重难点04 有理数的运算技巧-2025年小升初数学无忧衔接（北师大版2024）

重难点04 有理数的运算技巧 预习目标 1 题型探究 1 题型1、凑整法 1 题型2、拆项法 10 题型3、分组求和法 14 题型4、相互转化法 20 题型5、利用运算律进行简算 27 题型6、裂项相消法 37 题型7、倒数法 46 题型8、错位相减法 50 题型9、倒序相加法 56 题型10、换元法 61 题型11、利用图形进行简算 65 基础通关 76 拓展提优 98 在有理数的运算中，若能根据题目的特征，采用适当的运算技巧，不但能化繁为简，提高运算速度，提升运算的准确率，而且会使计算过程充满乐趣。本专题重点介绍几种有理数常用的运算技巧。 题型1、凑整法 【解题技巧】凑整法是数学运算中通过调整数字组合使其接近整十、整百等易计算的数值，从而简化运算过程的技巧。 核心思想‌：通过拆分、重组或调整运算顺序，使复杂的非整数值转化为整十、整百等便于计算的整数，从而提升运算效率和准确性。 1. ‌加减法凑整（中学阶段主要运用分组凑整）‌ 1）‌拆补凑整‌：调整某个加数使其接近整数，再通过补数修正结果。‌例‌：175 + 299 = 175 +（ 300 - 1） = 474。 2）‌借数凑整‌：通过借数调整被减数或减数。‌例‌：998 + 397 + 506 = (998 + 2) + (397 + 3) + (506 - 6) = 1901。 3）‌分组凑整‌：将能组合为整数的数分组计算。‌例‌：1080 - 63.58 - 36.42 = 1080 - (63.58 + 36.42) = 980。 2. ‌乘法凑整‌ 1）‌ 分解因数‌：利用乘法交换律、结合律拆分因数。‌例‌：125 × 25 × 32 = (125 × 8) × (25 × 4) = 1000 × 100 = 100000。 2）‌提取公因数（乘法分配律的逆用）‌：适用于有相同因数的相关运算。 例‌：99878 × 99 + 99878 × 999 - 98 × 99878 = 99878 × (99 + 999 - 98) = 99878 × 1000。 例1．（24-25七年级上·河南周口·期中）用简便方法计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】（）根据有理数加减运算和加法运算律即可求解； （）先把除法转化为乘法，然后根据有理数乘法分配律即可求解； （）根据有理数乘法运算律即可求解； （）利用加法分配律逆运算即可求解； 本题考查了有理数的混合运算，有理数的运算律，熟练掌握运算法则和运算律是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 例2．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的加减法，熟练掌握有理数加减法的运算法则和运算律是解题关键． （1）先去括号、化简绝对值，再计算有理数的减法即可得； （2）先将小数化为分数，再利用有理数加减法的交换律与结合律计算即可得； （3）先去括号，再利用有理数加减法的交换律与结合律计算即可得． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 例3．（24-25七年级上·福建厦门·阶段练习）简便运算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，正确运用简便方法进行计算是解答本题的关键． （1）先根据减法法则进行变形，再运用加法交换律和结合律进行计算即可； （2）原式运用乘法分配律进行计算即可； （3）原式运用乘法分配律进行计算即可； （4）将变形为，再运用乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： 变式1．（24-25七年级上·江苏淮安·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查了有理数的加减运算，解题的关键是∶ （1）先去括号，然后根据加法的交换律和交换律计算即可； （2）先去括号，然后根据加法的交换律和交换律计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解∶ ． 变式2．（24-25七年级上·福建莆田·期中）简便运算： (1)； (2) 【答案】(1)50 (2) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序． （1）根据乘法分配律计算； （2）将分母相同的两个数，和为0的两个数分别结合为一组求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 变式3．（24-25七年级上·辽宁盘锦·阶段练习）计算题 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)1； (2)4； (3)； (4)． 【分析】本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的运算法则、运算律和运算顺序是解决本题的关键． （1）利用有理数的加减法则即可解答； （2）利用加法交换律进行简便计算即可解答； （3）可将看作，再进行计算即可； （4）利用乘法分配律进行计算即可解答． 【详解】（1）解： =1； （2）解： ； （3）解： ； （4）解：， ， ， ． 变式4．（24-25七年级上·江苏·阶段练习）计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2)6 (3)5 (4)3 (5) (6) 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算顺序和运算法则． （1）变为加法运算，再利用加法交换律进行计算即可； （2）先算乘法，再算加减法； （3）小数化为分数，再将同分母分数相加减进行计算； （4）利用乘法分配律逆定律提出，再进一步计算即可； （5）先算括号，再算除法； （6）除法转化为乘法，再约分即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 题型2、拆项法 【解题技巧】拆项法是一种将带分数或复杂分数表达式拆分为整数和真分数（或更简单的分数组合）进行计算的方法。 结构拆分‌：将带分数分解为整数部分和真分数部分（如）； 分组优化‌：利用加法结合律、乘法分配律等数学规则重组运算顺序。 例1．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）阅读例题的计算方法． 例：计算：． 解：原式 ． 上面这种解题方法叫做拆项法． (1)计算：； (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据提供的方法，拆项计算即可； （2）根据提供的方法，拆项计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 例2．（2024七年级上·全国·专题练习）先阅读理解第（1）题的计算方法，再计算第（2）小题． （1）计算： 解：原式 ． 上面的计算方法叫作拆分法． （2）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的加法，牢牢掌握有理数的加法运算律是解答本题的关键． 根据（1）可知利用拆分法即可解答本题． 【详解】解：原式 ． 变式1．（24-25七年级上·山西吕梁·阶段练习）下面是某数学兴趣小组探究用不同方法进行有理数运算的讨论片段，请仔细阅读，并完成相应的任务． 试题： 计算：． 小明：我是先把原带分数化成假分数，然后直接按照有理数加法的运算法则从左到右依次计算． 小军：我认为小明的方法很单一，而且有点麻烦，下面是按照我的方法进行解答的过程． 解：原式 ． 老师：小军的方法很有创意，值得提倡与学习． 小芳：受小军方法的启发，我也有一种方法，解题过程如下． 解：原式 ． 任务：请根据片段中的对话，仿照小军或小芳的方法进行下面的计算． (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了有理数的加减混合运算． （1）根据题意并利用有理数加法交换律和结合律进行计算即可； （2）根据题意并利用有理数加法交换律和结合律进行计算即可． 【详解】（1）解： （2） 变式2．（24-25七年级上·广东汕头·阶段练习）（1）①用简便的方法计算：； ②上述简便方法运用到的运算律是：______、______； （2）在计算时，没办法直接用上述方法简便运算，需要把各个数进行拆项，再运用运算律简便运算． ①请你把进行拆项：____________；____________； ②用拆项法简便计算：． 【答案】（1）①；②加法交换律、加法结合律；（2）①17，；；②1 【分析】本题主要考查了有理数的加减计算： （1）①先把原式变形为，再计算求解即可；②观察解题过程可知用到了加法交换律、加法结合律； （2）①把带分数拆解成整数加分数的形式即可；②先把原式的带分数拆解成整数加分数的形式，再把整数和分数分别合在一起计算求解即可． 【详解】解：（1）① ． ； ②由解题过程可知用到了加法交换律、加法结合律； （2）①； 故答案为：17，；； ②原式 ． 题型3、分组求和法 【解题技巧】观察算式，找出算式分布规律，然后适当分组，利用结合律将相加和为整数的结合在一起简化计算。 基本运算中的分组策略： 1）‌加减法的相邻分组‌：针对连续加减混合运算，优先将相邻的数按固定规律分组，简化计算。 ‌示例‌：计算 100 - 99 + 98 - 97 + … + 2 - 1  分析：每两个相邻数为一组：(100-99) + (98-97) + … + (2-1)；每组结果为 1，共 50 组，总和为 50。 2）等差数列与等比数列分组‌：若数列由不同规律的分段组成，可拆分为多个子数列分别求和。 例1．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）计算 . 【答案】1 【分析】此题主要考查了加法中的巧算问题，注意加法结合律的应用，根据加法结合律，通过观察题目可以发现，1后面每相邻的四项的和为0，从而可以解答本题． 【详解】解： ． 故答案为：1． 例2．（24-25七年级上·河北保定·期末）嘉嘉在计算有规律的算式时，不小心把一个运算符号写错了（“”错写成“”或“”错写成“”），结果算成了66． 甲说：如果没有写错符号，该算式； 乙说：嘉嘉一定是把“18”前面的符号写错了； 丙说：嘉嘉一定是把“20”前面的符号写错了； 丁说：算式． 下面对甲、乙、丙、丁四种说法判断正确的有（   ） A．只有甲和乙正确 B．只有乙和丁正确 C．甲、丙、丁正确 D．只有丙正确 【答案】C 【分析】本题考查有理数的加减运算及解一元一次方程，通过计算确定写错的符号，再根据计算的特点列出方程是解题的关键．先求出这列数的和为，再由题意可知是“”错写成“”，设写错符合的数是，则，解得，即可确定答案，再同法求解即可． 【详解】解： ；故甲运算正确； ∵嘉嘉不小心把一个运算符号写错了（“”错写成“”或“”错写成“”），结果算成了66． 而； ∴错误的符合一定是把“”错写成“” 设写错符号的数为， ∴， 解得， ∴写错符号的数为，故乙错误；丙正确； ∵ ，故丁正确； 故选：C 例3．（24-25七年级上·全国·假期作业）计算． (1) (2) 【答案】(1) (2)1012 【分析】（1）根据带分数的意义，可将算式变为，然后去掉括号，将算式变为，然后根据带符号搬家和括号的应用，将算式变为，再计算括号里面的结果，接着根据乘法的意义，将算式变为进行简算即可． （2）合理分组：每两个数为一组，结果是3；一共有337组；进行简算即可． 【详解】（1） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝； （2） 每两个数为一组，结果是3； 则 即一共有337组； 原式． 变式1．（24-25七年级上·湖南衡阳·阶段练习）计算的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，先利用加法的结合律得，共个数，所以分成了组，每组得和为，即可得到答案．解题的关键是根据有理数的加法法则进行有理数的加减运算；利用加法的结合律简化计算． 【详解】解： ， ∴的结果为。 故答案为：。 变式2．（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算，观察算式发现，加数为正、负、负相间，3个一次循环，且每个循环内前两个加数的和为，第三个加数是的倍数，据此可解决问题．本题考查有理数计算中的规律，能发现每个循环内前两个加数的和为，第三个加数是的倍数是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 变式3．（23-24七年级上·四川内江·期中）如图是编号分别为1，2，3，…，n的几何图形，这些几何图形都是由若干个互不重叠的三角形组成，例如，编号为1的图形中有1个三角形，编号为2的图形中有4个互不重叠的三角形，编号为3的图形中有7个互不重叠的三角形…，观察图形，解答下列问题： (1)写出编号为n的图形中互不重叠的三角形的个数（用n的代数式表示）； (2)如果编号为m的图形中有个互不重叠的三角形，求m； (3)编号为1的图形中的三角形的个数记为，编号为2的图形中互不重叠的三角形的个数记为，…，编号为n的图形中互不重叠的三角形的个数记为，求：的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是规律性∶图形的变化类知识，根据图形的特点和变化情况寻找出正确的变化规 律是解题的关键，探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．