广东省揭阳市2024-2025学年高二下学期期末教学质量测试数学试卷

揭阳市2024一2025学年度高中二年级教学质量测试 答案及评分标准（参考）数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C D B C A D A B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 题号 9 10 11 答案 BC ABD AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.0.24 13.3 14.5 17 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.解：(1)由v3cosC+sinC=3 ,得3 acos C+asin C=3b. 由正弦定理，得3 sin Acos C+sin Asin C=√3sinB. …1分 因为sinB=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C, …2分 所以sin Asin C-3 cos Asin C=0,… …3分 因为0<C<T,所以sinC>0,则anA=√3，…5分 又因为0<A<m,所以A=哥 6分 (2)因为A店·A元=2，所以bcc0sA=2,所以bc=4, …8分 所以S6=bcsin A=5, …9分 所以2×a×1=3,解得a=2尽 10分 由余弦定理，得a2=b2+c2-2 bccos A,即12=b2+c2-bc,…11分 化简得(b+c)2=3bc+12,所以(b+c)2=24,即b+c=2√6.… 12分 所以△ABC的周长为a+b+c=26+2√3. ……13分 16.(1)证明：：平面PAC⊥底面ABCD,平面PAC∩平面ABCD=AC,PAC平面 PAC,PA⊥AC, .PA⊥平面ABCD, ……2分 又，ABC平面ABCD, PA⊥AB,… …3分 高二·数学答案及评分标准（参考）第1页（共6页） :底面ABCD是等腰梯形，AD∥BC,AB=1,BC=2,∠ABC=60°， 六在△ABG中，4C=1+4-2x1×2x7=5, .AB2+AC2=BC2,即AB⊥AC.…5分 :PA∩AC=A,PAC平面ACP,ACC平面ACP, ,ABL平面ACP.…6分 (2)解：由(1)知CD=1,AD=1,∠ADC=120° 5m=分x40x0Dxn120=分x1x1×9-9 …7分 3 V装D-4c=V三腹-4@=军，且由(I)知，PA⊥平面ABCD, ,解得PA=3. …8分 以A为坐标原点，AB,AC,AP所在直线分别为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐 标系。……9分 则c0,0.n-,.小P0.0,3. C=(},9,0小，市=(0，-5,3.…10分 设平面CDP的法向量为n1=(x,y,z), {n,=0,-y+3=0, 令=6，得y=1,=原此时网(a,-1,, …12分 而平面ACP的一个法向量为n2=(1,0,0), …13分 设平面ACP与平面CDP的夹角为0. .'.C0s0= m1·l3_33 nn213 13, 44004000440444444044+ 14分 ×1 故平面ACP与平面CDP夹角的余弦值为3 13 ……15分 17.(1)解：f(x）=xe,六f'(x)=(x+1)e,…1分 由f'(x)=0,得x=-1,当xe（-0,-1)时，f'(x)<0,当xe(-1,+o)时，f"(x)>0, (x)在(-∞，-1)上单调递减，在(-1，+0)上单调递增， …2分 ∴x)的极小值为-)=一是 …3分 (2)(i)解：h(x)=fx)+g()=xe-受-，xeR 高二·数学答案及评分标准（参考）第2页（共6页） h'(x）=(x+1)(e2-a）.……4分 ①若a≤0，则e-a>0,当xe(-o,-1)时，h'(x)<0,当x∈(-1，+o)时，h'(x)> 0, 即h(x)在(-0，-1)上单调递减，在(-1，+o)上单调递增，…5分 ②若a>0,令h'(x)=0,得x=-1或x=lna.… …6分 若na=-1,即a=时，此时h'(x)≥0（只有x=-1时，h'(x)=0), ∴，h(x)在R上单调递增. …7分 若na<-l,即0<a<。时，由h'()>0,得x<na或x>-l, 由h'(x)<0,得lna<x<-1, ∴.h(x)在(-o,na)与(-1，+o)上单调递增，在(na,-1)上单调递减.