第八章 重点突破5 二面角的平面角的常见解法-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套课件PPT（人教A版）

该高中数学课件聚焦“空间直线、平面的垂直”单元重点，系统讲解二面角平面角的定义法、垂面法、三垂线法、射影面积法四种解法，通过技法分类搭建学习支架，衔接空间垂直关系旧知，引导学生逐步掌握解题思路。 其亮点在于以直观想象和数学运算为核心，每个技法配套具体演示、典例解析及对点练习，如射影面积法通过面积比求二面角，培养逻辑推理能力。分层评价体系帮助巩固，学生可提升空间观念与解题能力，教师能高效开展专题教学。

重点突破5 二面角的平面角的常见解法 　 第八章 单元学习十　空间直线、平面的垂直 学习目标 1.掌握二面角的定义及其平面角的作法. 2.会使用定义法、垂面法、垂线法、射影面积法求二面角的 大小，培养直观想象和数学运算的核心素养. 技法一　定义法(棱上一点双垂线法) 1 技法二　垂面法(空间一点垂面法) 2 技法三　三垂线法(面上一点双垂线法) 3 课时分层评价 6 技法四　射影面积法 4 内容索引 随堂评价 5 技法一　定义法(棱上一点双垂线法) 返回 1.方法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别过该点作垂直于棱的射线. 2.具体演示：如图所示，以二面角的棱a上的任意一点O为端点，在两个面内分别作垂直于a的两条射线OA，OB，则∠AOB为此二面角的平面角. 如图，在三棱锥V-ABC中，VA＝AB＝VB＝AC＝BC＝2，VC＝，求二面角V-AB-C的大小. 解：取AB的中点D，连接VD，CD， 因为在△VAB中，VA＝VB＝AB＝2， 所以△VAB为等边三角形， 所以VD⊥AB且VD＝. 同理CD⊥AB，CD＝， 所以∠VDC为二面角V-AB-C的平面角， 而△VDC是等边三角形，∠VDC＝60°， 所以二面角V-AB-C的大小为60°. 典例 1 规律方法 　　利用二面角的定义，在二面角的棱上找点，过点在两个平面内作棱的垂线，两垂线所成的角就是二面角的平面角，解题时应先找平面角，再证明，最后在三角形中求平面角. 对点练1.二面角α-l-β的大小为60°，A，B分别在两个面内且A和B到棱的距离分别为2和4，且AB＝10，求AB与棱l所成角的正弦值. 解：如图所示，作AC⊥l，BD⊥l，C，D为垂足， 则AC＝2，BD＝4，AB＝10. 在β内过C作CE∥DB，且CE＝DB，连接BE，AE， 所以四边形CEBD为平行四边形，所以BE∥l， 所以∠ABE为AB与棱l所成的角. 因为BD∥CE，所以l⊥CE， 所以∠ACE为α-l-β的平面角， 所以∠ACE＝60°，又AC＝2，CE＝BD＝4， 所以AE＝＝2. 又BE∥l，l⊥平面ACE，所以BE⊥平面ACE， 又AE⊂平面ACE， 所以BE⊥AE，所以sin ∠ABE＝＝＝. 返回 技法二　垂面法(空间一点垂面法) 返回 1.方法：过空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角. 2.具体演示：过二面角内一点A作AB⊥α于B，作AC⊥β于C，平面ABC交棱a于点O，则∠BOC就是二面角的平面角. 如图所示，α∩β＝CD，P为二面角内部一点. PA⊥α，PB⊥β，垂足分别为A，B.若△PAB为等边三 角形，求二面角α-CD-β的大小. 解：因为所以CD⊥平面PAB， 设平面PAB与棱CD交于点E，连接BE，AE，则易得CD ⊥BE，CD⊥AE， 典例 2 如图，则∠BEA即为所求二面角的平面角. 因为△PAB为等边三角形，所以∠APB＝60°， 所以∠BEA＝120°. 故二面角α-CD-β的大小为120°. 规律方法 　　如果存在一个平面与二面角的棱垂直，且与二面角的两个半平面都相交，那么这两条交线所成的角(或其补角)即为该二面角的平面角. 对点练2.如图，在三棱锥S -ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分SC且分别交AC，SC于点D，E，SA＝AB，SB＝BC，求 二面角E-BD-C的大小. 解：因为SB＝BC且E是SC的中点， 所以BE是等腰三角形SBC底边SC的中线， 所以SC⊥BE. 又已知SC⊥DE，BE∩DE＝E，BE，DE⊂平面BDE，所以SC⊥平面BDE. 因为BD⊂平面BDE，所以SC⊥BD. 又SA⊥平面ABC，BD⊂平面ABC， 所以SA⊥BD， 而SC∩SA＝S，SC，SA⊂平面SAC， 所以BD⊥平面SAC. 因为平面SAC∩平面BDE＝DE， 平面SAC∩平面BDC＝DC， 所以BD⊥DE，BD⊥DC， 所以∠EDC是所求二面角的平面角. 因为SA⊥底面ABC，所以SA⊥AB，SA⊥AC. 设SA＝2，则AB＝2，BC＝SB＝2. 因为AB⊥BC，所以AC＝2，所以∠ACS＝30°. 又已知DE⊥SC，所以∠EDC＝60°. 即所求的二面角等于60°. 返回 技法三　三垂线法(面上一点双垂线法) 返回 1.方法：自二面角的一个面上一点向另外一个面作垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点(即斜足)，斜足和面上一点的连线与斜足和垂足的连线所夹的角，即为二面角的平面角. 