专题1.4 有理数的乘方与近似数（高效培优讲义）数学沪科版2024七年级上册

专题1.4 有理数的乘方与近似数 教学目标 1.理解有理数的乘方的意义，并能进行乘方运算。 2.掌握有理数的混合运算顺序，并能熟练、正确地进行计算。 3.借助生活进一步感受较大的数，并能用科学记数法表示绝对值大于10的数。 4.了解近似数的意义，能按要求取近似数。 教学重难点 教学重点:乘方的概念与意义；乘方运算的符号规则；乘方与混合运算的结合；精确度的表示与四舍五入法则； 近似数在实际问题中的应用 教学难点：底数与指数的符号辨析；乘方运算的逆向理解；大数乘方的估算与应用；科学记数法与近似数的结合；近似数的误差分析与合理性判断。 知识点01 乘方的意义 1、求个相同因数的积的运算叫乘方，乘方的结果叫幂。叫底数，叫指数，读作：的次幂(的次方)。 2、乘方的意义：表示个相乘。 3、写法的注意： 当底数是负数或分数时，底数一定要打括号，不然意义就全变了． 如：＝()×()，表示两个相乘． 而＝，表示2个2相乘的积除以3的相反数． 4、与－的区别． (1)表示个相乘，底数是，指数是，读作：的次方． (2)－表示个乘积的相反数，底数是，指数是，读作：的次方的相反数． 如：底数是，指数是3，读作(－2)的3次方，表示3个(－2)相乘． ＝(－2)×(－2)×(－2)＝－8． 底数是2，指数是3，读作2的3次方的相反数．＝－(2×2×2)＝－8． 注：与的结果虽然都是－8，但表示的含义并不同。 【即学即练】把下列各式写成乘方的形式，并指出底数、指数各是什么． (1) (2) (3) 知识点02 有理数乘方运算的法则 (1)正数的任何次幂都是正数． (2)负数的奇次幂是负数． (3)负数的偶次幂是正数． (4)0的奇数次幂，偶次幂都是0． 所以，任何数的偶次幂都是正数或0。 【即学即练】2计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 知识点03 有理数的混合运算 1、有理数的混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，先算括号里面的，再算括号外面的。 2、括号前带负号，去掉括号后括号内各项要变号，即 ， 【即学即练】计算： (1)； (2)． 知识点04 科学记数法 1.科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】 2.规律方法总结： ①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n． ②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号． 【即学即练】1．用科学记数法表示下列各数： ①2021； ②576万； ③； ④． 2．将下列用科学记数法表示的数还原成原数． (1)； (2)； (3)； (4)． 知识点05 近似数 1.有效数字：从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字． 2.近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法． 3.规律方法总结： “精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些． 【即学即练】1．下列由四舍五入法得到的近似数，各精确到哪一位？ (1)； (2)； (3)； (4)万； (5)． 2．按括号里的要求，用四舍五入法对下列各数取近似数： (1)1.596（精确到0.01） (2)0.03057（精确到千分位） (3)2345000（精确到万位） (4)60290（保留两个有效数字） 题型01 乘方的运算 【例1-1】（24-25七年级上·安徽合肥·期末）下列各数中，结果相等的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【例1-2】（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）计算： (1)； (2)； 【例1-3】（23-24七年级上·安徽安庆·期中）对于任意有理数a，b定义一种新运算“△”：当时，；当时，．例：；． (1)求； (2)求的值； 【例1-4】（24-25七年级上·安徽淮北·阶段练习）如图，某同学设计了一种计算程序流程图，按要求完成下列任务： (1)当输入的值为时，求输出的值； (2)若输出的值为380，直接写出输入的值为__________； (3)若输入的值为0，求输出的值． 【变式1-1】（24-25七年级上·安徽安庆·期中）若，，，则a、b、c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25七年级上·安徽阜阳·阶段练习）在，，，这四个数中，最大的数与最小的数的差等于 ． 【变式1-3】（24-25七年级上·安徽滁州·期中）计算： (1) (2) 【变式1-4】（24-25七年级上·安徽安庆·期中）小力在电脑上设计一个有理数运算程序：输入，按键，再输入，得到运算． (1)求的值； (2)小华在运算此程序计算时，屏幕显示“该程序无法操作”你猜小华在输入数据时，可能是出现了什么情况？为什么？ 题型02 与有理数乘方有关的规律探究题 【例2】（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）观察下列等式： ， ， ， … 问题： (1)等式左边各项幂的底数和右边幂的底数有什么关系？ (2)上面的等式有何规律，你能用一个式子写出来吗？ (3)利用（2）中的规律，求的值． 【变式2-1】（22-23七年级上·安徽六安·阶段练习）观察下列运算过程： ，；，… (1)填空：______； ______； (2)仿照（1）中的规律，判断与的大小关系； (3)求的值． 【变式2-2】（24-25七年级上·安徽阜阳·期末）【概念学习】规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，类比有理数的乘方，我们把记作，读作2的圈3次方，记作，读作的圈4次方． 【初步探究】（1）直接写出计算结果：_________，__________． 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，则有理数的除方运算也可以按如图所示的方式转化为乘法运算． 【探究应用】（2）试一试：仿照图中算式，将下列运算结果直接写成乘方的形式：_____， _________（其中，为正整数）． （3）请利用（2）中结论计算：． 【变式2-3】综合与实践： 【阅读材料】定义“*”运算： ； ； ； ； ； ． (1)【发现】归纳*运算的法则： 两数进行*运算时，________．（文字语言或符号语言均可）特别地，0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，________． (2)【实践】计算：________． (3)【提升】是否存在有理数m，n，使得，若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由． 【变式2-4】（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）数学兴趣小组在合作学习过程中，获得知识的同时，也提出新的问题，例如：若对于正整数，，有，那么称为的劳格数，记为（，为正整数），例如：，则． 根据他们的研究结果，完成下列各题： (1)填空：______，______； (2)计算：______； (3)若，，求的值． 题型03 利用乘方运算解决实际问题 【例3】（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）一根20米长的绳子，第1次剪去一半，第2次剪去剩下的一半，第3次又剪去剩下的一半，如此剪下去，问第8次剪去后剩下的绳子有多长？ 