一 4 分式方程-【通成学典】2025年新教材七年级数学暑期升级训练（冀教版2024）

59 4　分式方程 1. 中含有未知数的方程叫作分式方 程.使得分式方程等号两端相等的未知数的 值叫作分式方程的 (也叫作分式方 程的 ). 2. 解分式方程的步骤: (1) 去分母:方程两边同乘最简公分母,将分 式方程化成 ; (2) 解这个 ; (3) 验根:把所求得的整式方程的根代入最 简公分母中检验,若最简公分母的值不为0, 则整式方程的根是 的根,否则就是 ,必须舍去. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 典例1 解方程: (1) 3 x-1- 2 x=0 ; (2) 2x 2x-1+ 5 1-2x=3 ; (3) 2 x2-4- x 2-x=1. 首先确定各分母的最简公分母,然后去分 母,解整式方程. 解答: 解有所悟:解分式方程时,注意以下易错点:(1) 去 分母时漏乘整式项;(2) 去分母后不添括号,弄错符 号;(3) 忘记验根. 典例2 已知关于x的分式方程2xx-2+ m x-2=3. (1) 当m 取何值时,此方程的解为x=3? (2) 当m 取何值时,此方程会产生增根? (1) 将x=3代入分式方程计算即可; (2) 将分式方程去分母转化成整式方程,将x= 2代入整式方程解出m 的值即可. 解答: 解有所悟:利用分式方程的增根求字母的值,可按 如下步骤进行: (1) 先将分式方程转化为整式方程; (2) 令最简公分母为0确定增根; (3) 将增根代入所化得的整式方程,求出字母的值. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 [基础过关] 1. 在① 3x+2 3 =5 ;② 1 3 (x-1)+12 (x+1)= 4;③ -2x=1 ;④ 2 x+ 3x+7 x =-1 ;⑤ 1 x+ (3x-7)中,分式方程有 ( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 下列关于方程 2 x+1+ 3 x-1= 6 x2-1 的说法, 不正确的是 ( ) A. 各分式的最简公分母是(x+1)(x-1) B. 去分母,得整式方程2(x-1)+3(x+ 1)=6 C. 解这个分式方程转化成的整式方程,得 x=1 D. 原方程的解是x=1 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 拍 照 批 改 60 3. 分式 3 1-x 与2 x 的值互为相反数,则x的值为 ( ) A. 1 B. -1 C. -2 D. -3 4. (淄博中考)已知x=1是方程 m2-x- 1 x-2=3 的解,那么m 的值为 ( ) A. -2 B. 2 C. -4 D. 4 5. (巴中中考)关于x的分式方程x+mx-2+ 1 2-x= 3有增根,则m= . 6. 小丁和小迪解分式方程 x x-2- x-3 2-x=1 的 过程如图所示. 你认为小丁和小迪的解法是否正确? 若正 确,请在 内画“􀳫”;若错误,请在 内 画“✕”,并写出你的解答过程. 小丁: 解:去分母,得 x-(x-3)=x-2. 去括号,得 x-x+3=x-2. 合并同类项,得 5=x, 解得x=5. ∴ 原分式方程的解是 x=5. 小迪: 解:去分母,得 x+(x-3)=1. 去括号,得 x+x-3=1. 合并同类项,得 2x=4, 解得x=2. 经检验,x=2是原分式方 程的增根. ∴ 原分式方程无解. 第6题 7. (教材P23习题第3题变式)解方程: (1) 2x x+5-1= x+5 x ; (2) 1-x x-2= 1 2-x-2 ; (3) 3 (x-1)(x+2)+1= x x-1 ; (4) x x-1- 2x-1 x2-1=1. [综合提升] 8. 分式方程 12 x2-9- 2 x-3= 1 x+3 的解为 ( ) A. x=3 B. x=-3 C. 无解 D. x=3或-3 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(冀教版)七年级 61 9. 对于a,b,定义a★b= 1a-b2 ,如2★1= 1 2-12=1. 已知分式方程x★(-1)= x3-3x 的解满足不等式(2-a)x-3>0,则a的取 值范围是 ( ) A. a<1 B. a>1 C. a<3 D. a>3 10. 已知关于x的分式方程 mx+5=1 ,对于该方 程的解,甲说:“若方程的解是负数,则m< 5.”乙说:“当m>5时,方程的解是正数.” 下列关于甲、乙两人的说法,正确的是 ( ) A. 只有甲对 B. 只有乙对 C. 甲、乙都对 D. 甲、乙都错 11. (眉山中考)关于x的方程x+mx-2-3= x-1 2-x 的解 为 非 负 数,则 m 的 取 值 范 围 是 . 12. 已知关于x的分式方程 3x-1= nx 3-3x+1. (1) 若这个方程无解,求n的值; (2) 若这个方程的解是非负数,求n的取值 范围. 13. 涵涵想复习分式方程,其中一道题由于印 刷问题,有一个数“?”看不清楚: x x-3=2- ? x-3. (1) 她把这个数“?”