（新课衔接）专题07 分数混合运算（二）（知识梳理+预习检测）-2025-2026学年五升六数学暑假衔接培优讲义（北师大版）

暑假衔接培优讲义 编者的话​​ 亲爱的同学们、家长们： 随着2025-2026学年的脚步临近，小学阶段的学习即将迎来关键的转折点。五年级升入六年级，不仅是学习内容的深化，更是思维能力和学习方法的重要提升期。数学作为一门逻辑性强、应用广泛的学科，其知识体系的连贯性尤为突出。为了帮助同学们在暑假期间高效巩固已学知识、顺利衔接六年级的新内容，我们精心编写了这本《五升六数学暑假衔接培优讲义》。 本讲义以“夯实基础、拓展思维、前瞻预习”为目标，分为两大部分： ​​知识梳理：系统梳理前两个单元的核心知识点（圆、分数混合运算）。 ​​预习检测：围绕前两个单元内容，以课时为小阶段进行自我检测，作为学生预习后自我测评的同步练习。让同学们提前熟悉新知识，减少开学后的适应压力。 书中习题兼顾基础性与挑战性，既有对课本知识的精准覆盖，也有贴近生活实际的综合应用题，旨在培养数学建模能力和创新思维。建议同学们每天安排固定时间学习，先独立完成练习，再对照解析反思总结，逐步形成“温故—知新—内化”的良性循环。 教育学家怀特海曾说：“教育的核心，是让知识生动起来。”希望这本讲义能成为同学们探索数学世界的桥梁，让暑假的学习既充满收获的喜悦，又不失思维的乐趣。愿大家在金秋九月自信启航，迎接六年级的精彩挑战！ ​​ 玩转数学教研之家 2025年7月 2025-2026学年五升六数学暑假衔接培优讲义 专题07 分数混合运算（二）（知识梳理+预习检测） 1、求比一个数多几分之几的数是多少，我们可以用这个数×（1+分率）来计算，或者用“这 个数+这个数×分率”来计算。 2、在解答“比一个数多（少）几分之几的数是多少”时，要看清楚这个几分之几的单位“1”是谁，是谁就增加（减少）它的几分之几。 3、求比一个数多（少）几分之几的数是多少时，可以把“增加（减少）几分之几”转化成“是原来这个数的几分之几”。 4、解答“已知一个数和它的一部分量对应的分率，求另一部分是多少”的方法有两种：这个 数－这个数×分率或者这个数×（1－分率)。 5、解答“已知一个数和它的一部分量对应的分率，求另一部分是多少”的简单实际问题时， 要注意已知的分率和所求部分之间的量率对应关系。 6、进行分数连乘运算时，我们可以按照从左往右的顺序计算；也可以先将后两个数相乘， 再与第一个数相乘，也就是说整数的乘法结合律在分数乘法中同样适用。 7、求两个不同的分数与同一个数相乘的和，计算时可以按照运算顺序，先算乘法再求和；也可以先求出这两个数的和，再与第三个数相乘，即整数的乘法分配律在分数混合运算中同样适用。 8、整数乘法的运算律在分数混合运算中同样适用。 一、选择题 1．若一个正方形的边长减少，则面积减少（    ）。 A． B． C． D． 2．淘气家上个月的电费是36元，这个月比上个月节省了，这个月的电费是多少元？下图能正确表达题目意思的是（    ）。 A． B． C． D． 3．某小学共有950名学生，六年级人数占全校的，下面问题（    ）与算式950×（1－）相符合。 A．六年级有多少人？ B．其余年级有多少人？ C．其余年级比六年级多多少人？ D．其余年级比六年级少多少人？ 4．下面各式中，与的结果不相等的是（    ）。 A． B． C． D． 5．一件衣服售价100元，提价后，再降价销售，则现价（    ）。 A．100元 B．110元 C．99元 D．101元 二、填空题 6．学校轮滑社团有学生40人，参加烹饪社团的人数比轮滑社团的多，参加烹饪社团的学生有( )人。 7．水果店里原来有水果a千克，售出总数的后，又售出千克，共售出水果( )千克。 8．十一黄金周，游乐场第一天的门票收入为1260元，第二天比第一天增加了。第二天的门票收入是( )元。 9．亮亮在计算时，将算式错看成，这样得到的结果与正确结果相差( )。 10．