专题04 因式分解（期末复习讲义）七年级数学下学期新教材冀教版

专题04 因式分解（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型一 判断是否是因式分解 题型二 已知因式分解的结果求参数 题型三 公因式 题型四 提公因式法分解因式 题型五 平方差公式分解因式 题型六 完全平方公式分解因式 题型七 综合运用公式法分解因式 题型八 综合提公因式和公式法分解因式 题型九 因式分解的应用 题型十 十字相乘法 题型十一 分组分解法 题型十二 利用因式分解法求最值 题型十三 因式分解的几何应用 题型十四 因式分解的新定义运算 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 公因式的识别 能准确找出多项式各项的公因式 基础必考小题，常结合提公因式综合考查，易误判字母次数 提公因式法分解因式 会运用提公因式法对多项式进行因式分解 高频基础考点，选择、填空、计算题均会出现，易错点为首项为负忘变号、提取公因式后漏写1 平方差公式的理解与应用 能识别平方差结构，熟练运用平方差公式分解因式 核心考点，题型灵活，常单独考查或结合化简求值出题，易混淆式子符号特征 完全平方公式的理解与应用 能判断完全平方式，正确使用完全平方公式分解因式 重难点考点，选择常考查完全平方式参数求解，解答题用于因式分解，易错点为记错公式中间项符号与系数 二次项系数为1的十字相乘法 掌握十字相乘法，能对对应二次三项式分解因式 多出现于填空、计算题，命题侧重整数系数式子分解，易错点为因数符号判断错误 二次项系数不为1的十字相乘法 会用十字相乘法分解首项系数不为1的二次三项式 多见于压轴小题与计算题型，系数拆分试算繁琐，是主要失分点 分组分解法分解因式 能根据多项式项数合理分组，完成因式分解。 拓展提升考点，期末少量考查，以四项、五项多项式为主，难点在于分组思路选择 因式分解综合运算 能按照解题顺序，综合运用多种方法完成因式分解 综合压轴考点，常考查“先提公因式再套公式”的组合题型，命题趋势为多方法融合，易错点为分解不彻底 知识点01 公因式 公因式是多项式每一项都共同含有的因式，是提取公因式法的基础。 1.公因式的形式多样，可以是数字、单个字母，也可以是多项式。 2.公因式的确定分为两部分 公因式的系数：取多项式各项系数的最大公约数。 公因式的字母部分：选取各项中相同的字母，字母的指数取该字母在各项里的最低次数。 知识点02 提公因式法 提公因式法本质是逆用乘法分配律，公式：。 1.解题关键：准确找出多项式全部项的公因式。 2.符号处理：若多项式首项系数为负数，先整体提取负号，保证括号内首项系数为正，同时括号内每一项都要改变符号。 3.易错提醒：若某一项和公因式相等，或是两项相加结果为0，提取公因式后，该项要保留或，不能遗漏，也不可直接当作0处理。 知识点03 公式法分解因式 公式法是逆用整式乘法公式，对符合结构特征的多项式进行因式分解，主要分为平方差公式和完全平方公式两类。 一、平方差公式 公式： 1.式子特征：等式左侧为两项，两项均为平方形式，且两项符号一正一负；右侧为两个整式的和与两个整式的差相乘。 2.公式中、不局限于单个字母，还可以代表数字、单项式或多项式，解题时可整体看待。 二、完全平方公式 公式：， 形如、的式子称为完全平方式。 1.式子特征：等式左侧是二次三项式，由两个数的平方和，加上或减去这两个数乘积的2倍构成；右侧是两个整式和或差的平方。 2.两个公式结构不同、适用条件不同，不可混用。 3.公式中的、可以是数字、单项式或多项式，灵活整体套用。 知识点04 十字相乘法 十字相乘法主要用于二次三项式的因式分解，分为二次项系数为1和二次项系数不为1两种情况。 一、二次项系数为1的二次三项式 标准形式： 1.先观察常数项的正负：时，拆分成两个同号因数，因数符号与一次项系数保持一致；时，拆分成两个异号因数，绝对值更大的因数符号跟随一次项系数。 2.当系数均为整数时，将常数项拆分为两个整数的乘积，验证两个整数的和是否等于一次项系数，反复尝试直至匹配成功。 二、二次项系数不为1的二次三项式 标准形式： 1.分解思路：看两端，凑中间。将二次项系数拆分为两个因数之积，常数项拆分为两个因数之积。 2.十字交叉验算：计算，若计算结果等于一次项系数，则分解成立，最终结果为。 3.符号处理：优先将二次项系数化为正数，若原式首项系数为负，先提出负号，分解括号内的多项式，最后再补上提取的负号。 知识点05 分组分解法 当多项式项数大于等于四项，无法直接提公因式、套用公式或使用十字相乘法时，可采用分组分解法。核心思路：合理分组，使分组后的每一组可分解，组与组之间再次出现公因式或符合公式特征，完成整体分解。 一、常规分组方式 四项多项式：二二分组，可按照字母、系数、公式特征分组；也可一三分组，先利用完全平方公式分解，再使用平方差公式分解。 五项多项式：三二分组，保证分组后各组之间存在公因式。 六项多项式：可分为三项+三项、二项+二项+二项，要求组间有公因式；也可分为三项+二项+一项，转化为二次三项式再分解。 二、添、拆项法 属于分组分解法的拓展技巧，在不改变原式大小的前提下，把多项式某一项拆分，或是添加一组互为相反数的项，让变形后的多项式能够使用提公因式法、公式法、分组分解法继续分解。该方法技巧性较强，需要多尝试总结规律。 知识点06 因式分解整体解题步骤 因式分解常用方法包含：提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法、添拆项法。 通用解题顺序：首先观察多项式，优先提取公因式；无公因式时，尝试使用平方差、完全平方等公式法；以上方法不适用时，根据多项式项数与结构，选用十字相乘法、分组分解法；复杂题型可搭配添、拆项法辅助分解，最终保证每一个因式都不能再继续分解。 题型一 判断是否是因式分解 例1．下列四个等式从左至右的变形中，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、是整式的乘法，不符合题意； B、等式的右边不是积的形式，不符合题意； C、是因式分解，符合题意； D、等式的右边不是整式的积的形式，不符合题意. 变式1-1．下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：选项A中，变形是整式乘法，由整式乘积得到多项式，不符合因式分解的定义，故A不符合题意； 选项B中，等式右边的不是整式，不符合因式分解的要求，故B不符合题意； 选项C中，等式右边 是和的形式，不是几个整式的乘积，不符合因式分解的定义，故C不符合题意； 选项D中，左边是多项式，右边是整式的乘积，符合因式分解的定义，故D符合题意． 变式1-2．下列式子从左到右的变形中，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、 是分式，不是多项式，而因式分解的对象必须是多项式，故该变形不属于因式分解，不符合题意； B、等式右边不是整式积的形式，不属于因式分解，不符合题意； C、该变形是整式乘法，是将乘积化为多项式，不属于因式分解，不符合题意； D、符合因式分解的定义，将多项式化为两个整式的积的形式，属于因式分解，符合题意． 