【变式3-1】有一种纸的厚度为毫米，若拿两张重叠在一起，将它对折一次后，厚度为毫米． (1)对折次后，厚度为多少毫米？ (2)对折次后，厚度为多少毫米？ 【变式3-2】（24-25七年级上·安徽安庆·期中）生活在数字时代的我们，很多场合使用二维码来表示不同的信息，类似地，可通过正方形网格中，对每个小正方格涂黑色或不涂色所得的图形来表示不同的信息．在代码编制上巧妙利用构成计算机内部逻辑基础的“0”，“1”，使用若干个与二进制相对应的几何图形来表示数值（黑色代表1，白色代表0）．如图1是某校一次考试中三位同学的准考证号对应的二维码的简易编码．如图2是王芳同学准考证号的二维码简易编码，其中第一行代表二进制的数字11000，转化成10进制为：．同理，第二行至第五行代表二进制的数字分别为1100，111，11100，1101，转化成10进制为：12，07，28，13，将五行编码有序组合在一起就是王芳的准考证号2412072813，其中第一行编码“24”表示区县，第二行编码“12”表示学校，第三行编码“07”表示班级，第四行编码“28”表示考场号，第五行编码“13”表示座位号． (1)如图3是本次考试张亮同学准考证号的二维码简易编码，其中第四行代表二进制的数字是10101，转化成10进制后可得他的考场号是 ． (2)本次考试中，赵军的准考证号是2917021311，如图4是赵军为自己绘制的二维码简易编码，但少涂黑了几个小正方形，请你在图4中帮他补充完整． (3)随着学校办学规模不断扩大，班级及学生数量不断增加，该校准考证的编码识别系统能否一直适用？请通过计算说明理由． 题型04 科学记数法的应用 【例4】据不完全统计，某市至少有6×105个水龙头漏水，这些水龙头每月流失的总水量约1.68×105立方米． （1）每个水龙头每月的漏水量约多少立方米？（结果精确到0.1立方米） （2）如果该市每立方米水费是1.9元，这些水龙头一年漏水量的总水费是多少万元？ 【变式4-1】（22-23七年级下·安徽亳州·期末）2020年中国外卖订单近150亿单，消耗一次性筷子数量将超过45万吨，近900亿双．900亿双一次性筷子耗费立方米木材，若木材利用率为，则耗费木材立方米．一棵生长了20年的大树相当于立方米的木材． (1)1立方米的木材约能生产多少双一次性筷子？（精确到百位） (2)2020年我国消费的一次性筷子所耗费的木材要砍伐多少棵生长了20年的大树？ 【变式4-2】（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）在国庆节的七天长假中，某风景区10月1日的旅游人数为6万人，后面的六天与10月1日相比每天旅游人数变化如下表：（正数表示人数增加） 日期 2日 3日 4日 5日 6日 7日 人数变化（单位：万人） (1)七天长假中游客人数最多的一天比最少的一天多几万人？ (2)据测算，平均每位游客为风景区带来的旅游收入约为200元，则该风景区在这七天假期的旅游总收入约为多少元？（结果用科学记数法表示） 题型05 近似数的比较辨析 【例5】（23-24七年级上·安徽安庆·期末）下列说法正确的是（    ） A．近似数与精确度相同 B．数精确到百分位为 C．近似数精确到十分位 D．近似数万精确到百分位 【变式5-1】用四舍五入法按要求对分别取近似值，其中正确的是（    ） A．（精确到十分位） B．（精确到千分位） C．（精确到） D．（精确到百分位） 【变式5-2】（23-24七年级上·安徽合肥·期中）合肥园博园跻身全国热门景点，自园博会开幕以来，合肥园博园累计接待服务游客244万人次，单日最高客流量40万人次，跻身全国前二十旅游热门景区．关于244万，下列说法正确的是（    ） A．244万用科学记数法表示为 B．244万精确到个位 C．精确到百分位 D．和244万精确度不同 【变式5-3】（23-24七年级上·安徽合肥·阶段练习）由四舍五入得到的近似数，下列说法中正确的是（） A．精确到十分位 B．精确到个位 C．精确到百位 D．精确到千位 题型06 用近似数解决生活中的问题 【例6】（24-25七年级上·安徽合肥·期中）研究表明：高山上的温度随海拔的升高而降低，一般海拔升高100米，气温约下降摄氏度．已知位于安徽省的黄山海拔高度约为米，若山脚的气温是20摄氏度，则此时山顶的气温约为多少摄氏度？（结果保留整数） 【变式6-1】（社会发展情境·无线电波）已知向月球发射无线电波，无线电波传播到月球并返回地面需要秒，且无线电波每秒传播千米，则地球与月球之间的距离为多少千米？（精确到万位） 【变式6-2】马林的爸爸昨天买进沪市股“浦发银行”股和“白云机场”股，均以昨日收盘价买入．“浦发银行”今日的最新价格为每股元，涨价元；“白云机场”今日的最新价格为每股元，昨日收盘价为元．请回答下列问题： (1)与昨日相比，两只股票今日此时的涨跌幅各是多少（涨跌幅的绝对值精确到）？ (2)若马林的爸爸以今日最新价计算，则他是赔了还是赚了？请通过计算说明． 【变式6-3】（23-24七年级上·安徽合肥·阶段练习）你吃过“手拉面”吗？拉面馆的师傅用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条（假设在拉的过程中面条没有断），第一次捏合后，得到2根面条，第二次捏合后，得到4根面条，第三次捏合后，得到8根面条，如图所示，    (1)经过3次捏合后，可以拉出______根细面条．经过次捏合后，可以拉出______根细面条．（用含的式子表示） (2)到第几次捏合后可拉出32根细面条？ (3)假设每根细面条的长度是60cm，则捏合10次后，拉出的细面条的总长度为多少cm？（结果精确到万位） 一、单选题 1．（24-25七年级上·安徽淮北·期末）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）用四舍五入法按要求取近似值，其中错误的是(   ) A．精确到 B．精确到百分位 C．精确到千分位 D．精确到 3．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）定义新运算“☆”，规定：，则的运算结果为（   ） A． B． C．7 D．5 4．（2020九年级下·安徽·学业考试）中国信息通信研究院测算，年，中国商用带动的信息消费规模将超过8万亿元，直接带动经济总产出达万亿元．其中数据万亿用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）下列各级数中，数值相等的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 6．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期中）在，0，，，，中，负有理数的个数是（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 7．（24-25七年级上·安徽亳州·期末）近似数，精确到 位． 8．（24-25七年级上·安徽宿州·期末）从提出北斗建设工程开始，北斗导航卫星研制团队攻坚克难，突破重重关键技术，建成独立自主，开放兼容的全球卫星导航系统，成为世界上第三个独立拥有全球卫星导航系统的国家，现在每分钟200多个国家和地区的用户访问使用北斗卫星导航系统超次．其中用科学记数法表示为 ． 9．（24-25七年级上·安徽芜湖·期中）第十四届国际数学教育大会（）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是，表示的举办年份．则十进制数2025换算成八进制数是 ．（注：） 10．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）用一排6个黑白圆圈来表示数，如图分别表示数，则表示的数是 ． 11．（24-25七年级上·安徽芜湖·期末）小明在学习了“进位制”的知识后，掌握了不同进位制的数之间的转换方法，如将二进制数，换算成十进制数应为：．右图是小明采用“五进制”记数的方法所画的图形，从右向左，用涂黑的圆表示数，满五进一，表示的“五进制”数为，则此图表示的十进制数为 ． 12．