专项巩固训练卷(3)全等三角形的常用模型-【勤径学升】2025-2026学年新教材八年级上册数学全程时习测试卷（人教版2024）

参考答案及解析 9.证明：(1)如答图，在AB上取一点F,使AF=AC,连接EF. ∵AE,BE分别平分∠CAB,∠DBA, ∴∠CAE=∠FAE,∠EBF=∠EBD. ∵AC//BD,∴∠C+∠D=180°. 在△ACE和△AFE中， C E D e=;r A F B9题答图 ∴△ACE≌△AFE(SAS), ∴∠C=∠AFE, ∴∠AFE+∠D=180°. 又∵∠AFE+∠EFB=180°, ∴∠EFB=∠D. 在△BEF和△BED中， ∴△BEF≌△BED(AAS), ∴BF=BD. ∵AB=AF+BF, ∴AB=AC+BD. (2)∵△ACE≌△AFE,∴∠CEA=∠FEA. ∵△BEF≌△BED,∴∠FEB=∠DEB, ∠AEF+∠FEB=—(∠CEF+∠DEF)=2×180°=90°, ∴AE⊥BE. 10.(1)证明：如答图①,在l上截取AF=BD,连接CD,CF. ∵△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°,BD⊥l, ∴AC=BC,∠BDA=90°, ∴∠CBD+∠CAD=360°-∠BDA-∠ACB=360°-90°- 90°=180°, ∵∠CAF+∠CAD=180°,∴∠CBD=∠CAF. 在△CBD和△CAF中， 2 E A F D ∴△CBD≌△CAF(SAS), B C ∴CD=CF. 10题答图① 又∵CE⊥l,CE=CE,∴ Rt△CED≌Rt△CEF, DE=EF=2DF=2(DA+AF)=2(DA+DB), ∴DA+DB=2DE. (2)解：在题图②和题图③中，(1)的结论不成立. 答图②中，结论：DA-DB=2DE[截取AF=BD,证明方法 类似(1)]; 答图③中，结论：DB-DA=2DE[截取AF=BD,证明方法 类似(1)]. L l A A F D E E B C D B C F 10题答图② 10题答图③ 专项巩固训练卷(三) 全等三角形的常用模型 1.证明：∵AC//DF,∴∠CAB=∠FDE. ∵ BC//EF,∴∠CBA=∠FED. 在△ABC和△DEF中， ∴△ABC≌△DEF(ASA). 2.(1)证明：∵BC=BE+EC,EF=CF+EC,BE=CF, ∴BC=EF. ∵AB//DE,∴ ∠B=∠DEF. 在△ABC和△DEF中， ∴△ABC≌△DEF(SAS), ∴AC=DF. (2)解：∵△ABC≌△DEF,∴∠ACB=∠F, ∴DF//AC,∴∠D=∠EGC. 又∵∠D=55°,∴∠EGC=55°. 3.证明：在△ABD和△ACE中， ∴△ABD≌△ACE(SAS), ∴∠ABD=∠ACE. ∵∠ABC=∠ACB, ∴∠ABC-∠ABD=∠ACB-∠ACE, ∴∠OBC=∠OCB. 4.证明：(1)在△BPC和△DPC中， ∴△BPC≌△DPC(ASA). (2)∵△BPC≌△DPC,∴ BC=DC. 在△ABC和△ADC中， ∴△ABC≌△ADC(SAS), ∴AB=AD. 5.证明：∵BF=EC,∴ BF+FC=EC+FC,∴ BC=EF. ∵AC//DF,∴ ∠ACB=∠DFE. 在△BAC和△EDF中，”, ∴△BAC≌△EDF(SAS), ∴AB=DE. 6.证明：∵∠DAE=∠BAC, ∴∠DAE-∠DAC=∠BAC-∠DAC, 即∠CAE=∠BAD. 在△ABD和△ACE中， ·9· 全程时习测试卷·八年级数学·上册 =u ∴△ABD≌△ACE(SAS), ∴BD=CE. 7.(1)①证明：∵△ABC和△ADE都是等边三角形， ∴AB=AC=BC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=60°, ∴∠BAC-∠CAD=∠DAE-∠CAD,即∠BAD=∠CAE. 