变式1-3．下列从左到右的等式变形是不是因式分解？如果不是，请说明理由． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)不是因式分解，见解析 (2)是 (3)不是因式分解，见解析 【分析】 【详解】（1）解：不是因式分解，理由：从左到右的变形不是化成整式积的形式， 故不是因式分解； （2）解：从左到右的变形符合因式分解的定义，是因式分解； （3）解：不是因式分解，理由：等式右边不是整式的形式， 故不是因式分解． 题型二 已知因式分解的结果求参数 例2．二次三项式有一个因式是，则实数的值为______． 【答案】 【详解】设另一个因式为， 由题意得， 即， ，解得． 变式2-1．已知二次三项式有一个因式是，则m的值为____________． 【答案】 【详解】解：设另一个因式为，可得， 则， ∴，解得， ∴另一个因式为，m的值为． 变式2-2．若将多项式因式分解得，则的值为______． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ， 解得， ． 变式2-3．马小虎同学做了一道因式分解的习题，做完之后，不小心让墨水把等式中的两个数字盖住了，此时该等式为 那么式子中的，处对应的两个数字分别是（    ） A．64和8 B．24和3 C．16和2 D．8和1 【答案】C 【详解】设，，则， ， ， 解得， 所以式子中的，处对应的两个数字分别是16和2． 题型三 公因式 例3．与的公因式是（   ） A． B． C． D．不存在 【答案】A 【详解】解： 第一个多项式为 ∴ 两个多项式都含有的公因式为. 变式3-1．下列多项式的各项中，公因式是的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、没有公因式，此项错误； B、的公因式是，此项错误； C、的公因式是，此项错误； D、的公因式是，此项正确． 变式3-2．多项式中，各项的最大公因式是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：多项式的各项系数为，其绝对值的最大公约数是， 各项都含有的字母为，只出现在第二项，因此公因式不含， 的最低次幂是，的最低次幂是， ∴ 该多项式各项的最大公因式为． 变式3-3．把多项式分解因式，应提取的公因式是______． 【答案】 【详解】解：多项式中，各项系数分别为和，其最大公因数为；各项所含字母中，两项都含有字母，的最低次幂为，只有第二项含有字母，因此公共字母部分为；将系数的最大公因数与公共字母部分相乘，可得公因式为． 题型四 提公因式法分解因式 例4．若，，则______． 【答案】 【详解】解：， 又，， 原式． 变式4-1．因式分解：____． 【答案】 【详解】解： 变式4-2．若实数、满足，，则的值是________． 【答案】5 【详解】解：∵ ， ， 又， ，解得． 变式4-3．下列用提公因式法分解因式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A. ，本选项运算错误，不符合题意； B. ，本选项运算错误，不符合题意； C. ，分解结果正确，本选项运算正确，符合题意； D. ，本选项运算错误，不符合题意． 题型五 平方差公式分解因式 例5．分解因式：________． 【答案】 【详解】解： ． 变式5-1．把多项式分解因式，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解： ． 变式5-2．若m为任意正整数，则的值总能（   ） A．被3整除 B．被4整除 C．被5整除 D．被6整除 【答案】B 【详解】解： ， ∵为任意正整数， ∴是4的整数倍， 故原式总能被4整除． 变式5-3．我们知道，且8，16，24都能被8整除．试问：任意两个连续奇数的平方差都能被8整除吗？请说明理由． 【答案】能，理由见解析 【详解】解：能，理由如下： 设两个连续的奇数为和，其中为整数， 则． 因为为8的倍数， 所以任意两个连续奇数的平方差都能被8整除． 题型六 完全平方公式分解因式 例6．因式分解：____________． 【答案】 【详解】解： 变式6-1．分解因式：_________． 【答案】 【详解】解：． 变式6-2．多项式的最小值为________． 【答案】 【详解】解： ∵， ∴， ∴多项式的最小值为． 变式6-3．若实数a，b满足 ，则 ___________ 【答案】 【详解】解：， ， ， ， ，即， ， ． 题型七 综合运用公式法分解因式 例7．因式分解： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 变式7-1．把下列各式因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：； （2）解：． 变式7-2．因式分解：． 【答案】 【详解】解： ． 变式7-3．阅读材料解决问题 【材料】：学习了公式法后，某些二次三项式可以按照如下的方法分解因式和解决问题： ①将多项式因式分解： （变形依据_____） ． ②求多项式的最小值． 由①，得，因为， 所以．所以当时，的值最小，且最小值为． 【问题】 (1)①中第四步变形依据是__________； (2)把多项式分解因式并求出最小值； (3)已知，求代数式的最大值． 【答案】(1)平方差公式 (2)因式分解为；最小值为 (3) 【分析】 【详解】（1）解：①中第四步变形依据是平方差公式； （2）解：将多项式因式分解： ； 求多项式的最小值： ， ∵， ∴， ∴当时，，的值最小，且最小值为． （3）解：∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴当时，，的值最大，且最大值为． 题型八 综合提公因式和公式法分解因式 例8．把多项式分解因式的结果是______． 【答案】/ 【详解】解：． 变式8-1．小刚是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：州、爱、我、郑、游、美，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（     ） A．我爱美 B．郑州游 C．我爱郑州 D．美我郑州 【答案】C 【详解】解：， ∵，，，分别对应下列：州、爱、我、郑， ∴结果呈现的密码信息可能是：我爱郑州． 变式8-2．已知，，求代数式的值． 【答案】 【详解】解： ∵， ∴原式 ． 变式8-3．对于一个关于的整式，我们可以通过因式分解，分解为不能再分解的非常数因式的乘积，将其写成个整式的乘积，取的值为，这个整式的和记作整式的解码值．如当时，因式分解的结果为，则的值为，，，由此可以得到整式的解码值为．当时，整式的解码值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：， 分解得到个整式， 根据定义取， 分别计算各整式的值：，，， 解码值为 ． 