二 3 第2课时“角边角”“角角边”-【通成学典】2025年新教材七年级数学暑期升级训练（冀教版2024）

75 第2课时 “角边角”“角角边” 1. 如果两个三角形的两个角和它们的 分别相等,那么这两个三角形全等.可简记 为“角边角”或“ ”. 2. 如果两个三角形的两角分别相等且其中一 组等角的对边相等,那么这两个三角形全 等.可简记为“ ”或“ ”. 3. 在两个全等三角形中,有些图形具有特殊的 位置关系,即其中一个三角形是由另一个三 角形经过 或 (有时是两种 变化)得到的. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 典例1 如图,AB=AC,AB⊥AC,AD⊥AE,且 ∠ABD=∠ACE.求证:BD=CE. 典例1图 先根据同角的余角相等得到∠CAE= ∠BAD,从而由“ASA”得到△ABD≌△ACE, 最后得到BD=CE. 解答: 解有所悟:证明两个三角形全等时常用的等角有: ① 公共角;② 对顶角;③ 等角加(或减)等角;④ 同 角或等角的余(或补)角;⑤ 由角的平分线得到的两 个角;⑥ 由垂直得到的角;⑦ 由平行线得到的同位 角或内错角. 典例2 如图,在直角三角形 ABC 中,AB= AC,∠BAC=90°,过点A 作直线AN,分别过 点B,C 作BD⊥AN 于点D,CE⊥AN 于点E. 求证:DE=BD-CE. 典例2图 由题图,可知DE=AE-AD,故要想证 明DE=BD-CE,则要证明BD=AE,AD= CE,且BD,AD 和AE,CE 分别在△ABD 和 △CAE 中,故要证明这两个三角形全等. 解答: 解有所悟:证明线段(或角)相等往往转化为证明线 段(或角)所在的两个三角形全等;证明线段的和差 问题,通常采用的方法有等量代换法和截长补 短法. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 拍 照 批 改 76 [基础过关] 1. 如图,一名工作人员不慎将一块三角形模具 打碎成三块,他要带其中一块或两块碎片到 商店去配一块与原来一样的三角形模具,要 想最省事,他应带的碎片序号为 ( ) 第1题 A. ① B. ② C. ③ D. ①③ 2. 如图,AC=CD,∠B=∠E=90°,AC⊥CD, 下列结论中,不一定正确的是 ( ) 第2题 A. ∠A 与∠D 互为余角 B. ∠1=∠2 C. △ABC≌△CED D. ∠A=∠2 3. (凉山中考)如图,点E,F 在边BC 上,BE= CF,∠B=∠C,添加一个条件,不能证明 △ABF≌△DCE 的是 ( ) A. ∠A=∠D B. ∠AFB=∠DEC C. AB=DC D. AF=DE 第3题 第4题 4. 如图,点O 在AD 上,∠A=∠C,∠AOC= ∠BOD,AB=CD,AD=6,OB=2,则OC 的长为 ( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 5. 强强用10块高度都是2cm的相同的长方体 小木块,垒了两堵与地面垂直的木墙,木墙 之间刚好可以放进一把三角尺(如图,AC= BC,∠ACB=90°),点C 在DE 上,点A,B 分别与木墙的顶端重合,则两堵木墙之间的 距离为 cm. 第5题 6. 如图,AC=AE,∠C=∠E,∠1=∠2.求 证:△ABC≌△ADE. 第6题 7. (淮安中考)如图,D 为线段BC 上一点, BD=AC,∠E=∠ABC,DE∥AC. 求证: DE=BC. 第7题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(冀教版)七年级 77 答案讲解 8. 将两把大小相同的含30°角的三角尺 (∠BAC=∠B'A'C=30°)按如图① 所示的方式放置,固定三角尺A'B'C, 将三角尺ABC 绕直角顶点C 按顺时针方向 旋转(旋转角小于90°)至如图②所示的位 置,AB与A'C相交于点E,AC与A'B'相交 于点 F,AB 与 A'B'相交 于 点 O,求 证: △BCE≌△B'CF. 第8题 [综合提升] 9. 如图,AB∥DC,AE∥DF,CE=BF,∠BAE= 89°,则∠CDF的度数为 ( ) A. 45° B. 89° C. 90° D. 65° 第9题 第10题 10. 如图,在△ABC 中,AB=AC,AB>BC,点 D 在边BC 上,CD=2BD,点E,F 在线段 AD 上,∠1=∠2=∠BAC.若△ABC 的面 积为21,则△CAF 与△BDE 的面积之 和为 ( ) A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 11. 如图,AB⊥CD,且AB=CD,CE⊥AD, BF⊥AD,垂足分别为E,F.若CE=a, BF=b,EF=c,则AD 的长为 ( ) 第11题 A. a+c B. b+c C. a-b+c D. a+b-c 12. 如图,点E 在△ABC 外部,点D 在边BC 上,DE 交AC 于点F.若∠1=∠2=∠3, AD=AB,求证:AC=AE. 第12题 答案讲解 13. 如图,M 是线段AB 上的一点,ED 是过点M 的一条线段,连接AE, BD,过点B 作BF∥AE,交ED 于 点F,且EM=FM. (1) 求证:AE=BF. (2) C 是线段ED 上一点,连接 AC.