2.具体演示：在平面α内选一点A向另一个平面β作垂线AB，垂足为B，再过点B向棱a作垂线BO，垂足为O，连接AO，则∠AOB就是二面角的平 面角. 在四棱锥P-ABCD中，ABCD是平行四边形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝a，∠ABC＝30°，求二面角P-BC-A的正切值. 解：如图所示，PA⊥平面ABCD，又BC⊂平面ABCD，故PA⊥BC，过A作AH⊥BC于H，连接PH. 因为PA∩AH＝A，PA，AH⊂平面PAH，所以BC⊥平面PAH. 又PH⊂平面PAH，则PH⊥BC. 又AH⊥BC， 故∠PHA是二面角P-BC-A的平面角. 在Rt△ABH中，AH＝ABsin ∠ABC＝asin 30°＝； 在Rt△PHA中，tan ∠PHA＝＝＝2. 典例 3 规律方法 　　如果两个平面相交，有过一个平面内的一点与另一个平面垂直的垂线，也可过这一点作棱的垂线，连接两个垂足，应用三垂线定理可证明两垂足的连线与棱垂直，那么就可以找到二面角的平面角. 对点练3.在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，PA⊥平面ABCD，PA＝，那么二面角A-BD-P的大小为 A.30° B.45° C.60° D.75° √ 作AO⊥BD交BD于点O，连接PO，如图所示.因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD.因为PA∩AO＝A，所以BD⊥平面PAO，所以PO⊥BD，所以∠AOP即为所求二面角A-BD-P的平面角.因为AO＝＝，所以tan ∠AOP＝＝，故二面角A-BD-P的大小为30°.故选A. 返回 技法四　射影面积法 返回 方法：已知平面β内一个多边形的面积为S，它在平面α内的射影图形的面积为S射影，平面α和平面β所成的锐二面角的大小为θ，则cos θ＝. 如图，已知四棱锥S -ABCD的底面是边长为1的正方形，SD⊥平面AC，SB＝.求平面ASD与平面BSC所成的二面角的大小. 解：因为SD⊥平面AC，CD⊂平面AC， 所以SD⊥CD. 又因为四边形ABCD是正方形， 所以AD⊥CD. 而AD∩SD＝D，AD，SD⊂平面ASD， 所以CD⊥平面ASD. 又AB∥CD，所以AB⊥平面ASD. 所以△SBC在平面SAD内的射影是△SAD， 设它们的面积分别为S和S'，平面所成的二面角为 θ. 典例 4 同理可得BC⊥平面SDC，所以BC⊥SC. 因为∠SCB＝90°，BC＝1，SB＝， 所以SC＝＝， SD＝＝1， 所以S＝BC·SC＝，S'＝AD·SD＝， cos θ＝＝，故θ＝. 所以平面ASD与平面BSC所成的二面角的大小为. 规律方法 　　当题中要求的二面角是无棱二面角时，有时平面角很难找出，此时利用射影面积法求解可能会相对简便. 对点练4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，K∈BB1，M∈CC1，且BK＝BB1，CM＝CC1，求平面AKM与平面ABCD所成二面角的余弦值. 解：如图所示，连接AC，AM，则△ABC是△AKM在平 面ABCD上的射影， 设△AKM所在平面与平面ABCD所成二面角的平面角为θ. 设正方体棱长为4， 因为AK＝＝， AM＝＝， KM＝＝， 解三角形可得，S△AKM＝2， 所以cos θ＝＝＝. 返回 随堂评价 返回 1.如图所示，将等腰直角△ABC沿斜边BC上的高AD折成一个二面角，使得∠B'AC＝60°.则这个二面角的大小是 A.30° B.60° C.90° D.120° √ 因为AD是等腰直角△ABC斜边BC上的高，所以BD＝DC＝AC，∠ADC＝∠ADB＝90°，因此∠B'DC是二面角的平面角.又因为∠B'AC＝60°，连接B'C(图略)，所以△B'AC是等边三角形.因此B'C＝AB'＝AC，所以在△B'DC中，∠B'DC＝90°.故选C. 2.如图，在一个二面角的棱上有两个点A，B，线段AC，BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，AB＝4 cm，AC＝6 cm，BD＝8 cm，CD＝2 cm，则这个二面角的大小为 A.30° B.60° C.90° D.120° √ 如图所示，过点A作AE∥BD且AE＝BD，连接CE，DE，则AB＝DE＝4 cm，AE⊥AB，即∠CAE为二面角的平面角.由题意得AE＝BD＝8 cm，AC＝6 cm，又AB⊥AC，AC∩AE＝A，所以AB⊥平面ACE，所以AB⊥CE，因为DE∥AB，所以DE⊥CE，所以CE2＝CD2－DE2＝52.由余弦定理，得cos ∠CAE＝＝＝，则∠CAE＝60°，即这个二面角的大小为60°.故选B. 3.已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为2，则侧面与底面所成的二面角的大小为______. 