笑笑计划3天看完一本140页的故事书。第一天看了全书的，第二天看的是第一天的，第三天还要看( )页才能看完这本故事书。 三、计算题 11．看图列式计算。 四、解答题 12．安装路灯惠民生，照亮乡村振兴路。幸福村原来有路灯65盏，为了进一步美化乡村环境、加强乡村建设，今年又新安装了一批路灯，现在路灯的数量比原来多了。幸福村现在一共有多少盏路灯？ 13．某化工厂每天产生27吨的工业污水，其中有经过处理，未经处理的污水有多少吨？ 14．实验小学举办“畅想2035”作品展，共120幅获奖作品，其中表现新农村变化的作品占全部获奖作品的，表现学校生活的作品占全部获奖作品的。表现新农村变化的作品数比表现学校生活的多多少幅？ 15．希望小学开辟“农耕园”，六年级学生共种植150棵西红柿，茄子比西红柿多种了，六年级学生种植了多少棵茄子？ （1）根据题意，画图表示茄子的种植数量。 （2）解答这个题目。 学科网（北京）股份有限公司 $$暑假衔接培优讲义 编者的话​​ 亲爱的同学们、家长们： 随着2025-2026学年的脚步临近，小学阶段的学习即将迎来关键的转折点。五年级升入六年级，不仅是学习内容的深化，更是思维能力和学习方法的重要提升期。数学作为一门逻辑性强、应用广泛的学科，其知识体系的连贯性尤为突出。为了帮助同学们在暑假期间高效巩固已学知识、顺利衔接六年级的新内容，我们精心编写了这本《五升六数学暑假衔接培优讲义》。 本讲义以“夯实基础、拓展思维、前瞻预习”为目标，分为两大部分： ​​知识梳理：系统梳理前两个单元的核心知识点（圆、分数混合运算）。 ​​预习检测：围绕前两个单元内容，以课时为小阶段进行自我检测，作为学生预习后自我测评的同步练习。让同学们提前熟悉新知识，减少开学后的适应压力。 书中习题兼顾基础性与挑战性，既有对课本知识的精准覆盖，也有贴近生活实际的综合应用题，旨在培养数学建模能力和创新思维。建议同学们每天安排固定时间学习，先独立完成练习，再对照解析反思总结，逐步形成“温故—知新—内化”的良性循环。 教育学家怀特海曾说：“教育的核心，是让知识生动起来。”希望这本讲义能成为同学们探索数学世界的桥梁，让暑假的学习既充满收获的喜悦，又不失思维的乐趣。愿大家在金秋九月自信启航，迎接六年级的精彩挑战！ ​​ 玩转数学教研之家 2025年7月 2025-2026学年五升六数学暑假衔接培优讲义 专题07 分数混合运算（二）（知识梳理+预习检测） 1、求比一个数多几分之几的数是多少，我们可以用这个数×（1+分率）来计算，或者用“这 个数+这个数×分率”来计算。 2、在解答“比一个数多（少）几分之几的数是多少”时，要看清楚这个几分之几的单位“1”是谁，是谁就增加（减少）它的几分之几。 3、求比一个数多（少）几分之几的数是多少时，可以把“增加（减少）几分之几”转化成“是原来这个数的几分之几”。 4、解答“已知一个数和它的一部分量对应的分率，求另一部分是多少”的方法有两种：这个 数－这个数×分率或者这个数×（1－分率)。 5、解答“已知一个数和它的一部分量对应的分率，求另一部分是多少”的简单实际问题时， 要注意已知的分率和所求部分之间的量率对应关系。 6、进行分数连乘运算时，我们可以按照从左往右的顺序计算；也可以先将后两个数相乘， 再与第一个数相乘，也就是说整数的乘法结合律在分数乘法中同样适用。 7、求两个不同的分数与同一个数相乘的和，计算时可以按照运算顺序，先算乘法再求和；也可以先求出这两个数的和，再与第三个数相乘，即整数的乘法分配律在分数混合运算中同样适用。 8、整数乘法的运算律在分数混合运算中同样适用。 一、选择题 1．若一个正方形的边长减少，则面积减少（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】假设这个正方形的边长是4厘米，边长减少，减少后的边长是原来边长的（1－），根据求比一个数减少几分之几的数是多少，用乘法计算，求出减少后正方形的边长；再根据正方形的面积公式：正方形的面积＝边长×边长，分别求出减少前后正方形的面积，最后算出减少前后正方形面积的差值，再除以减少前正方形的面积，即可求出面积减少几分之几，据此解答。 