题型九 因式分解的应用 例9．张明和李放剪出如图1所示的4个图，然后又拼成了如图2所示的大长方形，请你写出一个多项式的因式分解：___________． 【答案】 【详解】解：图1四个图形的总面积为， 图2大长方形的面积为， ， ． 变式9-1．已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为______． 【答案】 【详解】， ，得 ， 等式两边同除以，得 ， ，得 ， ， ， 整理得 ， 即， 解得． 变式9-2．如图，阴影部分的面积与一个长方形面积相等，阴影部分内、外都为正方形，边长如图．若该长方形的长为，则该长方形的宽为多少？ 【答案】 【详解】解：由题意得，该阴影部分的面积为： ， ∴该长方形的宽为． 变式9-3．如图，人民公园有一块半径为的圆形空地，在该空地上修建4个半径均为的圆形花坛，其余部分（阴影部分）种植草坪．（取3） (1)种植草坪（阴影部分）的面积为__________；（用含R，r的代数式表示） (2)当时，利用因式分解计算种植草坪（阴影部分）的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解：=大圆面积−4×小圆面积， ． （2）解：． 当，时， ． 题型十 十字相乘法 例10．若，则代数式的值_____ ． 【答案】 【详解】解：， ． 变式10-1．因式分解：． 【答案】 【详解】解：． 变式10-2．因式分解：． 【答案】 【详解】解： ． 变式10-3．根据如图所示的拼图过程，分解因式：__________． 【答案】()() 【详解】解：据图可知，左边图形的面积为， 右边图形的面积为， 故． 题型十一 分组分解法 例11．因式分解：____________． 【答案】 【详解】解： ． 变式11-1．分解因式：______． 【答案】 【详解】解： ． 变式11-2．因式分解：． 【答案】 【详解】 解： 原式 ． 变式11-3．已知，，求代数式的值． 【答案】15 【详解】解：原式， ∵，， ∴原式． 题型十二 利用因式分解法求最值 例12．利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问题．观察下列式子： ①，∵，∴，∴代数式有最小值； ②，∵，∴，∴代数式有最大值4． 阅读上述材料并完成下列问题： (1)代数式的最小值为 ；代数式的最大值为 ； (2)求代数式的最小值； (3)如图，在四边形中，对角线、相交于点，且，若，求四边形面积的最大值． 【答案】(1)2； (2) (3)18 【分析】 【详解】（1）解： ， ∵， ∴， ∴代数式的最小值为2； ， ∵， ∴， ∴， ∴代数式的最大值为； （2）解： ， ∵， ∴， ∴代数式的最小值为； （3）解：∵， ∴ ， 设，则， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴的最大值为18． 变式12-1．已知满足，则有（   ） A．最小值 B．最小值10 C．最大值2 D．最大值10 【答案】D 【详解】解：∵， ∴， 则， 配方：， ∵， ∴，当时取等号， ∴有最大值10； 故选D． 变式12-2．教科书中这样写道：“我们把多项式与叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决数学问题的方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题． 例如： ； ，则当时，有最小值，最小值是． 根据材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式： ； (2)当x为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值． 【答案】(1) (2)，最大值是11 【分析】 【详解】（1）解： ， ， 故答案为： ； （2）解： ， 则当时，多项式有最大值，最大值是11； 变式12-3．把代数式通过配方等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性来增加题目的已知条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用． 例如：①用配方法分解因式：． 原式． ②利用配方法求最小值：求最小值． 解：．因为不论取何值，总是非负数，即，所以，所以当时，有最小值，最小值是． 根据上述材料，解答下列问题： (1)填空：_______； (2)将变形为的形式，并求出的最小值． 【答案】(1)； (2)； 【分析】 【详解】（1）解：根据完全平方公式：， ∵，一次项系数的一半为，平方为， ∴． （2）解： 根据完全平方的非负性，对任意都有， ∴当时，原式有最小值， 即：的最小值为． 题型十三 因式分解的几何应用 例13．如图，用一张如图甲的正方形纸片、三张如图乙的长方形纸片、两张如图丙的正方形纸片拼成一个长方形（如图丁）． (1)请用不同的式子表示图丁的面积（写出两种即可）； (2)根据（1）所得结果，写出一个表示因式分解的等式． 【答案】(1)， (2) 【分析】 【详解】（1）解：图丁的面积可以看做一个长为，宽为的长方形的面积，则图丁的面积为，也可以看做一个边长为的正方形，三个长为，宽为的小长方形，两个边长为的正方形面积之和，则图丁的面积为； （2）解：由（1）得． 变式13-1．按要求解答： (1)如图所示的四个图形可拼成如图所示的一个大长方形，据此写出一个多项式的因式分解为______； (2)如图，有足够多的边长为的大正方形，长为，宽为的长方形和边长为的小正方形，请利用拼图将多项式进行因式分解，在图虚线框中画出你的拼图，并写出因式分解的结果； (3)若多项式（为正整数）可以用拼图法因式分解，则______． 【答案】(1)； (2)画图见解析，； (3)或． 【分析】 【详解】（1）解：由图可知，， ∴； （2）解：如图，， ； （3）解：如图 或 ∴或， ∴或． 变式13-2．数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法，借助此方法可将抽象的数学知识变得直观且具有可操作性，从而帮助我们解决问题．初中数学中有一些代数恒等式可以用一些卡片拼成的图形面积来解释．某同学在学习的过程中动手剪了如图①所示的正方形与长方形卡片若干张． (1)他用1张1号、1张2号和2张3号卡片拼出一个新的图形（如图②）．根据这个图形的面积关系写出一个你所熟悉的乘法公式，这个乘法公式是________． (2)如果要拼成一个长为，宽为的大长方形，那么需要2号卡片______张，3号卡片______张； (3)当他拼成如图③所示的长方形时，根据6张小卡片的面积和等于大长方形的面积可以把多项式分解因式，其结果是________． (4)请你依照该同学的方法，画出拼图并利用拼图将分解因式． 