…8分 若ha>-1,即a>时，由k'()>0,得x<-1或x>lna, 由h'(x)<0,得-1<x<lna, .h(x)在(-o,-1)与(lna,+o)上单调递增，在(-1，lna)上单调递减.…9分 综上所述，当a≤0时，h(x)在(-o,-1)上单调递减，在(-1，+o)上单调递增： 当a=。时，h(x)在R上单调递增： 当0<a<时，h(x)在(-0，na)与(-1，+o)上单调递增，在(na,-1)上单调 递减： 当a>1时，h(x)在(-0，-1)与(na,+o)上单调递增，在(-1，lna)上单调递减. …10分 (i)证明：由(i)知，当0<a<时，h()在(-o,ha)与(-1，+0)上单调递增，在 (ha,-1)上单调递减h(x)的极大值是r(a)=h(ha)=-之a(ha)月 …11分 令a(e)=-子h)0<x<.则()=-h(nx+ …12分 当xe0,)时.()<0，当xe(侵，）时.()>0. 则a(x)在(0，上单调递减，在（日，上单调递增。 …14分 故()≥月)=-3，即(a)≥-3 …15分 18.(1)解：设椭圆C的标准方程为二 +2=1(a>b>0). 由题意得2a=02+付+-23+（付=4，解得a=2,…2分 高二·数学答案及评分标准（参考）第3页（共6页） 因为b2=a2-c2=4-3=1. 所以椭圆C的标准方程为号+y=1 …3分 (2)解：若直线OA的斜率不存在，则可取A(0,1),因为OA⊥OB,所以可取B(2,0), 此时Sa0w=2×1×2=l 1 若直线01的斜率为0，同理可得S0w=2×1×2=1 …4分 当直线OA的斜率存在且不为0时，设直线OA的方程为y=x, 借y1.得10则1o1=+F-2 [y=kx, 由 …5分 √1+4k2 用-代替，得后长g则02哥 6分 +4 所以5aaw=号×0m×0B1=分x2+gx2F+ 2 1+4k2 √2+4 =2 (k2+1)2 N(1+4k2)(k2+4) …7分 设g+1=4,>1,则时e(0,1). 2 所以5aaw=2√4-3)4+3)=2√4+9-9 1 2 =2 99 +4 所以sue， …9分 综上所述，SoOWG[手，小 10分 (3)证明：由题意可知，蒙日圆的方程为x2+y2=5, (i)若直线MN斜率不存在，则直线MN的方程为x=2或x=-2. 不妨取x=2,代人x2+y2=5中，解得y=±1 不纺取n2,1),N2,-,则m=宁，km=-宁 所以km·kN=-子 …11分 (i)若直线MN的斜率存在，设直线MN的方程为y=kx+m, [y=kx+m, 联立 4 +y2=1. 化简整理得(4k2+1)x2+8km.x+4m2-4=0. 高二·数学答案及评分标准（参考）第4页（共6页） 则△=64k2m2-4(16k2m2-16k2+4m2-4)=0, 即m2=4k2+1,… 12分 设M(x1,y),N(x2,y2), 「y=x+m, 联立+5， 化简整理得(k2+1)x2+2m.x+m2-5=0, 41=42m2-4(2+1)(m2-5)=4(52-m2+5)=4(52+5-42-1)=4(k2+4)>0, 2km +2=；=招5， 2+1 …13分 则kw·ho=出=（+m)(+m.西+hn(飞，+)+m x12 1 X1X2 -2k2m2 =2+1+62+m =+m2-km_m2-52+m2-k2m2-m2-5设 m2-5 m2-5 m2-5 m2-5’ …15分 1+2 因为成4+1，房以6o驾证号=子 …16分 综上所述，km·kam为定值-子 …17分 19.(1)解：数列1an是20项0-1数列，当且仅当n=4m(meN,m≤5)时，an=0;…1分 当n=4m-1,n=4m-2,n=4m-3(meN°，m≤5)时，an=1.…2分 设数列(-1)"a.所有项的和为S,则S=(-1)a1+(-1)产a2+(-1)3a3+0+(-1)'a5+ (-1)a6+(-1)7a2+0+…+(-1)7a,+(-1)a1g+(-1)”ag+0=-5.…4分 (2)(i)解：因为数列{a。,{bn}是从集合M中任意取出的两个数列，所以数列{an}, b。}均为k项0-1数列，所以X的可能取值为1,2,3，…，k.根据数列中0的个数可 得，集合M4中元素的个数为C+C+C好+…+C=2.…6分 当X=3时，数列an},b}中有3项取值不同，有k-3项取值相同，先确定an}有2 种情况，再在a,}中选取3项，这3项与{b,}的对应项取值不同，有C种情况，则{a.} 与b.1的选择情况共有2C种情况. 数列an{,bn}是从集合M,中任意取出的两个数列， 所有可能情况有AC种，…8分 k(k-1)(k-2)2 2*C 所以P(X=3)= 3×2×1 (k-1)(k-2) AC 2×2(2-D 6(2*-1) …9分 2 (t-1)(t-2)(1+1)(1-1) 6(2-1) 6(2+1-1)1 2(1-5)+3<0, 化简可得 解得t=4, +1D1-1,+2)1+1业 2(21-8)+3>0. 