（24-25七年级上·安徽淮南·期末）刘谦的魔术表演风靡全世界，很多同学非常感兴趣，也学起了魔术．小华把任意有理数对放进装有计算装置的魔术盒，会得到一个新的有理数． 例如：把放入其中，就会得到．现将有理数对放入其中，得到的有理数是 ．若将正整数对放入其中，得到的值是6，则满足条件的所有的正整数对为 ． 三、解答题 13．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）计算： 14．（24-25七年级上·安徽亳州·期末）计算： 15．（24-25七年级上·安徽阜阳·期末）已知互为相反数，互为倒数，，求代数式的值． 16．（23-24七年级上·安徽淮南·阶段练习）已知a，b均为有理数，现我们定义一种新运算，规定．例如：． (1)求的值； (2)求的值． 17．（24-25七年级上·安徽滁州·阶段练习）在数学活动课上，李老师设计了一个游戏活动，四名同学分别代表一种运算，四名同学可以任意排列，每次排列代表一种运算顺序，剩余同学中，一名学生负责说一个数，其他同学负责运算，运算结果既对又快者获胜，可以得到一个奖品．我们用四个卡片代表四名同学． A： 乘2 B： 减 C： 平方 D： 加6 (1)经过A，B，C，D的顺序运算后，结果是多少？ (2)经过B，C，A，D的顺序运算后，结果是多少？ 18．（24-25七年级上·安徽宣城·期中）如图，将一张边长为 1 的正方形纸片分割成7个部分，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依此类推． (1)阴影部分的面积是 ； (2)以下是甲，乙两位同学求 的方法； 甲同学的方法：利用已给正方形图形求， ；    乙同学的方法： ① ② ②①即可…. 请同学们帮助乙同学完成之后的步骤，并求出S的值。 (3)请借助甲或乙同学的方法，求出的值． 19．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）规定新运算：求若干个相同的有理数（均不等于）的除法运算叫做除方， 例如：等，类比有理数的乘方，我们把记作，读作“的圈次方”，记作，读作：“的圈次方”．一般地，把个相除记作，读作“的圈次方” (1)直接写出计算结果：_______，________． (2)关于除方，下列说法正确的是________． ①任何非零数的圈次方都等于； ②对于任何正整数，的圈次方都等于； ③； ④负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． (3)算一算：． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.4 有理数的乘方与近似数 教学目标 1.理解有理数的乘方的意义，并能进行乘方运算。 2.掌握有理数的混合运算顺序，并能熟练、正确地进行计算。 3.借助生活进一步感受较大的数，并能用科学记数法表示绝对值大于10的数。 4.了解近似数的意义，能按要求取近似数。 教学重难点 教学重点:乘方的概念与意义；乘方运算的符号规则；乘方与混合运算的结合；精确度的表示与四舍五入法则； 近似数在实际问题中的应用 教学难点：底数与指数的符号辨析；乘方运算的逆向理解；大数乘方的估算与应用；科学记数法与近似数的结合；近似数的误差分析与合理性判断。 知识点01 乘方的意义 1、求个相同因数的积的运算叫乘方，乘方的结果叫幂。叫底数，叫指数，读作：的次幂(的次方)。 2、乘方的意义：表示个相乘。 3、写法的注意： 当底数是负数或分数时，底数一定要打括号，不然意义就全变了． 如：＝()×()，表示两个相乘． 而＝，表示2个2相乘的积除以3的相反数． 4、与－的区别． (1)表示个相乘，底数是，指数是，读作：的次方． (2)－表示个乘积的相反数，底数是，指数是，读作：的次方的相反数． 如：底数是，指数是3，读作(－2)的3次方，表示3个(－2)相乘． ＝(－2)×(－2)×(－2)＝－8． 底数是2，指数是3，读作2的3次方的相反数．＝－(2×2×2)＝－8． 注：与的结果虽然都是－8，但表示的含义并不同。 【即学即练】把下列各式写成乘方的形式，并指出底数、指数各是什么． (1) (2) (3) 【答案】(1)底数是，指数是3 (2)底数是，指数是4 (3)底数是m，指数是 【分析】本题主要考查了乘方的意义，解题的关键是掌握乘方是一种特殊的乘法运算，幂是乘方的结果，当底数是负数或分数时，要先用括号将底数括起来再写指数．表示n个a相乘． （1）首先化成幂的形式，再指出底数和指数各是什么即可； （2）首先化成幂的形式，再指出底数和指数各是什么即可； （3）首先化成幂的形式，再指出底数和指数各是什么即可． 【详解】（1）解：，底数是，指数是3． （2）解：，底数是，指数是4． （3）解：，底数是m，指数是． 知识点02 有理数乘方运算的法则 (1)正数的任何次幂都是正数． (2)负数的奇次幂是负数． (3)负数的偶次幂是正数． (4)0的奇数次幂，偶次幂都是0． 所以，任何数的偶次幂都是正数或0。 【即学即练】2计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解： （6）解：． 知识点03 有理数的混合运算 1、有理数的混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，先算括号里面的，再算括号外面的。 2、括号前带负号，去掉括号后括号内各项要变号，即 ， 【即学即练】计算： (1)； (2)． 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）先计算乘方、绝对值，再计算加减即可； （2）先计算乘方，再计算乘除，最后计算加减即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 知识点04 科学记数法 1.科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】 2.规律方法总结： ①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n． ②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号． 【即学即练】1．用科学记数法表示下列各数： ①2021； ②576万； ③； ④． 【分析】本题主要考查了科学记数法，将数据表示成形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a、n的值是解题的关键． 将各个数写成其中，n为整数的形式即可． 【详解】解：用科学记数法表示各数分别为： ①；②576万；③；④． 2．将下列用科学记数法表示的数还原成原数． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查写出用科学记数法表示的原数．将科学记数法表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把的小数点向右移动位所得到的数． （1）根据将科学记数法还原成原数的方法即可得出答案； （2）根据将科学记数法还原成原数的方法即可得出答案； （3）根据将科学记数法还原成原数的方法即可得出答案； （4）根据将科学记数法还原成原数的方法即可得出答案． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 知识点05 近似数 1.有效数字：从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字． 2.近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法． 3.规律方法总结： “精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些． 【即学即练】1．下列由四舍五入法得到的近似数，各精确到哪一位？ (1)； (2)； (3)； (4)万； (5)． 