一般情况下需要将图形规律转化为数字规律求解． （1）从前三个图形的变化情况找出规律解答即可； （2）根据代数式的值求出m即可； （3）把具体数据代入、根据规律进行计算即可． 【详解】（1）解：由题可知： 编号为1的图形中有1个三角形，即 编号为2的图形中有4个互不重叠的三角形，即 编号为3的图形中有7个互不重叠的三角形，即 编号为的图形中互不重叠的三角形的个数是 （2）由题意得：， 解得：； （3） 变式4．（24-25七年级上·湖北襄阳·期末）      【答案】5055； 【详解】 ＝1＋＋2＋＋3＋＋4＋＋5＋…＋100＋ ＝（1＋2＋3＋4＋…＋100）＋（＋＋＋＋…＋） ＝（1＋100）×100÷2＋ ＝101×100÷2＋ ＝10100÷2＋ ＝5050＋ ＝5050＋5 ＝5055 题型4、相互转化法 【解题技巧】相互转化法通过形式（分数、小数、百分数）统一、结构优化和单位整合，大幅提升计算效率。重点在于灵活选择转化路径，并熟练运用运算定律（如分配律、结合律）进行简化。 例1．（24-25七年级上·四川雅安·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，含乘方的有理数混合运算．掌握运算法则是解题关键． （1）先化简多重符号，再计算加减即可； （2）先计算有理数的乘方和根据乘法分配律去括号，再计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 例2．（24-25七年级上·河南郑州·阶段练习）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)5 (2)21 (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算、有理数的乘法、化简绝对值，熟练掌握运算法则与运算律是解题关键． （1）先去括号，再利用加法的交换律与结合律计算即可得； （2）利用有理数乘法的分配律计算即可得； （3）先化简绝对值、计算乘法，再计算减法即可得； （4）先去括号，再利用加法的交换律与结合律计算即可得． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． 例3．（24-25七年级下·重庆·自主招生）计算：． 【答案】432 【分析】本题考查了有理数乘除的简便运算，熟练掌握有理数乘除的运算法则是解题的关键．根据有理数乘除的运算法则即可求解． 【详解】解： ． 变式1．（24-25七年级上·山东枣庄·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)． 【答案】(1) (2)10 (3) (4)0 (5) (6)1 (7) (8) 【分析】（1）根据有理数加法法则计算即可． （2）根据有理数加法，减法法则计算即可． （3）根据有理数加法，减法法则，结合律计算即可． （4）根据有理数加法，减法法则，结合律计算即可． （5）根据乘法分配律将原式转化为，再利用有理数混合运算法则即可解答； （6）根据有理数减法运算法则将减法化为加法，再利用有理数加法运算法则解答即可； （7）根据有理数的乘法运算法则即可解答； （8）根据有理数的混合运算法则即可解答． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． ． （5）解： ； （6）解： ； （7）解： ； （8）解： ． 【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算法则，有理数的乘法运算法则，乘法分配律，有理数的混合运算法则，熟练运用相关运算法则是解题的关键． 变式2．（24-25七年级下·全国·假期作业）脱式计算，能简算的要简算． ① ② ③ ④ 【答案】①；②；③；④6 【分析】本题考查有理数混合运算的运算法则、分数与百分数的互化、简便运算技巧（乘法分配律、加法结合律），熟练掌握运算法则和运算律是解题的关键． ①先计算小括号里面的减法，再计算中括号里面的除法，最后计算括号外的除法； ②先将和化成统一小数形式，都可以化成，再根据乘法分配律，将式子化为进行计算； ③将化成分数，计算小括号里面的减法，分数进行通分，再计算小括号外面的除法，最后计算加法； ④通过分组凑整法，简化计算即可． 【详解】解：① ② ③ ④ ． 变式3．（24-25七年级上·黑龙江绥化·阶段练习）计算（能简算的要简算） (1)；(2)；(3) (4)；(5)；(6) 【答案】(1)(2)3(3)(4)80(5)2(6) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 题型5、利用运算律进行简算 【解题技巧】乘法交换律： 乘法结合律： 乘法分配律： 乘法分配律的逆用： 运算律法：‌运用运算律改变运算顺序；通过改变运算顺序，简化计算步骤。‌逆正难则反，逆用运算律改变次序‌：通过逆用运算律，解决复杂问题。 例1．（24-25七年级上·四川成都·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】（）利用有理数加减混合运算法则进行计算即可； （）利用有理数加法运算律进行简便计算即可； （）先算乘方和绝对值，再算乘除，最后算加减即可； （）根据有理数乘方，乘法分配律，计算即可； 本题考查有理数的混合运算，掌握相关运算法则，运算顺序和运算律是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 例2．（23-24七年级上·黑龙江绥化·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)6 (2) (3)7 (4)1 【分析】此题主要考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． （1）先去括号，根据有理数加法运算的交换律和结合律进行计算即可； （2）先算乘方，再算括号里的减法，最后算除法即可； （3）先算括号里的，再利用乘法分配律进行计算即可； （4）先算乘法，再算加法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 例3．（24-25七年级上·江苏·阶段练习）用简便方法计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的混合运算的简便计算，熟练掌握加法交换律和乘法分配律可简化计算是解题的关键； （1）用加法交换律将和先算，再进行加减计算即可； （2）用乘法分配律将原式变为，再进行计算即可； （3）利用乘法交换律，先算，即可求解； （4）用乘法分配律将原式变为子，再进行计算即可； 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 例4．（24-25七年级下·全国·假期作业）计算下面各题，能简算的要简算．           【答案】4000；54；4；10；378；12.5 【分析】本题考查了有理数乘法的混合运算，运用运算律进行简算是解题的关键． （1）根据乘法结合律进行简算即可； （2）先算小括号里面的减法，再算中括号里面的乘法，最后算中括号外面的除法； （3）先算，根据乘法分配律进行简算，再根据加法结合律进行简算； （4）先交换“”和“”的位置，再根据减法的性质进行简算； （5）先算括号里面的减法，再算除法，最后算乘法； （6）根据逆用乘法分配律进行简算． 【详解】解：（1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ． 变式1．（24-25七年级上·辽宁鞍山·期中）（1）计算： （2）计算： （3）计算： （4）计算：． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）利用那个加法的交换律和结合律计算即可； （2）先把除法转化为乘法，再约分化简即可； （3）利用乘法分配律计算即可； （4）先算乘方和绝对值，再算乘除，后算加减． 【详解】解：（1） （2） （3） （4） 变式2．（24-25七年级上·河南南阳·期中）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数的加减计算，有理数的除法计算，有理数乘法分配律： （1）先把原式变形为，再根据有理数加减法计算法则求解即可； （2）先把除法变成乘法，再利用乘法分配律求解即可． 【详解】（1）解： （2）解： ． 变式3．（24-25七年级上·山东泰安·阶段练习）用简便方法计算 (1) (2)； (3)； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了有理数的加减计算，有理数乘法运算律： （1）根据有理数的加减计算法则求解即可； （2）先把原式变形为，再利用乘法分配律求解即可； （3）利用乘法分配律的逆运算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 变式4．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)26 (2) (3) (4)2 【分析】(1)按照有理数四则混合运算法则计算即可． (2) 根据分配律，四则混合运算法则计算即可． (3)按照有理数的加减混合运算法则计算即可． (4)变除法运算为乘法运算计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 【点睛】本题考查了有理数的四则混合运算，有理数的运算律，乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 题型6、裂项相消法 【解题技巧】裂项相消法‌是将分数表达式拆分为若干项的差值或和差形式，使得相邻项在求和时发生抵消，从而快速简化计算的策略。 裂项相消法的核心是通过巧妙的代数变形，将复杂求和转化为简单抵消。掌握常见裂项公式和系数调整技巧，可快速解决分式、数列求和等问题，尤其在竞赛和考试中能大幅提升效率。 1） “裂差”型运算：①或 ； ②。 裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x为任意自然数)的，但是只要将x提取出来即可转化为分子都是1的运算；（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”；（3）分母上几个因数间的差是一个定值。 2）“裂和”型运算： 或 。 裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。 例1．（24-25七年级上·河南驻马店·期中）数学活动课上，李老师列举了以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …… 认真观察上面的序列等式的变化，寻找“将一项拆成两项”的规律，根据等式规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式为______，第n个等式为______（用含n的式子表示）； (2)利用等式规律计算：． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算中规律问题，理解题意，找出规律是解题的关键． （1）观察等式，得出规律，即可求解； （2）根据题意，将每个式子拆成，由此可得解． 【详解】（1）解：观察列举的式子可知， 第5个等式为：； 第个等式为：， 故答案为：；； （2）解： ． 例2．（23-24七年级上·江苏宿迁·阶段练习）巧算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数的加减计算： （1）分析式子中的每一项，得到，据此求解即可； （2）分析式子中的每一项，得到，据此求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 例3．（2024七年级上·全国·专题练习）计算：． 【答案】 【分析】本题考查的是有理数的加减混合运算及乘法运算，在解答此类题目时要注意各种运算律的灵活应用，将带分数分为整数和分数分别进行计算，将分数进行变形，简化计算． 【详解】解：原式 ． 例4．（2024七年级上·全国·专题练习） 【答案】 【分析】此题主要考查有理数的加减运算及简便运算，掌握实数的各种简便运算是解决本题的关键，将每个分数变成两个分数和的形式，然后进行简便运算． 【详解】解： ． 例5．（2024七年级上·北京·专题练习）． 【答案】 【分析】本题考查的是有理数的加减运算，乘法运算，掌握“分数的加减运算中通过裂项相消进行简便运算”是解题的关键．根据有理数的加减混合运算法则，把每项都裂成具有相同特点的算式，再去括号进行加减运算即可得到答案． 【详解】解： ． 例6．（23-24七年级上·江苏南通·阶段练习）计算： ． 【答案】 【分析】根据，将原式裂项相加，即可求解． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算．解题的关键是找出三个连续奇数乘积分之一与三个奇数分之一的和差关系式． 变式1．