6(2+1-1) 6(2+2-1） 则当k=t+1=5时，P(X=3)取得最大值. …11分 (i)证明：由(i)知集合M,中元素的个数为C+C+C2+…+C=2 高二·数学答案及评分标准（参考）第5页（共6页） 当X=m(m=1,2,…,k)时，数列{an,b.}中有m项取值不同，有k-m项取值 相同， 先确定a}有2种情况，再在{a.}中选取m项与！b}的对应项取值不同有C种情况， 则{a.{与b.|的选择情况共有2C种情况 数列{an{,bn|是从集合M中任意取出的两个数列， 所有可能情况有AC种，…13分 C2-m=1,2,…,k,…14分 2C C 所以随机变量X的分布列为P(X=m)= 因为mC=,m·! (m-1)！(k-i)-(m-1)j=kC-(m∈N,1≤m≤k). (k-1)！ 2m!(k-m)=k·小 C+2×2-1 所以E(X)=1×2- C C+…+k×2-1=2-1(C+2C+3C2+…+kCt) 2-C4++C+…+C=,2,2. 2-1>2= 冷，即(X)>号 000++00+0++000++00000++0000000000000+0000+000+0500+0+000040000+t00104+ 16分 当=4050时，B(0>5=490=2025. …17分 2 高二·数学答案及评分标准（参考）第6页（共6页） 答案详解 1.C【详解】由不等式(x-1)(x-4)≤0，得1≤x≤4，所以A={1,2,3,4|. 又因为B=1,2,3|,所以AUB=1,2,3,4. 2.D详解】因为(1+3i)(3-i)=3+8i-3=6+8i,:=6-8i,故：在复平面内对应的点为 (6,-8),位于第四象限 3.B(详解】抛物线=2y的准线1为y=-分，01=0B=1,∴B=,3,∠A0B= 3 4.C详解】.a∥(a-b),.cos0=-1,∴，sin0=0. 5.A【详解】f(x)是奇函数，∴.a=1.g(x)是偶函数，∴.a2-a=0,解得a=0或a=1. ∴p是q的充分不必要条件. 6.D详解】由已知可得贺）=sim受w-平）=0，解得受。-牙=k红，ke乙，即w=2+8, keZ,0<w<3,o=2,fx)+x+4）=2in2.当xe（-石，哥）时，2xe (-号，)，)++)的值域为-.可 7.A【详解】记事件M:甲派往B物资发放点，事件N:甲、乙派往同一个物资发放点，则 P(M)=了，由条件甲，乙，丙，丁四位志愿者分成3组，再将3组派往A,B,C三个物 资发放点，则基本事件总数为n(2)=CA=36,事件M,N同时发生，则甲，乙被同时 派去B物资发放点，共A=2种， w)=瑞-8PNM-右 P(M)16 3 8.Bl详解】设y=入，入>1，x>0,则Ax>x,由已知可得f(Ax)<f八x)+f(入)+1，整理可 得f(Ax)-f八x)<f八入)+1.又因为当x>1时f八x)<-1,所以f八入)<-1， 所以A)-x)<A)+1<0.所以(x)在(0，+m)上单调递减。设g(x)=（> ),6)在(1，e)上单调递减，在(e+)上单调通增.品。<品<4-品2·即 32 e<1n3<n2' 因为f(x)在(0，+o)上单调递减，所以a<b<c 9.BC【详解】设{a.}的公差为d,首项为a1,则 5×4=30, 5a1 2 解得/10， 则an=-2n+ la1+5d=0, d=-2 2,六4=6，人错误，B正确8=-2+1，告=-n+山，数列倍}是递减数列。 高二·数学答案详解第1页（共3页） C正确.令-n2+11n>0,解得0<n<11,n∈N,.n的最大值为10，D错误. 10ABD详解】双线：苦-若=1，a=3,6=6,c=3,所以e=,A正确 设4(，，B为)，将y=停：-3)代人号-若=1，得5+6-27=0 6 x1+x2=- 5 27 所以-+写·属+户-4南15，B正确 x=-5 当I的斜率k=2时，直线I与渐近线y=√2x平行，I与E只有一个交点，C错误 假设E上存在点M使∠MF,F,=3∠MF,F2≠0，设∠MF,F2=0,∠MFF,=30,由对称 性，可设点M在第一象限，则0<0+30<m,0<0<平，连接ME,交y轴于点H,则 |MF,|-|MF2|=2a=23,连接HF,(图略)，显然|HF2|=|HF,, ∠MF,F2=∠HF2F,=0,∴，∠MHF2=∠MF2H=20,MH=MF2l,|HF= IF,03 WF,-W,=2a=25>B0=3,此时cm0=m=分.0=君0e (0,④），故E上存在点M,使∠MF,F,=3∠MF,E,≠0，D正确 