（新课衔接）专题08 分数混合运算（三）（知识梳理+预习检测）-2025-2026学年五升六数学暑假衔接培优讲义（北师大版）

暑假衔接培优讲义 编者的话​​ 亲爱的同学们、家长们： 随着2025-2026学年的脚步临近，小学阶段的学习即将迎来关键的转折点。五年级升入六年级，不仅是学习内容的深化，更是思维能力和学习方法的重要提升期。数学作为一门逻辑性强、应用广泛的学科，其知识体系的连贯性尤为突出。为了帮助同学们在暑假期间高效巩固已学知识、顺利衔接六年级的新内容，我们精心编写了这本《五升六数学暑假衔接培优讲义》。 本讲义以“夯实基础、拓展思维、前瞻预习”为目标，分为两大部分： ​​知识梳理：系统梳理前两个单元的核心知识点（圆、分数混合运算）。 ​​预习检测：围绕前两个单元内容，以课时为小阶段进行自我检测，作为学生预习后自我测评的同步练习。让同学们提前熟悉新知识，减少开学后的适应压力。 书中习题兼顾基础性与挑战性，既有对课本知识的精准覆盖，也有贴近生活实际的综合应用题，旨在培养数学建模能力和创新思维。建议同学们每天安排固定时间学习，先独立完成练习，再对照解析反思总结，逐步形成“温故—知新—内化”的良性循环。 教育学家怀特海曾说：“教育的核心，是让知识生动起来。”希望这本讲义能成为同学们探索数学世界的桥梁，让暑假的学习既充满收获的喜悦，又不失思维的乐趣。愿大家在金秋九月自信启航，迎接六年级的精彩挑战！ ​​ 玩转数学教研之家 2025年7月 2025-2026学年五升六数学暑假衔接培优讲义 专题08 分数混合运算（三）（知识梳理+预习检测） 1、解答“已知比一个数多（少）几分之几的数是多少，求这个数”时，一般用方程解答。 2、用方程解答有关“已知比一个数多（少）几分之几的数是多少，求这个数”的简单实际问 题时，先找出分数的单位“1”，一般设这个单位“1”为x。 3、用方程解决简单的有关分数的实际问题时，除了要找准单位“1”外，还要找出含有分率 的条件中所隐含的等量关系。 4、已知一个数的几分之几和另一部分是多少，求这个数，用列方程的方法解答，设这个数是x。 5、已知一个数的几分之几和另一部分是多少，求这个数时，我们可以用下面的两种方法解答：①设这个数为x，x－分率Xx=这个数的另一部分对应的数。②设这个数为x，（1－分率)×x=这个数的另一部分对应的数。 6、解答有关“已知一个数的部分量和另一部分量对应的分率，求这个数”时，要注意部分量 和分率之间的对应关系。 一、选择题 1．东汇城商场新购进480台电视机，（    ），新购进冰箱多少台？列式为480×（1＋）。 A．新购进的冰箱比电视机少 B．新购进的冰箱比电视机多 C．新购进的电视机比冰箱少 D．新购进的电视机比冰箱多 【答案】B 【分析】A选项把电视机数量看作单位“1”，新购进的冰箱数量是电视机的（1－），已知单位“1”用乘法，电视机的数量乘（1－）等于新购进的冰箱数量。 B选项把电视机数量看作单位“1”，新购进的冰箱数量是电视机的（1＋），已知单位“1”用乘法，电视机的数量乘（1＋）等于新购进的冰箱数量。 C选项把冰箱的数量看作单位“1”，新购进的电视机数量是冰箱的（1－），未知单位“1”用除法，电视机的数量除以（1－）等于新购进的冰箱数量。 D选项把冰箱的数量看作单位“1”，新购进的电视机数量是冰箱的（1＋），未知单位“1”用除法，电视机的数量除以（1＋）等于新购进的冰箱数量。 【解答】A．列式是480×（1－），不符合题意； B．列式是480×（1＋），符合题意； C．列式是480÷（1－），不符合题意； D．列式是480÷（1＋），不符合题意。 所以横线上应填的条件是：新购进的冰箱比电视机多。 故答案为：B 2．下列算式中符合下图意思的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把合唱队的人数看作单位“1”，舞蹈队的人数比合唱队的人数多，舞蹈队的人数占合唱队人数的（1＋），最后根据量÷对应的分率＝单位“1”求出合唱队的人数，据此解答。 【解答】400÷（1＋） ＝400÷ ＝400× ＝320（人） 所以，合唱队有320人。 