二 3 第1课时“边边边”“边角边”-【通成学典】2025年新教材七年级数学暑期升级训练（冀教版2024）

21 ∴ AE∥BC.∴ ∠A+∠ABC=180°.∵ ∠1+∠ABC= 180°,∴ ∠A=∠1.∴ DF∥AB. 2 全等图形 知识梳理 1. (1) 完全重合 (2) 对应点 对应边 对应角 (3) △ABC≌△A'B'C' 对应 2. 相等 相等 典例演练 典例 (1) ∵ △ABC≌△DEB,∴ AB=DE=7,BE= CB=4.∴ AE=AB-BE=7-4=3.(2) ∵ △ABC≌ △DEB,∴ ∠A=∠D=35°.又∵ ∠C=60°,∴ ∠ABC= 180°-∠A-∠C=180°-35°-60°=85°. 预学训练 1. A 2. C 3. B 4. A 5. ④ 6. ∵ △ABC≌△EFD,∴ AC=DE.∵ DE=CD+ CE=2+2.5=4.5,∴ AC=4.5. 7. (1) ∵ BE⊥AD,∴ ∠EBD=90°.∵ △ACF≌ △DBE,∴ ∠FCA=∠EBD=90°.∴ ∠A=180°-90°- ∠F=28°.(2) ∵ △ACF≌△DBE,∴ CA=BD.∴ CA- CB=BD-BC,即AB=CD.∵ AD=9cm,BC=5cm, ∴ AB+CD=AD-BC=9-5=4(cm).∴ AB=2cm. 8. 20° 9. 2或6 解析:设 BE=x,则 BF=2x.△AEG 与 △BEF 全等有两种情况:① AG=BE=x,AE=BF= 2x.∵ AB=6,∴ x+2x=6,解得x=2,即AG=2. ② AG=BF=2x,BE=AE=x.∵ AB=6,∴ x+x=6, 解得x=3.∴ AG=2×3=6.综上所述,AG 的长为2 或6. 10. (1) ∵ △BAD≌△ACE,∴ BD=AE,AD=CE. ∴ BD=AE=AD+DE=CE+DE,即BD=DE+CE. (2) 当△ABD 满足∠ADB=90°时,BD∥CE.理由: ∵ △BAD≌△ACE,∴ ∠E=∠ADB=90°(满足的条件 是∠ADB=90°).∴ ∠BDE=180°-∠ADB=90°= ∠E.∴ BD∥CE. 3 全等三角形的判定 第1课时　“边边边”“边角边” 知识梳理 1. 分别相等 SSS 2. 稳定性 3. 夹角 SAS 典例演练 典例1 ∵ C 是AB 的中点,∴ AC=CB.在△ACD 和 △CBE 中,∵ AD=CE, CD=BE, AC=CB, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ACD≌△CBE(SSS). ∴ ∠ACD=∠B.∴ CD∥BE. 典例2 ∵ ∠DAB=∠CAE ,∴ 易得∠DAE=∠CAB. 在△ACB和△ADE中,∵ AC=AD, ∠CAB=∠DAE, AB=AE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ACB≌ △ADE(SAS).∴ BC=ED. 预学训练 1. C 2. C 3. C 4. 100° 5. 答案不唯一,如OB=OD 6. 能.∵ AE=13AB ,AF=13AC ,AB=AC,∴ AE= AF.在△AEO 和△AFO 中,∵ AE=AF, OE=OF, OA=OA, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △AEO≌ △AFO(SSS).∴ ∠BAD=∠CAD.∴ 这样设计能达到 要求. 7. ∵ DE∥AC,∴ ∠EDB=∠A.在△DEB 和△ABC 中,∵ DE=AB, ∠EDB=∠A, BD=CA, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △DEB≌△ABC(SAS). 8. 选择不唯一,如选择①.在△ABF 和△CDE 中, ∵ AB=CD, AF=CE, BF=DE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABF≌△CDE(SSS).∴ ∠B=∠D. ∵ BF=DE,∴ BF+EF=DE+EF,即BE=DF.在 △ABE 和 △CDF 中,∵ AB=CD, ∠B=∠D, BE=DF, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABE ≌ △CDF(SAS).∴ ∠AEB=∠CFD.∴ AE∥CF. 9. B 10. D 11. (1) 补充条件:AE=AD.在△ABE 和△ACD 中, ∵ AE=AD, AB=AC, BE=CD, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABE≌△ACD(SSS).(2) ∵ △ABE≌ △ACD,∴ ∠BAE=∠CAD.∵ ∠BAE=∠BAC+ ∠CAE,∠CAD=∠DAE+∠CAE,∴ ∠DAE=∠BAC= 40°.(3) ∵ △ABE ≌ △ACD,∴ ∠B = ∠ACD. ∵ ∠BAC+∠B+∠ACB=∠DCE+∠ACD+∠ACB= 180°,∴ ∠DCE=∠BAC. 12. (1) 根据题意,得∠ABE=∠CBD=90°.