【答案】(1) (2)4张，5张 (3) (4)图见解析， 【分析】 【详解】（1）解：由题意，这个乘法公式是； （2）解：， 故需要2号卡片4张，3号卡片5张； （3）解：由图可知，； （4）解：由题意，画图如下： 由图可知：. 变式13-3．【知识再现】在研究平方差公式时，我们在边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形，如图1，把余下的阴影部分再剪拼成一个长方形（如图2），根据图1、图2阴影部分的面积关系，可以得到一个关于的等式①___________． 【知识迁移】在边长为的正方体上挖去一个边长为的小正方体后，余下的部分（如图3）再切割拼成一个几何体（如图4） 根据图3中的几何体的体积和图4中几何体的体积得到关于的等式为___________．（结果写成整式的积的形式） 【答案】【知识再现】；【知识迁移】 【分析】 【详解】解：[知识再现]：图1阴影部分的面积为、图2阴影部分的面积为， ∴可以得到一个关于的等式， 故答案为：； [知识迁移]：如图3中的几何体的体积为； 图4的几何体体积为； 根据它们的体积关系得到关于的等式为：， 故答案为：． 题型十四 因式分解的新定义运算 例14．数论是数学中最古老的分支之一，早在十七世纪，数学家费马便开始研究整数的平方拆分规律，他发现部分正整数能够拆解为两个整数的平方之和，这类数字具备独特的数学性质．为方便研究，我们给出定义：若一个正整数可以表示为两个整数的平方和，则称这个数为平方和数． 例如：，，所以、都是平方和数． 根据上述定义，完成下列问题： (1)判断、是否为平方和数，并说明理由； (2)若正整数是平方和数，且，直接写出所有符合条件的； (3)求证：两个平方和数的乘积仍是平方和数． 【答案】(1)解：13是平方和数，14不是平方和数，理由如下： ∵， ∴13是平方和数， ∵， ∴14不是平方和数； (2)解： (3)证明：设这两个平方和数分别为， ∴ ，为平方和数， 即两个平方和数的乘积仍是平方和数； 【分析】 【详解】（1）略 （2）解：当时，，此时不满足题意； 当时，，此时不满足题意； 当时，，此时满足题意； 当时，，此时不满足题意； 当时，，此时不满足题意； 当时，，此时满足题意； 当时，，此时满足题意； 当时，，此时满足题意； 当时，，此时不满足题意； 所以所有符合条件的k的值为； （3）略 变式14-1．定义1：对任意一个四位数（其中，且均为整数），若，，则称为“久久数”． 定义2：如果（x，y为正整数），则称是完全平方数． (1)判断：3267__________（是/不是）“久久数”，2435__________（是/不是）“久久数”； (2)证明：任意一个“久久数”能被99整除； (3)若四位数为“久久数”，记，若是完全平方数，求这个四位数． 【答案】(1)是，不是 (2)见解析 (3)1584、2475、3564、4851、6336 【分析】 【详解】（1）解：，， 是“久久数”， ， 不是“久久数”， 故答案为：是，不是； （2）证明：由题意得：，， ， 任意一个“久久数”都是的倍数； （3）解：， ， 为完全平方数， 为完全平方数， 、、、，且均为整数， 当时，，此时：， 当时，，此时：， 当时，，此时：， 当时，，此时：， 当时，，此时：， 这种四位数的个数共有个，分别为1584、2475、3564、4851、6336． 变式14-2．定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．例如：，，，则8，16，24都是“和谐数”． (1)特例感知：40 “和谐数”，2026 “和谐数”；（填“是”或“不是”） (2)规律探究：根据“和谐数”的定义，设两个连续正奇数为和，其中是正整数，那么“和谐数”都能被8整除吗？如果能，说明理由；如果不能，举例说明； (3)迁移应用：如图，拼接的正方形边长是从1开始的连续奇数，按此规律拼接到正方形，其边长为51，直接写出阴影部分的面积为 ． 【答案】(1)是，不是 (2)“和谐数”能被8整除，见解析 (3) 【分析】 【详解】（1）解：设， 解得，是整数， ∴40是“和谐数”； 设， 解得，不是整数， ∴2026不是“和谐数”； 故答案为：是，不是； （2）解：“和谐数”能被8整除．理由如下： ， 是正整数， 能被8整除， 能被8整除； （3）解： ， 阴影面积为． 变式14-3．在学习自然数时，我们发现一种特殊的自然数—“三顺数”． 定义1：对于四位自然数n，若千位数字为6，各个数位数字均不为0，能被6整除，且数n的各个数位数字之和也恰好能被6整除，则称这个自然数n为“三顺数”． 例如：6336是“三顺数”，因为6336÷6＝1056，且（6+3+3+6）÷6＝3；6216不是“三顺数”，因为6216÷6＝1036，但6+2+1+6＝15不能被6整除． 定义2：将任意一个“三顺数”n的前两位数字与后两位数字交换，交换后得到一个新的四位数n′，规定：T（n）＝． (1)判断6426，6726是否为“三顺数”，并说明理由； (2)若n是一个“三顺数”，它的百位数字比十位数字的2倍小2，求T（n）的最大值． 【答案】(1)6426是“三顺数”； 6726不是“三顺数”；理由见解析 (2)40 【分析】 【详解】（1）∵6426÷6=1071，且（6+4+2+6）÷6=3 ∴6426是“三顺数”； ∵6726÷6=1121，且6+7+2+6=21不能被6整除 ∴6726不是“三顺数”； （2）设n=，即这个四位数的百位，十位，个位数字分别为a，b，c． ∴n′=． ∴n=×100+，n′=×100+． ∴ =-． 当-最大时，T（n）最大，此时应该使b尽可能小． ①当b=1时，a=2b-2=0，不合题意； ②b=2时，a=2b-2=2，此时，． 6+2+2+c=10+c能被6整除，取c=2，n=6222． 6222÷6=1037． ∴T（n）的最大值=62-22=40． 【点睛】本题考查用新定义解题，根据新定义，表示n，n′和T（n）是求解本题的关键． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．下列多项式，能用完全平方公式分解因式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵选项A的多项式中，两个平方项与符号不同，不符合要求，∴A错误； ∵选项B的多项式只有两项，不符合完全平方公式分解的要求，∴B错误； ∵选项C的多项式中，一次项不是，不满足条件，∴C错误； ∵选项D的多项式，符合完全平方公式，∴D正确. 2．多项式中各项的公因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵多项式的两项为和， ①系数部分，5和10的最大公约数是5， ②字母部分，两项都含字母和，的最低次幂是，的最低次幂是， ∴公因式为． 3．已知多项式与一个单项式的和能因式分解，则这个单项式不可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：对选项A：和为 ，可以因式分解，故A不符合要求； 对选项B：和为，可以因式分解，故B不符合要求； 对选项C：和为，可以因式分解，故C不符合要求； 对选项D：和为，整理得，无法在整式范围内分解为多个整式的乘积，因此该多项式不能因式分解，故D符合要求． 