故答案为：C 3．一瓶饮料，如果喝去饮料的，剩下的饮料连瓶共重800克；如果喝去饮料的，则剩下的饮料连瓶共重700克。瓶子重（    ）克。 A．240 B．320 C．360 D．400 【答案】D 【分析】把这瓶饮料原有的重量看作单位“1”，如果喝去饮料的，则还剩下它的1－＝；如果喝去饮料的，则还剩下它的1－＝；因为瓶子的重量不变，那么两次剩下的饮料相差（800－700）克占原来饮料的（－），单位“1”未知，根据分数除法的意义求出饮料原有的重量； 如果喝去饮料的，则还剩下它的，用饮料原有的重量乘，求出剩下的饮料重量，再用剩下的饮料连瓶的重量减去剩下的饮料重量，即是瓶子的重量。 【解答】1－＝ 1－＝ （800－700）÷（－） ＝100÷（－） ＝100÷ ＝100×6 ＝600（克） 600×（1－） ＝600× ＝400（克） 800－400＝400（克） 瓶子重400克。 故答案为：D 4．下列哪个问题解决对应算式。（    ） A．一件上衣成本价120元，比售价的低了，售价多少元？ B．李阿姨准备包120个饺子，已经包了，还要包多少个饺子？ C．五年级有120人，比六年级少，六年级有多少人？ D．笑笑看了一本书，已经看了，还有120页没看，这本书有多少页？ 【答案】B 【分析】A．将售价看作单位“1”，成本价是售价的，成本价÷对应分率＝售价； B．将准备包的饺子个数看作单位“1”，已经包了，还要包，准备包的个数×还要包的对应分率＝还要包的个数； C．将六年级人数看作单位“1”，五年级人数是六年级的，五年级人数÷对应分率＝六年级人数； D．将这本书的总页数看作单位“1”，已经看了，还有没看，没看的页数÷对应分率＝总页数。 【解答】A． （元） 售价元。 B． （个） 还要包105个饺子。 C． （人） 六年级有137人。 D． （页） 这本书有137页。 李阿姨准备包120个饺子，已经包了，还要包多少个饺子？问题解决对应算式。 故答案为：B 5．淘气家9月份用电350千瓦时，比8月份少用，8月份用电（    ）千瓦时。 A．250 B．100 C．1225 D．490 【答案】D 【分析】把8月份的用电量看作单位“1”，则8月份用电的（1－）等于9月份的用电量，单位“1”未知，用除法解答。 【解答】350÷（1－） ＝350÷ ＝350× ＝490（千瓦时） 所以8月份用电490千瓦时。 故答案为：D 二、填空题 6．淘气用一根跳绳测量课桌的长度，对折来量，跳绳比课桌长0.3米，三折来量，跳绳比课桌短0.2米，这根绳子长( )米。 【答案】3 【分析】根据题意，将这根绳子看作为单位“1”，将绳子对折，每段是原绳长的，将绳子三折，每段是原绳长的。根据题意可知，原绳长的比绳长的长（0.3＋0.2）米，据此用（0.3＋0.2）米除以与的差，即可求出绳子的长度。 【解答】（0.3＋0.2）÷（－） ＝0.5÷ ＝3（米） 所以这根绳子长3米。 7．在一个空杯里倒入水，水占这个杯子容积的。如果把这个杯子倒满水，那么还要倒入( )mL水。 【答案】840 【分析】把这个杯子的容积看作单位“1”，倒入杯子的水占这个杯子容积的，对应的是杯子里倒入的水的容积600mL，求单位“1”，用600÷，求出这个杯子的容积，再减去600mL，即可求出还要倒入水的容积，据此解答。 【解答】600÷－600 ＝600×－600 ＝1440－600 ＝840（mL） 在一个空杯里倒入水，水占这个杯子容积的。如果把这个杯子倒满水，那么还要倒入840mL。 8．一项工程，甲单独做30天完成，乙单独做10天完成。现在两人一起做了5天，乙有事走了，剩下的由甲单独完成，则甲还需要( )天完成。 【答案】10 【分析】把这项工程工作总量看作单位“1”，甲单独做30天完成，可知甲的效率为，乙单独做10天完成，乙的效率为，根据：工作时间×工作效率和＝工作总量，求出合作的工作量，再用“1”减去合作的工作量得到剩下工作量，再用工作总量÷甲的效率＝甲还需要的工作时间。 【解答】5×（＋） ＝5× ＝ （1－）÷ ＝×30 ＝10（天） 所以两人一起做了5天，乙有事走了，剩下的由甲单独完成，则甲还需要10天完成。 