|,取x=-2,y=1,则x<y, 由x>y,取x=1,y=-2,则x|<yl 所以“|x>|y|”是“x>y”的既不充分也不必要条件，故D错误，故选A. 3.【答案】D 【详解】该组数据从小到大排列为2,11,13,15,17,22,33,34,42，共有9个数据， 且9×子=6,75，则这组数据的上四分位数是从小到大排列的第7个数，即3.故选D. 4.【答案】C 【详解】因为(x)为偶函数，且在区间[0，+o)上单调递增，则f(x)在区间(-o,0]上 单凋递减，而f代x+1)<f代2)，则x+1|<2,所以-3<x<1.故选C. 5.【答案】A 【详解】如图所示，：几何体ABC-ABC,为正三棱柱，且所有棱长 均为行 .底面ABC为正三角形，侧面BB,C,C为正方形，则V三棱-D= V三按柱C-AAG一V棱能-，C1C一V三棱D-BC 125212号×g-×3×2B18 =2×××-3×× x×3×3=8 故选A. 6.【答案】B 【详解】在同一平面直角坐标系中分别作出函数y=2,y=g,y=及y=-x+的图 高一·数学答案详解第1页（共4页） 象，如图所示 =-x+习 由图象可知b>c>a.故选B. 7.【答案】A 【详解】当a=0时，3>0成立： 当a>0时，抛物线y=a2+2ax+3开口向上，成立： 当a<0时，由4=4a2-12a>0,得a<0或a>3,所以a<0. 综上所述，a∈R 8.【答案】B 【详解】A被分配到站点4与被分配到站点2和站点3的机会是相等的，且A必然在站点 2,3,4中的某一个，则A在站点2,3,4中的概率都是子 故选B. 9.【答案】ABD 【详解】对于A,由题意知，E,F分别是CD边上的两个三等分点，且EF与AB方向相同， 则E=店，故A正确： 对于B,亦=而+亦=办+子C=而+子(C-)=而+子花故B正确： 对于C,C成-C2=E,故C错误： 对于D,A币+D心=AC,A店+BC=AC,所以A而+DC=A店+B元，故D正确。故选ABD. 10.【答案】AC 【详解)】因为函数x)=cosx-5sinx=2cox+）, 所以它的一个周期为-2π，故A 正确： 令x=石，求得)=0，故B错误： 令x=石，求得x+)=0,故八x+)的一个零点为x=石，故C正确： 当x∈（受，时，+号∈（石，智），面函数y=s在(，上单调递减，在 (,）上单调递增，所以x)在（受，上没有单调性，故D错误。故选AC 高一·数学答案详解第2页（共4页） 11.【答案】ACD 【详解】对于A,因为g(x)=f(x+1)是偶函数，所以g(-x)=g(x),即f1-x)=f代1+ x),f2+x)=f1-(1+x)=f(-x)=-f(x),f(x+4)=-f(x+2)=-(-f(x)= f八x),即周期T=4,故A正确；对于B,由A得f(4-x)=f(-x)=-(x),函数f八x) 的图象关于点(2,0)对称，故B错误： 对于C,1)=2,2)=0,f八3)=-2,4)=0，所以/()=506[1)+/2)+f(3) +f八4)]+f(1)=2,故C正确： 对于D,作出函数y=八x)与函数y=nx的图象，如下图。 所以曲线y=f(x)与y=nx有8个交点，故D正确.故选ACD 12.【答案】0.6 【详解】随机事件A和B互斥，∴P(A+B)=P(A)+P(B),P(B)=0.7-0.3=0.4. 又B和C对立，.P(C)=1-P(B)=0.6,故答案为0.6. 13.【答案】(-0，-4) 【详解】作出八x)与y=k的图象，如图.由图象可知，当y(x)=(x)-k只有一个零点 时，实数k的取值范围为(-0，-4) 14.【答案】6(2-√3) 【详解】设球0的半径为R,因为球0的体积为智0。，故9。=音R,解得=5， :BC=3,∠BAC=150°，设△ABC的外接圆半径为r,圆心为O,, 3 ÷根据正弦定理知，sn50=2,即r=3, 高一·数学答案详解第3页（共4页） ∴.001=√0B-01B=52-32=4, ,AD是球O的直径，O是AD的中点，∴，点D到平面ABC的距 离为2001=8， 在△ABC中，根据余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·AC· cos∠BAC, 即9=AB2+AC2+5AB·AC≥2AB·AC+3AB·AC, .AB·AC≤9(2-5)，当且仅当AB=AC时，等号成立， △AC的面积S=号4B.AC·nLB4C≤3x9(2-月x号-2-同. 三棱锥A-BCD体积的最大值V=了×是(2-同)×8=6(2-月.。 故答案为6(2-5) 高一·数学答案详解第4页（共4页）★开封前注意保密 揭阳市2024一2025学年度高中一年级教学质量测试 数学 本试题共4页，考试时间120分钟，满分150分 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的信息填写清楚、准确，将条形码准确粘贴在条形码粘贴处。 2.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效。 3.答题时请按要求用笔，保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不得使用涂改 液、修正带、刮纸刀。考试结束后，请将本试题及答题卡交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有 一个选项是符合题目要求的 1.已知全集U={x∈Z1≤x<6,A={2,3,4,B=1,3,5|,则(CB)∩A=() A.1,2 B.2,4 C.1,2,4 D.|2,4,5} 2.若x,yeR,则“x>y”的一个充分不必要条件可以是() A.x-y>I B.x-y>0 c.> D.x>y 3.