在△ABE 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 22 和△CBD 中,∵ AB=CB, ∠ABE=∠CBD, BE=BD, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABE≌△CBD (SAS).(2) ∵ AB=CB,∠ABC=90°,∴ △ABC 是等腰 直角三角形.∴ ∠BAC=∠ACB=45°.∵ △ABE≌△CBD, ∴ ∠AEB=∠CDB.∵ ∠AEB=∠ACB+∠CAE= 45°+30°=75°,∴ ∠CDB=75°. 第2课时　“角边角”“角角边” 知识梳理 1. 夹边 ASA 2. 角角边 AAS 3. 平移 旋转 典例演练 典例 1 ∵ AB⊥AC,AD⊥AE,∴ ∠BAC=90°, ∠DAE=90°.∴ ∠BAE+∠CAE=∠BAE+∠BAD= 90°.∴ ∠CAE = ∠BAD.在 △ABD 和 △ACE 中, ∵ ∠ABD=∠ACE, AB=AC, ∠BAD=∠CAE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABD ≌ △ACE (ASA). ∴ BD=CE. 典例 2 ∵ ∠BAC=90°,BD⊥AN,∴ ∠BAD + ∠CAE=90°,∠ABD+∠BAD=180°-∠BDA=90°. ∴ ∠CAE=∠ABD.∵ BD⊥AN,CE⊥AN,∴ ∠BDA= ∠AEC=90°.在△ABD 和△CAE中,∵ ∠BDA=∠AEC, ∠ABD=∠CAE, AB=CA, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABD≌△CAE(AAS).∴ BD=AE,AD=CE. ∵ DE=AE-AD,∴ DE=BD-CE. 预学训练 1. C 2. B 3. D 4. C 5. 20 6. ∵ ∠1=∠2,∴ ∠1+∠EAC=∠2+∠EAC,即 ∠BAC = ∠DAE. 在 △ABC 和 △ADE 中, ∵ ∠BAC=∠DAE, AC=AE, ∠C=∠E, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABC≌△ADE(ASA). 7. ∵ DE∥AC,∴ ∠EDB=∠C.在△BDE 和△ACB 中,∵ ∠E=∠ABC, ∠EDB=∠C, BD=AC, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △BDE ≌ △ACB (AAS). ∴ DE=BC. 8. ∵ ∠BCE+ ∠ECF= ∠ECF+ ∠B'CF =90°, ∴ ∠BCE=∠B'CF.根据题意,得∠B=∠B'=60°, BC=B'C.在△BCE和△B'CF 中,∵ ∠B=∠B', BC=B'C, ∠BCE=∠B'CF, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △BCE≌△B'CF(ASA). 9. B 10. B 11. D 解析:∵ AB⊥CD,CE⊥AD,BF⊥AD, ∴ ∠AFB=∠CED=90°,∠A+∠D=∠C+∠D= 180°-90°=90°.∴ ∠A=∠C.在△ABF 和△CDE 中, ∵ ∠AFB=∠CED, ∠A=∠C, AB=CD, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABF ≌ △CDE (AAS). ∴ AF=CE=a,BF=DE=b.∵ EF=c,DF=DE- EF=b-c,∴ AD=AF+DF=a+(b-c)=a+b-c. 12. ∵ ∠1=∠2,∴ ∠1+∠DAC=∠2+∠DAC,即 ∠BAC=∠DAE.又∵ ∠2+∠AFE+∠E=180°,∠3+ ∠DFC+∠C=180°,∠2=∠3,∠AFE=∠DFC,∴ ∠E= ∠C.在 △ABC 和 △ADE 中,∵ ∠C=∠E, ∠BAC=∠DAE, AB=AD, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABC≌△ADE(AAS).∴ AC=AE. 13. (1) ∵ BF∥AE,∴ ∠EAM=∠FBM.在△AME 和 △BMF 中,∵ ∠EAM=∠FBM, ∠AME=∠BMF, EM=FM, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △AME≌△BMF (AAS).∴ AE =BF.(2) ∵ △AME ≌ △BMF, ∴ ∠AEM=∠BFM=90°.∴ ∠AEC=∠BFD=90°.在 △AEC和△BFD 中,∵ ∠AEC=∠BFD, AE=BF, ∠CAE=∠DBF, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △AEC≌ △BFD(ASA).∴ EC=FD.∴ EC-CF=FD-CF,即 EF=CD=4.∵ EM=FM,∴ EM=12EF=2. 4　三角形的尺规作图 知识梳理 1. 尺规作图 2. 