2.2函数的表示法（题型专练）数学北师大版必修第一册

2.2函数的表示法 题型一：函数的表示方法 1．如图，是函数的图象上的三点，其中，则的值为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．已知函数由下表给出，则等于（ ） x 1 2 3 4 2 3 4 1 A．4 B．3 C．2 D．1 3．已知函数列表法表示如下，则下列说法正确的是（ ） 1 2 3 4 2 3 4 1 1 2 3 4 2 4 1 3 A． B． C． D． 4．设已知函数如下表所示：则不等式的解集为（ ） x 0 1 2 2 1 0 A． B． C． D． 题型二：求函数值 1．已知函数，则（ ） A．2 B．0 C．1 D．3 2．已知函数，则（ ） A．128 B．256 C．512 D．1024 3．设，则（ ） A． B． C． D． 4．已知函数，若，则（ ） A． B． C． D． 题型三：映射 1．下列从集合A到集合B的对应f是映射的是（ ） A． B． C． D． 2．设集合，，则下述对应法则中，不能构成A到B的映射的是（ ） A． B． C． D． 3．已知集合，，为定义在集合上的一个函数，那么该函数的值域的不同情况有（ ）种 A．4 B．6 C．7 D．9 4．已知集合，映射满足的映射的个数共有（ ）个 A．2 B．4 C．6 D．9 5．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文密文（加密），接收方由密文明文（解密），已知加密规则为：明文对应密文例如，明文对应密文当接收方收到密文时，则解密得到的明文为（ ） A． B． C． D． 题型四：待定系数法 1．已知是一次函数，且，，则（ ） A． B． C． D． 2．设为一次函数，且．若，则的解析式为（ ） A．或 B． C． D． 3．若二次函数满足，且，则的表达式为（ ） A． B． C． D． 4．已知二次函数满足，且的最大值是8，则此二次函数的解析式为（ ） A． B． C． D． 题型五：代入法 1．已知函数，则（ ） A． B． C． D． 2．函数满足若，则（ ） A． B． C． D． 3．若，且，则（ ） A．3 B． C． D． 4．某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选1名代表，当各班人数除以10的余数大于5时再增选1名代表.那么各班可推选的代表人数与该班人数之间的函数关系用取整函数（表示不大于的最大整数）可以表示为（ ） A． B． C． D． 题型六：换元法 1．已知函数，则（ ） A． B． C． D． 2．已知，则的解析式为（ ）. A． B． C． D． 3．已知，则函数的值域为（ ） A． B． C． D． 题型七：配凑法 1．已知，则（ ） A． B． C． D． 2．若函数，且，则实数的值为（ ） A． B．或 C． D．3 3．已知，则函数的值为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．已知，求的表达式为______________________. 题型八：解方程组法 1．已知，求的表达式为______________________. 2．已知满足，求的解析式为____________________． 3．已知满足，求的解析式为________________________． 4．已知定义在上的函数满足，，则等于（ ） A．33 B．32 C．31 D．30 题型九：赋值法 1．写出一个满足：的函数解析式为_______________. 2．设函数满足，且对任意，都有，则=_________________. 3．设是定义在上的函数，且满足对任意等式恒成立，则的解析式为________________． 4．设为常数，，，则（ ） A． B． C．满足条件的不止一个 D．恒成立 题型十：迭代法 1．已知函数，且，，则函数的一个解析式为_____________. 2．设，又记，，，2，3，，则（ ） A． B． C． D． 3．设，记，若，则（ ） A． B． C． D． 4．设函数，记，，…，，则（ ） A． B． C． D． 题型一：函数求值的关系 1．已知函数，则（ ） A． B． C． D． 2．若，则下列等式中组成立的是（ ） A． B． C． D． 3．（多选）设，则下列结论成立的是（ ） A． B．（） C． D．（） 4．（多选）设函数的定义域为，若，，则称为“循环函数”．下列函数中，为“循环函数”的有（ ） A． B． C． D． 题型二：分段函数的图象和性质 1．（多选）已知函数，则下列关于函数的结论正确的是（ ） A． B．若，则x的值是 C．的解集为 D．的值域为 2．（多选）函数，被称为狄利克雷函数，则下列结论成立的是（ ） A．