若 ∠AEC=90°,∠CAE=∠DBF,CD=4,求 EM 的长. 第13题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 22 和△CBD 中,∵ AB=CB, ∠ABE=∠CBD, BE=BD, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABE≌△CBD (SAS).(2) ∵ AB=CB,∠ABC=90°,∴ △ABC 是等腰 直角三角形.∴ ∠BAC=∠ACB=45°.∵ △ABE≌△CBD, ∴ ∠AEB=∠CDB.∵ ∠AEB=∠ACB+∠CAE= 45°+30°=75°,∴ ∠CDB=75°. 第2课时　“角边角”“角角边” 知识梳理 1. 夹边 ASA 2. 角角边 AAS 3. 平移 旋转 典例演练 典例 1 ∵ AB⊥AC,AD⊥AE,∴ ∠BAC=90°, ∠DAE=90°.∴ ∠BAE+∠CAE=∠BAE+∠BAD= 90°.∴ ∠CAE = ∠BAD.在 △ABD 和 △ACE 中, ∵ ∠ABD=∠ACE, AB=AC, ∠BAD=∠CAE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABD ≌ △ACE (ASA). ∴ BD=CE. 典例 2 ∵ ∠BAC=90°,BD⊥AN,∴ ∠BAD + ∠CAE=90°,∠ABD+∠BAD=180°-∠BDA=90°. ∴ ∠CAE=∠ABD.∵ BD⊥AN,CE⊥AN,∴ ∠BDA= ∠AEC=90°.在△ABD 和△CAE中,∵ ∠BDA=∠AEC, ∠ABD=∠CAE, AB=CA, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABD≌△CAE(AAS).∴ BD=AE,AD=CE. ∵ DE=AE-AD,∴ DE=BD-CE. 预学训练 1. C 2. B 3. D 4. C 5. 20 6. ∵ ∠1=∠2,∴ ∠1+∠EAC=∠2+∠EAC,即 ∠BAC = ∠DAE. 在 △ABC 和 △ADE 中, ∵ ∠BAC=∠DAE, AC=AE, ∠C=∠E, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABC≌△ADE(ASA). 7. ∵ DE∥AC,∴ ∠EDB=∠C.在△BDE 和△ACB 中,∵ ∠E=∠ABC, ∠EDB=∠C, BD=AC, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △BDE ≌ △ACB (AAS). ∴ DE=BC. 8. ∵ ∠BCE+ ∠ECF= ∠ECF+ ∠B'CF =90°, ∴ ∠BCE=∠B'CF.根据题意,得∠B=∠B'=60°, BC=B'C.在△BCE和△B'CF 中,∵ ∠B=∠B', BC=B'C, ∠BCE=∠B'CF, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △BCE≌△B'CF(ASA). 9. B 10. B 11. D 解析:∵ AB⊥CD,CE⊥AD,BF⊥AD, ∴ ∠AFB=∠CED=90°,∠A+∠D=∠C+∠D= 180°-90°=90°.∴ ∠A=∠C.在△ABF 和△CDE 中, ∵ ∠AFB=∠CED, ∠A=∠C, AB=CD, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABF ≌ △CDE (AAS). ∴ AF=CE=a,BF=DE=b.∵ EF=c,DF=DE- EF=b-c,∴ AD=AF+DF=a+(b-c)=a+b-c. 12. ∵ ∠1=∠2,∴ ∠1+∠DAC=∠2+∠DAC,即 ∠BAC=∠DAE.又∵ ∠2+∠AFE+∠E=180°,∠3+ ∠DFC+∠C=180°,∠2=∠3,∠AFE=∠DFC,∴ ∠E= ∠C.在 △ABC 和 △ADE 中,∵ ∠C=∠E, ∠BAC=∠DAE, AB=AD, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABC≌△ADE(AAS).∴ AC=AE. 13. (1) ∵ BF∥AE,∴ ∠EAM=∠FBM.在△AME 和 △BMF 中,∵ ∠EAM=∠FBM, ∠AME=∠BMF, EM=FM, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △AME≌△BMF (AAS).∴ AE =BF.(2) ∵ △AME ≌ △BMF, ∴ ∠AEM=∠BFM=90°.∴ ∠AEC=∠BFD=90°.在 △AEC和△BFD 中,∵ ∠AEC=∠BFD, AE=BF, ∠CAE=∠DBF, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △AEC≌ △BFD(ASA).∴ EC=FD.∴ EC-CF=FD-CF,即 EF=CD=4.∵ EM=FM,∴ EM=12EF=2. 4　三角形的尺规作图 知识梳理 1. 尺规作图 2. 唯一 典例演练 典例1 D 典例2 如图,△ABC即为所求作. 典例2图 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