9．淘气和笑笑同去银行存零花钱，淘气的存款数是二人存款总钱数的。如果笑笑取出30元存入淘气的账号，那么这二人存款的钱数就相等，那么笑笑原来的存款是( )元。 【答案】180 【分析】把二人存款总钱数看作单位“1”，则笑笑的存款数是二人存款总钱数的（1－）。设二人存款总钱数是x元，则淘气的存款数是x元，笑笑的存款数是（1－）x元。如果笑笑取出30元存入淘气的账号，那么这二人存款的钱数就相等，说明笑笑的存款数比淘气多30×2＝60（元），由此可得等量关系式：笑笑的存款数－淘气的存款数＝60元，根据这个等量关系式列方程解答。求出二人存款总数后，用存款总数乘（1－），即可求出笑笑原来的存款是多少元。 【解答】解：设二人存款总钱数是x元。 （1－）x－x＝30×2 x－x＝60 x＝60 x×5＝60×5 x＝300 300×（1－） ＝300× ＝180（元） 则笑笑原来的存款是180元。 10．周末李华带了一些钱去文具店，买笔记本花去了，买钢笔又花了剩下的，还剩下18元。他一共带了( )元钱。 【答案】108 【分析】把李华带的钱数看作单位“1”，买笔记本花去了，剩下总钱数的（1－）。买钢笔又花了剩下的，则买钢笔花了总钱数的（1－）×＝。那么最后剩下总钱数的（1－－），已知最后剩下18元，根据“已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算”，用18除以（1－－）即可求出李华带的总钱数。 【解答】（1－）× ＝× ＝ 18÷（1－－） ＝18÷ ＝18×6 ＝108（元） 则他一共带了108元钱。 三、计算题 11．脱式计算，能简算的要简算。（要求写出简算过程）                                                【答案】；；168 7；28； 【分析】×7×，根据乘法结合律即可简便计算。 ×－×，根据乘法分配律的逆运算，原式化为：×（－），再进行计算。 28÷（－），先计算括号里的减法，再计算括号外的除法。 24×（＋－），根据乘法分配律，原式化为：24×＋24×－24×，再进行计算。 ÷＋×65，把除法换算成乘法，原式化为：×35＋×65，再根据乘法分配律的逆运算，原式化为：×（35＋65），再进行计算。 ÷[（－0.75）÷]，先计算小括号里的减法，再计算中括号里的除法，最后计算括号外的除法，据此解答。 【解答】×7× ＝×（7×） ＝×3 ＝ ×－× ＝×（－） ＝× ＝ 28÷（－） ＝28÷（－） ＝28÷ ＝28×6 ＝168 24×（＋－） ＝24×＋24×－24× ＝6＋4－3 ＝10－3 ＝7 ÷＋×65 ＝×35＋×65 ＝×（35＋65） ＝×100 ＝28 ÷[（－0.75）÷] ＝÷[（－）÷] ＝÷[（－）÷] ＝÷[÷] ＝÷[×] ＝÷ ＝×5 ＝ 四、解答题 12．“六月杨梅红树林，初凝一颗值千金”，美味营养的杨梅是我们兰溪的特产之一，某村杨梅今年比去年增产，增产11吨，去年杨梅产量有多少吨？（用方程解答） 【答案】55吨 【分析】把去年的产量看作单位“1”，根据分数乘法的意义，今年比去年增产，单位“1”乘可求出增产的吨数。据此，将去年的产量设为x吨，可以列出等量关系：今年比去年增产的×去年的产量＝增产的吨数，据此列方程即可。 【解答】由分析可得： 解：设去年的产量为x吨， x＝11 x÷＝11÷ x＝11×5 x＝55 答：去年杨梅产量有55吨。 【点评】本题考查了简单的列方程解应用题，关键是找准等量关系，根据题中已知条件写出等量关系式即可。 13．某粮店分三次运一批大米，第一次运了总数的，第二次运了总数的。第三次运走了剩下的520袋。这批大米共有多少袋？ 【答案】1200袋 【分析】把这批大米的总袋数看作单位“1”，用1减去第一次运的袋数占总袋数的分率，减去第二次运的袋数占总袋数的分率，求出剩下的袋数占总袋数的分率，对应的是520袋，用520除以剩下袋数占总袋数的分率，即可解答。 