猜成-2,请你帮涵涵解 这个分式方程. (2) 涵涵的妈妈说:“我看到标准答案是 ‘x=3是方程的增根,原分式方程无解’.” 请你求出原分式方程中“?”代表的数. 答案讲解 14. 已知A=x-3x2-1 ,B= 1x-1. (1) 求A 与B 的和; (2) 若A=3B,求x的值; (3) 若关于x 的方程mA+B=2x+6x2-1 无 解,且m<-2,求m 的值. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 18 x2+1 2(x+1).∵ x>0,∴ x2>0,2(x+1)>0.∴ x2+1>0. ∴ x2+1 2(x+1)>0.∴ M-N>0.(2) 依题意,得y= 2+x x+1 2 - 2× xx+1= 2(2+x) x+1 - 2x x+1= 4 x+1. 4 分式方程 知识梳理 1. 分母 解 根 2. (1) 整式方程 (2) 整式方程 (3) 分式方程 增根 典例演练 典例1 (1) 方程两边同乘x(x-1),得3x-2(x-1)= 0,解得x=-2.经检验,x=-2是原分式方程的解. (2) 方程两边同乘2x-1,得2x-5=3(2x-1),解得 x=-12. 经检验,x=-12 是原分式方程的解.(3) 方程 两边同乘x2-4,得2+x(x+2)=x2-4,解得x=-3. 经检验,x=-3是原分式方程的解. 典例2 (1) 将x=3代入分式方程,得6+m=3,解得 m=-3.(2) 去分母,得2x+m=3(x-2).将x=2代 入,得4+m=0,解得m=-4.∴ 当m=-4时,此方程 会产生增根. 预学训练 1. B 2. D 3. C 4. B 5. -1 6. 小丁和小迪的解法都不正确,画“✕”略.xx-2- x-3 2-x= 1.方程两边同乘x-2,得x+x-3=x-2,解得x=1.经 检验,x=1是原分式方程的解. 7. (1) 方程两边同乘x(x+5),得2x2-x(x+5)=(x+ 5)2,解得x=-53 ,经检验,x=-53 是原分式方程的解. (2) 方程两边同乘x-2,得1-x=-1-2(x-2),解得 x=2.经检验,x=2是原分式方程的增根,∴ 原分式方程 无解.(3) 方程两边同乘(x-1)(x+2),得3+(x-1)· (x+2)=x(x+2),解得x=1.经检验,x=1是原分式方 程的增根,∴ 原分式方程无解.(4) 方程两边同乘(x+1)· (x-1),得x(x+1)-(2x-1)=x2-1,解得x=2.经检 验,x=2是原分式方程的解. 8. C 9. D 解析:∵ a★b= 1a-b2 ,∴ x★(-1)= 1x-(-1)2= 1 x-1.∴ 1 x-1= x 3-3x ,即 1 x-1=- x 3(x-1). 方程两边 同乘3(x-1),得3=-x,解得x=-3.经检验,x=-3 是原分式方程的解.根据题意,把x=-3代入不等式 (2-a)x-3>0,得-3(2-a)-3>0,解得a>3. 10. B 解析: m x+5=1. 去分母,得m=x+5,解得x= m-5.要使分式方程有解,则x+5≠0,即m-5+5≠0, ∴ m≠0.当m<5且m≠0时,x=m-5<0,∴ 甲的说法 错误.当m>5时,x=m-5>0,∴ 乙的说法正确. 11. m≥-5且m≠-3 12. (1) 方程两边同乘3-3x,得-9=nx+3-3x,解得 x=-12n-3. 当n-3=0时,原分式方程无解,此时n=3.当 x=1时,原分式方程无解,此时n-3=-12,即n=-9. 综上所述,若这个方程无解,则n的值为3或-9.(2) 由 (1)及题意,得- 12n-3≥0 且- 12n-3≠1 ,解得n<3且 n≠-9. 13. (1) 根据题意,得 x x-3=2- -2 x-3. 方程两边同乘x- 3,得x=2(x-3)+2.去括号,得x=2x-6+2.移项、合 并同类项,得x=4.经检验,x=4是原分式方程的解. (2) 设原分式方程中“?”代表的数是m,则 xx-3=2- m x-3. 方程两边同乘x-3,得x=2(x-3)-m.∵ x=3 是方程的增根,∴ 把x=3代入x=2(x-3)-m,解得 m=-3,即原分式方程中“?”代表的数是-3. 14. (1) A +B = x-3x2-1+ 1 x-1= x-3 (x+1)(x-1)+ x+1 (x+1)(x-1)= x-3+x+1 (x+1)(x-1)= 2x-2 (x+1)(x-1)= 2(x-1) (x+1)(x-1)= 2 x+1. (2) ∵ A=3B,∴ x-3 x2-1= 3 x-1 , 解得x=-3.经检验,x=-3是原分式方程的解. (3) ∵ mA+B=2x+6x2-1 ,∴ m(x-3) x2-1 + 1 x-1= 2x+6 x2-1 , 解得x=5+3mm-1.∵ 关于x的方程mA+B=2x+6x2-1 无解, ∴ m-1=0或5+3mm-1=±1 ,解得m=1或m=-3或 m=-1.∵ m<-2,∴ m=-3. 5 分式方程的应用 知识梳理 1. 等量关系 检验 2. 工作效率 之和 3. 速度 时间 4. 进价 利润 进价 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