4．计算的结果是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【详解】解： ． 5．已知边长为a、b的长方形的周长为18，面积为20，则的值为（     ） A．360 B．180 C．35 D．84 【答案】B 【详解】解：∵边长为，的长方形周长为，面积为， ∴，， ∴ ∴． 6．因式分解：___________． 【答案】 【详解】解： ． 7．关于的二次三项式因式分解的结果是，则______． 【答案】1 【详解】解：∵， ∴由题意得，， ∴． 8．已知 ，则 M 与 N 的大小关系为 M___N．（填>，<或=） 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴，即. 9．在对“”进行因式分解时，小深和小圳同学产生了分歧．下面是他们的解答过程，请认真阅读并完成相应的任务． 小深： 原式第一步 第二步 ．第三步 小圳： 原式第一步 第二步 ．第三步 任务： (1)________（填“小深”或“小圳”）的解答错误，从第________步开始出现错误． (2)按照解答错误同学的思路，写出正确的解答过程． 【答案】(1)小圳，一 (2)正确步骤见解析， 【分析】 【详解】（1）解：由平方差公式及整式的加减运算法则可知，小圳的解答错误，从第一步开始出现错误． （2）解： ． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．如图，点B，E，C在同一条直线上，正方形与正方形的边长分别为a，b．若阴影部分的面积为48，，则的值为______． 【答案】8 【详解】解：∵正方形与正方形的边长分别为， ， ， ， ， ， ， ． 2．对于一个各个数位上的数字均不为0的四位自然数（a，b，c，d均为大于等于1且小于等于9的整数），若满足，则称这个数是“幂差数”，如四位数5611，因为，所以5611是“幂差数”．若（其中）是“幂差数”，则这个四位数是_______． 【答案】 【详解】解：∵四位自然数是“幂差数”， ∴， ∴， ∵m，n都是的整数， ∴，且和同奇偶， ∵，只有2、6同奇偶， ∴， 解得：， ∴这个四位数是． 3．先阅读下列材料，再解答下列问题： 材料：因式分解： 解：将“”看成整体，令，则 原式 再将“a”还原，得原式 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，请你解下列问题： (1)因式分解：______． (2)因式分解：． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解：将“”看成整体，令，则 原式 再将“a”还原，得原式． （2）解：将“”看成整体，令，则 原式 再将“m”还原，得原式． 4．【项目准备】利用完全平方公式可将二次三项式分解因式，而对于，则不能直接利用公式分解因式，但可先用“配方法”将其一部分配成完全平方式，再继续完成分解因式．即…． (1)题干中，因式分解的最后结果是：______； (2)【项目解决】运用配方法解决：若，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ∵，， ∴， ∴． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．已知，． (1)将A因式分解为（其中M，N均为整式，且）的形式，并写出M，N（用含x的代数式表示）； (2)当时，若，通过计算判断“□”是“”“”“”“”中的哪一个运算符号． 【答案】(1)， (2)内填“” 【分析】 【详解】（1）解：， ∵， ∴； （2）解：由（1）， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴内填“”． 2．由，，三个数字组成进制数记作，若，且，，为整数，各位数字均小于，则的值是（     ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【详解】解：将p进制数转换为十进制，得值为，十进制数的值为， ∵， ∴， 化简得， 提取公因式得， ∵，， ∴，即， 又∵，且为整数， ∴可取， 当时，，得， ∵，最大，此时，不符合要求； 当时，，得，可得，，满足；由得，所有条件符合要求； 当时，，得， ∵，最大，无解； 综上，． 3．初中数学中，在图形与几何领域有推理或证明的内容，在数与代数领域也有推理或证明的内容．例如，在课本中第109页出现了这样一道题： 证明：三个连续自然数中，前两个数乘积与后两个数乘积的和一定为偶数． 小明给出了如下解答过程： 证明：设、、(为自然数) ① ② 且能被2整除， 能被2整除． 三个连续自然数中，前两个数乘积与后两个数乘积的和一定为偶数． 观察小明的证明过程，然后解答下列问题： (1)在上面的过程中，从第①处到第②处的变形是属于 （填写“整式的乘法”或“因式分解”）； (2)已知，且是奇数．求证：能被2整除． 【答案】(1)因式分解 (2)见解析 【分析】 【详解】（1）解：因式分解； （2）证明：设（为自然数） ∵ 且能被整除 ∴能被整除. 4．小丽在进行因式分解时发现一个现象，关于的二次多项式若能分解成两个一次整式相乘的形式，当或时，原多项式的值为0，则定义和为多项式的“零值”，两个“零值”的平均值为多项式的“对称值”．例如： ，当或时，的值为0，则多项式的“零值”为和的“对称值”为． 根据上述材料，解决下列问题： (1)多项式的“零值”为_____，“对称值”为_____； (2)若关于的多项式的两个“零值”相等，则多项式的“对称值”为_____； (3)若关于的多项式有一个“零值”为，关于的另一个多项式与多项式的“对称值”相同，且多项式的一个“零值”为，则它的另一个“零值”为_____． 【答案】(1)和， (2) (3) 【分析】 【详解】（1）对多项式因式分解，得 令，得； 令，得 因此多项式的“零值”为和 根据“对称值”定义计算得： ，即“对称值”为． （2）展开多项式 ，得 因为两个“零值”相等，设相等的“零值”为，则多项式可写成 对比系数得 ， 解得 ， 因此“对称值”为． （3）对 因式分解，得 ， 因此它的两个“零值”为和 已知该多项式有一个“零值”为，因此 计算 的“对称值”得： 设多项式的另一个“零值”为， 已知它的“对称值”与 相同，即对称值为，且一个零值为， 因此可得 解得，即另一个“零值”为． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 因式分解（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型一 判断是否是因式分解 题型二 已知因式分解的结果求参数 题型三 公因式 题型四 提公因式法分解因式 题型五 平方差公式分解因式 题型六 完全平方公式分解因式 题型七 综合运用公式法分解因式 题型八 综合提公因式和公式法分解因式 题型九 因式分解的应用 题型十 十字相乘法 题型十一 分组分解法 题型十二 利用因式分解法求最值 题型十三 因式分解的几何应用 题型十四 因式分解的新定义运算 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 公因式的识别 能准确找出多项式各项的公因式 基础必考小题，常结合提公因式综合考查，易误判字母次数 提公因式法分解因式 会运用提公因式法对多项式进行因式分解 高频基础考点，选择、填空、计算题均会出现，易错点为首项为负忘变号、提取公因式后漏写1 平方差公式的理解与应用 能识别平方差结构，熟练运用平方差公式分解因式 核心考点，题型灵活，常单独考查或结合化简求值出题，易混淆式子符号特征 完全平方公式的理解与应用 能判断完全平方式，正确使用完全平方公式分解因式 重难点考点，选择常考查完全平方式参数求解，解答题用于因式分解，易错点为记错公式中间项符号与系数 二次项系数为1的十字相乘法 掌握十字相乘法，能对对应二次三项式分解因式 多出现于填空、计算题，命题侧重整数系数式子分解，易错点为因数符号判断错误 二次项系数不为1的十字相乘法 会用十字相乘法分解首项系数不为1的二次三项式 多见于压轴小题与计算题型，系数拆分试算繁琐，是主要失分点 分组分解法分解因式 能根据多项式项数合理分组，完成因式分解。 拓展提升考点，期末少量考查，以四项、五项多项式为主，难点在于分组思路选择 因式分解综合运算 能按照解题顺序，综合运用多种方法完成因式分解 综合压轴考点，常考查“先提公因式再套公式”的组合题型，命题趋势为多方法融合，易错点为分解不彻底 知识点01 公因式 公因式是多项式每一项都共同含有的因式，是提取公因式法的基础。 1.公因式的形式多样，可以是数字、单个字母，也可以是多项式。 2.公因式的确定分为两部分 公因式的系数：取多项式各项系数的最大公约数。 公因式的字母部分：选取各项中相同的字母，字母的指数取该字母在各项里的最低次数。 知识点02 提公因式法 提公因式法本质是逆用乘法分配律，公式：。 1.解题关键：准确找出多项式全部项的公因式。 2.符号处理：若多项式首项系数为负数，先整体提取负号，保证括号内首项系数为正，同时括号内每一项都要改变符号。 3.易错提醒：若某一项和公因式相等，或是两项相加结果为0，提取公因式后，该项要保留或，不能遗漏，也不可直接当作0处理。 知识点03 公式法分解因式 公式法是逆用整式乘法公式，对符合结构特征的多项式进行因式分解，主要分为平方差公式和完全平方公式两类。 一、平方差公式 公式： 1.式子特征：等式左侧为两项，两项均为平方形式，且两项符号一正一负；右侧为两个整式的和与两个整式的差相乘。 2.公式中、不局限于单个字母，还可以代表数字、单项式或多项式，解题时可整体看待。 二、完全平方公式 公式：， 形如、的式子称为完全平方式。 1.式子特征：等式左侧是二次三项式，由两个数的平方和，加上或减去这两个数乘积的2倍构成；右侧是两个整式和或差的平方。 2.两个公式结构不同、适用条件不同，不可混用。 3.公式中的、可以是数字、单项式或多项式，灵活整体套用。 知识点04 十字相乘法 十字相乘法主要用于二次三项式的因式分解，分为二次项系数为1和二次项系数不为1两种情况。 一、二次项系数为1的二次三项式 标准形式： 1.先观察常数项的正负：时，拆分成两个同号因数，因数符号与一次项系数保持一致；时，拆分成两个异号因数，绝对值更大的因数符号跟随一次项系数。 2.当系数均为整数时，将常数项拆分为两个整数的乘积，验证两个整数的和是否等于一次项系数，反复尝试直至匹配成功。 二、二次项系数不为1的二次三项式 标准形式： 1.分解思路：看两端，凑中间。将二次项系数拆分为两个因数之积，常数项拆分为两个因数之积。 2.十字交叉验算：计算，若计算结果等于一次项系数，则分解成立，最终结果为。 3.符号处理：优先将二次项系数化为正数，若原式首项系数为负，先提出负号，分解括号内的多项式，最后再补上提取的负号。 知识点05 分组分解法 当多项式项数大于等于四项，无法直接提公因式、套用公式或使用十字相乘法时，可采用分组分解法。核心思路：合理分组，使分组后的每一组可分解，组与组之间再次出现公因式或符合公式特征，完成整体分解。 一、常规分组方式 四项多项式：二二分组，可按照字母、系数、公式特征分组；也可一三分组，先利用完全平方公式分解，再使用平方差公式分解。 五项多项式：三二分组，保证分组后各组之间存在公因式。 六项多项式：可分为三项+三项、二项+二项+二项，要求组间有公因式；也可分为三项+二项+一项，转化为二次三项式再分解。 二、添、拆项法 属于分组分解法的拓展技巧，在不改变原式大小的前提下，把多项式某一项拆分，或是添加一组互为相反数的项，让变形后的多项式能够使用提公因式法、公式法、分组分解法继续分解。该方法技巧性较强，需要多尝试总结规律。 知识点06 因式分解整体解题步骤 因式分解常用方法包含：提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法、添拆项法。 通用解题顺序：首先观察多项式，优先提取公因式；无公因式时，尝试使用平方差、完全平方等公式法；以上方法不适用时，根据多项式项数与结构，选用十字相乘法、分组分解法；复杂题型可搭配添、拆项法辅助分解，最终保证每一个因式都不能再继续分解。 题型一 判断是否是因式分解 例1．下列四个等式从左至右的变形中，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 变式1-1．下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 变式1-2．下列式子从左到右的变形中，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 变式1-3．下列从左到右的等式变形是不是因式分解？如果不是，请说明理由． (1)； (2)； (3)． 题型二 已知因式分解的结果求参数 例2．二次三项式有一个因式是，则实数的值为______． 变式2-1．已知二次三项式有一个因式是，则m的值为____________． 变式2-2．若将多项式因式分解得，则的值为______． 变式2-3．马小虎同学做了一道因式分解的习题，做完之后，不小心让墨水把等式中的两个数字盖住了，此时该等式为 那么式子中的，处对应的两个数字分别是（    ） A．64和8 B．24和3 C．16和2 D．8和1 题型三 公因式 例3．与的公因式是（   ） A． B． C． D．不存在 变式3-1．下列多项式的各项中，公因式是的是（   ） A． B． C． D． 变式3-2．多项式中，各项的最大公因式是（　　） A． B． C． D． 变式3-3．把多项式分解因式，应提取的公因式是______． 题型四 提公因式法分解因式 例4．若，，则______． 变式4-1．因式分解：____． 变式4-2．若实数、满足，，则的值是________． 变式4-3．