（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）式子“”表示从1开始的100个连续自然数的和，由于式子比较长，书写不方便，为了简便起见，我们将其表示为，这里“”是求和符号，如，，通过对以上材料的阅读，计算 ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算，根据新定义代入求值即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 变式2．（2024七年级上·全国·专题练习）能简算的要简算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算：通过观察可知分子分母的差为1，先写成1加减分数单位，整数分组计算，分数简算时，根据裂项公式先拆分，再简算． 【详解】解：原式 ． 变式3．（24-25七年级上·四川眉山·期中）已知与互为相反数．求的值． 【答案】 【分析】根据题意得，得到，转化为，结合，裂项求和计算即可． 本题考查了绝对值的非负性，有理数的乘法，加减混合运算，熟练掌握运算规律是解题的关键． 【详解】解：∵与互为相反数． ∴， ∴， ∴转化为， ∵， ∴ ． 变式4．（22-23七年级上·吉林长春·阶段练习）计算： ． 【答案】 【分析】分析已知的几项，得到规律，利用裂项相消法求解即可． 【详解】解：， ， ， ， =． 【点睛】本题主要考查规律型：数字的变化类，有理数的混合运算，解答的关键是对裂项相消求和法的理解与应用． 变式5．（2024七年级上·广西·专题练习）计算： 【答案】 【分析】本题考查了有理数加减混合运算，观察得到每个加数的规律是解题的关键． 从第二个分数开始，每个分数的分母可以拆分成2个数相加，而分子是这2个数的和，据此将分数变为，然后将括号去掉进行简算即可． 【详解】解： ． 变式6．（23-24七年级上·湖北孝感·期中）观察是数学抽象的基础，在数学探究学习中，我们要善于通过观察发现规律，进而解决问题，请你擦亮眼睛，开动脑筋，解答下列问题 ；；； (1)按以上规律，第个等式为：______；第个等式为：______（用含的式子表示，为正整数）； (2)按此规律，计算的值； (3)探究计算：的值． 【答案】(1)，； (2)； (3)． 【分析】（）根据已给三个等式反映出的规律写出第个等式，第个等式即可； （）利用（）的规律分别将每个分数写出差的形式，再计算即可； （）找出三个连续奇数乘积的倒数与三个奇数的倒数间的关系，再利用这种关系对每个分数进行变形，并计算即可； 本题考查了数字变化类规律探究，有理数的混合运算，解题的关键是理解题意，找出三个连续奇数乘积的倒数与三个奇数的倒数间的关系． 【详解】（1）解：由规律可得，第个等式为， 第个等式为， 故答案为：，； （2）解：原式 ， ， ； （3）解：∵， ∴原式 ， ， ， ， ． 题型7、倒数法 【解题技巧】倒数法通过取倒数或表达式的倒数，将复杂运算转化为更易处理的形式。 倒数法通过逆向转化运算逻辑，显著提升分数运算、方程求解及复杂问题的处理效率。重点在于灵活转化运算形式（如除法→乘法、分母→分子），并结合分配律、方程变形等技巧综合应用。 例1．（24-25七年级上·山西临汾·期中）阅读下列材料，完成后面任务． 计算： 解法①：原式 解法②：原式 解法③：原式的倒数为 故原式 任务： (1)上述三种解法得出的结果不同，肯定有解法是错误的，你认为解法 是错误的．（填序号） (2)在正确的解法中，你认为解法 比较简便．（填序号） (3)请你进行简便计算：． 【答案】(1)① (2)③ (3) 【分析】本题考查有理数的计算，熟练掌握有理数的混合运算是解题的关键． （1）根据有理数的混合运算法则即可判断解法的正确性； （2）运用有理数的除法运算法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数，运算是最简便的，只有解法三符合这种运算法则， （3）参照解法③进行简便计算． 【详解】（1）解：解法①是错误的． 故答案为：①； （2）解：在正确的解法中，解法③运用了有理数的除法的运算法则，乘法的分配律，比较简便． 故答案为：③； （3）解：原式的倒数为： ， 故原式． 例2．（24-25七年级上·江苏·期中）计算： (1)前后两部分之间存在着什么关系？ (2)先计算哪部分比较简单?请给予解答； (3)利用（1）中的关系，直接写出另一部分的结果； (4)根据上述分析，求出原式的结果． 【答案】(1)前后两部分互为倒数(2)先计算后面的部分比较简单，解答过程见解析(3)另一部分的结果为 【解析】解：∵乘积为1的两个数互为倒数 ∴前后两部分互为倒数． （2）解：计算应先通分，然后化除法为乘法，最后进行计算； 计算，先化除法为乘法，然后根据乘法分配律，进行加减计算； ∴先计算后面部分比较方便 计算如下： ． （3）解：∵前后两部分互为倒数，后面部分： ∴前面部分：． （4）解： ． 变式1．（24-25七年级上·广西桂林·阶段练习）数学老师熊老师在课堂上布置了一道思考题“计算”，小雷同学仔细思考了一番，用了一种不同的方法解决了这个问题，小雷同学的解法： 原式的倒数为，所以． (1)根据倒数的定义我们知道，若，则________． (2)请你运用小雷同学的解法解答下面的问题： 计算：． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了倒数，有理数加减运算，有理数乘法运算律，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）根据题意即可求解； （）根据题意利用小雷解法先取原式的倒数，再转化为乘法，计算后再取倒数即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2）解：原式的倒数为 ， ∴． 变式2．（24-25七年级上·江西上饶·期中）数学老师布置了一道思考题“计算”：． 小英的解法：． 小李的解法：原式的倒数为…第一步， …第二步， …第三步， …第四步． 所以． 分析两位同学的解法，请你回答下列问题： (1)两位同学的解法中， 同学的解答正确； (2)小李的解法中，第二步到第三步的运算依据是 ； (3)用一种你喜欢的方法计算：． 【答案】(1)小李 (2)乘法分配律 (3) 【分析】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法． （1）因为除法没有分配律，所以小李的解法正确； （2）小李的解法中，第二步到第三步的运算依据是乘法分配律； （3）先求出原式的倒数，将除法变为乘法，再根据乘法分配律计算出原式的倒数，最后取倒数即可解答． 【详解】（1）解：因为除法没有分配律，所以小李的解法正确， 故答案为：小李； （2）解：小李的解法中，第二步到第三步的运算依据是乘法分配律， 故答案为：乘法分配律； （3）解：， 原式的倒数为：， ， ， ， 原式． 题型8、错位相减法 【解题技巧】错位相减法通过构造等比数列的和式与其公比倍数的错位式，利用‌中间项相消的特性简化求和过程，最终导出等比数列前n项和的表达式。 通过错位相减法，可直观理解等比数列求和的数学本质，并确保公式推导的逻辑严密性。实际应用中，直接套用闭合公式可高效解题，但推导过程需熟练掌握。 例1．（24-25七年级上·河南周口·期中）求的值时，可令，则，因此．依照以上推理，可以计算出的值为 ．（结果保留乘方的形式） 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘方，有理数的减法运算，熟练掌握有理数的乘方，有理数的减法运算是解题的关键． 由题意可令，则，再把两个式子相减即可求得结果． 【详解】解：令， 则， 得：， ∴， 故答案为：； 例2．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）为了求的值， 可令，则， 因此，所以． 这种方法称为“错位相减法”． 请参考以上推理计算： （   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，则 ，仿照题目中的“错位相减法”，可得 ，再设，再用错位相减法可得，将其代入中，可得 本题考查了有理数的混合运算，乘方的含义，读懂题目信息，理解求和的运算方法是解题的关键． 【详解】解：设， 则， ∴， 即， 再令， 则， ∴， 即， ∴， ， ， ． 故选：B． 例3．（2025·安徽·一模）【阅读材料】数列是一个古老的数学课题，我国对数列概念的认识很早，例如《易传•系辞》：“河出图，洛出书，圣人则之；两仪生四象，四象生八卦”．这是世界数学史上有关等比数列的最早文字记载． 【问题提出】求等比数列1+a1+a2+a3+…+an的值(a＞0，且a≠1，n是正整数，请写出计算过程)． 【等比数列】按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．排在第一位的数称为第一项，记为a1，排在第二位的数称为第二项，记为a2，依此类推，排在第n位的数称为第n项，记为an．所以，数列的一般形式可以写成：a1，a2，a3，…，an，…． 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比值等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用q表示．如：数列1，2，4，8，…为等比数列，其中a1=1，a2=2，公比为q=2．根据以上材料，解答下列问题： (1)等比数列3，9，27，…的公比q为_____，第5项是_____． 【公式推导】如果一个数列a1，a2，a3，…，an…，是等比数列，且公比为q，那么根据定义可得到：=q，=q，=q，…，=q．所以a2=a1•q，a3=a2•q=a1q•q=a1•q2，a4=a3•q=a1•q2=a1•q3，… (2)由此，请你填空完成等比数列的通项公式：an=a1•(_____)． 【拓广探究】等比数列求和公式并不复杂，但是其推导过程——错位相减法，构思精巧、形式奇特．欧几里得在《几何原本》中就给出了等比数列前n项和公式，而错位相减法则直到1822年才由欧拉在《代数学基础》中给出，时间相差两千多年．下面是小明为了计算1+2+22+…+22019+22020的值，采用的方法： 设S=1+2+22+…+22019+22020①，则2S=2+22+…+22020+22021②， ②-①得2S-S=S=22021-1，∴S=1+2+22+…+22019+22020=22021-1． 【解决问题】(3)请仿照小明的方法求等比数列1+a1+a2+a3+…+an的值(a＞0，且a≠1，n是正整数，请写出计算过程)． 【拓展应用】(4)计算25+252+253+…+25n的值为_____．(直接写出结果) 【答案】(1)3，243；(2)qn-1；【解决问题】；【拓展应用】 【详解】解：(1)等比数列3，9，27，…的公比q为3， 第四项为27×3=81，第五项为81×3=243，故答案为：3，243． (2) 如果一个数列a1，a2，a3，…，an…，是等比数列，且公比为q，那么根据定义可得到：=q，=q，=q，…，=q．所以a2=a1•q，a3=a2•q=a1q•q=a1•q2，a4=a3•q=a1•q2=a1•q3，…an=a1.qn-1．故答案为：qn-1． (3)设S=1+a1+a2+a3+…+an①，则aS=a1+a2+a3+…+an+1②， ②-①得aS-S=(a-1)S=an+1-1，∴． (4)设S=25+252+253+…+25n，∴25S=252+253+…+25n+1， ∴25S-S=25n+1-25，∴．故答案为：． 变式1．（2024七年级上·云南·专题练习）阅读材料：求的值． 解：设， 将等式两边同时乘以2得：， 将下式减去上式得， 即， 即． 请你仿照此法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的乘方，解题的关键是明确题意，运用题目中的解题方法，运用类比的数学思想解答问题． （1）设，将等式两边同时乘以2，然后按照材料中的方法进行计算，即可得到答案； （2）设，将等式两边同时乘以3，然后按照材料中的方法进行计算，即可得到答案． 【详解】（1）解：设， 两边乘以2得：， 两式相减得：， 则原式； （2）解：设， 两边乘以3得：， 两式相减得：，即， 则原式． 变式2．（23-24七年级上·湖北武汉·期中）【阅读】计算的值. 令S＝，则3S＝，因此3S－S＝， 所以S＝，即S＝＝. 依照以上推理，计算：＝ . 【答案】 【分析】可以仿照所给的推理过程，设所求代数式为S，因为底数都为5，所以两边都乘以5得到5S，再用5S+S将两个等式某些项消掉，再利用合并同类项求解即可. 【详解】解：设S=， 则5S= 因此S+5S=1       6S=1 6S=1    6S=1 ∴S= 即 【点睛】此题考查阅读理解能力，正确理解题中所给解题方法并运用是解题的关键. 变式3．（23-24七年级上·湖北十堰·期中）【阅读材料】数列是一个古老的数学课题，我国对数列概念的认识很早，例如《易传·系辞》：“河出图，洛出书，圣人则之；两仪生四象，四象生八卦”，这是世界数学史上有关等比数列的最早文字记载． 【等比数列】 按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．排在第一位的数称为第一项，记为，排在第二位的数称为第二项，记为，依此类推，排在第n位的数称为第n项，记为．所以，数列的一般形式可以写成：，，，．．．，．．．． 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比值等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用q表示．如：数列1，2，4，8，．．．为等比数列，其中，公比为． 根据以上材料，解答下列问题： （1）等比数列3，9，27，．．．