60° 正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为2，则底面边长为2，底面积为12，所以正四棱锥的高为3，所以侧面与底面所成的二面角的正切值为，故所求的二面角为60°. 4.已知在如图所示的四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD且BC＝CD＝1，AD＝，则二面角B -CD-A的正切值为___. 1 因为AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，所以AB⊥CD.又 BC⊥CD，且AB∩BC＝B，所以CD⊥平面ABC，所以CD ⊥AC，所以∠ACB为二面角B-CD-A的平面角.因为BC⊥ CD，所以BD＝＝.因为AB⊥平面BCD， 所以AB⊥BC，AB⊥BD，所以AB＝＝1，在Rt△ABC中，tan ∠ACB＝＝1. 返回 课时分层评价 返回 1.如图，AB是圆的直径，PA垂直于圆所在的平面，C是圆上一点(不同于A，B)且PA＝AC，则二面角P-BC-A的大小为 A.60° B.30° C.45° D.15° √ 由条件得，PA⊥BC，AC⊥BC，又PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，所以BC⊥平面PAC，所以BC⊥PC，所以∠PCA为二面角P-BC-A的平面角.在Rt△PAC中，由PA＝AC得∠PCA＝45°.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.如图，在长方体ABCD -A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，CC1＝，则二面角C1-BD-C的大小为 A.30° B.45° C.60° D.90° √ 因为AB＝AD＝2，CC1＝，所以取BD的中点O，连接C1O，CO(图略)，则∠C1OC即为二面角C1-BD-C的平面角，由CO＝，tan ∠C1OC＝＝知，∠C1OC＝30°.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.如图，正方体ABCD -A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为棱AD，BC的中点，则二面角C1-EF-C的余弦值为 A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 在正方体ABCD -A1B1C1D1中，AB⊥平面B1BCC1，E，F分别为棱AD，BC的中点，所以EF∥AB，所以EF⊥平面B1BCC1，所以EF⊥FC1，EF⊥FC，所以∠CFC1就是二面角C1-EF-C的平面角，cos ∠CFC1＝＝＝＝.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，PA＝1，则侧面PCD与底面ABCD所成的二面角的大小是 A.30° B.45° C.60° D.90° √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以CD⊥PA.又底面ABCD是正方形，所以CD⊥AD.又PA∩AD＝A，所以CD⊥平面PAD，所以CD⊥PD，可知∠PDA为侧面PCD与底面ABCD所成的二面角的平面角.在Rt△PAD中，由PA＝AD＝1，可得∠PDA＝45°.即侧面PCD与底面ABCD所成的二面角的大小是45°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.如图，将正方形A1BCD折成直二面角A-BD-C，则二面角A-CD-B的余弦值为 A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为以正方形A1BCD的对角线BD为棱折成直二面 角，所以平面ABD⊥平面BCD，连接A1C与BD相交 于点O，连接AO，如图所示，则AO⊥BD.因为平 面ABD∩平面BCD＝BD，AO⊂平面ABD，所以AO ⊥平面BCD.取CD的中点M，连接OM，AM，则OM∥BC，所以OM⊥CD，AM⊥CD，所以∠AMO即为所求二面角的平面角.不妨设正方形A1BCD的边长为2，则AO＝，OM＝1，所以AM＝＝.所以cos ∠AMO＝＝.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(多选)如图，在棱长为1的正方体中，下列结论正确的是 A.异面直线AC与BC1所成的角为60° B.直线AB1与平面ABC1D1所成的角为45° C.二面角A-B1C-B的正切值为 D.三棱锥D1-AB1C的外接球的体积为π √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图所示，连接AO，对于A，平移直线BC1到直线AD1， 则∠D1AC为异面直线AC与BC1所成的角，显然△AD1C 为正三角形，所以∠D1AC＝60°，故A正确；对于B， 因为B1O⊥BC1，B1O⊥AB，AB∩BC1＝B，所以B1O⊥ 平面ABC1D1，所以∠B1AO为直线AB1与平面ABC1D1所成的角.