【答案】(1)精确到个位 (2)精确到十分位 (3)精确到万分位 (4)精确到百位 (5)精确到百位 【分析】本题主要考查近似数的精确度，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据近似数的定义即可得出． （2）根据近似数的定义即可得出． （3）根据近似数的定义即可得出． （4）万的末位数字在百位，可得近似数精确到百位． （5）对科学记数法表示的近似数中，的末位数字对应的数位即精确到的数位． 【详解】（1）解：的末位数字在个位， ∴近似数精确到个位． （2）解：的末位数字在十分位， ∴近似数精确到十分位． （3）解：的末位数字在万分位， ∴近似数精确到万分位． （4）解：∵万 ∴万的末位数字在百位， ∴近似数万精确到百位． （5）解：∵ ∴的末位数字在百位， ∴近似数精确到百位． 2．按括号里的要求，用四舍五入法对下列各数取近似数： (1)1.596（精确到0.01） (2)0.03057（精确到千分位） (3)2345000（精确到万位） (4)60290（保留两个有效数字） 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了近似数和有效数字：经过四舍五入得到的数为近似数；从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字，近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示：一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法． （1）根据近似数的定义求解即可； （2）根据近似数的定义求解即可； （3）根据近似数的定义求解即可； （4）根据有效数字的定义求解即可． 【详解】（1）解：1.596精确到0.01为； （2）解：0.03057精确到千分位为； （3）解：2345000精确到万位为； （4）解：60290保留两个有效数字为． 题型01 乘方的运算 【例1-1】（24-25七年级上·安徽合肥·期末）下列各数中，结果相等的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】A 【知识点】有理数的乘方运算 【分析】本题考查有理数的乘方运算，根据有理数的乘方法则，绝对值的意义，求出各数，再进行判断即可． 【详解】解：A．∵，，∴，故此选项符合题意； B．∵，，∴，故此选项不符合题意； C．∵，，∴，故此选项不符合题意； D．∵，，∴，故此选项不符合题意； 故选：A． 【例1-2】（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）计算： (1)； (2)； 【答案】(1) (2)7 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先算乘方，再算乘除，后算加减； （2）先算乘方，再算乘除，后算加减； 【详解】（1） （2） 【例1-3】（23-24七年级上·安徽安庆·期中）对于任意有理数a，b定义一种新运算“△”：当时，；当时，．例：；． (1)求； (2)求的值； 【答案】(1)16 (2)64 【知识点】有理数的减法运算、有理数的乘方运算 【分析】本题考查了新定义下的有理数的运算．理解题意，正确的运算是解题的关键． （1）由，可得，计算求解即可； （2）根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【例1-4】（24-25七年级上·安徽淮北·阶段练习）如图，某同学设计了一种计算程序流程图，按要求完成下列任务： (1)当输入的值为时，求输出的值； (2)若输出的值为380，直接写出输入的值为__________； (3)若输入的值为0，求输出的值． 【答案】(1)输出的值为124 (2)5或 (3)6380 【知识点】程序流程图与有理数计算 【分析】本题主要考查了与流程图有关的有理数混合计算： （1）根据流程图可得算式，计算出该结果，若大于100，则输出，若不大于100，则计算的结果作为新输入的数，再计算，如此反复，直至能输出对应的结果即可； （2）根据输出的结果为380，得到平方后的结果为400，根据的平方为400，得到x乘以负4的结果为，据此求解即可； （3）同（1）求解即可． 【详解】（1）解：）当时，，故输出的值为124． （2）解：，的平方为400， 或． （3）解：当时，，， 此时输出的值为6380． 【变式1-1】（24-25七年级上·安徽安庆·期中）若，，，则a、b、c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】有理数大小比较、有理数的乘方运算、相反数的定义 【分析】本题主要考查了有理数的乘方，求一个数的相反数，有理数大小比较等知识点，熟练掌握有理数的运算法则和相关概念是解题的关键． 由题意可得，，，然后比较其大小即可． 【详解】解：，，， ， 故选：． 【变式1-2】（24-25七年级上·安徽阜阳·阶段练习）在，，，这四个数中，最大的数与最小的数的差等于 ． 【答案】 【知识点】有理数大小比较、有理数的减法运算、有理数的乘方运算 【分析】本题主要考查了有理数的乘方，有理数的减法，有理数的大小比较，熟练掌握有理数的乘方法则，有理数的减法法则，有理数的大小比较法则是解题的关键． 先根据有理数的乘方运算计算，可得最大的数为，最小的数为，再根据有理数的减法运算计算，即可求解． 【详解】解：由题意可得：，，，， ∵， ∴最大的数为，最小的数为， ∴最大的数与最小的数的差等于． 故答案为： 【变式1-3】（24-25七年级上·安徽滁州·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序． （1）先算乘方，再算乘法，最后算加减；如果有括号，要先做括号内的运算； （2）先算乘方，再根据乘法分配律计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1-4】（24-25七年级上·安徽安庆·期中）小力在电脑上设计一个有理数运算程序：输入，按键，再输入，得到运算． (1)求的值； (2)小华在运算此程序计算时，屏幕显示“该程序无法操作”你猜小华在输入数据时，可能是出现了什么情况？为什么？ 【答案】(1) (2)见详解 【知识点】程序流程图与有理数计算 【分析】本题是信息题，把当作a，2当作b，代入运算程序中进行计算．同时考查了有理数的混合运算，利用了分母和除数不能为0求第二小题． （1）把当作a，2当作b，代入运算程序中计算即可； （2）由于程序中有分数，分母不能为0；程序中有除法，除数不能为0，围绕这两方面找原因． 【详解】（1）解：     ；          （2）解：由于分母不为0，且程序中有和除以，故或时，程序无法操作． 题型02 与有理数乘方有关的规律探究题 【例2】（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）观察下列等式： ， ， ， … 问题： (1)等式左边各项幂的底数和右边幂的底数有什么关系？ (2)上面的等式有何规律，你能用一个式子写出来吗？ (3)利用（2）中的规律，求的值． 【答案】(1)等式左边各项幂的底数的和等于右边幂的底数 (2) (3) 【知识点】有理数的乘方运算、数字类规律探索 【分析】（1）根据所给的3个算式，可得：等式左边各项幂的底数的和等于右边幂的底数； （2）根据所给的3个算式，可得：每个等式的左边是从1开始的连续几个正整数的立方和，右边等于这几个连续的正整数的和的平方，据此计算解答； （3）根据（2）的规律计算即可 【详解】（1）解：，右边幂的底数：， ，右边幂的底数： ，右边幂的底数： … ，右边幂的底数：， 等式左边各项幂的底数和右边幂的底数的关系为：等式左边各项幂的底数的和等于右边幂的底数 （2）解：； （3）解： 【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，关键是找规律，本题的规律为：左边各个幂的底数之和等于右边幂的底数． 