的公比q为___，第5项是___． 【公式推导】 如果一个数列，，，．．．，．．．，是等比数列，且公比为q，那么根据定义可得到： ，，，．．．，． 所以， ， ，．．． （2）由此，请你填空完成等比数列的通项（即第n项）公式___． 【拓广探究】 等比数列求和公式并不复杂，但是其推导过程——错位相减法，构思精巧、形式奇特．欧几里得在《几何原本》中就给出了等比数列前n项和公式，而错位相减法则直到1822年才由欧拉在《代数学基础》中给出，时间相差两千多年．下面是小明为了计算的值，采用的方法： 设①， 则②， 得， ∴． 【解决问题】（3）求的值； （4）直接写出的值． 【答案】（1）3，；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，数的规律探究．理解题意并正确的运算是解题的关键． （1）由题意知，，第5项是，计算求解即可； （2）由题意知，，然后作答即可； （3）令，则，，计算求解即可； （4）令，则，则，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，，第5项是， 故答案为：3，； （2）解：由题意知，， 故答案为：； （3）解：令，则， ∴， 解得，， ∴． （4）解：令，则， ∴， 解得，， ∴的值为． 题型9、倒序相加法 【解题技巧】 例1．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）阅读下面的材料：高斯上小学时，有一次数学老师让同学们计算“从1到100这100个正整数的和”．许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常繁琐，且易出错．聪明的小高斯经过探索后，给出了下面漂亮的解答过程． 解：设，① 则，② 得． 所以，， 所以 后来人们将小高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法”． 请类比以上做法，解答下列问题： (1)计算：； (2)计算：． (3)计算： 【答案】(1)500500 (2)15000 (3)2500 【分析】本题主要考查有理数的运算，熟练掌握有理数的加法及乘法运算是解题的关键；因此（1）（2）（3）可根据题中所给方法进行求解即可． 【详解】（1）解：设，① 则，② 得． 所以，则， 所以； （2）解：设，① 则，② 得． 所以，则， 所以； （3）解：设，① 则，② 得． 所以，则， 所以． 例2．（23-24七年级上·四川达州·期中）阅读理解：高斯上小学时，有一次数学老师让同学们计算“从1到100这100个正整数的和”．许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常烦琐，且易出错．聪明的小高斯经过探索后，给出了下面漂亮的解答过程． 解：设，① 则，② ①+②，得 （两式左右两端分别相加，左端等于，右端等于100个101的和） 所以，③ 所以后来人们将小高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法”． 请解答下面的问题： (1)请你运用高斯的“倒序相加法”计算：； (2)请你认真观察上面解答过程中的③式及你运算过程中出现类似的③式，猜想：　 　． (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了数字类规律探索．熟练掌握运算规律是解题的关键． （1）记，则，，计算求解即可； （2）记，则，，计算求解即可； （3）记，则，，计算求解即可． 【详解】（1）解：记，则， ∴， 解得，， ∴； （2）解：记，则， ∴， 解得，， 故答案为：； （3）解：记，则， ∴， 解得， ∴． 变式1．（23-24六年级上·山东威海·期中）【数学阅读】高斯上小学时，有一次数学老师让同学们计算“从1到100这100个正整数的和”．许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常繁琐，且易出错．聪明的高斯经过探索后，给出了下面的解答过程： 解：设S＝1+2+3+…+100， ① 则S＝100+99+98+…+1．② ①+②，得（即左右两边分别相加）： 2S＝（1+100）+（2+99）+（3+98）+…+（100+1）＝100×101． 所以，S＝． 所以，1+2+3+…+100＝5050． 后来人们将高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法”． 【问题解决】利用“倒序相加法”解答下面的问题： (1)计算：1+2+3+…+101； (2)猜想：1+2+3+…+n＝　　； (3)利用（2）中的结论，计算：1001+1002+…+2000． 【答案】(1)5151 (2) (3) 【分析】（1）根据题目中的例子可以求得所求式子的值； （2）根据题目中的例子，可以写出猜想的结果； （3）根据（2）中结论即可得到结果． 【详解】（1）解：设S＝1+2+3+…+100+101① 则S＝101+100+…+3+2+1   ② ①+②，2S＝102+102+102+102+102+…+102＝101×102． 所以，S＝， 所以，1+2+3+…+100+101＝5151； （2）解：解：设S＝1+2+3+…+n① 则S＝n+…+3+2+1   ② ①+②，2S＝（n+1）+…+（n+1）＝（n+1）×n． 猜想：1+2+3+…+n＝， 故答案为：； （3）解：1001+1002…+2000=． 【点睛】本题考查数字的变化类、有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化特点，求出所求式子的值． 变式2．（24-25七年级上·辽宁葫芦岛·期中）问题情境： 求几个连续整数的和，例如：求的和，我们可以采用如下办法： 设．① 把上式等号右边倒序排列，得．② ①与②等号两边分别相加，得． 所以．这种求和的方法叫做倒序求和法． (1)独立思考： 请你用倒序求和法计算； (2)实践探究： 计算； (3)问题拓展： 某校为庆祝2024年元旦，丰富学生课余生活，举行篮球比赛．若七年级共有20个班，每两个班级只进行一场比赛，则共举办多少场篮球比赛？ (4)问题解决： 若某校共有x个班级，每两个班级只进行一场篮球比赛，则共需要举办_____场篮球比赛．（用含x的代数式表示） 【答案】(1) (2) (3)共举办场篮球比赛 (4)或 【分析】本题考查了数字规律问题，根据题干提供的数字规律和方法，类比拓展到实际问题即可求解，抓住问题的本质是解题的关键． （1）运用倒序求和法计算即可； （2）找到数据中的规律，再用倒序求和法计算即可； （3）根据题意可从第一个班级开始，如果要每两个班级只进行一场比赛，第一个班级则需要与剩下的个班级比赛，依此类推，比赛的总次数为，运用倒序求和法计算即可； （4）根据题意直接列出代数式即可． 【详解】（1）解：设①， 把上式倒序排列得②， ①式与②式两边分别相加得：， ∴； （2）解： ， 设①， 把上式倒序排列得②， ①式与②式两边分别相加得：， ∴； （3）解：由题意得： （场）， ∴共举办场篮球比赛； （4）解：由题意得： 或， ∴共需要举办或场篮球比赛． 题型10、换元法 【解题技巧】将相同的几个式子用一个字母代替，然后进行计算，最后再把字母换成数字，一般情况下，字母在计算过程中会消掉． 例1．（2024七年级上·全国·专题练习）学科素养·整体思想（广东二模）阅读理解： 计算时，若把与分别各看作一个整体，再利用分配律进行运算，可以大大简化难度．过程如下： 解：设为，为， 则原式． 请用上面的方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了有理数的乘法，整式的加减运算，熟练掌握阅读理解中的解题方法是解本题的关键． （1）根据题意设为，为，原式变形后计算即可求出值； （2）根据题意设为，为，原式变形后计算即可求出值． 【详解】（1）解：设为，为， 则原式； （2）解：设为，为， 则原式． 例2．（24-25七年级上·云南临沧·期中）计算的结果是（　　） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 【答案】A 【分析】本题主要考查有理数的混合运算的应用，掌握整体思想成为解题的关键． ，，，，则，；将原式可化为；设，则．，易得，进而完成解答． 【详解】设，，，，则，， ∴ ， ∵设，则．， ∴． ∴． 故选A． 变式1．（24-25七年级下·全国·假期作业）计算下面各题． ① ② 【答案】①；② 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则，把相同的算式看作一个整体进行计算是解题的关键． ①设，，代入原式，根据运算法则进行计算即可； ②设，，代入原式，根据运算法则进行计算即可． 【详解】解：①设，，则 原式 ． ②设，，则 原式 ． 变式2．（22-23七年级上·江苏盐城·阶段练习）【阅读理解】 在学习第3章《代数式》过程中，我们曾把中的“”看成一个字母，把“”看成另一个字母，将这个代数式简化为，在数学中，我们把这种方法称为整体代换法，常常用这样的方法把复杂的问题转化为简单问题. 【灵活运用】应用整体代换法解答下列问题： (1)已知，求代数式的值； (2)已知，求代数式的值； (3)计算： 【答案】(1)4 (2)2 (3)2022 【分析】（1）令，将原式化简，由计算出a的值，再求代数式的值即可； （2）令，将原式化简，由计算出b的值，再求代数式的值即可； （3）根据阅读材料进行整体代换，再根据数字的变化规律进行计算． 【详解】（1）解：令， 则， 由得， 因此，原式； （2）解：令， 则 ， 由得， 因此，原式； （3）解：把看成字母m，把看成字母n， 则原式 ． 【点睛】本题考查整式的加减，有理数的混合运算，解题的关键是读懂材料，熟练应用整体代换法． 题型11、利用图形进行简算 【解题技巧】利用图形进行简便运算的方法，通常被称为‌图形法‌或‌几何法‌。这种方法通过将数学问题转化为图形问题，利用图形的直观性和几何性质来简化运算过程。需要注意的是，虽然图形法可以简化运算过程并提高解题效率，但在使用时应确保图形的准确性和规范性。此外，对于一些特殊问题或复杂情况，可能需要结合其他数学方法或工具来共同求解。 例1．（24-25七年级上·广西南宁·阶段练习）“转化”是一种解决问题的常用思想，有时画图可以帮助我们找到转化的方法．例如借助图① ， 可以把算式转化为． (1)请你参考图①，利用转化的方法计算： 的值． (2)请你观察图②，利用转化的方法计算： 的值． 【答案】(1)225 (2) 【分析】本题考查有理数的简便运算，理解“转化”思想是解题的关键． （1）参考图①，利用转化的方法计算，原式可转化为； （2）根据图形观察，把这个正方形看作单位“1”，算式可以转化为，从而求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 例2．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）利用如图所示的图形，可求的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】该题主要考查了有理数乘方的应用，解题的关键是读懂图象． 根据图象得出即为的面积，再计算的面积即可． 【详解】解：假设正方形的面积为1， 根据图象可得即为的面积， ∵的面积， 故的面积为， 故选：C． 例3．（23-24六年级上·山东威海·期末）如图，将一张边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依此类推． (1)阴影部分的面积是______； (2)以下是甲，乙两位同学求的方法； 甲同学的方法：利用已给正方形图形求，； 乙同学的方法：① ② ②－①即可． 根据两位同学的方法，你认为______； (3)______； (4)计算：； (5)请借助甲，乙同学的方法，分别求出的值． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】本题考查了图形规律的探究，有理数的运算．熟练掌握图形规律的探究，有理数的运算是解题的关键． （1）根据，计算求解即可； （2）甲同学： ；乙同学：得，，计算求解即可； （3）设，则，，计算求解即可； （4）同理（3）计算求解即可； （5）甲同学：如图，将边长为1的正方形四等分，每分割一次面积为原来的，依此类推，则图中阴影部分的面积为，可得一般性规律为，整理得，然后求解即可；乙同学：令，则，，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，， 故答案为：； （2）解：甲同学： ； 乙同学：①，② 得，， 故答案为：； （3）解：设，则， ∴， 故答案为：； （4）解：令，则， ∴， ∴； （5）解：甲同学：如图，将边长为1的正方形四等分，每分割一次面积为原来的，依此类推， 则图中阴影部分的面积为， ∴可得一般性规律为：，整理得， ∴； 乙同学：令，则， ∴， 解得，， ∴的值为． 变式1．（24-25七年级上·山东济宁·期中）如何计算？小明和小亮给出了不同的做法： 一、小明的做法： 如图，画一个边长为1的正方形，并将它的面积不断做二等分． 第1次分割：把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为； 第2次分割：将上次分割图中的空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积为； 第3次分割：将上次分割图中的空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积为； … 第2024次分割：将上次分割图中的空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积为． 