【解答】520÷（1－－） ＝520÷（－） ＝520÷（－） ＝520÷ ＝520× ＝1200（袋） 答：这批大米共有1200袋。 14．共享单车为居民提供了一种健康的生活方式。某共享单车公司2024年在某城市投放共享单车8400辆，比2023年多。据统计两年中投放的单车损坏数量是两年投放总和的。其中加私锁、损毁二维码的数量占；偷车、拆卸车座等情况的数量占。2025年公司计划先维修这两年中加私锁、损毁二维码的单车，再补充其余损坏的单车，需要补充多少辆？ 【答案】2200辆 【分析】把2023年投放共享单车的数量看作单位“1”，2024年投放共享单车的数量是2023年的（1＋），对应的是2024年投放共享单车8400辆，求单位“1”，用8400÷（1＋），求出2023年投放共享单车的数量；再把2024年投放共享单车的数量与2023年投放共享单车的数量相加，求出2024年和2023年一共投放共享单车的数量，把2024年和2023年一共投放共享单车的数量看作单位“1”，据统计两年中投放的单车损坏数量是两年投放总和的，把2024年和2023年一共投放共享单车的数量×，求出单车损坏数量；再把单车损坏数量看作单位“1”，加私锁、损毁二维码的数量占，用单车损坏数量×，求出加私锁、损毁二维码的数量，再用单车损坏数量－加私锁、损毁二维码的数量，即可解答。 【解答】8400÷（1＋） ＝8400÷ ＝8400× ＝7000（辆） （8400＋7000）× ＝15400× ＝3080（辆） 3080×＝880（辆） 3080－880＝2200（辆） 答：需要补充2200辆。 15．为丰富同学们的课后服务生活，各小学积极挖掘社会教育资源，开设了丰富多彩的社团活动。某学校六年级同学参加各类社团的情况如表： 社团类别 六年级参加社团人数情况 体育社团 是科技社团人数的 艺术社团 相当于体育社团人数的 科技社团 72人 （1）参加艺术社团的有多少人？ （2）科技社团包括两个项目：图形编程和创新小实验。其中，创新小实验项目人数是图形编程项目人数的。参加创新小实验项目的有多少人？ 【答案】（1）24人；（2）32人 【分析】（1）先把参加科技社团的人数看作单位“1”，求一个是数的几分之几用乘法，用参加科技社团的人数乘，求出参加体育社团的人数；再把参加体育社团的人数看作单位“1”，用参加体育社团的人数乘，即可求出参加艺术社团的有多少人； （2）设参加图形编程项目的人数为人，则参加创新小实验项目的人数为人，参加图形编程项目的人数参加创新小实验项目的人数参加科技社团的人数，据此列出方程解答即可。 【解答】（1） （人） 答：参加艺术社团的有24人。 （2）设参加图形编程项目的人数为人。 （人） 答：参加创新小实验项目的有32人。 学科网（北京）股份有限公司 $$暑假衔接培优讲义 编者的话​​ 亲爱的同学们、家长们： 随着2025-2026学年的脚步临近，小学阶段的学习即将迎来关键的转折点。五年级升入六年级，不仅是学习内容的深化，更是思维能力和学习方法的重要提升期。数学作为一门逻辑性强、应用广泛的学科，其知识体系的连贯性尤为突出。为了帮助同学们在暑假期间高效巩固已学知识、顺利衔接六年级的新内容，我们精心编写了这本《五升六数学暑假衔接培优讲义》。 本讲义以“夯实基础、拓展思维、前瞻预习”为目标，分为两大部分： ​​知识梳理：系统梳理前两个单元的核心知识点（圆、分数混合运算）。 ​​预习检测：围绕前两个单元内容，以课时为小阶段进行自我检测，作为学生预习后自我测评的同步练习。让同学们提前熟悉新知识，减少开学后的适应压力。 书中习题兼顾基础性与挑战性，既有对课本知识的精准覆盖，也有贴近生活实际的综合应用题，旨在培养数学建模能力和创新思维。建议同学们每天安排固定时间学习，先独立完成练习，再对照解析反思总结，逐步形成“温故—知新—内化”的良性循环。 教育学家怀特海曾说：“教育的核心，是让知识生动起来。”希望这本讲义能成为同学们探索数学世界的桥梁，让暑假的学习既充满收获的喜悦，又不失思维的乐趣。愿大家在金秋九月自信启航，迎接六年级的精彩挑战！ ​​ 玩转数学教研之家 2025年7月 2025-2026学年五升六数学暑假衔接培优讲义 专题08 分数混合运算（三）（知识梳理+预习检测） 1、解答“已知比一个数多（少）几分之几的数是多少，求这个数”时，一般用方程解答。 2、用方程解答有关“已知比一个数多（少）几分之几的数是多少，求这个数”的简单实际问 题时，先找出分数的单位“1”，一般设这个单位“1”为x。 3、用方程解决简单的有关分数的实际问题时，除了要找准单位“1”外，还要找出含有分率 的条件中所隐含的等量关系。 4、已知一个数的几分之几和另一部分是多少，求这个数，用列方程的方法解答，设这个数是x。 5、已知一个数的几分之几和另一部分是多少，求这个数时，我们可以用下面的两种方法解答：①设这个数为x，x－分率Xx=这个数的另一部分对应的数。②设这个数为x，（1－分率)×x=这个数的另一部分对应的数。 6、解答有关“已知一个数的部分量和另一部分量对应的分率，求这个数”时，要注意部分量 和分率之间的对应关系。 一、选择题 1．东汇城商场新购进480台电视机，（    ），新购进冰箱多少台？列式为480×（1＋）。 A．新购进的冰箱比电视机少 B．新购进的冰箱比电视机多 C．新购进的电视机比冰箱少 D．新购进的电视机比冰箱多 2．下列算式中符合下图意思的是（    ）。 A． B． C． D． 3．一瓶饮料，如果喝去饮料的，剩下的饮料连瓶共重800克；如果喝去饮料的，则剩下的饮料连瓶共重700克。瓶子重（    ）克。 A．240 B．320 C．360 D．400 4．下列哪个问题解决对应算式。（    ） A．一件上衣成本价120元，比售价的低了，售价多少元？ B．李阿姨准备包120个饺子，已经包了，还要包多少个饺子？ C．五年级有120人，比六年级少，六年级有多少人？ D．笑笑看了一本书，已经看了，还有120页没看，这本书有多少页？ 5．淘气家9月份用电350千瓦时，比8月份少用，8月份用电（    ）千瓦时。 A．250 B．100 C．1225 D．490 二、填空题 6．淘气用一根跳绳测量课桌的长度，对折来量，跳绳比课桌长0.3米，三折来量，跳绳比课桌短0.2米，这根绳子长( )米。 7．在一个空杯里倒入水，水占这个杯子容积的。如果把这个杯子倒满水，那么还要倒入( )mL水。 8．一项工程，甲单独做30天完成，乙单独做10天完成。现在两人一起做了5天，乙有事走了，剩下的由甲单独完成，则甲还需要( )天完成。 9．淘气和笑笑同去银行存零花钱，淘气的存款数是二人存款总钱数的。如果笑笑取出30元存入淘气的账号，那么这二人存款的钱数就相等，那么笑笑原来的存款是( )元。 10．周末李华带了一些钱去文具店，买笔记本花去了，买钢笔又花了剩下的，还剩下18元。他一共带了( )元钱。 三、计算题 11．脱式计算，能简算的要简算。（要求写出简算过程）                                                四、解答题 12．“六月杨梅红树林，初凝一颗值千金”，美味营养的杨梅是我们兰溪的特产之一，某村杨梅今年比去年增产，增产11吨，去年杨梅产量有多少吨？（用方程解答） 13．某粮店分三次运一批大米，第一次运了总数的，第二次运了总数的。第三次运走了剩下的520袋。这批大米共有多少袋？ 14．共享单车为居民提供了一种健康的生活方式。某共享单车公司2024年在某城市投放共享单车8400辆，比2023年多。据统计两年中投放的单车损坏数量是两年投放总和的。其中加私锁、损毁二维码的数量占；偷车、拆卸车座等情况的数量占。2025年公司计划先维修这两年中加私锁、损毁二维码的单车，再补充其余损坏的单车，需要补充多少辆？ 15．为丰富同学们的课后服务生活，各小学积极挖掘社会教育资源，开设了丰富多彩的社团活动。某学校六年级同学参加各类社团的情况如表： 社团类别 六年级参加社团人数情况 体育社团 是科技社团人数的 艺术社团 相当于体育社团人数的 科技社团 72人 （1）参加艺术社团的有多少人？ （2）科技社团包括两个项目：图形编程和创新小实验。其中，创新小实验项目人数是图形编程项目人数的。参加创新小实验项目的有多少人？ 学科网（北京）股份有限公司 $$