下列用提公因式法分解因式正确的是（    ） A． B． C． D． 题型五 平方差公式分解因式 例5．分解因式：________． 变式5-1．把多项式分解因式，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 变式5-2．若m为任意正整数，则的值总能（   ） A．被3整除 B．被4整除 C．被5整除 D．被6整除 变式5-3．我们知道，且8，16，24都能被8整除．试问：任意两个连续奇数的平方差都能被8整除吗？请说明理由． 题型六 完全平方公式分解因式 例6．因式分解：____________． 变式6-1．分解因式：_________． 变式6-2．多项式的最小值为________． 变式6-3．若实数a，b满足 ，则 ___________ 题型七 综合运用公式法分解因式 例7．因式分解： (1)； (2)； (3)． 变式7-1．把下列各式因式分解： (1)； (2)． 变式7-2．因式分解：． 变式7-3．阅读材料解决问题 【材料】：学习了公式法后，某些二次三项式可以按照如下的方法分解因式和解决问题： ①将多项式因式分解： （变形依据_____） ． ②求多项式的最小值． 由①，得，因为， 所以．所以当时，的值最小，且最小值为． 【问题】 (1)①中第四步变形依据是__________； (2)把多项式分解因式并求出最小值； (3)已知，求代数式的最大值． 题型八 综合提公因式和公式法分解因式 例8．把多项式分解因式的结果是______． 变式8-1．小刚是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：州、爱、我、郑、游、美，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（     ） A．我爱美 B．郑州游 C．我爱郑州 D．美我郑州 变式8-2．已知，，求代数式的值． 变式8-3．对于一个关于的整式，我们可以通过因式分解，分解为不能再分解的非常数因式的乘积，将其写成个整式的乘积，取的值为，这个整式的和记作整式的解码值．如当时，因式分解的结果为，则的值为，，，由此可以得到整式的解码值为．当时，整式的解码值是（     ） A． B． C． D． 题型九 因式分解的应用 例9．张明和李放剪出如图1所示的4个图，然后又拼成了如图2所示的大长方形，请你写出一个多项式的因式分解：___________． 变式9-1．已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为______． 变式9-2．如图，阴影部分的面积与一个长方形面积相等，阴影部分内、外都为正方形，边长如图．若该长方形的长为，则该长方形的宽为多少？ 变式9-3．如图，人民公园有一块半径为的圆形空地，在该空地上修建4个半径均为的圆形花坛，其余部分（阴影部分）种植草坪．（取3） (1)种植草坪（阴影部分）的面积为__________；（用含R，r的代数式表示） (2)当时，利用因式分解计算种植草坪（阴影部分）的面积． 题型十 十字相乘法 例10．若，则代数式的值_____ ． 变式10-1．因式分解：． 变式10-2．因式分解：． 变式10-3．根据如图所示的拼图过程，分解因式：__________． 题型十一 分组分解法 例11．因式分解：____________． 变式11-1．分解因式：______． 变式11-2．因式分解：． 变式11-3．已知，，求代数式的值． 题型十二 利用因式分解法求最值 例12．利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问题．观察下列式子： ①，∵，∴，∴代数式有最小值； ②，∵，∴，∴代数式有最大值4． 阅读上述材料并完成下列问题： (1)代数式的最小值为 ；代数式的最大值为 ； (2)求代数式的最小值； (3)如图，在四边形中，对角线、相交于点，且，若，求四边形面积的最大值． 变式12-1．已知满足，则有（   ） A．最小值 B．最小值10 C．最大值2 D．最大值10 变式12-2．教科书中这样写道：“我们把多项式与叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决数学问题的方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题． 例如： ； ，则当时，有最小值，最小值是． 根据材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式： ； (2)当x为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值． 变式12-3．把代数式通过配方等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性来增加题目的已知条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用． 例如：①用配方法分解因式：． 原式． ②利用配方法求最小值：求最小值． 解：．因为不论取何值，总是非负数，即，所以，所以当时，有最小值，最小值是． 根据上述材料，解答下列问题： (1)填空：_______； (2)将变形为的形式，并求出的最小值． 题型十三 因式分解的几何应用 例13．如图，用一张如图甲的正方形纸片、三张如图乙的长方形纸片、两张如图丙的正方形纸片拼成一个长方形（如图丁）． (1)请用不同的式子表示图丁的面积（写出两种即可）； (2)根据（1）所得结果，写出一个表示因式分解的等式． 变式13-1．按要求解答： (1)如图所示的四个图形可拼成如图所示的一个大长方形，据此写出一个多项式的因式分解为______； (2)如图，有足够多的边长为的大正方形，长为，宽为的长方形和边长为的小正方形，请利用拼图将多项式进行因式分解，在图虚线框中画出你的拼图，并写出因式分解的结果； (3)若多项式（为正整数）可以用拼图法因式分解，则______． 变式13-2．数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法，借助此方法可将抽象的数学知识变得直观且具有可操作性，从而帮助我们解决问题．初中数学中有一些代数恒等式可以用一些卡片拼成的图形面积来解释．某同学在学习的过程中动手剪了如图①所示的正方形与长方形卡片若干张． (1)他用1张1号、1张2号和2张3号卡片拼出一个新的图形（如图②）．根据这个图形的面积关系写出一个你所熟悉的乘法公式，这个乘法公式是________． (2)如果要拼成一个长为，宽为的大长方形，那么需要2号卡片______张，3号卡片______张； (3)当他拼成如图③所示的长方形时，根据6张小卡片的面积和等于大长方形的面积可以把多项式分解因式，其结果是________． (4)请你依照该同学的方法，画出拼图并利用拼图将分解因式． 变式13-3．