根据图形可得，． 二、小亮的做法： 设， 则，因为，所以． (1)请仿照小明的做法求出的值（画出最后一次分割的图形，在图上标注阴影部分面积，并写出结果）； (2)请仿照小亮的做法验证（1）的结论； (3)在上面的两种做法中任选一种计算的值． 【答案】(1)，见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了有理数乘方的应用，理解乘方的意义是解题关键． （1）仿照小明的做法画出图形求解即可； （2）仿照小亮的做法验证即可； （3）仿照小亮的做法求解即可； 【详解】（1）解：， （2）解：设， 则， 因为，所以． （3）解：设， 则， 因为， 所以． 变式2．（24-25六年级上·山东泰安·期中）数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法．我们经常用数形结合、数形转化的方法解决一些数学问题．如图所示，将一个边长为1的正方形纸片分制成6个部分，部分①的面积是边长为1的正方形纸片面积的一半，部分②的面积是部分①面积的一半，部分③的面积是部分②面积的一半，依此类推． (1)阴影部分的面积是________． (2)受（1）的启发，试求出的值． (3)进而计算：________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了乘方的应用，根据所给图形发现并总结出一般规律是解题的关键． （1）根据题意，阴影部分的面积占正方形总面积的，于是得解； （2）的和，可以看成是部分的面积总和，它等于总面积减去阴影部分面积，于是得解； （3）阴影部分面积占总面积的，总面积减去阴影部分面积，就等于，于是得解． 【详解】（1）解：根据题意可得，阴影部分面积占总面积的比例为： ， 阴影部分的面积是：， 故答案为：； （2）解：根据题意可得： ； （3）解：根据题意可得： ， 故答案为：． 变式3．（22-23七年级上·山东青岛·期中）曹冲称象是我国历史上著名的故事，大家都说曹冲聪明．他到底聪明在何处呢？我们都知道，曹冲称得是石块而不是大象，并且确信，石块的质量就是大象的体重．曹冲的聪明就在于，他用化归思想将问题转变了；借助于船这种工具，将大象的体重转变为一块块石块的重量．转变就是化归的实质．化归不仅是一种重要的解题思想，也是一种最基本的思维策略，更是一种有效的数学思维方式．从字面上看，化归就是转化和归结的意思．例如：我们在七年级数学上册第二章中引入“相反数”这个概念后，正负数的减法就化归为已经解决的正负数的加法了；而引入“倒数”这个概念后，正负数的除法就化归为已经解决的正负数的乘法了． 下面我们再通过具体实例体会一下化归思想的运用： 数学问题，计算(其中是正整数，且，)． 探究问题：为解决上面的数学问题，我们运用数形结合的思想方法，通过不断地分割一个面积为1的正方形，把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并采取一般问题特殊化的策略来进行探究． 探究一：计算． 第1次分割，把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为； 第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积之和为； 第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，……； …… 第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后二等分，所有阴影部分的面积之和为，最后空白部分的面积是． 根据第n次分割图可得等式：． 探究二：计算． 第1次分割，把正方形的面积三等分，其中阴影部分的面积为； 第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和为； 第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，……， …… 第n次分别，把上次分割图中空白部分的面积最后三等分，所有阴影部分的面积之和为，最后空白部分的面积是． 根据第n次分制图可得等式：， 两边同除2，得， 探究三：计算． (仿照上述方法，在图①中只画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并写出探究过程) 解决问题．计算． (在图②中只画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并完成以下填空)． (1)根据第n次分割图可得等式：___________． (2)所以，___________． (3)拓广应用：计算___________． 【答案】探究三：图见见解析； 解决问题：图见解析；（1）；（2）；（3） 【分析】探究三：根据探究二的分割方法依次进行分割，然后表示出阴影部分的面积，再除以3即可； 解决问题：(1)根据第n次分割图得出等式 (2)按照探究二的分割方法依次分割，然后表示出阴影部分的面积及，再除以即可得解； (3)拓广应用：先把每一个分数分成1减去一个分数，然后应用公式进行计算即可得解． 【详解】探究三：第1次分割，把正方形的面积四等分， 其中阴影部分的面积为； 第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续四等分， 阴影部分的面积之和为； 第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续四等分， …， 第次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后四等分， 所有阴影部分的面积之和为：， 最后的空白部分的面积是， 根据第次分割图可得等式：， 两边同除以3，得； 解决问题： （1） 故答案为： （2）， 故答案为：； （3）拓广应用： ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了应用与设计作图，图形的变化规律，读懂题目信息，理解分割的方法以及求和的方法是解题的关键． 1．（24-25七年级上·吉林长春·期中）计算： (1)． (2) (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3)24 (4) 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握相关的运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的加减混合运算计算即可； （2）省略式子中的“＋”号和括号，运用加法交换律和结合律进行简便计算； （3）运用分配律进行简便计算； （4）先计算乘方、乘法，再计算加减法． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 2．（24-25七年级上·内蒙古赤峰·期中）计算：（第（3）（4）小题用简便方法计算） (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1)18 (2)8 (3) (4)0 (5) 【分析】本题考查了有理数的混合运算． （1）先去括号，再根据有理数的加减运法则从左到右进行计算即可； （2）先算乘方和去绝对值，再算乘除，最后算加减即可； （3）先去括号，再运用加法的交换律和结合简便计算即可； （4）运用乘法的分配律进行计算即可； （5）将除法转化为乘法，再根据乘法的运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ． 3．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）计算 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) 【答案】(1) (2)15 (3)50 (4) (5) (6)3 (7) (8) (9) (10) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，有理数乘法与加减法的混合运算，熟练掌握有理数的加减与乘法的混合运算是解题的关键． （1）根据有理数的加法法则计算即可； （2）根据有理数的减法法则计算即可； （3）根据有理数加法运算律计算即可； （4）现将有理数的减法转化为加法计算，再运用加法运算律计算即可； （5）运用有理数乘法的运算律计算即可； （6）先计算绝对值内的加法，再进行有理数的加减混合运算即可； （7）根据先乘除再加减的运算顺序计算即可； （8）运用分配律计算即可； （9）先去小括号，再去中括号，最后根据有理数的加法运算法则及加法运算律计算即可； （10）运用有理数的分配律的逆运算计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ； （7）解： ； （8）解： ； （9）解： ； （10）解： ． 4．（24-25六年级上·上海·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4) (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】本题主要考查了有理数的相关计算，熟知有理数的相关计算法则是解题的关键． （1）根据有理数的加减计算法则求解即可； （2）根据乘法分配律的逆运算法则求解即可； （3）根据乘法分配律求解即可； （4）先计算乘方，再计算乘方即可； （5）按照先计算乘方，再计算乘除法，最后计算加减法，有括号先计算括号的运算顺序求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ． 5．（24-25七年级上·浙江金华·开学考试）脱式计算（能简便的用简便方法计算）． (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5)19 (6)73 【分析】本题考查了有理数的混合运算． （1）先将除法转化为乘法，再算括号里的，最后计算乘法即可； （2）先将小数化为分数，再计算乘法即可； （3）先将除法化为乘法，再根据乘法计算，最后计算减法即可； （4）先将小数化为分数，再将除法化为乘法，根据乘法结合律计算即可； （5）先计算括号里的，再计算除法即可； （6）根据乘法分配律计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： （3）解： （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 6．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)5 (2)3 (3) 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合计算： （1）按照先计算乘除法，再计算加减法，有括号先计算括号的运算顺序求解即可； （2）按照先计算乘除法，再计算加减法，有括号先计算括号的运算顺序求解即可； （3）按照先计算乘除法，再计算加减法，有括号先计算括号的运算顺序求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：原式 ． 7．（24-25七年级上·全国·假期作业）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法运算，先拆项，然后利用加法交换律和结合律计算即可． 【详解】 ． 8．（24-25七年级上·河南信阳·阶段练习）孙老师在多媒体上列出了如下的材料： 计算：． 解：原式； ； ． 上述这种方法叫做拆项法． 请仿照上面的方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1)2025 (2) 【分析】本题考查有理数的加减法、除法运算，解题的关键是正确理解题意给出的运算方法． （1）根据题意给出的运算方法以及有理数的加减运算法则即可求出答案； （2）根据题意给出的运算方法以及有理数的除法运算法则即可求出答案． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 9．（23-24七年级上·河南南阳·阶段练习）已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加减运算．利用加法运算律计算求解是解题的关键． 根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知， ， 故答案为：． 10．（23-24七年级上·山东青岛·阶段练习）在学习了有理数的加减法之后，老师讲解了例题的计算思路为：从左侧开始将两个加数组合在一起作为一组；其和为1，共有1009组，所以结果为．根据这个思路某同学改编了下列几题： (1)计算： ①______； ②______． (2)蚂蚁在数轴的原点处，第一次向右爬行1个单位，第二次向右爬行2个单位，第三次向左爬行3个单位，第四次向左爬行4个单位，第五次向右爬行5个单位，第六次向右爬行6个单位，第七次向左爬行7个单位……按照这个规律，求出第2023次爬行后蚂蚁在数轴什么位置 【答案】(1)①，② (2)第2023次爬行后蚂蚁在原点处 【分析】（1）根据题目所给计算方法进行计算即可； （2）将向右爬行记为正，向左爬行记为负，列出算式进行计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可得； ① ； ② 故答案为：，； （2）解：将向右爬行记为正，向左爬行记为负， ， ∴第2023次爬行后蚂蚁在原点处． 