有下列一组数据：2,17,33,15,11,42,34,13,22，则这组数据的上四分位数是() A.11 B.13 C.22 D.33 4.已知偶函数八x)在区间[0，+0)上单调递增，则满足(x+1)<(2)的x的取值范围 是() A.(-0,1) B.(-1,1) C.(-3,1) D.(-0,1] 5.已知正三棱柱ABC-A,BG的棱长均为子，D为M,的中点，则四面体A,BCD的体积为() 81 B.23 c. D.23 81 27 6已知函数)=2r+-分g()=g+-子4()=+-号的零点分别为a,6, c,则a,b,c的大小关系为() A.a>b>c B.b>c>a C.c>a>b D.b>a>c 7.已知命题p:3x∈R,ax2+2ax+3>0为真命题，则实数a的取值范围是() A.R B.aa≥0 C.|a|a<0或a>3} D.aa>3 高一·数学第1页（共4页） 8.在2025揭阳马拉松比赛活动中，四位志愿者A,B,C,D被随机分配到四个物资发放点 (站点1-4)，每人原属站点分别为A→1，B→2，C→3，D→4.规定每人不能分配到原 属站点，则志愿者A被分配到站点4的概率是() A号 B分 c 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.如图，在平行四边形ABCD中，E,F分别是CD边上的两个三等分点，则下列选项正确 的有() A.亦=店 B.亦=d+子 C.B酝=C-Ci D.AD+D元=AB+BC 10.设函数f(x)=cosx-3sinx,则下列结论正确的是() A.-2π是f(x)的一个周期 B.八x)的图象关于直线x=石对称 C.八x+m)的一个零点为x=君 D.(x)在区间受，上单调递减 11.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，f八x+1)是偶函数，当x∈[0,1]时，f(x)=√：+ x,则下列说法中正确的有() A.4是八x)的一个周期 B.(x)的图象关于直线x=2对称 c02 D.方程f(x)=nx恰有8不同的实数根 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知随机事件A,B,C,A和B互斥，B和C对立，且P(A+B)=0.7,P(A)=0.3,则 P(C)= 「x2+2x-3,x≤0， 13.已知函数f(x)= 若g(x)=(x)-k只有一个零点，则k的取值范围是 -2+Inx,x>0, 14.已知4，B,C,D四点都在体积为0的球0的表面上，若AD是球0的直径，且BC=3, ∠BAC=150°，则三棱锥A-BCD体积的最大值为 高一·数学第2页（共4页） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(本题满分13分)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,有余弦定理： a2 =b+c2-2bccos A, b2=a2 +c2-2accos B, c2=a+b-2abcos C. (1)在上面三个等式中，任选一个等式进行证明： (2)若A=石，b=月，asin A=5,5sinB-2sinC,求△ABc的面积 16.(本题满分15分)潮汕英歌舞以其动作刚劲有力，节奏感强的特色，备受人们喜爱.某 校组织英歌队进行训练并作了汇报表演，为了解训练成果，做了一次问卷调查，问卷所 涉及的问题均量化成对应的分数（满分100分），从所有答卷中随机抽取100份的分数作 为样本，将样本的分数（成绩均为不低于50分的整数且在组内均匀分布）分成五段： [50,60),[60,70),…,[90,100],得到如图所示的频数分布表 样本分数段 [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100] 频数 10 30 30 10 频率 0.1 0.3 0.3 0.1 (1)求频数分布表中a和b的值，并估计样本成绩的平均数： (2)经计算，样本中分数在区间[50.60)内的平均数为56，方差为7：在区间[60.70) 内的平均数为65，方差为4，求两组成绩的总平均数：和总方差s2. 高一·数学第3页（共4页） 17.(本题满分15分)如图，已知AB是圆柱下底面圆的直径，点C是下底面圆周上异于A, B的动点，CD,BE是圆柱的两条母线. (I)求证：平面ACD⊥平面BCDE; (2)若AB=5,BC=2,圆柱的母线长为23，求平面ADE与 平面ABC夹角的余弦值， 18.(本题满分17分)已知函数八x)=co(4r+石)+co4-石)+si血4r+a的最大值为1. (1)求常数a的值； (2)求函数(x)的单调递减区间： (3)设x1,x2为函数八x)的两个相异零点，求|x1-x2的最小值. 19.(本题满分17分)通过平面直角坐标系，我们可以用有序实数对表示向量.类似的，我 们可以把有序复数对(，2)(，2∈C)看作一个向量，记a=(1,2),称a为复向 量.类比平面向量的相关运算法则，对于a=(1,2),b=(,4),,2,,4, eC,我们有如下运算法则：①a+b=(1+3,2+4),a-b=(a1-,2-4): ②Aa=(A,Az2)；③a·b=1+34;④a=a·a. (1)设a=(1,2-i),b=(1+i,1-2i),求a·b和a+b: (2)类比平面向量数量积满足的运算律，得出复向量的一个相关结论：a·(b+c)=a·b+a· c,判断上述结论是否正确，并说明理由： (3)设a=(3+3i,3),集合n=plp=(,),=1+3,13∈C引，b∈D,求 |a-b的最小值，并证明当|a-b|取最小值时，对于任意的c∈，(a-b)·(b-c)=0. 高一·数学第4页（共4页）