第9章 因式分解-【通成学典】2025年新教材七年级数学暑期升级训练（冀教版2024）

12 第九章　因式分解 (满分:100分 时间:90分钟) 一、 选择题(每题3分,共36分) 1. 下列各式由左到右的变形中,属于因式分解 且正确的是 ( ) A. (x+2)(x-2)=x2-4 B. x2-4=(x+2)(x-2) C. x2-4+3x=(x+2)(x-2)+3x D. x2+4x-2=x(x+4)-2 2. 多项式8a3b2+12ab3c的公因式为 ( ) A. abc B. 4ab2 C. ab2 D. 4ab2c 3. 小明在抄分解因式的题目时,不小心漏抄了 x的指数,他只知道该指数为不大于10的正 整数,并且能利用平方差公式分解因式,他 抄在作业本上的式子为x□-4y2(“”表示 漏抄的指数),则这个指数可能的结果共有 ( ) A. 2种 B. 3种 C. 4种 D. 5种 4. 计算1252-50×125+252的结果是 ( ) A. 100 B. 150 C. 10000D. 22500 5. 琪琪是一名密码翻译爱好者,在她的密码手 册中,有这样一条信息:a-b,x-y,x+y, a+b,x2-y2,a2-b2 分别对应下列六个 字:坊、爱、我、廊、丽、美.现将(x2-y2)a2- (x2-y2)b2分解因式,结果呈现的密码信息 可能是 ( ) A. 我爱美 B. 廊坊美丽 C. 我爱廊坊 D. 美我廊坊 6. 若 (102-1)(122-1) k =9×11×13 ,则k 的 值为 ( ) A. 12 B. 11 C. 10 D. 9 7. 若a,b,c是一个三角形的三边长,则式子 c2-(a-b)2的值 ( ) A. 大于0 B. 小于0 C. 等于0 D. 无法确定 8. 若k 为任意整数,则(2k+3)2-4k2 的值 总能 ( ) A. 被2整除 B. 被3整除 C. 被5整除 D. 被7整除 9. 如图,长方形的长和宽分别是x,y,它的周长 为14,面积为10,则x2y+xy2的值为( ) 第9题 A. 140 B. 70 C. 14 D. 10 10. 若多项式4a2-(k-1)ab+25b2能写成一 个多项式的平方的形式,则k的值为( ) A. 21 B. 19 C. 21或-19 D. -21或19 11. 整体思想 已知(m+2n)2+2m+4n+ 1=0,则(m+2n)2 024的值为 ( ) A. -1 B. -2 C. 1 D. 2 答案讲解 12. 已知三个数a,b,c满足a-2b+ c=0,a+2b+c<0,则 ( ) A. b>0,b2-ac≤0 B. b<0,b2-ac≤0 C. b>0,b2-ac≥0 D. b<0,b2-ac≥0 二、 填空题(每题3分,共12分) 13. (黄石中考)因式分解:x(y-1)+4(1-y)= . 14. 已知x-y=2,xy= 1 2 ,则x3y+3x2y2+ xy3的值为 . 15. 甲、乙两名同学将一个二次三项式因式分 解,甲同学因看错了一次项系数而分解成 2(x-1)(x-9);乙同学因看错了常数项而 分解成2(x-2)(x-4).原二次三项式为 ,因式分解的正确结果 为 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(冀教版)七年级 拍 照 批 改 13 16. 新考法 新定义题 若一个四位正整数 abcd满足a+c=b+d,我们就称该数是 “交替数”,则最小的“交替数”是 ; 若一个“交替数”m 满足千位上的数字与百 位上的数字的平方差是15,且十位上的数字 与个位上的数字之和能被5整除,则满足 条件的“交替数”m 最大为 . 三、 解答题(共52分) 17. (9分)分解因式: (1) 9x2-1; (2) 2a3-20a2+50a; (3) (a2+4)2-16a2. 18. (10分)先分解因式,再求值: (1) 9x2+12xy+4y2,其中x= 4 3 ,y=- 1 2 ; (2) (a2+b2)2-4a2b2,其中a=3.5,b=1.5. 19. (10分)解答下面各题: (1) 先 分 解 因 式,再 求 值:x+y 2 2 - x-y 2 2 ,其中x=-23 ,y= 1 4 ; (2) 已知某个直角三角形的面积为8x2+ 8xy+2y2(x>0,y>0),当这个直角三角形 的两条直角边的长相等时,请你利用因式分 解写出该直角三角形的直角边长(用含x,y 的代数式表示). 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 1复习进阶 14 20. (10分)下面是多项式x2-6x+5因式分解 的过程:x2-6x+5=x2-6x+9+5-9= (x-3)2-4=(x-3+2)(x-3-2)= (x-1)(x-5),请利用上述方法解决下列 问题. (1) 分解因式:x2+8x-9; (2) 若x>5,试比较x2-4x-5与0的 大小; (3) 若a2+b2-2a-8b+17=0,求a+b 的值. 答案讲解 21. (13分)通过学习,我们知道常用 的因式分解的方法有提公因式法 和公式法.与此同时,某些多项式 只用上述一种方法无法进行因式分解.下 面是甲、乙两名同学对多项式进行因式分 解的过程. 甲:x2+xy-2x-2y =(x2+xy)-(2x+2y)(先分成两组) =x(x+y)-2(x+y) =(x+y)(x-2). 乙:a2-b2+2b-1 =a2-(b2-2b+1)(先分成两组) =a2-(b-1)2 =(a+b-1)(a-b+1). 