山.AD详解】因为aR=3,=子，所以R=2,则图锥的高九=，所以圆锥的体积V= ×m×号×号-，4正瑞 1 设圆锥S0的轴截面顶角为a,则cosa:= 22+22-32 2×2x2=~8,α是纯角，则截面面积的最 大值为S=2Rsm90°=2，B错误 当R=3时，r=1, 如图所示，棱长为4的正四面体BDMN可以补形成正方体GBHD-MENF, 则正方体的棱长BG=BD=22, 正四面体BDMN的体积为V=楼-mw=(22)3-4×号x} 3×2× D (22)2x22=162 3 正四面体BDMN的表面积为S三花锥#-N=4× 2×4×4×3 =16,3,设正四面体BDMN 的内切球半径为，则由等体积法可知5m=V新-m心，解得，=。 高二·数学答案详解第2页（共3页） 因为r=1>⅓=号，所以圆锥S0不能在棱长为4的正四面体内任意转动，C错误 设圆锥S0的高为，体积为，则广+=R,记函数V(h)=了㎡h=了m(R-)h= 了nh-号，0<A<R,r()=兮-，令r()=0,得=R或=-马R (舍去)，当0<A<哥R时，P()>0,()单调遥增：当R<h<R时.V()<0, V(h)单调递减， 所以当=学时，)取得最大值，此时，r=。所以当0=2贾-2：6。时圆锥 R S0的体积最大，D正确. 12.0.24【详解】因为随机变量X~N(2,σ2)，所以u=2,由正态密度曲线的对称性可得曲 线关于直线x=2对称.因为P(X≤0)=0.26，所以P(2≤X≤4)=P(0≤X≤2)=0.24. 13. 2【详解】曲线y=x+nx在点(1,1)处的切线为y=2x-1,设曲线y=“-1的切点P [aeO=2, (xa,yn）,y'=ae",则 2.x0-1=e-1. 解得a-己 14.51详解】 法1：画出树状图，如图. 回 囟 ④ ④ 囱 南 自 购 白 响⑦ 可 面图卤可可☒可图图应 可多⑧的回面多回卤回囱可囟画⑧回应卤卤卤囱 可图图回图回囱图回应回图回应回回 ⑧应回囱囱 图回回回 囱 囱 囱 囱 结合树状图可知r3=1,3=2,r4=3,r5=5,r6=8,1=13,rg=21,r=34, 烟兵路号 法2：T2=1,13=2,Tm+2=ra+r+ 则r2=1,r3=2,r4=3,r=5,T6=8,=13,r8=21,rg=34 又因为6到9有6→789,6→7-9,689共3条不同的路线，所以经过6的路线 共有3m6=24(条)， 所以P-号 高二·数学答案详解第3页（共3页）★开封前注意保密 揭阳市2024一2025学年度高中二年级教学质量测试 数学 本试题共4页，考试时间120分钟，满分150分 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的信息填写清楚、准确，将条形码准确粘贴在条形码粘贴处。 2.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区城内作答，超出答题区城书写的答案无效。 3.答题时请按要求用笔，保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不得使用涂改 液、修正带、刮纸刀。考试结束后，请将本试题及答题卡交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的， 1.已知集合A={xeN(x-1)(x-4)≤0，B={x∈N|0<x<4,则AUB= A.11,2 B.1,2,3} C.11,2,3,4} D.0,1,2,3,4 2.已知z=(1+3i)(3-i),则z在复平面内对应的点位于 A,第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.若抛物线x2=2y的准线为直线1，且1交圆C:x2+y2=1于A,B两点，0为坐标原点， 则∠AOB= 4君 B罗 c.3 D.君 4.已知平面向量a=(cos0,2),b=(-2,4),若a∥(a-b),则sin0= A.-1 C.0 D.1 5.若命题p:八x)=a-2为奇函数，9：8()=+（口-a)x+1为偶函数，则p是g成 2 立的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6已知函数x)=mar-平)0<o<3),x=是fx)的-个零点，则当xe(-石，罗）时， y=x)+x+）的值域为 A.（-9 B（-9.9c（-刂 高二·数学第1页（共4页） 7.某次马拉松比赛活动中，甲，乙，丙，丁四位志愿者派往A,B,C三个物资发放点，若 每个物资发放点至少派一一位志愿者，且每位志愿者只能派往一个物资发放点，则在甲被派 去B物资发放点的条件下，甲，乙被派去同一个物资发放点的概率为 A.6 BR方 c号 D. 6 8.