【变式2-1】（22-23七年级上·安徽六安·阶段练习）观察下列运算过程： ，；，… (1)填空：______； ______； (2)仿照（1）中的规律，判断与的大小关系； (3)求的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【知识点】有理数的乘方运算、含乘方的有理数混合运算 【分析】（1）根据所给的求解方式进行求解即可； （2）把相应的数进行运算，最后比较即可； （3）利用（2）中的规律进行求解即可． 【详解】（1）解：；； （2）解：∵，， ∴； （3）解：原式． 【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 【变式2-2】（24-25七年级上·安徽阜阳·期末）【概念学习】规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，类比有理数的乘方，我们把记作，读作2的圈3次方，记作，读作的圈4次方． 【初步探究】（1）直接写出计算结果：_________，__________． 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，则有理数的除方运算也可以按如图所示的方式转化为乘法运算． 【探究应用】（2）试一试：仿照图中算式，将下列运算结果直接写成乘方的形式：_____， _________（其中，为正整数）． （3）请利用（2）中结论计算：． 【答案】（1），9；（2），；（3） 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查有理数的乘方、新定义，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）根据题意，可以计算出所求式子的值； （2）根据题意，可以计算出所求式子的值； （3）先算乘方和除方，再算乘除法，然后算减法即可． 【详解】解：（1）由题意可得， ，， 故答案为：，9； （2）由题意可得， ， ， 故答案为：，； （3） ． 【变式2-3】综合与实践： 【阅读材料】定义“*”运算： ； ； ； ； ； ． (1)【发现】归纳*运算的法则： 两数进行*运算时，________．（文字语言或符号语言均可）特别地，0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，________． (2)【实践】计算：________． (3)【提升】是否存在有理数m，n，使得，若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由． 【答案】(1)同号得正，异号得负，并把两数的平方相加；等于这个数的平方； (2)17 (3)， 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】此题主要考查了定义新运算，以及有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算，注意加法运算定律的应用． （1）首先根据运算的运算法则进行运算的算式，归纳出运算的运算法则即可；然后根据：；，可得：0和任何数进行 运算，或任何数和0进行运算，等于这个数的平方． （2）根据（1）中总结出的运算的运算法则，以及有理数的混合运算的运算方法，求出的值是多少即可． （3）加法有交换律和结合律，这两种运算律在有理数的运算中还适用，并举例验证加法交换律适用即可． 【详解】（1）解：归纳运算的法则：两数进行运算时，同号得正，异号得负，并把两数的平方相加．特别地，0和任何数进行运算，或任何数和0进行运算，等于这个数的平方． 故答案为：同号得正，异号得负，并把两数的平方相加；等于这个数的平方； （2） ． 故答案为：17 （3）， ，， 解得，． 【变式2-4】（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）数学兴趣小组在合作学习过程中，获得知识的同时，也提出新的问题，例如：若对于正整数，，有，那么称为的劳格数，记为（，为正整数），例如：，则． 根据他们的研究结果，完成下列各题： (1)填空：______，______； (2)计算：______； (3)若，，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】有理数加法运算、有理数的乘方运算 【分析】本题主要考查了有理数的乘方运算，有理数的加法运算等知识点，理解劳格数的定义并正确的列式计算是解题的关键． （1）根据劳格数的定义即可求出答案； （2）根据劳格数的定义列式计算即可； （3）根据劳格数的定义先求出，的值，然后再求出的值即可． 【详解】（1）解：，， ，， 故答案为∶，； （2）解：，， ，， ， 故答案为∶； （3）解：， ， ， ， 为正整数， ， ． 题型03 利用乘方运算解决实际问题 【例3】（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）一根20米长的绳子，第1次剪去一半，第2次剪去剩下的一半，第3次又剪去剩下的一半，如此剪下去，问第8次剪去后剩下的绳子有多长？ 【答案】米 【知识点】乘方的应用 【分析】表示出第一次，第二次剪去后剩下的长度，…，归纳总结得到第8次后剩下的长度即可． 【详解】解：∵第1次剪去后剩下的绳子的长度为米， ∴第2次剪去后剩下的绳子的长度为米； ∴第3次剪去后剩下的绳子的长度为米； 依此类推第8次剪去后剩下的绳子的长度为（米）． 故答案为：米． 【点睛】此题是规律类探索问题，主要考查了乘方的意义．由特殊出发探索得到规律是解题的关键． 【变式3-1】有一种纸的厚度为毫米，若拿两张重叠在一起，将它对折一次后，厚度为毫米． (1)对折次后，厚度为多少毫米？ (2)对折次后，厚度为多少毫米？ 【答案】(1)（毫米） (2)（毫米） 【知识点】有理数的乘方运算、乘方的应用 【分析】（1）根据对折规律确定出所求厚度即可； （2）根据对折规律确定出所求厚度即可． 【详解】（1）解：根据题意得：（毫米）． （2）解：根据题意得：（毫米）． 【点睛】本题考查了有理数的乘方，将纸的层数化为幂的形式，找出这些值与对折次数的对应关系是解答本题的关键． 【变式3-2】（24-25七年级上·安徽安庆·期中）生活在数字时代的我们，很多场合使用二维码来表示不同的信息，类似地，可通过正方形网格中，对每个小正方格涂黑色或不涂色所得的图形来表示不同的信息．在代码编制上巧妙利用构成计算机内部逻辑基础的“0”，“1”，使用若干个与二进制相对应的几何图形来表示数值（黑色代表1，白色代表0）．如图1是某校一次考试中三位同学的准考证号对应的二维码的简易编码．如图2是王芳同学准考证号的二维码简易编码，其中第一行代表二进制的数字11000，转化成10进制为：．同理，第二行至第五行代表二进制的数字分别为1100，111，11100，1101，转化成10进制为：12，07，28，13，将五行编码有序组合在一起就是王芳的准考证号2412072813，其中第一行编码“24”表示区县，第二行编码“12”表示学校，第三行编码“07”表示班级，第四行编码“28”表示考场号，第五行编码“13”表示座位号． (1)如图3是本次考试张亮同学准考证号的二维码简易编码，其中第四行代表二进制的数字是10101，转化成10进制后可得他的考场号是 ． (2)本次考试中，赵军的准考证号是2917021311，如图4是赵军为自己绘制的二维码简易编码，但少涂黑了几个小正方形，请你在图4中帮他补充完整． (3)随着学校办学规模不断扩大，班级及学生数量不断增加，该校准考证的编码识别系统能否一直适用？请通过计算说明理由． 【答案】(1)21 (2)见解析 (3)不能，理由见解析 【知识点】乘方的应用 【分析】（1）根据二维码编码规则即可确定第四行代表二进制的数字，再将其转化为10进制数字即可； （2）根据题意可知赵军的准考证号是2917021311，由二进制和十进制数字转化规则确定各行编码二进制数字，即可获得答案； （3）计算该编号识别系统中班级、考场号、座位号的最大值即可解答． 【详解】（1）解：根据题意得，第四行代表二进制的数字是10101， 二进制的数字10101，转化成10进制为：， ∴转化成10进制后可得他的考场号是21， 故答案为：21； （2）解：准考证号2917021311，分别将29，17，02，13，11转化为二进制， ，29转化为二进制为：11101， ，17转化为二进制为：10001， ，02转化为二进制为：10， ，13转化为二进制为：1101， ，11转化为二进制为：1011， 如图所示： （3）解：∵， ∴班级、考场号、座位号的最大值都是31， ∴随着学校规模的不断扩大，班级数在不断增加，该编号识别系统不能一直适用． 【点睛】本题主要考查了二进制与十进制数字转化、有理数运算等知识，熟练掌握二进制与十进制转化规则是解题关键． 题型04 科学记数法的应用 【例4】据不完全统计，某市至少有6×105个水龙头漏水，这些水龙头每月流失的总水量约1.68×105立方米． （1）每个水龙头每月的漏水量约多少立方米？（结果精确到0.1立方米） （2）如果该市每立方米水费是1.9元，这些水龙头一年漏水量的总水费是多少万元？ 【答案】（1）0.3立方米；（2）383.04万元 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【详解】【分析】（1）根据除法的意义列式计算即可； （2）根据“单价×数量＝总价”列式计算即可． （1）（1.68×105）÷（6×105）≈0.3（立方米）； 每个水龙头每月的漏水量约0.3立方米； （2）1.68×105×12×1.9÷10000＝383.04（万元）． 答：这些水龙头一年漏水量的总水费约383.04万元． 【变式4-1】（22-23七年级下·安徽亳州·期末）2020年中国外卖订单近150亿单，消耗一次性筷子数量将超过45万吨，近900亿双．900亿双一次性筷子耗费立方米木材，若木材利用率为，则耗费木材立方米．一棵生长了20年的大树相当于立方米的木材． (1)1立方米的木材约能生产多少双一次性筷子？（精确到百位） (2)2020年我国消费的一次性筷子所耗费的木材要砍伐多少棵生长了20年的大树？ 【答案】(1)34900双 (2)棵 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】（1）根据“消费一次性筷子约900亿双，耗费木材”列式计算即解答； （2）根据“我国每年消费一次性筷子约900亿双耗费木材立方米”，结合一棵生长了20年的大树相当于立方米的木材列式计算即可解答． 【详解】（1）解：（双）． 答：1立方米的木材约能生产34900双一次性筷子． （2）解：棵． 答：2020年我国消费的一次性筷子所耗费的木材要砍伐棵生长了20年的大树． 【点睛】本题考查科学记数法的应用、整式除法等知识点．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 【变式4-2】（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）在国庆节的七天长假中，某风景区10月1日的旅游人数为6万人，后面的六天与10月1日相比每天旅游人数变化如下表：（正数表示人数增加） 日期 2日 3日 4日 5日 6日 7日 人数变化（单位：万人） (1)七天长假中游客人数最多的一天比最少的一天多几万人？ (2)据测算，平均每位游客为风景区带来的旅游收入约为200元，则该风景区在这七天假期的旅游总收入约为多少元？（结果用科学记数法表示） 【答案】(1)七天长假中游客人数最多的一天比最少的一天多1万人 (2)该风景区在这七天假期的旅游总收入约为元． 【知识点】正负数的实际应用、有理数减法的实际应用、有理数四则混合运算的实际应用、用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合计算的实际应用，有理数减法的实际应用，科学记数法，正负数的实际应用： （1）用表格中人数变化最大的数减去最小的数即可得到答案； （2）先求出这七天的旅游总人数，再求出旅游总收入即可得到答案． 【详解】（1）解：万人， 答：七天长假中游客人数最多的一天比最少的一天多1万人； （2）解： 元， 答：该风景区在这七天假期的旅游总收入约为元． 题型05 近似数的比较辨析 【例5】（23-24七年级上·安徽安庆·期末）下列说法正确的是（    ） A．近似数与精确度相同 B．数精确到百分位为 C．近似数精确到十分位 D．近似数万精确到百分位 【答案】B 【知识点】求一个数的近似数、求近似数的精确度 【分析】本题主要考查了近似数，精确度：表示一个近似数与准确数的接近程度．一般的来说，一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个数的精确度在哪一位．根据近似数的精确度逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A．近似数精确到了十分位，而近似数精确到了百分位，原说法错误，故本选项不符合题意； B．近似数精确到百分位为，原说法正确，故本选项符合题意； C．近似数精确到了千位，原说法错误，故本选项不符合题意； D．近似数万精确到了百位，原说法错误，故本选项不符合题意； 故选：B． 【变式5-1】用四舍五入法按要求对分别取近似值，其中正确的是（    ） A．（精确到十分位） B．（精确到千分位） C．（精确到） D．（精确到百分位） 【答案】C 【知识点】求一个数的近似数 【分析】本题考查了近似数，对于用科学记数法表示的数，有效数字的计算方法以及与精确到哪一位是需要识记的内容，经常会出错．近似数精确到哪一位，应当看末位数字实际在哪一位． 【详解】解：A、，不符合要求，故错误； B、精确到千分位是，故错误； C、是精确到，正确； D、精确到百分位是，故错误． 故选：C． 【变式5-2】（23-24七年级上·安徽合肥·期中）合肥园博园跻身全国热门景点，自园博会开幕以来，合肥园博园累计接待服务游客244万人次，单日最高客流量40万人次，跻身全国前二十旅游热门景区．关于244万，下列说法正确的是（    ） A．244万用科学记数法表示为 B．244万精确到个位 C．精确到百分位 D．和244万精确度不同 【答案】A 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数、求近似数的精确度 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，求近似值，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法． 【详解】解：A．244万用科学记数法表示为，故A正确； B．244万精确到万位，故B错误； C．精确到万位，故C错误； D．和244万精确度相同，故D错误． 故选：A． 【变式5-3】（23-24七年级上·安徽合肥·阶段练习）由四舍五入得到的近似数，下列说法中正确的是（） A．精确到十分位 B．精确到个位 C．精确到百位 D．精确到千位 【答案】C 【知识点】求近似数的精确度 【分析】先将，还原成原数，再看6在什么位上，即精确到了哪一位． 【详解】解：，6在百位，即精确到了百位， 故选：C． 【点睛】本题考查了近似数精确度的意义，近似数精确到哪一位，应当看末位数字实际在哪一位． 题型06 用近似数解决生活中的问题 【例6】（24-25七年级上·安徽合肥·期中）研究表明：高山上的温度随海拔的升高而降低，一般海拔升高100米，气温约下降摄氏度．已知位于安徽省的黄山海拔高度约为米，若山脚的气温是20摄氏度，则此时山顶的气温约为多少摄氏度？（结果保留整数） 【答案】山顶的气温约为9摄氏度 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、求一个数的近似数 【分析】本题考查了有理数的实际应用，涉及求近似值，解题关键是正确理解题意，列出算式，本题根据一般海拔升高100米，气温约下降摄氏度，得出下降的温度，再用20减去即可求解． 