因为AO＝，B1O＝，所以tan ∠B1AO＝，所以∠B1AO＝30°，故B错误； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于C，在△AB1C中，AO⊥B1C，所以∠AOB为二面角A-B1C-B的平面角，tan ∠AOB＝＝，故C正确；对于D，利用补形法，即三棱锥的外接球为正方体的外接球，所以R＝，所以V＝R3＝π，故D正确.故选ACD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.如图，在长方体ABCD -A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝4，AA1＝2，则二面 角C-BB1-D的正切值是____. 由长方体的特点可知，BB1⊥平面ABCD.又BC⊂平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以BC⊥BB1，BD⊥BB1，所以∠CBD即为二面角C-BB1-D的平面角.又CD＝AB＝3，BC＝AD＝4，BC⊥CD，所以tan ∠CBD＝＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都相等，则二面角A1-BC-A的 平面角的正切值为_____. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设棱长为a，BC的中点为E，连接A1E，AE(图略)，由正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都相等，可得A1E⊥BC，AE⊥BC，所以二面角A1-BC-A的平面角为∠A1EA.在Rt△ABE中，AE＝＝a，所以tan ∠A1EA＝＝＝，即二面角A1-BC-A的平面角的正切值为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.在四面体ABCD中，已知棱AC的长为，其余各棱长都为1，则二面角 A-CD-B的余弦值为_____. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由已知可得AD⊥DC.又由其余各棱长都为1，得△BCD 为正三角形，取CD的中点E，连接BE，如图所示，则 BE⊥CD.在平面ADC中，过E作AD的平行线交AC于点 F，则EF⊥DC，∠BEF为二面角A-CD-B的平面角.因为 EF＝AD＝，BE＝，又易知AB⊥BC，BF＝AC＝，所以cos ∠BEF＝＝＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.(13分)如图，几何体ABCDE中，△ABC是正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且AE＝AB＝2，DC＝1，F，G分别是EB和AB的中点，求二面角B -FC-G的正切值. 解：设二面角B-FC-G的大小为θ， 根据题易证EA⊥AB，EA⊥CG，EA∥GF， 所以BG⊥GF，GF⊥CG， 在Rt△BGF中，可得BF＝. 又△ABC是正三角形，所以GC＝， 在Rt△CGF中可得CF＝2，又BC＝2，在△BCF中BF边上的高为， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以S△BFC＝××＝. S△FCG＝××1＝. 又BG⊥平面FCG，所以△FCG为△BFC在平面GFC上的射影， 所以cos θ＝＝＝，所以tan θ＝. 所以二面角B-FC-G的正切值为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.如图所示，在△ABC中，AD⊥BC，△ABD的面积是△ACD的面积的2倍.沿AD将△ABC翻折，使翻折后BC⊥平面ACD，此时二面角B-AD-C的大小为 A.30° B.45° C.60° D.90° √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由已知得AD·BD＝AD·CD×2，即BD＝2CD.翻折后，易知BC⊥CD.在Rt△BCD中，cos ∠BDC＝＝，所以∠BDC＝60°.而AD⊥BD，AD⊥CD，故∠BDC是二面角B-AD-C的平面角，其大小为60°.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.在正四棱锥V-ABCD中，底面边长为2，侧棱长为，则二面角V-AB-C的大小为_____. 60° 如图所示，连接AC，BD交于点O，连接VO，则VO⊥平 面ABCD，取AB的中点E，连接VE，OE，则VE⊥AB， OE⊥AB，所以∠VEO是二面角V-AB-C的平面角.由题 意，知OE＝1，VE＝2，所以cos ∠VEO＝＝，所以 ∠VEO＝60°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.将边长为1的正方形ABCD沿对角线AC折叠，使得点B和D的距离为1， 则二面角B-AC-D的大小为___. 如图所示，设翻折前AC与BD相交于点O，则OB⊥AC， OD⊥AC，而翻折之后的图形如图所示，所以∠BOD为 二面角B-AC-D的平面角.因为OB＝OD＝，BD＝1， 所以△BOD为等腰直角三角形，且∠BOD＝，所以二面角B -AC-D的大小为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.(15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点. (1)求PB和平面PAD所成的角的大小； 解：在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD， 故PA⊥AB. 又AB⊥AD，PA∩AD＝A，从而AB⊥平面PAD， 故PB在平面PAD内的射影为PA， 从而∠APB为PB和平面PAD所成的角. 在Rt△PAB中，AB＝PA，故∠APB＝45°， 所以PB和平面PAD所成的角的大小为45°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)证明：AE⊥平面PCD； 解：证明：在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，故CD⊥PA. 又CD⊥CA，PA∩CA＝A，PA，CA⊂平面PAC， 所以CD⊥平面PAC. 又AE⊂平面PAC，所以CD⊥AE. 因为AB＝BC，∠ABC＝60°，所以AC＝AB， 所以PA＝AC. 又E为PC的中点，所以AE⊥PC. 又CD∩PC＝C，CD，PC⊂平面PCD， 所以AE⊥平面PCD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (3)求二面角A-PD-C的正弦值. 解：过E作EM⊥PD于M，连接AM，如图所示. 则AM⊥PD，所以∠AME即二面角A-PD-C的平面角. 设PA＝a，则AE＝a. 在四边形ABCD中，∠CAD＝30°，所以AD＝a，则PD＝＝a. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 在Rt△PAD中，AM＝＝a， sin ∠AME＝＝. 所以二面角A-PD-C的正弦值为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.(5分)如图，已知正三棱锥P-ABC的底面边长为2，侧棱长为4，则二面 角A-PB-C的余弦值为_____. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图所示，过点A作AD⊥PB于点D，连接CD.因为△PAB ≌△PCB，所以CD⊥PB，即∠ADC是二面角A-PB-C的平 面角.在△PAB中，S△PAB＝PB·AD＝AB· ⇒AD＝，即CD＝AD＝，所以cos ∠ADC＝＝，即二面角A-PB-C的余弦值为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.(17分)如图，在三棱台ABC-A1B1C1中，A1B1与A1C， B1C1都垂直，已知AB＝3，A1A＝AC＝5. (1)求证：平面A1BC⊥平面ABC； 解：证明：因为A1B1与A1C，B1C1都垂直，由棱台的性 质得AB∥A1B1，BC∥B1C1， 所以AB⊥BC，AB⊥A1C. 又BC∩A1C＝C，BC，A1C⊂平面A1BC，所以AB⊥平面A1BC. 又AB⊂平面ABC，所以平面A1BC⊥平面ABC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)直线A1B与底面ABC所成的角θ为多少时，二面角A1-AC-B的余弦值为？ 解：由(1)知，平面A1BC⊥平面ABC.如图所示，过A1作A1D⊥BC于D， 因为平面A1BC∩平面ABC＝BC，A1D⊂平面A1BC， 所以A1D⊥平面ABC， 所以∠A1BD是A1B与平面ABC所成的角，即∠A1BD＝θ. 作DE⊥AC于E，连接A1E， 因为A1D⊥平面ABC，AC⊂平面ABC， 所以A1D⊥AC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 又A1D∩DE＝D，A1D，DE⊂平面A1DE，所以AC⊥平面A1DE. 因为A1E⊂平面A1DE，所以AC⊥A1E， 则∠A1ED为二面角A1-AC-B的平面角. 在Rt△ABC中，易得BC＝4. 在Rt△A1DB中，A1B＝4，A1D＝4sin θ，BD＝4cos θ，DC ＝4－4cos θ. 由Rt△ABC∽Rt△DEC，得＝， 则DE＝＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为cos ∠A1ED＝， 所以tan ∠A1ED＝＝， 即＝， 于是，sin θ＋cos θ＝，则2sin (θ＋)＝， 因为0≤θ≤，所以θ＝. 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 谢 谢 观 看 ！ 第 八 章 　 立 体 几 何 初 步 返回 $