唯一 典例演练 典例1 D 典例2 如图,△ABC即为所求作. 典例2图 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 72 3　全等三角形的判定 第1课时 “边边边”“边角边” 1. 如果两个三角形的三边 ,那么这 两个三角形全等.可简记为“边边边”或 “ ”. 2. 只要三角形的三边确定,它的形状和大小就 完全确定了.三角形所具有的这一性质叫作 三角形的 . 3. 如果两个三角形的两边和它们的 分别相等,那么这两个三角形全等.可简记 为“边角边”或“ ”. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 典例1 如图,C 是AB 的中点,AD=CE,CD= BE.求证:CD∥BE. 典例1图 根 据 已 知 条 件,可 以 利 用“SSS”证 明 △ACD≌△CBE,从而可得∠ACD=∠B,进 而可证得CD∥BE. 解答: 解有所悟:利用三角形全等解决几何问题的常用思 路:先证明三角形全等,然后利用全等三角形的性 质得出对应线段或对应角相等. 典例2(教材P50习题第4题变式)如图,AD= AC,AB =AE,∠DAB = ∠CAE.求 证: BC=ED. 典例2图 由∠DAB=∠CAE,可得出∠DAE= ∠CAB,再根据“SAS”判定△ADE 与△ACB 全等即可. 解答: 解有所悟:用“边角边(SAS)”判定两个三角形全等 时,要注意两边的夹角中的角必须是同一个三角形 中的两条边的夹角. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(冀教版)七年级 拍 照 批 改 73 [基础过关] 1. 如图,具有稳定性的图形有 ( ) 第1题 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 如图,在△ABC 中,AB=AC,BE=EC,AE 的延长线交BC 于点D,直接利用“SSS”可 判定 ( ) A. △ABD≌△ACDB. △ABE≌△EDC C. △ABE≌△ACE D. △BED≌△CED 第2题 第3题 3. 如图所示为琪琪用同种材料制成的金属框 架,∠B=∠E,AB=DE,BF=EC,其中 △ABC的周长为24cm,CF=3cm,则制成的 整个金属框架所用这种材料的长度为 ( ) A. 51cm B. 48cm C. 45cm D. 54cm 4. 如图,在△ABC 中,BA=BE,DA=DE, ∠A=80°,则∠CED= . 第4题 第5题 5. 如图,在四边形ABCD 中,对角线AC,BD 相交于点O,OA=OC,添加一个条件: ,可 以 用 “SAS”判 定 △AOB ≌ △COD. 6. 某种雨伞的截面如图所示,当点O 沿AD 滑 动时,雨伞合拢.雨伞合拢的过程中,要求保 持∠BAD=∠CAD.给出下面的设计:伞骨 AB=AC,支撑杆OE=OF,AE=13AB , AF=13AC. 你认为这样设计能达到要求吗? 为什么? 第6题 7. 如图,在△ABC 中,AB>AC,点D 在边AB 上,且BD=CA,过点D 作DE∥AC,并截取 DE=AB,且点C,E 在AB 的同侧,连接 BE.求证:△DEB≌△ABC. 第7题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 74 8. (淄博中考)如图,AB=CD,点E,F 在线段 BD 上,且 AF =CE.从 ① BF =DE; ② ∠BAF=∠DCE;③ AF=CF 中选择一 个作为已知条件,使得△ABF≌△CDE,并 求证:AE∥CF. 第8题 [综合提升] 9. 如图,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE, B,D,E 三点共线.已知∠1=25°,∠2=30°, 则∠3的度数为 ( ) 第9题 A. 60° B. 55° C. 50° D. 70° 答案讲解 10. 在△ABC 和△A'B'C'中,有下列 条件:① ∠A=∠A';②∠B= ∠B';③∠C=∠C' ;④ AB=A'B'; ⑤ AC=A'C';⑥ BC=B'C'.下列各组条 件中,能用“SAS”判定△ABC≌△A'B'C' 的是 ( ) A. ①⑤⑥ B. ②④⑤ C. ①④⑥ D. ②④⑥ 11. 如图,在△ABE 和△ACD 中,C 为BE 上 一点,AB=AC,BE=CD,O 为AE 与CD 的交点. (1) 请补充适当条件,并直接利用“SSS”证 明△ABE≌△ACD; (2) 在(1)的条件下,若∠BAC=40°,求 ∠DAE 的度数; (3) 在(1)的条件下,求证:∠DCE=∠BAC. 第11题 答案讲解 12. 如图,在△ABC 中,AB=CB, ∠ABC=90°,D 为AB 延长线上 一点,点E 在边BC 上,且BE= BD,连接AE,DE,DC. (1) 求证:△ABE≌△CBD; (2) 若∠CAE=30°,求∠CDB 的度数. 第12题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(冀教版)七年级