【解答】假设这个正方形的边长是4厘米。 4×（1－） ＝4× ＝3（厘米） 4×4＝16（平方厘米） 3×3＝9（平方厘米） （16－9）÷16 ＝7÷16 ＝ 即面积减少。 故答案为：C 2．淘气家上个月的电费是36元，这个月比上个月节省了，这个月的电费是多少元？下图能正确表达题目意思的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，淘气家上个月的电费是36元，这个月比上个月节省了，是把上个月的电费看作单位“1”，先画一条线段表示上个月的电费，再把它平均分成4份，这个月的电费比上个月节省1份，据此画出表示这个月电费的线段长度，从各选项中找出能正确表达题目意思的线段图。 【解答】 A．，把这个月的电费看作单位“1”，平均分成4份，上个月比这个月节省了，不符合题意； B．，把上个月的电费看作单位“1”，平均分成4份，这个月比上个月节省了，符合题意； C．，把上个月的电费看作单位“1”，平均分成4份，这个月比上个月增加了，不符合题意； D．，把这个月的电费看作单位“1”，平均分成4份，上个月比这个月增加了，不符合题意。 故答案为：B 3．某小学共有950名学生，六年级人数占全校的，下面问题（    ）与算式950×（1－）相符合。 A．六年级有多少人？ B．其余年级有多少人？ C．其余年级比六年级多多少人？ D．其余年级比六年级少多少人？ 【答案】B 【分析】把全校总人数看作单位“1”，六年级人数占全校的，则其余年级人数占全校的（）；根据求一个数的几分之几是多少，用全校人数乘（）计算，所得结果即为其余年级的人数是多少人。 【解答】A．六年级有多少人，用（）计算，不符合题意； B．其余年级有多少人，用计算，符合题意； C．其余年级比六年级多多少人，用计算，不符合题意； D．其余年级人数占全校的（），六年级人数占全校的，其余年级的人数比六年级人数多，不符合题意。 故答案为：B 4．下面各式中，与的结果不相等的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分数乘法：分子和分子相乘的积作分子，分母和分母相乘的积作分母，能约分的先约分。 乘法分配律：a×b＋a×c＝a×（b＋c），乘法交换律：a×b＝b×a。 据此，将题中算式以及选项中算式的结果一一计算出来，再比较即可。 【解答】＝14 A． ＝ ＝ ＝14 B． ＝7＋7 ＝14 C． ＝ ＝ D． ＝ ＝ ＝14 所以，与的结果不相等的是。 故答案为：C 5．一件衣服售价100元，提价后，再降价销售，则现价（    ）。 A．100元 B．110元 C．99元 D．101元 【答案】C 【分析】将售价看作单位“1”，提价后，是售价的（1＋）；再将提价后的价格看作单位“1”，再降价，是提价后价格的（1－），售价×提价后对应分率×再降价后对应分率＝现价，据此列式计算。 【解答】100×（1＋）×（1－） ＝100×× ＝110× ＝99（元） 现价99元。 故答案为：C 二、填空题 6．学校轮滑社团有学生40人，参加烹饪社团的人数比轮滑社团的多，参加烹饪社团的学生有( )人。 【答案】55 【分析】把学校轮滑社团的学生人数看作“1”，则烹饪社团的学生是轮滑社团人数的（1＋），由此用乘法解答即可。 【解答】40×（1＋） ＝40× ＝55（人） 故参加烹饪社团的学生有55人。 7．水果店里原来有水果a千克，售出总数的后，又售出千克，共售出水果( )千克。 【答案】 【分析】先把原来的重量看成单位“1”，先售出了总重量的，用乘法求出先售出的重量，再加上后来售出的重量即可。 【解答】千克 所以共售出水果千克。 8．十一黄金周，游乐场第一天的门票收入为1260元，第二天比第一天增加了。