若，则 B． C．若，则 D．函数的值域为 3．（多选）对任意两个实数，定义，若，下列关于函数的说法正确的是（ ） A． B．方程有三个解 C．当时，有 D．函数有最大值为，无最小值 4．给定函数，，． (1)在同一直角坐标系中画出函数，的图象； (2)，用表示，中的较大者，记为．请分别用图象法和解析法表示函数． 1．已知二次函数满足． (1)求的解析式； (2)若对于，恒成立，求的取值范围． 2．已知二次函数满足条件，及. (1)求的解析式； (2)解不等式. 3．已知二次函数，满足，． (1)求函数的解析式； (2)若函数在区间上最小值为5，求实数的值． 4．已知二次函数的图像与直线只有一个交点，且满足，． (1)求二次函数的解析式； (2)若对任意，，恒成立，求实数m的范围． 5 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.2函数的表示法 题型一：函数的表示方法 1．如图，是函数的图象上的三点，其中，则的值为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据图象先计算出的值，然后再计算出的值. 【详解】由图象可知，所以， 故选：D. 2．已知函数由下表给出，则等于（ ） x 1 2 3 4 2 3 4 1 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据函数的对应关系，求得，再求，即可求得答案. 【详解】由已知，得， 所以. 故选：B. 3．已知函数列表法表示如下，则下列说法正确的是（ ） 1 2 3 4 2 3 4 1 1 2 3 4 2 4 1 3 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合表格中的数据，代入即可得到正确答案. 【详解】由表格得，，，， 则，， ，， 因此，只有C选项正确. 故选：C. 4．设已知函数如下表所示：则不等式的解集为（ ） x 0 1 2 2 1 0 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的概念求解即可. 【详解】由，得或或， 当时，， 当时，， 当时，， 综上所述，不等式的解集为. 故选：A. 题型二：求函数值 1．已知函数，则（ ） A．2 B．0 C．1 D．3 【答案】A 【分析】根据分段函数特点逐步代入即可. 【详解】. 故选：A. 2．已知函数，则（ ） A．128 B．256 C．512 D．1024 【答案】B 【分析】根据分段函数解析式，分别代入数值计算即可求解. 【详解】由题意， . 故选：B. 3．设，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用分段函数的性质代入求解即可. 【详解】因为，所以， 则，故B正确. 故选：B 4．已知函数，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分段函数，分，，由求解. 【详解】因为函数，且， 当时，，即， 解得或， 当时，，无解， 综上：， 所以， 故选：A 题型三：映射 1．下列从集合A到集合B的对应f是映射的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据映射的定义逐个分析判断即可 【详解】A选项：集合A中的在集合B中有3、4两个数与它对应，故A选项错误； B选项：集合A中的在集合B中没有元素与它对应，故B选项错误； C选项：集合A中的在集合B中有3、5两个数与它对应，故C选项错误； D选项：集合A中的每一个元素在集合B中都有唯一的元素与它对应，故D选项正确. 故选：D 2．设集合，，则下述对应法则中，不能构成A到B的映射的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】按照映射的定义，一个对应能构成映射的条件：中的每个元素在集合中都有唯一的确定的一个元素与之对应．判断题中各个对应是否满足映射的定义，从而得到结论． 【详解】对于对应，当时，，在集合任取一个值， 在集合中都有唯一的一个值与之对应，故选项中的对应能构成映射． 对于对应，当时，，在集合任取一个值，在集合中都有唯一的一个值与之对应，故选项中的对应能构成映射． 对于对应，当时，，在集合任取一个值，在集合中都有唯一的一个值与之对应，故选项中的对应能构成映射． 对于对应，当时，，显然不在集合中，不满足映射的定义，故选项中的对应不能构成到的映射． 故选：． 3．已知集合，，为定义在集合上的一个函数，那么该函数的值域的不同情况有（ ）种 A．4 B．6 C．7 D．9 【答案】B 【分析】根据函数的定义，分类讨论，即可求解. 