已知定义在(0，+o)上的函数f(x),对任意x,y>0,总有f(xy)<f(x)+f(y)+1成立，且 当x>1时.x)<-1设a=品6=品)c=e)(e=2.718…),则 A.c<b<a B.a<b<c C.b<e<a D.c<a<b 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知公差不为0的等差数列{a}的前n项和为S.,且S,=30,a6=0,则下列说法正确 的是 A.d=-1 B.a3=6 C倍}是递减数列 D.若S,>0,则n的最大值是11 0,已知双曲线E:专-。=1，其左、右焦点分别是E,F,过点F的直线1与E交于心 B两点，则 A.E的离心率为√3 B.当I的倾斜角为云时，AB=165 5 C.直线I的斜率可以为√2 D.E上存在点M,使∠MF2F,=3∠MF,F,≠0 11.用半径为R的圆形铁皮剪出圆心角为0的扇形（以圆形铁皮的半径为半径的扇形），制成 一个圆锥形容器S0,底面圆O的半径为r.则下列说法正确的是 A.当r=子，且圆锥S0的侧面积为3m时，圆锥的体积V3了西 8 B.当r=子，且圆锥S0的侧面积为3云时，过圆锥S0的顶点S所作的裁面中，截面面 积的最大值为3， 4 C.当R=3,且圆锥S0的侧面积为3π时，圆锥S0能在棱长为4的正四面体内任意转动 D.当0=2,6 π时，圆锥S0的体积最大 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知随机变量X~N(2,σ2)，若P(X≤0)=0.26，则P(2≤X≤4)= 13.已知曲线y=x+nx在点(1,1)处的切线与曲线y=e:-1相切，则a的值为 高二·数学第2页（共4页） 14.如图，从1开始出发，一次移动是指从某一格开始只能移动到邻近 214168 的一格，并且总是向右或右上或右下移动，而一条移动路线由若干 13579 次移动构成，如从1移动到9,1→2→3→5→7→8→9就是一条移 动路线.从1移动到数字n(n=2,3,…,9)的不同路线条数记为r.,从1移动到9 的事件中（每条移动路线都是等可能的），经过数字(n=2,3,…,8)的概率记为P。, 则T5= ,P6= 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(本小题满分13分)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边，且3csC+ sin C=3 a (1)求A: (2)若A·AC=2,BC边上的高为1，求△ABC的周长. 16.(本小题满分15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是等腰梯形，AD∥BC,平 面PAC⊥平面ABCD,PA⊥AC,BC=2AB=2,∠ABC=60. (1)求证：AB⊥平面ACP: (2)若三棱锥D-ACP的体积为，求平面ACP与平面CDP夹角的余弦值 I7.(本小题满分15分)已知函数)=e,g(x)=一受-a(aeR)。 (1)求八x)的极小值； (2)若h(x)=fx)+g(x),x∈R. (i)讨论h(x)的单调性： (当0<a<。时，设h()的极大值是(a),求证：o(a)≥-二 高二·数学第3页（共4页） 18.(本小题满分1门分)已知椭圆C二+ +存=1(a>6>0)的任意两条相互垂直的切线交点的 轨迹是圆，称为椭圆的蒙日圆，其方程为厂：x2+y2=a2+2.已知椭圆C的两个焦点分 别为F(-5,0),F,(5,0),0为坐标原点，点(-5，）在椭圆C上 (1)求C的标准方程： (2)已知直线I与C交于A,B两点，且OA⊥OB,求△OAB面积的取值范围： (3)过C的蒙日圆上一点M,作C的一条切线，与蒙日圆交于另一点N,若直线OM, ON的斜率存在，设OM与ON的斜率分别为koM,kov,证明：kow·kv为定值 19.(本小题满分17分)若数列1a.|(1≤n≤k,n∈N,k∈N)满足a。∈10,1{，则称数列 {a。}为k项0-1数列，由所有k项0-1数列组成的集合为M (1)若{an}是20项0-1数列，当且仅当n=4m(m∈N°，m≤5)时，a.=0,求数列 1(-1)"an}的所有项的和； (2)已知{a。}∈M,{b.{∈M,且a.}与b.}是两个不同的数列，定义离散型随机变量X= a-bl,i=l,2,,k,其钟keN,且≥3 ()求P(X=3)取到最大值时k的值； (i)求随机变量X的分布列，并证明：当k=4050时，E(X)>2025. 高二·数学第4页（共4页）