【点睛】本题主要考查了有理数加减混合运算的实际应用，解题的关键是熟练正确理解题意，根据题意正确列出算式． 11.（23-24七年级·重庆·期末） 【答案】0 【详解】原式＝＝0， 12．（2024七年级上·北京·专题练习）利用公式计算： （1） ；（直接写答案） （2） ．（直接写答案） 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算，变形套用公式是解题的关键： （1）利用公式拆项进行计算即可； （2）拆项，套用公式进行计算即可． 【详解】解：（1）原式1； 故答案为：． （2）原式 ； 故答案为：． 13．（23-24八年级上·广东广州·期末）定义新运算：对任意非零实数，有，则（） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的混合运算，整式—数字规律找到运算规律（）是解题关键． 【详解】解∶原式 故选：D． 14．（24-25七年级上·全国·单元测试）． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算法则以及通过观察题目找出规律，利用裂项的化简方法是解题的关键，通过观察题目可以看出，，算式的第三项可以和第四项相加为0，直至最后一项，因此分式最终可以化简为． 【详解】解：原式 ． 15．（22-23七年级上·广东深圳·期中）简便运算能使学生思维的灵活性得到充分锻炼，对提高学生的计算能力起到非常大的作用．阅读下列相关材料． 材料一，计算：． 分析：利用通分计算的结果很麻烦，可以采用以下方法进行计算． 解：． ． 材料二，下列算式是一类两个两位数相乘的一种特殊计算方法． ； ； 根据以上材料，完成下列问题： (1)请你根据对材料一的理解，计算：； (2)请你根据对材料二的理解，计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题以材料题为背景，介绍了有理数运算中的简便运算．正确理解题意加以运用是解题关键． （1）利用材料一所给方法，先计算即可求解； （2）利用材料二所给方法即可计算． 【详解】（1）解： ， ∴； （2）解： ． 16.（23-24七年级上·湖南湘西·期末）数学老师为了优化同学们的运算思维，提高数学运算能力，复习有理数综合运算时，布置了一道有意思的计算题：请用不同解法计算 刘聪和他的小伙伴选择常规解法： 张明开动脑筋，经过观察算式特点，和同学们深入分析、探究，又找到了下面这种解法：原式的倒数： 所以，原式 (1)请比较刘聪和张明两位同学的解法，你喜欢哪位同学的解法？ 为什么？ (2)请选择你喜欢的解法计算： 【答案】(1)更喜欢张明的解法，理由见解析(2) 【详解】（1）解：更喜欢张明的解法，理由如下： 观察两人的解题过程可知，张明的解题过程简单，且省去了通分计算，比较简便， ∴更喜欢张明的解法； （2）解：原式的倒数为： ， ． 17．（24-25七年级上·广东惠州·期中）（1）如果欲求的值，可令①，将①式右边顺序倒置，得②，由②式+①式，得　　；　　；由结论求　　； （2）①观察一列数2，4，8，16，32，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是 　　；根据此规律，如果（n为正整数）表示这个数列的第n项，那么　　，　　； ②为了求的值，可令①，则②，由②式﹣①式，得，，即． 仿照以上推理，计算． 【答案】（1），， （2）①，；② 【分析】本题考查了含乘方的有理数的运算，数字规律探究，正确分析并仿照题目中的解题方法进行求解是解题的关键． (1)根据题目所给方法，可得，从而求得，根据上面得到的公式进行计算即可求得的值； (2)①观察一列数2，4，8，16，32，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数2，根据此规律，可得(n为正整数) ，据此即可得答案；②根据推理进行计算即可求得的值． 【详解】解：（1）如果欲求的值，可令①， 将①式右边顺序倒置，得②， 由②式+①式，得， ， 由结论求， 故答案为：，，． （2）①观察一列数2，4，8，16，32，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是2． 根据此规律，如果（n为正整数）表示这个数列的第n项，那么，； 故答案为：，． ②为了求的值，可令①， 则②， 由②式﹣①式，得， ， 即． 18．（24-25七年级上·山东德州·期中）阅读材料：求． 首先设①， 则②， ②-①得， 即． 以上解法，在数列求和中，我们称之为“错位相减法”． 请你根据上面的材料，解决下列问题： (1)． (2)求的值． (3)若为正整数且，求． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查数字规律及有理数的混合运算，理解并掌握“错位相减法”，是解题的关键． （1）模仿例题，设原式为S，再让两边同乘以2，再错位相减求解； （2）模仿例题，设原式为S，再让两边同乘以3，再错位相减求解． （3）模仿例题，设原式为S，再让两边同乘以a，再错位相减求解 【详解】（1）解：设， 则， 得：； （2）设， 则②， 得：， 所以， 即． （3）解：设①， 则②， ②−①得：， 所以， 即． 19．（23-24七年级上·河北衡水·期中）高斯上小学时，有一次数学老师让同学们计算“从1到100这100个正整数的和”．许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常烦琐，并且容易出错．聪明的小高斯经过探索后，给出了下面漂亮的解答过程 解：设，① 则，② ①+②，得． （两式左右两端分别相加，左端等于，右端等于100个101的和） ∴，③ ∴． 后来人们将小高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法”． （1）请你运用高斯的“倒序相加法”计算：； （2）请你认真观察上面解答过程中的③式及你运算过程中出现类似的③式，猜想________（用含的代数式表示）； （3）计算：． 【答案】（1）20100；（2）；（3）2036160 【分析】（1）先把1-200个数分别从小加到大，再从大加到小，然后两列数分别相加，可以得到200个201，算得200个201的和后再除以2即得1-200各数的和； （2）由（1）及题目例题的解析可得解答； （3）把101+102+103+⋯+2020 看成1+2+3+⋯+2020的和减去1+2+3+⋯+100 的和，再利用（2）所得代数式计算即可得到答案 ． 【详解】解：（1）设① 则②， ①+②，得， 所以，， 所以； （2）由（1）及题目例题的解析可得： ； （3） =2041210-5050 【点睛】本题考查数字类规律探索，通过阅读题目材料和例题总结出计算规律，再把所得规律应用于新问题的解决是解题关键 ． 20．（24-25七年级上·广东深圳·期中）在一次综合实践活动课上，张老师给每位同学各发了一张正方形纸片，请同学们思考如何通过折纸的方法求出的值． 【操作探究】“乘风”小组的同学经过一番思考和讨论交流后，进行了如下操作：如图1，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，第①部分是边长为1的正方形纸片面积的一半，第②部分是第①部分面积的一半，第③部分是第②部分面积的一半，，依次类推，则图1中空白部分的面积为． “破浪”小组是这样思考的：设， 将等式两边同时乘以得：， 将上式减去下式得，即，即． 【过程思考】 (1)图1中阴影部分的面积是 ，= ． (2)请你利用图2，再设计能求的值的几何图形．（只画出图形即可） (3)根据以上规律， ① ．（为正整数） ② ．（为正整数） 【答案】(1)， (2)如图所示（标序号部分）即为所求： (3)①；② 【分析】（1）阴影部分的面积等于部分⑥的面积； （2）依照题目的示范作图即可； （3）①利用数形结合的思想，用整个正方形的面积减去阴影部分的面积即可确定答案；②利用整体思想，令将等式两边同时乘以得：，两式子相减，即可得出答案． 【详解】（1）由题知， 正方形每次被分割的部分是前一部分面积的一半， 所以图中阴影部分的面积与部分⑥的面积相等． 又因为部分①的面积为：， 部分②的面积为：， 部分③的面积为：， …， 依次类图，部分n的面积为． 当时， ． 所以阴影部分的面积为． ∵， ∴． 故答案为：；． （2）如图所示（标序号部分）即为：求的值的几何图形 （3）①根据（2）中的发现可知， ． 故答案为：． ②令 将等式两边同时乘以得：， 将②式减去①式得，即． 故答案为：． 【点睛】本题考查图形变化的规律，数形结合思想以及整体思想的巧妙运用是解题的关键． 1．（24-25七年级下·重庆·自主招生）计算：． 【答案】1 【分析】本题考查了有理数乘除的简便运算，熟练掌握有理数乘除的运算法则是解题的关键．根据有理数乘除的运算法则即可求解． 【详解】解： ． 2．（2023八年级上·四川眉山·竞赛）已知，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，先把A中的各项变形，再拆项求解即可得解，能正确根据已知算式变形是解此题的关键． 【详解】解： ， 故选：C 3．（24-25七年级上·湖北恩施·期末）对于整数x，规定，例如：，求：的值． 【答案】 【分析】本题考查数字的变化类、有理数的混合运算，代数式求值，解答本题的关键是熟练掌握题目中的新规定，有理数混合运算的顺序和法则．根据所给新定义计算出若干的值，得到，再求所求的式子的值即可． 【详解】解：∵， ∴，则； ，则； ，则； …， ； ∴ ． 4．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： 【答案】 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算．观察数据，，，……，可总结出规律①；又，，……则总结出规律②；据此计算即可． 【详解】解： ． 5．（23-24九年级下·河南郑州·开学考试）选择适当的方法计算下列各题． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的四则运算及运算律的应用． （1）先将百分数和小数统一化为分数，再根据有理数运算法则计算即可； （2）先计算括号内乘法，再计算括号内加减法，左后计算括号外乘除法即可； （3）先将除法转化为乘法，分数统一化为小数，再逆用乘法分配律计算即可； （4）将原式转化为即可计算． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 6．（23-24七年级上·广东东莞·阶段练习）观察下列式子： 将以上三个等式两边分别相加得： ． (1)直接写出结果：_______； (2)请用上述方法计算（写出具体过程）：______；； (3)直接写出计算结果：_______； (4)直接写出计算结果：________； 【答案】(1) (2)； (3)； (4)； 【分析】（1）根据有理数的规律直接求解即可得到答案； （2）根据有理数的规律直接求解即可得到答案； （3）根据题意得到，再根据有理数的规律直接求解即可得到答案； （4）根据有理数的规律直接求解即可得到答案； 【详解】（1）解：由题意可得， 原式 ， 故答案为：； （2）解：由题意可得， ，，， 由此可得， ， ∴原式 ； （3）解：由题意得到， ， ∴原式 ， ； （4）解：由题意可得， 原式 ； 【点睛】本题考查有理数的规律题，解题的关键是熟练掌握有理数的规律． 7．（23-24七年级上·江苏南京·阶段练习）简便计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用有理数的混合运算的法则和运算律解答即可； （2）根据先将看着一个整体，利用乘法分配律把后面乘法部分展开，再逆用乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数的混合运算顺序和运算法则．灵活运用乘法分配律进行计算． 8．（22-23七年级上·四川乐山·期中）阅读理解：计算时，若把与 分别看作一个整体，再利用乘法分配律进行计算，可以大大简化难度，过程如下： 解：令，， 则原式 (1)上述过程使用了什么数学方法？ ；体现了什么数学思想？ ；（填一个即可） (2)用上述方法计算： ① ② ③计算：. 【答案】(1)换元法；整体思想（转化思想） (2)①；②；③ 【分析】（1）根据题意进行求解即可； （2）①仿照题意利用换元法进行求解即可；②仿照题意利用换元法进行求解即可；③分子上把当成一个整体，利用乘法分配律的逆运算合并，分母把当成一个整体，利用乘法分配律的逆运算合并，据此求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，上述过程使用了换元法，提现了整体思想； 故答案为：换元法，整体思想（转化思想）； （2）解：①设， ∴原式 ； ②设， ∴原式 ； ③原式 ． 【点睛】本题主要考查了有理数乘法分配律，正确理解题意利用整体思想求解是解题的关键 9．（22-23七年级下·四川达州·期中）数学问题：计算（其中，都是正整数，且，）． 