甲、乙两名同学分解因式的方法叫作分组 分解法,请你仔细观察并解答下列问题. (1) 分解因式:m2-n2+m+n; (2) 分解因式:m2-6m+8; (3) 若a-b=5,a-c=3,求式子ab-bc+ ac-a2的值. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(冀教版)七年级 3 19. (1) ∵ 4m=a,8n=b,∴ 22m=a,23n=b.∴ 22m+3n= 22m·23n=ab.(2) ∵ 22m=a,23n=b,∴ 24m-6n=24m÷ 26n=(22m)2÷(23n)2=a 2 b2. (3) ∵ 2×8x×16=226,∴ 2× (23)x×24=226.∴ 2×23x×24=226.∴ 21+3x+4=226. ∴ 1+3x+4=26,解得x=7. 20. (1) 15.(2) 根据题意可知,比偶数2n 大3的数为 2n+3,∴ (2n+3)2-(2n)2=(2n+3+2n)(2n+3-2n)= 3(4n+3).又∵ 4n+3为整数,∴ 3(4n+3)能被3整除. (3) 设这个正整数为n,则比n大3的数为n+3.∵ (n+ 3)2-n2=(n+3+n)(n+3-n)=6n+9=6(n+1)+3, ∴ 6(n+1)+3被6除的余数是3. 证明整数倍数问题的方法 解决一个整式是某个数的整数倍的问题时,一般 将这个整式通过化简或计算变成这个数与一个整式的 乘积的形式. 21. (1) 原式=2mx-3m+2m2-3x=(2m-3)x+2m2- 3m.根据题意,得2m-3=0,解得m=32. (2) ∵ A= (2x+1)(x-1)-x(1-3y),B=-x2+xy-1,∴ 3A+ 6B=3[(2x+1)(x-1)-x(1-3y)]+6(-x2+xy-1)= 3(2x2-2x+x-1-x+3xy)-6x2+6xy-6=6x2- 6x+3x-3-3x+9xy-6x2+6xy-6=15xy-6x-9= 3x(5y-2)-9.根据题意,得5y-2=0,解得y= 2 5. (3) 设AB=x.根据题意,得S1=a(x-3b),S2= 2b(x-2a).∴ S1-S2=a(x-3b)-2b(x-2a)=(a- 2b)x+ab.∵ 当AB 的长发生变化时,S1-S2 的值始终 保持不变,即S1-S2的值与x的取值无关,∴ a-2b=0. ∴ a=2b. 整式的值与某个字母取值无关问题的解决方法 若一个整式的值与某个字母的取值无关,则该整 式化简后的式子中不含这个字母,即化简后的整式中, 该字母的系数为0. 第九章　因式分解 一、 1. B 2. B 3. D 4. C 5. C 6. B 7. A 8. B 9. B 10. C 11. C 12. D 解析:∵ a-2b+c=0,a+2b+c<0,∴ a+c= 2b,b=a+c2 .∴ a+2b+c=(a+c)+2b=4b<0.∴ b< 0.∴ b2-ac= a+c2 2 -ac=a 2+2ac+c2 4 -ac= a2-2ac+c2 4 = a-c 2 2 ≥0.综上所述,b<0,b2-ac≥0. 二、 13. (y-1)(x-4) 14. 13 4 15. 2x2-12x+18 2(x-3)2 16. 1 001 8 778 三、 17. (1) (3x-1)(3x+1).(2) 2a(a-5)2.(3) (a+ 2)2(a-2)2. 18. (1) 原式=(3x+2y)2.当x= 4 3 ,y=- 1 2 时,原式= 3×43+2× - 1 2 2 =32=9.(2) 原式=(a2+b2- 2ab)(a2+b2+2ab)=(a-b)2(a+b)2.当a=3.5,b= 1.5时,原式=(3.5-1.5)2×(3.5+1.5)2=4×25=100. 19. (1) 原式= x+y2 + x-y 2 x+y2 -x-y2 =xy.当 x=-23 ,y= 1 4 时,原式= -23 ×14=-16.(2) ∵ 直 角三角形的面积为8x2+8xy+2y2,且8x2+8xy+ 2y2= 1 2 (16x2+16xy+4y2)= 1 2 (4x+2y)2,∴ 当这个 直角三角形的两条直角边的长相等时,该直角三角形的直 角边长为4x+2y. 20. (1) x2+8x-9=x2+8x+16-9-16=(x+4)2- 25=(x+4+5)(x+4-5)=(x+9)(x-1).(2) x2- 4x-5=x2-4x+4-5-4=(x-2)2-9=(x-2+3)· (x-2-3)=(x+1)(x-5).∵ x>5,∴ (x+1)(x-5)> 0,即x2-4x-5>0.(3) ∵ a2+b2-2a-8b+17=0, ∴ a2-2a+1+b2-8b+16=0.∴ (a-1)2+(b-4)2= 0.∴ a-1=0,b-4=0,解得a=1,b=4.∴ a+b=5. 21. (1) 原式=(m2-n2)+(m+n)=(m+n)(m-n)+ (m+n)=(m+n)(m-n+1).(2) m2-6m+8=m2- 2m-4m+8=(m2-2m)-(4m-8)=m(m-2)- 4(m-2)=(m-2)(m-4).(3) ∵ ab-bc+ac-a2= (ab-bc)+(ac-a2)=b(a-c)+a(c-a)=b(a-c)- a(a-c)=(b-a)(a-c).又∵ a-b=5,a-c=3,∴ 原 式=-5×3=-15. 第十章　三 角 形 一、 1. C 2. A 3. B 4. C 5. A 6. A 7. C 解析:如 图,由 折 叠,可 得 ∠A = ∠A'=α. ∵ ∠BDA'=∠A+∠AFD,∠AFD=∠A'+∠CEA', ∴ ∠BDA'=∠A+∠A'+∠CEA'=α+α+β=2α+β, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