在△ABD和△ACE中， ∴△ABD≌△ACE(SAS), ∴BD=CE. ②证明：∵BC=BD+CD,AC=BC,∴AC=BD+CD. ∵BD=CE,∴AC=CE+CD. (2)解：AC=CE+CD不成立，AC,CE,CD之间存在的数量 关系是AC=CE-CD. 理由：∵△ABC和△ADE都是等边三角形， ∴AB=AC=BC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=60°, ∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD, ∴∠BAD=∠CAE. 在△ABD和△ACE中， ∴△ABD≌△ACE(SAS), ∴BD=CE,∴CE-CD=BD-CD=BC=AC, ∴AC=CE-CD. (3)解：补全图形如答图. A D B YC E 7题答图 AC,CE,CD之间存在的数量关系是AC=CD-CE. 8.解：(1)DE=AD-BE. 证明：∵AD⊥MN,BE⊥MN, ∴∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°, ∴∠ACD+∠BCE=∠BCE+∠CBE=90°, ∴∠ACD=∠CBE. 在△ADC和△CEB中， ∴△ADC≌△CEB(AAS), ∴AD=CE,DC=EB, ∴DE=CE-CD=AD-BE. (2)DE=BE-AD. 9.(1)证明：∵BD⊥m,CE1m, ∴∠BDA=∠CEA=90°, ∴∠BAD+∠ABD=90°. ∵∠BAC=90°,∴∠BAD+∠CAE=90°, ∴∠ABD=∠CAE. 又∵∠BDA=∠AEC,AB=CA,∴△ADB≌△CEA, ∴BD=AE,AD=CE,∴DE=AE+AD=BD+CE. (2)解：结论DE=BD+CE成立. 证明：∵∠BDA=∠BAC=α, ∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°-a, ∴∠ABD=∠CAE. 又∵∠BDA=∠AEC,AB=CA, ∴△ADB≌△CEA,∴ BD=AE,AD=CE, ∴DE=AE+AD=BD+CE. 10.解：如答图，延长AD,BC,相交于点F. ∵ BD平分∠ABC, ∴∠ABD=∠FBD. 又∵∠ADB=∠FDB=90°.BD=BD, ∴△BAD≌△BFD, ∴AD=DF,∴ AF=2AD=2a. ∵∠DAC+∠AED=90°, ∠EBC+∠BEC=180°-∠ACB=90°, ∠AED=∠BEC,∴∠DAC=∠EBC. 又∵∠ACF=∠BCE=90°,AC=BC, ∴△ACF≌△BCE,∴ BE=AF=2a. A D人E F C B 10题答图 11.证明：如答图，延长NC至点E,使CE=BM,连接DE. ∵∠ACD=90°, A ∴∠ECD=180°-∠ACD=90°. 在△BDM和△CDE中， , 0 M N B< C E D ∴△BDM≌△CDE(SAS), 11题答图 ∴∠CDE=∠BDM,DE=DM, ∴∠NDE=∠NDC+∠CDE=∠NDC+∠BDM=∠BDC- ∠MDN=120°-60°=60°. 在△DMN和△DEN中， ∴△DMN≌△DEN(SAS), ∴MN=EN=CE+CN=BM+CN. 第十五章 轴对称 基础过关检测卷 1.D 2.D 3.D 4.B 5.C 6.B 7.A 8.A 9.A 10.A [解析]如答图，延长BE到点F,使AF=AD,连接CF. 在△ABD和△ACF中，2 z△ABD≌ △ACF(SAS),∴∠F=∠D,BD=CF=6.∵∠D+∠BEC =180°,∠BEC+∠FEC=180°,∴∠D=∠FEC,∴∠F= ∠FEC,∴CF=CE=6.故选A. D F A E. B C 10题答图 11.(-3,5) 12.12 13.130°14.50 15.(-9,-3) 16.