【知识再现】在研究平方差公式时，我们在边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形，如图1，把余下的阴影部分再剪拼成一个长方形（如图2），根据图1、图2阴影部分的面积关系，可以得到一个关于的等式①___________． 【知识迁移】在边长为的正方体上挖去一个边长为的小正方体后，余下的部分（如图3）再切割拼成一个几何体（如图4） 根据图3中的几何体的体积和图4中几何体的体积得到关于的等式为___________．（结果写成整式的积的形式） 题型十四 因式分解的新定义运算 例14．数论是数学中最古老的分支之一，早在十七世纪，数学家费马便开始研究整数的平方拆分规律，他发现部分正整数能够拆解为两个整数的平方之和，这类数字具备独特的数学性质．为方便研究，我们给出定义：若一个正整数可以表示为两个整数的平方和，则称这个数为平方和数． 例如：，，所以、都是平方和数． 根据上述定义，完成下列问题： (1)判断、是否为平方和数，并说明理由； (2)若正整数是平方和数，且，直接写出所有符合条件的； (3)求证：两个平方和数的乘积仍是平方和数． 变式14-1．定义1：对任意一个四位数（其中，且均为整数），若，，则称为“久久数”． 定义2：如果（x，y为正整数），则称是完全平方数． (1)判断：3267__________（是/不是）“久久数”，2435__________（是/不是）“久久数”； (2)证明：任意一个“久久数”能被99整除； (3)若四位数为“久久数”，记，若是完全平方数，求这个四位数． 变式14-2．定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．例如：，，，则8，16，24都是“和谐数”． (1)特例感知：40 “和谐数”，2026 “和谐数”；（填“是”或“不是”） (2)规律探究：根据“和谐数”的定义，设两个连续正奇数为和，其中是正整数，那么“和谐数”都能被8整除吗？如果能，说明理由；如果不能，举例说明； (3)迁移应用：如图，拼接的正方形边长是从1开始的连续奇数，按此规律拼接到正方形，其边长为51，直接写出阴影部分的面积为 ． 变式14-3．在学习自然数时，我们发现一种特殊的自然数—“三顺数”． 定义1：对于四位自然数n，若千位数字为6，各个数位数字均不为0，能被6整除，且数n的各个数位数字之和也恰好能被6整除，则称这个自然数n为“三顺数”． 例如：6336是“三顺数”，因为6336÷6＝1056，且（6+3+3+6）÷6＝3；6216不是“三顺数”，因为6216÷6＝1036，但6+2+1+6＝15不能被6整除． 定义2：将任意一个“三顺数”n的前两位数字与后两位数字交换，交换后得到一个新的四位数n′，规定：T（n）＝． (1)判断6426，6726是否为“三顺数”，并说明理由； (2)若n是一个“三顺数”，它的百位数字比十位数字的2倍小2，求T（n）的最大值． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．下列多项式，能用完全平方公式分解因式的是（     ） A． B． C． D． 2．多项式中各项的公因式是（   ） A． B． C． D． 3．已知多项式与一个单项式的和能因式分解，则这个单项式不可能是（     ） A． B． C． D． 4．计算的结果是（   ） A．2 B． C． D． 5．已知边长为a、b的长方形的周长为18，面积为20，则的值为（     ） A．360 B．180 C．35 D．84 6．因式分解：___________． 7．关于的二次三项式因式分解的结果是，则______． 8．已知 ，则 M 与 N 的大小关系为 M___N．（填>，<或=） 9．在对“”进行因式分解时，小深和小圳同学产生了分歧．下面是他们的解答过程，请认真阅读并完成相应的任务． 小深： 原式第一步 第二步 ．第三步 小圳： 原式第一步 第二步 ．第三步 任务： (1)________（填“小深”或“小圳”）的解答错误，从第________步开始出现错误． (2)按照解答错误同学的思路，写出正确的解答过程． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．如图，点B，E，C在同一条直线上，正方形与正方形的边长分别为a，b．若阴影部分的面积为48，，则的值为______． 2．对于一个各个数位上的数字均不为0的四位自然数（a，b，c，d均为大于等于1且小于等于9的整数），若满足，则称这个数是“幂差数”，如四位数5611，因为，所以5611是“幂差数”．若（其中）是“幂差数”，则这个四位数是_______． 3．先阅读下列材料，再解答下列问题： 材料：因式分解： 解：将“”看成整体，令，则 原式 再将“a”还原，得原式 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，请你解下列问题： (1)因式分解：______． (2)因式分解：． 4．【项目准备】利用完全平方公式可将二次三项式分解因式，而对于，则不能直接利用公式分解因式，但可先用“配方法”将其一部分配成完全平方式，再继续完成分解因式．即…． (1)题干中，因式分解的最后结果是：______； (2)【项目解决】运用配方法解决：若，，求的值． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．已知，． (1)将A因式分解为（其中M，N均为整式，且）的形式，并写出M，N（用含x的代数式表示）； (2)当时，若，通过计算判断“□”是“”“”“”“”中的哪一个运算符号． 2．由，，三个数字组成进制数记作，若，且，，为整数，各位数字均小于，则的值是（     ） A．7 B．8 C．9 D．10 3．初中数学中，在图形与几何领域有推理或证明的内容，在数与代数领域也有推理或证明的内容．例如，在课本中第109页出现了这样一道题： 证明：三个连续自然数中，前两个数乘积与后两个数乘积的和一定为偶数． 小明给出了如下解答过程： 证明：设、、(为自然数) ① ② 且能被2整除， 能被2整除． 三个连续自然数中，前两个数乘积与后两个数乘积的和一定为偶数． 观察小明的证明过程，然后解答下列问题： (1)在上面的过程中，从第①处到第②处的变形是属于 （填写“整式的乘法”或“因式分解”）； (2)已知，且是奇数．求证：能被2整除． 4．小丽在进行因式分解时发现一个现象，关于的二次多项式若能分解成两个一次整式相乘的形式，当或时，原多项式的值为0，则定义和为多项式的“零值”，两个“零值”的平均值为多项式的“对称值”．例如： ，当或时，的值为0，则多项式的“零值”为和的“对称值”为． 根据上述材料，解决下列问题： (1)多项式的“零值”为_____，“对称值”为_____； (2)若关于的多项式的两个“零值”相等，则多项式的“对称值”为_____； (3)若关于的多项式有一个“零值”为，关于的另一个多项式与多项式的“对称值”相同，且多项式的一个“零值”为，则它的另一个“零值”为_____． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $