二 4 三角形的尺规作图-【通成学典】2025年新教材七年级数学暑期升级训练（冀教版2024）

78 4　三角形的尺规作图 1. 只用直尺(没有刻度)和圆规可以画出一些 图形,这种画图的方法被称为 . 2. 由三角形全等的判定可以得知,利用每一种 判定两个三角形全等的条件(SSS,SAS, ASA,AAS),都只能作出 的三 角形. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 典例1(长春中考改编)如图,在△ABC 中,O 是边AB 的中点.按下列要求作图:① 以点B 为圆心、适当长为半径画弧,交线段BO 于点 D,交BC 于点E;② 以点O 为圆心、BD 长为 半径画弧,交线段OA 于点F;③ 以点F 为圆 心、DE 长为半径画弧,交前一条弧于点G,点G 与点C 在直线AB 同侧;④ 作直线OG,交AC 于点M.下列结论中,不一定成立的是 ( ) 典例1图 A. ∠AOM=∠B B. ∠OMC+∠C=180° C. ∠BOM=∠A+∠C D. ∠C=2∠B 根据作图过程,连接 DE,FG.先判定 △DBE≌△FOG,从而得到相等的角,进而得 到直线OM∥BC,由此作出选择. 解答: 解有所悟:根据全等三角形的判定可以“作一个角 等于已知角”,利用“同位角相等,两直线平行”或 “内错角相等,两直线平行”,可以过一点作一条直 线与另一条直线平行. 典例2 如图所示为∠α和线段b,求作一个等腰 三角形,使其底角∠A=∠α,腰长AB=b(保留 作图痕迹,不写作法). 典例2图 先作出∠MAN=∠α;再在AM 上截取 AB=b;然后以点B 为圆心、线段b的长为半径 画弧,交AN 于点C,最后连接BC,即可得到所 求作的等腰三角形. 解答: 解有所悟:用尺规作图时,作图的步骤及顺序并不 是唯一的,要根据所给条件,选择简单、便捷、准确 的步骤. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(冀教版)七年级 拍 照 批 改 79 [基础过关] 1. (北京中考)下面是“作一个角使其等于 ∠AOB”的尺规作图方法:① 如图,以点O 为圆心、任意长为半径画弧,分别交OA,OB 于点C,D;② 作射线O'A',以点O'为圆心、 OC 长为半径画弧,交O'A'于点C',以点C' 为圆心、CD 长为半径画弧,两弧交于点D'; ③ 过点 D'作射线O'B',则∠A'O'B'= ∠AOB.上述方法可通过判定△C'O'D'≌ △COD 得到∠A'O'B'=∠AOB,其中判定 △C'O'D'≌△COD 的依据是 ( ) A. 三边分别相等的两个三角形全等 B. 两边及其夹角分别相等的两个三角形 全等 C. 两角及其夹边分别相等的两个三角形 全等 D. 两角分别相等且其中一组等角的对边相 等的两个三角形全等 第1题 第2题 2. (武汉中考)如图,小美同学按如下步骤作四 边形ABCD:① 画∠MAN;② 以点A 为圆 心、1个单位长度为半径画弧,分别交AM, AN 于点B,D;③ 分别以点B,D 为圆心、 1个单位长度为半径画弧,两弧交于点C; ④ 连接BC,CD,BD.若∠A=44°,则∠CBD 的度数为 ( ) A. 64° B. 66° C. 68° D. 70° 3. 已知线段a,求作等边三角形ABC,使AB= a,作法如下:① 作射线AM;② 连接AC, BC;③ 分别以点A,B 为圆心、a 为半径画 弧,两弧交于点C;④ 在射线AM 上截取 AB,使AB=a.下列选项中,合理的顺序为 ( ) A. ①②③④ B. ①④②③ C. ①④③② D. ②①④③ 4. 已知线段a,b,且a>b,画射线AE,在射线 AE 上顺次截取AB=BC=CD=a,在线段 AD 上截取AF=b,则线段FD= . 5. 如图,△ABC 是不等边三角形,DE=BC,以 D,E 为 两 个 顶 点 作 与 △ABC 全 等 的 △DEF,这 样 的 △DEF 最 多 可 以 作 出 个. 第5题 6. (教材P60做一做第2题变式)如图,△ABC 被墨迹污染了,请你重新作一个△A1B1C1, 使△A1B1C1≌△ABC(保留作图痕迹,不写 作法). 第6题 [综合提升] 答案讲解 7. 如图所示为△ABC,求作△OMN, 使∠MON =∠ABC,OM =BC, MN=AC(保留作图痕迹,不写 作法). 第7题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 22 和△CBD 中,∵ AB=CB, ∠ABE=∠CBD, BE=BD, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABE≌△CBD (SAS).(2) ∵ AB=CB,∠ABC=90°,∴ △ABC 是等腰 直角三角形.∴ ∠BAC=∠ACB=45°.∵ △ABE≌△CBD, ∴ ∠AEB=∠CDB.∵ ∠AEB=∠ACB+∠CAE= 45°+30°=75°,∴ ∠CDB=75°. 第2课时　“角边角”“角角边” 知识梳理 1. 夹边 ASA 2. 角角边 AAS 3. 平移 旋转 典例演练 典例 1 ∵ AB⊥AC,AD⊥AE,∴ ∠BAC=90°, ∠DAE=90°.∴ ∠BAE+∠CAE=∠BAE+∠BAD= 90°.∴ ∠CAE = ∠BAD.在 △ABD 和 △ACE 中, ∵ ∠ABD=∠ACE, AB=AC, ∠BAD=∠CAE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABD ≌ △ACE (ASA). ∴ BD=CE. 典例 2 ∵ ∠BAC=90°,BD⊥AN,∴ ∠BAD + ∠CAE=90°,∠ABD+∠BAD=180°-∠BDA=90°. ∴ ∠CAE=∠ABD.∵ BD⊥AN,CE⊥AN,∴ ∠BDA= ∠AEC=90°.在△ABD 和△CAE中,∵ ∠BDA=∠AEC, ∠ABD=∠CAE, AB=CA, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABD≌△CAE(AAS).∴ BD=AE,AD=CE. ∵ DE=AE-AD,∴ DE=BD-CE. 预学训练 1. C 2. B 3. D 4. C 5. 20 6. ∵ ∠1=∠2,∴ ∠1+∠EAC=∠2+∠EAC,即 ∠BAC = ∠DAE. 在 △ABC 和 △ADE 中, ∵ ∠BAC=∠DAE, AC=AE, ∠C=∠E, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABC≌△ADE(ASA). 7. ∵ DE∥AC,∴ ∠EDB=∠C.在△BDE 和△ACB 中,∵ ∠E=∠ABC, ∠EDB=∠C, BD=AC, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △BDE ≌ △ACB (AAS). ∴ DE=BC. 8. ∵ ∠BCE+ ∠ECF= ∠ECF+ ∠B'CF =90°, ∴ ∠BCE=∠B'CF.根据题意,得∠B=∠B'=60°, BC=B'C.在△BCE和△B'CF 中,∵ ∠B=∠B', BC=B'C, ∠BCE=∠B'CF, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △BCE≌△B'CF(ASA). 9. B 10. B 11. D 解析:∵ AB⊥CD,CE⊥AD,BF⊥AD, ∴ ∠AFB=∠CED=90°,∠A+∠D=∠C+∠D= 180°-90°=90°.∴ ∠A=∠C.在△ABF 和△CDE 中, ∵ ∠AFB=∠CED, ∠A=∠C, AB=CD, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABF ≌ △CDE (AAS). ∴ AF=CE=a,BF=DE=b.∵ EF=c,DF=DE- EF=b-c,∴ AD=AF+DF=a+(b-c)=a+b-c. 12. ∵ ∠1=∠2,∴ ∠1+∠DAC=∠2+∠DAC,即 ∠BAC=∠DAE.又∵ ∠2+∠AFE+∠E=180°,∠3+ ∠DFC+∠C=180°,∠2=∠3,∠AFE=∠DFC,∴ ∠E= ∠C.在 △ABC 和 △ADE 中,∵ ∠C=∠E, ∠BAC=∠DAE, AB=AD, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABC≌△ADE(AAS).∴ AC=AE. 13. (1) ∵ BF∥AE,∴ ∠EAM=∠FBM.在△AME 和 △BMF 中,∵ ∠EAM=∠FBM, ∠AME=∠BMF, EM=FM, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △AME≌△BMF (AAS).∴ AE =BF.(2) ∵ △AME ≌ △BMF, ∴ ∠AEM=∠BFM=90°.∴ ∠AEC=∠BFD=90°.在 △AEC和△BFD 中,∵ ∠AEC=∠BFD, AE=BF, ∠CAE=∠DBF, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △AEC≌ △BFD(ASA).∴ EC=FD.∴ EC-CF=FD-CF,即 EF=CD=4.∵ EM=FM,∴ EM=12EF=2. 4　三角形的尺规作图 知识梳理 1. 尺规作图 2. 唯一 典例演练 典例1 D 典例2 如图,△ABC即为所求作. 典例2图 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 23 预学训练 1. A 2. C 3. C 解析:已知线段a,求作等边三角形ABC,使AB= a,作法如下:作射线AM;在射线AM 上截取AB,使AB= a;分别以点A,B 为圆心、a为半径画弧,两弧交于点C; 连接AC,BC.故合理的顺序为①④③②. 4. 3a-b 5. 4 6. 如图,△A1B1C1即为所求作. 第6题 7. 如图,△OMN 和△OMN'即为所求作. 第7题 全等三角形预学检测 一、 1. D 2. B 3. A 4. A 5. B 6. C 7. C 8. C 9. B 10. D 11. A 解析:在△ABC 中,AB-AC<BC<AB+AC,即 12-8<BC<12+8,4<BC<20.如图,延长AD 至点E,使 AD=DE,连接BE.∵ AD 是△ABC 的边BC 上的中线, ∴ BD=CD.在△ACD 和△EBD 中,∵ CD=BD, ∠ADC=∠BDE, AD=DE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ACD≌△EBD(SAS).∴ BE=AC.在△ABE 中, AB-BE<AE<AB+BE,即AB-AC<AE<AB+ AC,12-8<AE<12+8,即4<AE<20.∵ AE=2AD, ∴ 2<AD<10. 第11题 12. A 解析:∵ ∠AOB=∠COD=108°,∴ ∠AOB+ ∠AOD= ∠COD + ∠AOD,即 ∠BOD = ∠AOC.在 △AOC 和△BOD 中,∵ OA=OB, ∠AOC=∠BOD, OC=OD, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △AOC≌ △BOD(SAS).∴ AC=BD.故甲正确.∵ △AOC≌ △BOD,∴ ∠OCM = ∠MDO.∵ ∠CMD =180°- (∠MDC+ ∠MCD)=180°- (∠MDO + ∠ODC+ ∠MCD),∠COD=180°-(∠OCD+∠ODC)=180°- (∠OCM+∠MCD+∠ODC).∴ ∠CMD=∠COD.故 乙错误.综上所述,甲正确,乙错误. 二、 13. 4或5 14. 92 15. (1) 答案不唯一,如2 (2) 60° 16. 16 FD⊥AC 解析:∵ E 为AB 的中点,∴ AE= BE.∵ BF∥AC,∴ ∠EBF=∠A.在△BFE 和△ADE 中,∵ ∠EBF=∠A, BE=AE, ∠BEF=∠AED, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △BFE≌△ADE(ASA). ∴ BF=AD.∴ 四边形FBCD 的周长=BF+FD+ CD+BC=AD+CD+FD+BC=AC+BC+FD=11+ FD.∵ 当FD⊥AC 时,FD 的长最小,易得此时FD= BC=5,∴ 四边形FBCD 周长的最小值是11+5=16. 三、 17. ∵ △ABC 为等边三角形,∴ ∠ABD=∠C= 60°,AB=BC.在△ABD 和△BCE 中,∵ AB=BC, ∠ABD=∠C, BD=CE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABD≌△BCE(SAS).∴ AD=BE. 18. 连接AD.在△BAD 和△CDA 中,∵ AB=DC, DB=AC, AD=DA, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △BAD≌△CDA(SSS).∴ ∠B=∠C. 19. 如图,△ABC即为所求作. 第19题 20. (1) BD =BC.∵ ED ⊥AB,∴ ∠EFB=90°. ∴ ∠FEB+∠ABC=180°-∠EFB=90°.∵ ∠ACB= 90°,∴ ∠A+∠ABC=180°-∠ACB=90°.∴ ∠A= ∠FEB.在△ACB 和△EBD 中,∵ ∠ACB=∠EBD, ∠A=∠DEB, AB=DE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