探究问题：为解决上面的数学问题，我们运用数形结合的思想方法，通过不断地分割一个面积为 的正方形，把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并采取一般问题特殊化的策略来进行探究． 探究一：计算． 第次分割，把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为． 第次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积之和为． 第次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，． 第次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后二等分，所有阴影部分的面积之和，最后空白部分的面积是． 第次分割图可得等式：．          探究二：计算． 第次分割，把正方形的面积三等分，其中阴影部分的面积为． 第次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和为． 第次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，． 第次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后三等分，所有阴影部分的面积之和为，最后空白部分的面积是． 根据第次分割图可得等式：， 两边同除以，得．         探究三：计算． （仿照上述方法，只画出第次分割图，在图上标注阴影部分面积，并写出探究过程）    解决问题：根据前面探究结果： __________． __________．（只填空，其中，都是正整数，且，） 拓广应用：计算． 【答案】探究三：见解析；解决问题：，；拓广应用： 【分析】探究三：模仿例题，画出图形即可，根据正方形面积为1，构建关系式，可得结论． 解决问题：利用规律解决问题即可． 拓广应用：用转化的思想解决问题即可． 【详解】解：探究三 第次分割图如图所示：    所有阴影部分的面积之和为1； 最后的空白部分的面积是； 根据第次分割图可得等式； 两边同除以3，得； 解决问题 根据前面探究结果： ， ， ． 根据第次分割图可得等式，， 所以． 拓广应用 ． 【点睛】本题考查规律型图形变化类，有理数的混合运算，正方形的性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 10．（24-25七年级下·重庆·自主招生）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，设，则，据此可求出，进一步可得，则可证明，据此求解即可． 【详解】解：设， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∴． 11．（24-25七年级上·全国·假期作业）计算题． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4)18 【分析】本题考查了运算与技巧： （1）观察式子，先转化成假分数，但是不要将数的答案算出得数．这样就可以能约分的要约分； （2）观察分子和分母，发现分子和分母经过分析和转化，可以先约分； （3）根据式子将式子转化后进行计算； （4）有小数、带分数、分数的计算，将小数转化为分数，带分数转化为假分数计算； 根据式子的特点进行运算是解题的关键． 【详解】（1）解： ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝； （2）解： ＝ ＝ ＝； （3）解： ＝ ＝ ＝ ＝ ＝； （4）解： ＝ ＝ ＝ ＝ ＝18． 1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点04 有理数的运算技巧 预习目标 1 题型探究 1 题型1、凑整法 1 题型2、拆项法 3 题型3、分组求和法 5 题型4、相互转化法 7 题型5、利用运算律进行简算 8 题型6、裂项相消法 10 题型7、倒数法 12 题型8、错位相减法 13 题型9、倒序相加法 16 题型10、换元法 18 题型11、利用图形进行简算 19 基础通关 25 拓展提优 31 在有理数的运算中，若能根据题目的特征，采用适当的运算技巧，不但能化繁为简，提高运算速度，提升运算的准确率，而且会使计算过程充满乐趣。本专题重点介绍几种有理数常用的运算技巧。 题型1、凑整法 【解题技巧】凑整法是数学运算中通过调整数字组合使其接近整十、整百等易计算的数值，从而简化运算过程的技巧。 核心思想‌：通过拆分、重组或调整运算顺序，使复杂的非整数值转化为整十、整百等便于计算的整数，从而提升运算效率和准确性。 1. ‌加减法凑整（中学阶段主要运用分组凑整）‌ 1）‌拆补凑整‌：调整某个加数使其接近整数，再通过补数修正结果。‌例‌：175 + 299 = 175 +（ 300 - 1） = 474。 2）‌借数凑整‌：通过借数调整被减数或减数。‌例‌：998 + 397 + 506 = (998 + 2) + (397 + 3) + (506 - 6) = 1901。 3）‌分组凑整‌：将能组合为整数的数分组计算。‌例‌：1080 - 63.58 - 36.42 = 1080 - (63.58 + 36.42) = 980。 2. ‌乘法凑整‌ 1）‌ 分解因数‌：利用乘法交换律、结合律拆分因数。‌例‌：125 × 25 × 32 = (125 × 8) × (25 × 4) = 1000 × 100 = 100000。 2）‌提取公因数（乘法分配律的逆用）‌：适用于有相同因数的相关运算。 例‌：99878 × 99 + 99878 × 999 - 98 × 99878 = 99878 × (99 + 999 - 98) = 99878 × 1000。 例1．（24-25七年级上·河南周口·期中）用简便方法计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 例2．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 例3．（24-25七年级上·福建厦门·阶段练习）简便运算 (1) (2) (3) (4) 变式1．（24-25七年级上·江苏淮安·阶段练习）计算： (1)； (2)． 变式2．（24-25七年级上·福建莆田·期中）简便运算： (1)； (2) 变式3．（24-25七年级上·辽宁盘锦·阶段练习）计算题 (1)； (2)； (3)； (4)． 变式4．（24-25七年级上·江苏·阶段练习）计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 题型2、拆项法 【解题技巧】拆项法是一种将带分数或复杂分数表达式拆分为整数和真分数（或更简单的分数组合）进行计算的方法。 结构拆分‌：将带分数分解为整数部分和真分数部分（如）； 分组优化‌：利用加法结合律、乘法分配律等数学规则重组运算顺序。 例1．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）阅读例题的计算方法． 例：计算：． 解：原式 ． 上面这种解题方法叫做拆项法． (1)计算：； (2)计算：． 例2．（2024七年级上·全国·专题练习）先阅读理解第（1）题的计算方法，再计算第（2）小题． （1）计算： 解：原式 ． 上面的计算方法叫作拆分法． （2）计算：． 变式1．（24-25七年级上·山西吕梁·阶段练习）下面是某数学兴趣小组探究用不同方法进行有理数运算的讨论片段，请仔细阅读，并完成相应的任务． 试题： 计算：． 小明：我是先把原带分数化成假分数，然后直接按照有理数加法的运算法则从左到右依次计算． 小军：我认为小明的方法很单一，而且有点麻烦，下面是按照我的方法进行解答的过程． 解：原式 ． 老师：小军的方法很有创意，值得提倡与学习． 小芳：受小军方法的启发，我也有一种方法，解题过程如下． 解：原式 ． 任务：请根据片段中的对话，仿照小军或小芳的方法进行下面的计算． (1)． (2)． 变式2．（24-25七年级上·广东汕头·阶段练习）（1）①用简便的方法计算：； ②上述简便方法运用到的运算律是：______、______； （2）在计算时，没办法直接用上述方法简便运算，需要把各个数进行拆项，再运用运算律简便运算． ①请你把进行拆项：____________；____________； ②用拆项法简便计算：． 题型3、分组求和法 【解题技巧】观察算式，找出算式分布规律，然后适当分组，利用结合律将相加和为整数的结合在一起简化计算。 基本运算中的分组策略： 1）‌加减法的相邻分组‌：针对连续加减混合运算，优先将相邻的数按固定规律分组，简化计算。 ‌示例‌：计算 100 - 99 + 98 - 97 + … + 2 - 1  分析：每两个相邻数为一组：(100-99) + (98-97) + … + (2-1)；每组结果为 1，共 50 组，总和为 50。 2）等差数列与等比数列分组‌：若数列由不同规律的分段组成，可拆分为多个子数列分别求和。 例1．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）计算 . 例2．（24-25七年级上·河北保定·期末）嘉嘉在计算有规律的算式时，不小心把一个运算符号写错了（“”错写成“”或“”错写成“”），结果算成了66． 甲说：如果没有写错符号，该算式； 乙说：嘉嘉一定是把“18”前面的符号写错了； 丙说：嘉嘉一定是把“20”前面的符号写错了； 丁说：算式． 下面对甲、乙、丙、丁四种说法判断正确的有（   ） A．只有甲和乙正确 B．只有乙和丁正确 C．甲、丙、丁正确 D．只有丙正确 例3．（24-25七年级上·全国·假期作业）计算． (1) (2) 变式1．（24-25七年级上·湖南衡阳·阶段练习）计算的结果为 ． 变式2．（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）计算： ． 变式3．（23-24七年级上·四川内江·期中）如图是编号分别为1，2，3，…，n的几何图形，这些几何图形都是由若干个互不重叠的三角形组成，例如，编号为1的图形中有1个三角形，编号为2的图形中有4个互不重叠的三角形，编号为3的图形中有7个互不重叠的三角形…，观察图形，解答下列问题： (1)写出编号为n的图形中互不重叠的三角形的个数（用n的代数式表示）； (2)如果编号为m的图形中有个互不重叠的三角形，求m； (3)编号为1的图形中的三角形的个数记为，编号为2的图形中互不重叠的三角形的个数记为，…，编号为n的图形中互不重叠的三角形的个数记为，求：的值． 变式4．（24-25七年级上·湖北襄阳·期末）      题型4、相互转化法 【解题技巧】相互转化法通过形式（分数、小数、百分数）统一、结构优化和单位整合，大幅提升计算效率。重点在于灵活选择转化路径，并熟练运用运算定律（如分配律、结合律）进行简化。 例1．（24-25七年级上·四川雅安·期中）计算： (1)； (2)． 例2．（24-25七年级上·河南郑州·阶段练习）计算： (1) (2) (3) (4) 例3．（24-25七年级下·重庆·自主招生）计算：． 变式1．（24-25七年级上·山东枣庄·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)． 变式2．（24-25七年级下·全国·假期作业）脱式计算，能简算的要简算． ① ② ③ ④ 变式3．（24-25七年级上·黑龙江绥化·阶段练习）计算（能简算的要简算） (1)；(2)；(3) (4)；(5)；(6) 题型5、利用运算律进行简算 【解题技巧】乘法交换律： 乘法结合律： 乘法分配律： 乘法分配律的逆用： 运算律法：‌运用运算律改变运算顺序；通过改变运算顺序，简化计算步骤。‌逆正难则反，逆用运算律改变次序‌：通过逆用运算律，解决复杂问题。 例1．（24-25七年级上·四川成都·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 例2．（23-24七年级上·黑龙江绥化·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 例3．（24-25七年级上·江苏·阶段练习）用简便方法计算： (1) (2) (3) (4) 例4．（24-25七年级下·全国·假期作业）计算下面各题，能简算的要简算．           变式1．（24-25七年级上·辽宁鞍山·期中）（1）计算： （2）计算： （3）计算： （4）计算：． 变式2．（24-25七年级上·河南南阳·期中）计算 (1) (2) 变式3．（24-25七年级上·山东泰安·阶段练习）用简便方法计算 (1) (2)； (3)； 变式4．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）计算 (1) (2) (3) (4) 题型6、裂项相消法 【解题技巧】裂项相消法‌是将分数表达式拆分为若干项的差值或和差形式，使得相邻项在求和时发生抵消，从而快速简化计算的策略。 裂项相消法的核心是通过巧妙的代数变形，将复杂求和转化为简单抵消。掌握常见裂项公式和系数调整技巧，可快速解决分式、数列求和等问题，尤其在竞赛和考试中能大幅提升效率。 1） “裂差”型运算：①或 ； ②。 裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x为任意自然数)的，但是只要将x提取出来即可转化为分子都是1的运算；（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”；（3）分母上几个因数间的差是一个定值。 