第二天的门票收入是( )元。 【答案】1470 【分析】把游乐场第一天的门票收入看作单位“1”，则第二天的门票收入是第一天的（1＋），根据求一个数的几分之几是多少，用乘法解答，用1260×（1＋）列式解答。 【解答】1260×（1＋） ＝1260× ＝1470（元） 所以第二天的门票收入是1470元。 9．亮亮在计算时，将算式错看成，这样得到的结果与正确结果相差( )。 【答案】/ 【分析】，利用乘法分配律进行简算；，先算乘法，再算加法，据此分别计算出两个算式的结果，求差即可。 【解答】 这样得到的结果与正确结果相差。 10．笑笑计划3天看完一本140页的故事书。第一天看了全书的，第二天看的是第一天的，第三天还要看( )页才能看完这本故事书。 【答案】56 【分析】第一天看了全书的，第二天看的是第一天的，则第二天看了全书的×＝。把全书的总页数看作单位“1”，则第三天看的页数应是全书总页数的（1－－），已知总页数是140页，根据“求一个数的几分之几是多少，用乘法计算”，用140乘（1－－）即可求出第三天看的页数。 【解答】140×（1－－×） ＝140×（1－－） ＝140× ＝56（页） 则第三天还要看56页才能看完这本故事书。 三、计算题 11．看图列式计算。 【答案】160只 【分析】看图可知，白兔有120只，灰兔只数比白兔多，把白兔只数看作单位“1”，则灰兔只数是白兔的（1＋），单位“1”已知，用白兔只数乘（1＋），求出灰兔只数，据此列式计算。 【解答】120×（1＋） ＝120× ＝160（只） 灰兔有160只。 四、解答题 12．安装路灯惠民生，照亮乡村振兴路。幸福村原来有路灯65盏，为了进一步美化乡村环境、加强乡村建设，今年又新安装了一批路灯，现在路灯的数量比原来多了。幸福村现在一共有多少盏路灯？ 【答案】91盏 【分析】把原来的路灯数量看作单位“1”，则现在路灯的数量是原来的（1＋），已知幸福村原来有路灯65盏，根据“求一个数的几分之几是多少，用乘法计算”，用65乘（1＋）即可求出现在的路灯数量。 【解答】65×（1＋） ＝65× ＝91（盏） 答：幸福村现在一共有91盏路灯。 13．某化工厂每天产生27吨的工业污水，其中有经过处理，未经处理的污水有多少吨？ 【答案】2.7吨 【分析】将工业污水总吨数看作单位“1”，其中有经过处理，未经处理的污水占（1－），工业污水总吨数×未经处理的对应分率＝未经处理的污水吨数。 【解答】27×（1－） ＝27× ＝2.7（吨） 答：未经处理的污水有2.7吨。 14．实验小学举办“畅想2035”作品展，共120幅获奖作品，其中表现新农村变化的作品占全部获奖作品的，表现学校生活的作品占全部获奖作品的。表现新农村变化的作品数比表现学校生活的多多少幅？ 【答案】70幅 【分析】根据题意可知，表现新农村变化的作品比表现学校生活多的作品数占全部获奖的（－），根据分数乘法的意义，用120×（－）即可求出表现新农村变化的作品比表现学校生活多的作品数。 【解答】120×（－） ＝120×－120× ＝90－20 ＝70（幅） 答：表现新农村变化的作品数比表现学校生活的多70幅。 15．希望小学开辟“农耕园”，六年级学生共种植150棵西红柿，茄子比西红柿多种了，六年级学生种植了多少棵茄子？ （1）根据题意，画图表示茄子的种植数量。 （2）解答这个题目。 【答案】（1）图见详解； （2）180棵 【分析】（1）画一条线段表示西红柿的种植棵数，把它平均分成5份，1份表示，再画一条线段，比西红柿的份数多1份，多的1份表示茄子比西红柿多种了，据此画图； （2）把西红柿的种植棵数看作单位“1”，则茄子的种植棵数＝西红柿棵数×（1＋），求一个数的几分之几是多少，用乘法，据此代入数据解答。 【解答】（1）如图： （2）150×（1＋） ＝150× ＝180（棵） 答：六年级学生种植了180棵茄子。 学科网（北京）股份有限公司 $$