(0,3) 17.10 cm ·10· 见此图标眼即刻扫码 分层训练 助力学习进阶 专项巩固训练卷(三) 能径XLESHENG 全等三角形的常用模型 ?模型一 平移模型 1.如图，点A,B,D,E在同一条直线上，AB=DE,AC//DF,BC//EF. 求证：△ABC≌△DEF. C F A BD E 1题图 2.如图，点B,E,C,F在一条直线上，AB=DE,AB//DE,BE=CF. (1)求证：AC=DF; (2)若∠D=55°,求∠EGC的大小. A D ×G B E C F 2题图 ?模型二 对称模型 3.(重庆万州区期末)如图，已知AB=AC,AD=AE,∠ABC=∠ACB, BD与CE相交于点0.求证：∠OBC=∠OCB. E人 D 0 B C 3题图 4.如图，P为AC上任意一点，且∠1=∠2,∠3=∠4. (1)求证：△BPC≌△DPC; (2)求证：AB=AD. B A< P人 3 1 4 2C D 4题图 八年级数学 上册 第 13 页 ?模型三 旋转模型 角度1 不共顶点旋转模型 5.如图，AC//DF,AC=DF,BF=EC.求证：AB=DE. A B CF E ? 5题图 角度2 共顶点旋转模型(手拉手模型) 6.在△ABC中，AB=AC,D是边BC上一点，点E在AD的右侧，线段 AE=AD,且∠DAE=∠BAC.求证：BD=CE. A E B D C 6题图 ◎AI伴学老师 ◎知识巩固 ◎核心突破 ◎要点全览 即刻扫码 见此图标眼即刻扫码分层训练 助力学习进阶 7.已知△ABC为等边三角形，D为直线 BC上的一动点(点D不与点 B,C重合),以AD为边作等边△ADE(顶点A,D,E按逆时针方向 排列),连接CE. (1)如图①,当点D在边BC上时，求证： ①BD=CE;②AC=CE+CD; (2)如图②,当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论 AC=CE+CD是否成立?若不成立，请写出AC,CE,CD之间 存在的数量关系，并说明理由； (3)如图③,当点D在边BC的反向延长线上且其他条件不变时， 补全图形，并直接写出AC,CE,CD之间存在的数量关系. A E B DC F A E B CD F A D B C 7题图① 7题图② 7题图③ 模型四 三垂直模型 8.在△ABC中，∠ACB=90°,AC=BC,直线MN经过点C,且AD⊥MN 于点D,BE1MN于点E. (1)当直线MN绕点C旋转到图①的位置时，试问DE,AD,BE具 有怎样的等量关系?并加以证明； (2)当直线MN绕点C旋转到图②的位置时，DE,AD,BE具有怎样 的等量关系?(请直接写出这个等量关系，不需要证明) M C 分 A B E N\ 8题图① Mc E A B D N 8题图② ?模型五 一线三等角模型 9.(1)如图①,在△ABC中，∠BAC=90°,AB=AC,直线m经过点A,BD⊥ m,CE⊥m,垂足分别为D,E.求证：DE=BD+CE; (2)如图②,将(1)中的条件改为：在△ABC中，AB=AC,D,A,E三 点都在直线m上，并且有∠BDA= ∠AEC=∠BAC=α,其中α 为任意钝角，请问结论DE=BD+CE是否成立?若成立，请给 出证明过程；若不成立，请说明理由. C B D A Em 9题图① C B D A E m 9题图② ?模型六 角平分线模型 10.(福建龙岩期中)如图，在△ABC中，AC=BC,∠C=90°,BD平分 ∠ABC,AD⊥BD,AD=a.求BE的长. A D E C B 10题图 ?模型七 半角模型 11.如图，在四边形ABDC中，∠BDC=120°,∠ABD=∠ACD=90°, BD=CD,以D为顶点作一个度数为60°的角，它的两边交AB于 点M,交AC于点N,连接MN.求证：MN=BM+CN. A M V B C D 11题图 八年级数学 上册 第 14 页