【详解】解：（摄氏度） 答：此时山顶的气温约为9摄氏度 ． 【变式6-1】（社会发展情境·无线电波）已知向月球发射无线电波，无线电波传播到月球并返回地面需要秒，且无线电波每秒传播千米，则地球与月球之间的距离为多少千米？（精确到万位） 【答案】地球与月球之间的距离为千米 【知识点】含乘方的有理数混合运算、用科学记数法表示绝对值大于1的数、求一个数的近似数 【分析】本题主要考查的是科学记数法的计算书写以及近似数的计算法则，正确求出时间是解决这个问题的关键． 根据时间乘以速度得出距离，最后根据近似数的求法得出答案，注意科学记数法的要求． 【详解】解：∵无线电波传播到月球并返回地面需要秒，且无线电波每秒传播千米， ∴地球与月球之间的距离为：（千米）， 答：地球与月球之间的距离为千米． 【变式6-2】马林的爸爸昨天买进沪市股“浦发银行”股和“白云机场”股，均以昨日收盘价买入．“浦发银行”今日的最新价格为每股元，涨价元；“白云机场”今日的最新价格为每股元，昨日收盘价为元．请回答下列问题： (1)与昨日相比，两只股票今日此时的涨跌幅各是多少（涨跌幅的绝对值精确到）？ (2)若马林的爸爸以今日最新价计算，则他是赔了还是赚了？请通过计算说明． 【答案】(1)“浦发银行”的涨跌幅为；“白云机场”的涨跌幅为 (2)马林的爸爸赚了 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、求一个数的近似数、含百分数的运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用，近似数，百分数的表示．熟练掌握有理数的混合运算的运算法则是解题的关键． （1）涨跌幅（今日股价昨日股价）昨日股价，注意最后结果的精确度． （2）计算出今日两只股票涨跌多少，得出的结果正数为赚了，负数为赔了，以此判断即可． 【详解】（1）解：“浦发银行”的涨跌幅为； “白云机场”的涨跌幅为． 答：“浦发银行”的涨跌幅为，“白云机场”的涨跌幅为． （2）解：两只股票今日涨价：（元），所以马林的爸爸是赚了． 答：马林的爸爸以今日最新价计算是赚了． 【变式6-3】（23-24七年级上·安徽合肥·阶段练习）你吃过“手拉面”吗？拉面馆的师傅用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条（假设在拉的过程中面条没有断），第一次捏合后，得到2根面条，第二次捏合后，得到4根面条，第三次捏合后，得到8根面条，如图所示，    (1)经过3次捏合后，可以拉出______根细面条．经过次捏合后，可以拉出______根细面条．（用含的式子表示） (2)到第几次捏合后可拉出32根细面条？ (3)假设每根细面条的长度是60cm，则捏合10次后，拉出的细面条的总长度为多少cm？（结果精确到万位） 【答案】(1) (2)到第5次捏合后可拉出32根细面条 (3) 【知识点】乘方的应用、求一个数的近似数、图形类规律探索 【分析】（1）根据题意，可以得到经过次捏合后，可以拉出根细面条，即可； （2）利用（1）中结论，列式计算即可； （3）先算出捏合10次后，拉出的细面条的根数，再乘以每根的长度，计算即可． 【详解】（1）解：由题意：第一次捏合后，得到2根面条， 第二次捏合后，得到根面条， 第三次捏合后，得到根面条， ∴经过3次捏合后，可以拉出8根细面条，经过次捏合后，可以拉出根细面条； 故答案为：； （2）由（1）知经过次捏合后，可以拉出根细面条， 当时，； ∴到第5次捏合后可拉出32根细面条； （3）； 答：拉出的细面条的总长度为． 【点睛】本题考查有理数乘方的实际应用．解题的关键是根据题意，抽象概括出经过次捏合后，可以拉出根细面条． 一、单选题 1．（24-25七年级上·安徽淮北·期末）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】有理数的乘方运算 【分析】本题考查了有理数的乘方运算，掌握有理数的乘方运算法则是解题的关键． 根据有理数的乘方运算法则计算即可判定． 【详解】解：A、，原选项计算错误，不符合题意； B、，正确，符合题意； C、，原选项计算错误，不符合题意； D、，原选项计算错误，不符合题意； 故选：B ． 2．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）用四舍五入法按要求取近似值，其中错误的是(   ) A．精确到 B．精确到百分位 C．精确到千分位 D．精确到 【答案】D 【知识点】求一个数的近似数 【分析】本题考查了近似数与精确度，要求精确到某一位，应当对下一位的数字进行四舍五入．根据近似数的精确度对各选项进行判断． 【详解】解：A、 精确到，故该选项正确，不符合题意；     B、 精确到百分位，故该选项正确，不符合题意； C、 精确到千分位，故该选项正确，不符合题意；     D、 精确到，故该选项不正确，符合题意； 故选：D． 3．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）定义新运算“☆”，规定：，则的运算结果为（   ） A． B． C．7 D．5 【答案】C 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了新定义下的有理数混合运算；根据新运算规定进行计算即可． 【详解】解： ； 故选：C． 4．（2020九年级下·安徽·学业考试）中国信息通信研究院测算，年，中国商用带动的信息消费规模将超过8万亿元，直接带动经济总产出达万亿元．其中数据万亿用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】此题考查了科学记数法，关键是理解运用科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此求解即可． 【详解】数据万亿用科学记数法表示为． 故选：B． 5．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）下列各级数中，数值相等的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【知识点】有理数的乘方运算 【分析】根据有理数的乘方的定义对各选项分析判断利用排除法求解． 本题考查了有理数的乘方，是基础题，要注意乘方的书写习惯． 【详解】解：A. ，，，故A选项不符合题意； B. ，，，故B选项不符合题意； C. ，，，故C选项符合题意； D. ，，，故D选项不符合题意． 故选：C． 6．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期中）在，0，，，，中，负有理数的个数是（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】有理数的分类、化简多重符号、求一个数的绝对值、有理数的乘方运算 【分析】本题主要考查了有理数的分类，准确分析判断是解题的关键． 根据负有理数是小于0的整数和分数进行求解即可． 【详解】解：，，， ∴负有理数有，，共有2个； 故选：B． 二、填空题 7．（24-25七年级上·安徽亳州·期末）近似数，精确到 位． 【答案】百 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数、求近似数的精确度 【分析】本题主要考查了近似数、科学记数法等知识，熟练掌握近似数的定义是解题关键．首先根据科学记数法的表示形式易知，然后根据近似数的定义，即可获得答案． 【详解】解：， 故近似数精确到百位． 故答案为：百． 8．（24-25七年级上·安徽宿州·期末）从提出北斗建设工程开始，北斗导航卫星研制团队攻坚克难，突破重重关键技术，建成独立自主，开放兼容的全球卫星导航系统，成为世界上第三个独立拥有全球卫星导航系统的国家，现在每分钟200多个国家和地区的用户访问使用北斗卫星导航系统超次．其中用科学记数法表示为 ． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题考查了用科学记数法表示绝对值较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解本题的关键．本题确定，即可． 【详解】解：， 故答案为：． 9．（24-25七年级上·安徽芜湖·期中）第十四届国际数学教育大会（）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是，表示的举办年份．则十进制数2025换算成八进制数是 ．（注：） 【答案】3751 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据题意找到进制转化的方法是解题的关键． 根据八进制数转换十进制的方法逆向计算即可． 【详解】解：∵， ∴十进制数2025换算成八进制数是3751． 故答案为：3751． 10．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）用一排6个黑白圆圈来表示数，如图分别表示数，则表示的数是 ． 【答案】25 【知识点】乘方的应用 【分析】本题考查了有理数的乘方的应用，解题的关键是将黑圈和白圈转化为二进制的数字及二进制与十进制数字的转换方法． 由图知“”记为数字1，“”记为数字0，将各情况表示为二进制的数字，再进一步转换为十进制即可得． 【详解】解：由图知“”记为数字1，“”记为数字0， 则表示的数为， 表示的数为， 表示的数为， 表示的数为， 表示的数为， ∵用数字表示为“”， ∴表示的数为， 故答案为：25． 11．（24-25七年级上·安徽芜湖·期末）小明在学习了“进位制”的知识后，掌握了不同进位制的数之间的转换方法，如将二进制数，换算成十进制数应为：．右图是小明采用“五进制”记数的方法所画的图形，从右向左，用涂黑的圆表示数，满五进一，表示的“五进制”数为，则此图表示的十进制数为 ． 【答案】 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查有理数乘方、加法的运算及零指数幂，正确理解五进制数与十进制数换算方法是解答本题的关键． 根据题中方法计算即可得答案． 【详解】解：， 故答案为：． 12．（24-25七年级上·安徽淮南·期末）刘谦的魔术表演风靡全世界，很多同学非常感兴趣，也学起了魔术．小华把任意有理数对放进装有计算装置的魔术盒，会得到一个新的有理数． 例如：把放入其中，就会得到．现将有理数对放入其中，得到的有理数是 ．若将正整数对放入其中，得到的值是6，则满足条件的所有的正整数对为 ． 【答案】 8 或 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．把有理数放入其中，计算即可得到结果；根据结果为6列出方程，由x与y为正整数确定出即可． 【详解】解：根据题意得：； 根据题意得：， 当时，；时，， 则为或， 故答案为：8；或 三、解答题 13．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）计算： 【答案】 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，先运算乘方，再运算乘除，最后运算加减，即可作答． 【详解】解： ． 14．（24-25七年级上·安徽亳州·期末）计算： 【答案】 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数运算，熟练掌握有理数运算法则和运算顺序是解题关键．首先进行乘方运算、绝对值运算，然后相加减即可． 【详解】解：原式 ． 15．（24-25七年级上·安徽阜阳·期末）已知互为相反数，互为倒数，，求代数式的值． 【答案】1 【知识点】相反数的定义、含乘方的有理数混合运算、倒数 【分析】此题考查了有理数的混合运算，相反数，倒数，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．利用相反数，倒数的代数意义求出，代入原式计算即可求出值． 【详解】解：与互为相反数，与互为倒数， ， ， ， ， 16．（23-24七年级上·安徽淮南·阶段练习）已知a，b均为有理数，现我们定义一种新运算，规定．例如：． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法． （1）根据，可以求得所求式子的值； （2）根据，可以求得所求式子的值． 【详解】（1）解：， ； （2）解：由题意可得， ． 17．（24-25七年级上·安徽滁州·阶段练习）在数学活动课上，李老师设计了一个游戏活动，四名同学分别代表一种运算，四名同学可以任意排列，每次排列代表一种运算顺序，剩余同学中，一名学生负责说一个数，其他同学负责运算，运算结果既对又快者获胜，可以得到一个奖品．我们用四个卡片代表四名同学． A： 乘2 B： 减 C： 平方 D： 加6 (1)经过A，B，C，D的顺序运算后，结果是多少？ (2)经过B，C，A，D的顺序运算后，结果是多少？ 【答案】(1)7 (2)38 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算： （1）根据题意可得算式，据此计算求解即可； （2）根据题意可得算式，据此计算求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．（24-25七年级上·安徽宣城·期中）如图，将一张边长为 1 的正方形纸片分割成7个部分，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依此类推． (1)阴影部分的面积是 ； (2)以下是甲，乙两位同学求 的方法； 甲同学的方法：利用已给正方形图形求， ；    乙同学的方法： ① ② ②①即可…. 请同学们帮助乙同学完成之后的步骤，并求出S的值。 (3)请借助甲或乙同学的方法，求出的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了图形规律的探究，含有乘方的有理数混合运算，熟练掌握含有乘方的有理数混合运算是解题的关键． （1）根据题意计算即可； （2）根据题目步骤进行计算即可； （3）按照乙的方法，设，再求出，然后相减计算即可． 【详解】（1）解：根据题意得，， 故答案为：． （2）解：②①，得． （3）解：令①， ②， ②①，得， ∴． 19．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）规定新运算：求若干个相同的有理数（均不等于）的除法运算叫做除方， 例如：等，类比有理数的乘方，我们把记作，读作“的圈次方”，记作，读作：“的圈次方”．一般地，把个相除记作，读作“的圈次方” (1)直接写出计算结果：_______，________． (2)关于除方，下列说法正确的是________． ①任何非零数的圈次方都等于； ②对于任何正整数，的圈次方都等于； ③； ④负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． (3)算一算：． 【答案】(1)， (2)①②④ (3) 【知识点】有理数除法的应用、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查的是乘方、有理数的混合运算，解题的关键是根据新定义的计算公式逐步计算． （1）利用定义及有理数的除法法则计算即可； （2）利用定义及有理数的除法法则计算逐项分析即可； （3）利用定义及有理数的除法法则计算逐项分析即可． 【详解】（1）解：由题意可得：， ， 故答案为：，． （2）解：①任何非零数的圈次方表示的是两个相同非零数的商，结果都等于，正确； ②对于任何正整数，的圈次方表示的是个相除，都等于；正确； ③，，故，错误； ④负数的圈奇数次方表示奇数个负数相除，结果是负数，负数的圈偶数次方表示偶数个负数相除，结果是正数，正确； 故答案为：①②④ （3）解：∵ ∴， ， ， ， ， ． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$