【详解】由集合，，f：为定义在集合上的一个函数， 根据函数的定义知： 若函数是一对一对应，则函数的值域可能为，三种情况； 若函数是二对一对应，则函数的值域可能为，三种情况， 所以函数的值域的不同情况有种. 故选：B. 4．已知集合，映射满足的映射的个数共有（ ）个 A．2 B．4 C．6 D．9 【答案】D 【解析】根据映射的定义结合求解. 【详解】因为集合，若是映射，且， 所以，共3种， ，共3种， 所以这样的映射的个数共有个， 故选：D 5．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文密文（加密），接收方由密文明文（解密），已知加密规则为：明文对应密文例如，明文对应密文当接收方收到密文时，则解密得到的明文为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设解密得到的明文为，根据加密规则求出的值即可． 【详解】设明文为， 根据密文14，9，23，28，得到，，，， 解得：，，，， 则得到的明文为6，4，1，7． 故选：． 题型四：待定系数法 1．已知是一次函数，且，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意设函数，列出方程组，求得的值，即可求解. 【详解】由题意，设函数， 因为，， 所以，， 则，解得， 所以. 故选：D. 2．设为一次函数，且．若，则的解析式为（ ） A．或 B． C． D． 【答案】B 【分析】设，根据已知条件可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，再结合可得出、的值，即可得出函数的解析式. 【详解】设，其中，则， 所以，，解得或. 当时，，此时，合乎题意； 当时，，此时，不合乎题意. 综上所述，. 故选：B. 3．若二次函数满足，且，则的表达式为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，，根据得到，再根据得到，，从而得到函数的解析式. 【详解】设，， ∵，则， 又∵， 令，则，∴，即，， 令，则，，即，， ∴，，. 故选：D. 4．已知二次函数满足，且的最大值是8，则此二次函数的解析式为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件设二次函数为，代入条件求解即可. 【详解】根据题意，由得:图象的对称轴为直线， 设二次函数为， 因的最大值是8，所以，当时，， 即二次函数， 由得:，解得：， 则二次函数， 故选：A. 题型五：代入法 1．已知函数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由得． 故选：B． 2．函数满足若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对的式子适当变形，即可直接求出. 【详解】因为， 所以，则. 故选：A. 3．若，且，则（ ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】应用换元法求函数解析式即可. 【详解】因为,,则 设即 则,即 所以 故选:. 4．某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选1名代表，当各班人数除以10的余数大于5时再增选1名代表.那么各班可推选的代表人数与该班人数之间的函数关系用取整函数（表示不大于的最大整数）可以表示为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】可分余数为和两种情况分别表示出班级人数和代表人数关系式，再推理即可判断得答案. 【详解】设各班人数除以10的余数为， 当时，，，， ； 当时，，，， ， 所以所求的函数关系为. 故选：B 题型六：换元法 1．已知函数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用换元法令求解析式，注意的取值范围． 【详解】令，则，因为，则， ， 所以． 故选：B． 2．已知，则的解析式为（ ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，求得可得的解析式，再求即可. 【详解】令，解得 所以， 则， . 故选：B. 3．已知，则函数的值域为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用换元法求得函数解析式，进而求出函数的值域. 【详解】设，则，则， 因此，， 所以函数的值域为. 故选：C 题型七：配凑法 1．已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用配凑法求出函数解析式. 【详解】依题意，，显然， 所以. 故选：B 2．若函数，且，则实数的值为（ ） A． B．或 C． D．3 【答案】B 【分析】令，配凑可得，再根据求解即可 【详解】令（或），，，，. 故选；B 3．已知，则函数的值为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【解析】配方可得，即得出解析式，求出. 【详解】， . 故选：D. 4．已知，求的表达式为______________________. 【答案】或 【分析】先对进行因式分解为为相关式子，然后借助换元法替换即可； 【详解】 ， 令，由双勾函数的性质可得或， ，或 题型八：解方程组法 1．已知，求的表达式为______________________. 【答案】 【分析】在原式中用替换，得，与原式联立方程组，求解即可. 【详解】在原式中用替换，得， 于是有， 消去，得． ∴所求函数的表达式为. 2．已知满足，求的解析式为____________________． 【答案】； (2) 【分析】用-代替，消去即可. 【详解】因为，① 用-代替，得，② 由①×3-②×2得， 所以. 3．已知满足，求的解析式为________________________． 【答案】 【分析】构造方程组即可求解析式； 【详解】将代入，得， 因此，解得． 4．已知定义在上的函数满足，，则等于（ ） A．33 B．32 C．31 D．30 【答案】D 【分析】先令和代入已知等式可得，进而得到①；再结合已知等式得到②，解方程组①②得到解析式可得. 【详解】令，则， 令，则，则，所以①． 所以，则， 又因为，所以，，所以②． ①－②，得，所以．所以． 故选：D． 题型九：赋值法 1．写出一个满足：的函数解析式为_______________. 【答案】 【分析】赋值法得到，，求出函数解析式. 【详解】中，令，解得， 令得，故， 不妨设，满足要求. 故答案为： 2．设函数满足，且对任意，都有，则=_________________. 【答案】2021 【解析】利用赋值法求出的解析式，即可求解. 【详解】令，得， 令得，即， 所以， 所以， 故答案为：2021 3．设是定义在上的函数，且满足对任意等式恒成立，则的解析式为________________． 【答案】 【分析】通过令代入即可求解 【详解】是定义在上的函数，且对任意，恒成立， 令，得，故． 此时 ， 符合题设要求. 故答案为： 4．设为常数，，，则（ ） A． B． C．满足条件的不止一个 D．恒成立 【答案】D 【分析】利用赋值法逐一对各选项进行验证. 【详解】令，可得， 因为，所以，故选项A不正确； 令，得， 代入，得， 原等式变形为，故选项B不正确； 在中， 令，得，即函数取值非负， 令，得，所以， 即恒成立，满足条件的只有一个， 故选项D正确，C不正确. 故选:D. 题型十：迭代法 1．已知函数，且，，则函数的一个解析式为_____________. 【答案】（不唯一） 【分析】根据所给条件，利用累乘法及换元法即可得解. 【详解】由题意，， 累乘可得，即， 令，则， 所以， 故答案为：（不唯一） 2．设，又记，，，2，3，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意计算可知，数列是一个周期为的周期数列，即可解出． 【详解】根据题意，，则，， ，则，故， 故选：． 3．设，记，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依次计算，可归纳出为周期函数． 【详解】依题意，则， ，，， ∴是周期函数，且周期为4， ∴． 故选：A． 4．设函数，记，，…，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的解析式及函数定义,依次求得，由规律即可求得的解析式. 【详解】函数， 则， ， ， ， 所以 故选：A 题型一：函数求值的关系 1．已知函数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据解析式代入验证即可. 【详解】因为，而， 所以. 故选：C 2．若，则下列等式中组成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别求解得到的表达式即可求解. 【详解】解：， 则, 故即． 故选：A． 3．（多选）设，则下列结论成立的是（ ） A． B．（） C． D．（） 【答案】AB 【分析】代入计算出，，判断出ABD；而，C错误. 【详解】A选项，，A正确； BD选项，（），B正确，D错误； C选项，，显然，C错误 故选：AB 4．（多选）设函数的定义域为，若，，则称为“循环函数”．下列函数中，为“循环函数”的有（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据“循环函数”的概念逐项判断即可. 【详解】若，则，得为“循环函数”，故A正确； 若，则，得不是“循环函数”，故B错误； 若，则，得为“循环函数”，故C正确； 若，则，得为“循环函数”，故D正确. 故选：ACD. 题型二：分段函数的图象和性质 1．（多选）已知函数，则下列关于函数的结论正确的是（ ） A． B．若，则x的值是 C．的解集为 D．的值域为 【答案】ABD 【分析】将代入，得，将代入，可知A正确；分别在和的情况下，根据解析式构造不等式和方程可判断BC正误；分别在和的情况下，结合一次函数和二次函数的值域求法可知D正确. 【详解】对于A，因为，则， 所以，故A正确； 对于B，当时，，解得：（舍）； 当时，，解得：（舍）或； 的解为，故B正确； 对于C，当时，，解得：； 当时，，解得：； 的解集为，故C错误； 对于D，当时，； 当时，； 的值域为，故D正确. 故选：ABD. 2．（多选）函数，被称为狄利克雷函数，则下列结论成立的是（ ） A．若，则 B． C．若，则 D．函数的值域为 【答案】BD 【分析】根据函数解析式判断A、D，利用特殊值判断B、C. 【详解】因为， 对于A：，则，所以，则，故A错误； 对于B：当，则，则，故B正确； 对于C：若，，则，满足，但是，故C错误； 对于D：因为，所以函数的值域为，故D正确. 故选：BD 3．（多选）对任意两个实数，定义，若，下列关于函数的说法正确的是（ ） A． B．方程有三个解 C．当时，有 D．函数有最大值为，无最小值 【答案】ABD 【分析】根据题意求出函数，再对选项逐个判断即可. 【详解】当，即或时，， 当，即时，， 则， 对于A，，故A正确； 对于B，当或时，令，解得， 当时，令，解得，方程有三个解，故B正确； 对于C，当或时，令，解得或， 当时，令，解得或， 综上所述，当时，有，故C错误； 对于D，当或时，令，无最小值， 当时，， 综上，函数有最大值为2，无最小值，故D正确. 故选：ABD. 4．给定函数，，． (1)在同一直角坐标系中画出函数，的图象； (2)，用表示，中的较大者，记为．请分别用图象法和解析法表示函数． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）根据一次函数和二次函数的图象特征画图即可； （2）根据题意可得的图象，再结合图象求解即可. 【详解】（1）同一直角坐标系中函数，的图象如下： （2）结合的定义，可得函数的图象： 由，得，解得，或． 由图易知的解析式为. 1．已知二次函数满足． (1)求的解析式； (2)若对于，恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法，设，结合题中条件，即可求出的解析式； （2）参变分离后，不等式化为，求得的最大值即可. 【详解】（1）设二次函数， 因为， 所以， 化为， 所以， 所以 （2）若对于，恒成立， 即，恒成立， 又， 故当时，， 故的取值范围为 2．已知二次函数满足条件，及. (1)求的解析式； (2)解不等式. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）设，，利用已知条件列出方程，求出，，即可得到解析式． （2）依题意可得，再分、、三种情况讨论，分别求出不等式的解集. 【详解】（1）设，， 则， 又，， 所以，恒成立， ，解得，所以； （2）不等式，即， 即，即， 当时,解得， 当时,解得， 当时,解得， 综上可得,当时,不等式的解集为， 当时,不等式的解集为， 当时,不等式的解集为. 3．已知二次函数，满足，． (1)求函数的解析式； (2)若函数在区间上最小值为5，求实数的值． 【答案】(1)． (2)或 【分析】（1）由，得，再由待定系数法得出函数的解析式； （2）先由对称轴结合最值得出或，进而分类讨论这两种情况，结合二次函数的单调性得出实数的值． 【详解】（1）解：由，得， 由，得， 故，解得， 所以. （2）由（1）得：， 则的图象的对称轴方程为， 最小值，故或（即或） 当时，最小值，解得， 当时，最小值，解得. 综上或. 4．已知二次函数的图像与直线只有一个交点，且满足，． (1)求二次函数的解析式； (2)若对任意，，恒成立，求实数m的范围． 【答案】(1) (2)或或； 【分析】（1）由已知可得二次函数的对称轴和最值，设出函数解析式，再由求得结论； （2）由的单调性得出的最小值，而关于的不等式是一次（时）的，只要和时成立即可，由此可解得的范围； 【详解】（1）因为， 所以由二次函数的性质可得的图像关于对称， 又二次函数的图像与直线只有一个交点， 所以可设 又因为，解得， 所以． （2）由（1）得 在区间单调递增， 即在时恒成立， 且 或或. 5 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$