2）“裂和”型运算： 或 。 裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。 例1．（24-25七年级上·河南驻马店·期中）数学活动课上，李老师列举了以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …… 认真观察上面的序列等式的变化，寻找“将一项拆成两项”的规律，根据等式规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式为______，第n个等式为______（用含n的式子表示）； (2)利用等式规律计算：． 例2．（23-24七年级上·江苏宿迁·阶段练习）巧算： (1) (2) 例3．（2024七年级上·全国·专题练习）计算：． 例4．（2024七年级上·全国·专题练习） 例5．（2024七年级上·北京·专题练习）． 例6．（23-24七年级上·江苏南通·阶段练习）计算： ． 变式1．（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）式子“”表示从1开始的100个连续自然数的和，由于式子比较长，书写不方便，为了简便起见，我们将其表示为，这里“”是求和符号，如，，通过对以上材料的阅读，计算 ． 变式2．（2024七年级上·全国·专题练习）能简算的要简算：． 变式3．（24-25七年级上·四川眉山·期中）已知与互为相反数．求的值． 变式4．（22-23七年级上·吉林长春·阶段练习）计算： ． 变式5．（2024七年级上·广西·专题练习）计算： 变式6．（23-24七年级上·湖北孝感·期中）观察是数学抽象的基础，在数学探究学习中，我们要善于通过观察发现规律，进而解决问题，请你擦亮眼睛，开动脑筋，解答下列问题 ；；； (1)按以上规律，第个等式为：______；第个等式为：______（用含的式子表示，为正整数）； (2)按此规律，计算的值； (3)探究计算：的值． 题型7、倒数法 【解题技巧】倒数法通过取倒数或表达式的倒数，将复杂运算转化为更易处理的形式。 倒数法通过逆向转化运算逻辑，显著提升分数运算、方程求解及复杂问题的处理效率。重点在于灵活转化运算形式（如除法→乘法、分母→分子），并结合分配律、方程变形等技巧综合应用。 例1．（24-25七年级上·山西临汾·期中）阅读下列材料，完成后面任务． 计算： 解法①：原式 解法②：原式 解法③：原式的倒数为 故原式 任务： (1)上述三种解法得出的结果不同，肯定有解法是错误的，你认为解法 是错误的．（填序号） (2)在正确的解法中，你认为解法 比较简便．（填序号） (3)请你进行简便计算：． 例2．（24-25七年级上·江苏·期中）计算： (1)前后两部分之间存在着什么关系？ (2)先计算哪部分比较简单?请给予解答； (3)利用（1）中的关系，直接写出另一部分的结果； (4)根据上述分析，求出原式的结果． 变式1．（24-25七年级上·广西桂林·阶段练习）数学老师熊老师在课堂上布置了一道思考题“计算”，小雷同学仔细思考了一番，用了一种不同的方法解决了这个问题，小雷同学的解法： 原式的倒数为，所以． (1)根据倒数的定义我们知道，若，则________． (2)请你运用小雷同学的解法解答下面的问题： 计算：． 变式2．（24-25七年级上·江西上饶·期中）数学老师布置了一道思考题“计算”：． 小英的解法：． 小李的解法：原式的倒数为…第一步， …第二步， …第三步， …第四步． 所以． 分析两位同学的解法，请你回答下列问题： (1)两位同学的解法中， 同学的解答正确； (2)小李的解法中，第二步到第三步的运算依据是 ； (3)用一种你喜欢的方法计算：． 题型8、错位相减法 【解题技巧】错位相减法通过构造等比数列的和式与其公比倍数的错位式，利用‌中间项相消的特性简化求和过程，最终导出等比数列前n项和的表达式。 通过错位相减法，可直观理解等比数列求和的数学本质，并确保公式推导的逻辑严密性。实际应用中，直接套用闭合公式可高效解题，但推导过程需熟练掌握。 例1．（24-25七年级上·河南周口·期中）求的值时，可令，则，因此．依照以上推理，可以计算出的值为 ．（结果保留乘方的形式） 例2．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）为了求的值， 可令，则， 因此，所以． 这种方法称为“错位相减法”． 请参考以上推理计算： （   ） A． B． C． D． 例3．（2025·安徽·一模）【阅读材料】数列是一个古老的数学课题，我国对数列概念的认识很早，例如《易传•系辞》：“河出图，洛出书，圣人则之；两仪生四象，四象生八卦”．这是世界数学史上有关等比数列的最早文字记载． 【问题提出】求等比数列1+a1+a2+a3+…+an的值(a＞0，且a≠1，n是正整数，请写出计算过程)． 【等比数列】按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．排在第一位的数称为第一项，记为a1，排在第二位的数称为第二项，记为a2，依此类推，排在第n位的数称为第n项，记为an．所以，数列的一般形式可以写成：a1，a2，a3，…，an，…． 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比值等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用q表示．如：数列1，2，4，8，…为等比数列，其中a1=1，a2=2，公比为q=2．根据以上材料，解答下列问题： (1)等比数列3，9，27，…的公比q为_____，第5项是_____． 【公式推导】如果一个数列a1，a2，a3，…，an…，是等比数列，且公比为q，那么根据定义可得到：=q，=q，=q，…，=q．所以a2=a1•q，a3=a2•q=a1q•q=a1•q2，a4=a3•q=a1•q2=a1•q3，… (2)由此，请你填空完成等比数列的通项公式：an=a1•(_____)． 【拓广探究】等比数列求和公式并不复杂，但是其推导过程——错位相减法，构思精巧、形式奇特．欧几里得在《几何原本》中就给出了等比数列前n项和公式，而错位相减法则直到1822年才由欧拉在《代数学基础》中给出，时间相差两千多年．下面是小明为了计算1+2+22+…+22019+22020的值，采用的方法： 设S=1+2+22+…+22019+22020①，则2S=2+22+…+22020+22021②， ②-①得2S-S=S=22021-1，∴S=1+2+22+…+22019+22020=22021-1． 【解决问题】(3)请仿照小明的方法求等比数列1+a1+a2+a3+…+an的值(a＞0，且a≠1，n是正整数，请写出计算过程)． 【拓展应用】(4)计算25+252+253+…+25n的值为_____．(直接写出结果) 变式1．（2024七年级上·云南·专题练习）阅读材料：求的值． 解：设， 将等式两边同时乘以2得：， 将下式减去上式得， 即， 即． 请你仿照此法计算： (1)； (2)． 变式2．（23-24七年级上·湖北武汉·期中）【阅读】计算的值. 令S＝，则3S＝，因此3S－S＝， 所以S＝，即S＝＝. 依照以上推理，计算：＝ . 变式3．（23-24七年级上·湖北十堰·期中）【阅读材料】数列是一个古老的数学课题，我国对数列概念的认识很早，例如《易传·系辞》：“河出图，洛出书，圣人则之；两仪生四象，四象生八卦”，这是世界数学史上有关等比数列的最早文字记载． 【等比数列】 按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．排在第一位的数称为第一项，记为，排在第二位的数称为第二项，记为，依此类推，排在第n位的数称为第n项，记为．所以，数列的一般形式可以写成：，，，．．．，．．．． 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比值等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用q表示．如：数列1，2，4，8，．．．为等比数列，其中，公比为． 根据以上材料，解答下列问题： （1）等比数列3，9，27，．．．的公比q为___，第5项是___． 【公式推导】 如果一个数列，，，．．．，．．．，是等比数列，且公比为q，那么根据定义可得到： ，，，．．．，． 所以， ， ，．．． （2）由此，请你填空完成等比数列的通项（即第n项）公式___． 【拓广探究】 等比数列求和公式并不复杂，但是其推导过程——错位相减法，构思精巧、形式奇特．欧几里得在《几何原本》中就给出了等比数列前n项和公式，而错位相减法则直到1822年才由欧拉在《代数学基础》中给出，时间相差两千多年．下面是小明为了计算的值，采用的方法： 设①， 则②， 得， ∴． 【解决问题】（3）求的值； （4）直接写出的值． 题型9、倒序相加法 【解题技巧】 例1．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）阅读下面的材料：高斯上小学时，有一次数学老师让同学们计算“从1到100这100个正整数的和”．许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常繁琐，且易出错．聪明的小高斯经过探索后，给出了下面漂亮的解答过程． 解：设，① 则，② 得． 所以，， 所以 后来人们将小高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法”． 请类比以上做法，解答下列问题： (1)计算：； (2)计算：． (3)计算： 例2．（23-24七年级上·四川达州·期中）阅读理解：高斯上小学时，有一次数学老师让同学们计算“从1到100这100个正整数的和”．许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常烦琐，且易出错．聪明的小高斯经过探索后，给出了下面漂亮的解答过程． 解：设，① 则，② ①+②，得 （两式左右两端分别相加，左端等于，右端等于100个101的和） 所以，③ 所以后来人们将小高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法”． 请解答下面的问题： (1)请你运用高斯的“倒序相加法”计算：； (2)请你认真观察上面解答过程中的③式及你运算过程中出现类似的③式，猜想：　 　． (3)计算：． 变式1．（23-24六年级上·山东威海·期中）【数学阅读】高斯上小学时，有一次数学老师让同学们计算“从1到100这100个正整数的和”．许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常繁琐，且易出错．聪明的高斯经过探索后，给出了下面的解答过程： 解：设S＝1+2+3+…+100， ① 则S＝100+99+98+…+1．② ①+②，得（即左右两边分别相加）： 2S＝（1+100）+（2+99）+（3+98）+…+（100+1）＝100×101． 所以，S＝． 所以，1+2+3+…+100＝5050． 后来人们将高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法”． 【问题解决】利用“倒序相加法”解答下面的问题： (1)计算：1+2+3+…+101； (2)猜想：1+2+3+…+n＝　　； (3)利用（2）中的结论，计算：1001+1002+…+2000． 变式2．（24-25七年级上·辽宁葫芦岛·期中）问题情境： 求几个连续整数的和，例如：求的和，我们可以采用如下办法： 设．① 把上式等号右边倒序排列，得．② ①与②等号两边分别相加，得． 所以．这种求和的方法叫做倒序求和法． (1)独立思考： 请你用倒序求和法计算； (2)实践探究： 计算； (3)问题拓展： 某校为庆祝2024年元旦，丰富学生课余生活，举行篮球比赛．若七年级共有20个班，每两个班级只进行一场比赛，则共举办多少场篮球比赛？ (4)问题解决： 若某校共有x个班级，每两个班级只进行一场篮球比赛，则共需要举办_____场篮球比赛．（用含x的代数式表示） 题型10、换元法 【解题技巧】将相同的几个式子用一个字母代替，然后进行计算，最后再把字母换成数字，一般情况下，字母在计算过程中会消掉． 例1．（2024七年级上·全国·专题练习）学科素养·整体思想（广东二模）阅读理解： 计算时，若把与分别各看作一个整体，再利用分配律进行运算，可以大大简化难度．过程如下： 解：设为，为， 则原式． 请用上面的方法计算： (1)； (2)． 例2．（24-25七年级上·云南临沧·期中）计算的结果是（　　） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 变式1．（24-25七年级下·全国·假期作业）计算下面各题． ① ② 变式2．（22-23七年级上·江苏盐城·阶段练习）【阅读理解】 在学习第3章《代数式》过程中，我们曾把中的“”看成一个字母，把“”看成另一个字母，将这个代数式简化为，在数学中，我们把这种方法称为整体代换法，常常用这样的方法把复杂的问题转化为简单问题. 【灵活运用】应用整体代换法解答下列问题： (1)已知，求代数式的值； (2)已知，求代数式的值； (3)计算： 题型11、利用图形进行简算 【解题技巧】利用图形进行简便运算的方法，通常被称为‌图形法‌或‌几何法‌。这种方法通过将数学问题转化为图形问题，利用图形的直观性和几何性质来简化运算过程。需要注意的是，虽然图形法可以简化运算过程并提高解题效率，但在使用时应确保图形的准确性和规范性。此外，对于一些特殊问题或复杂情况，可能需要结合其他数学方法或工具来共同求解。 例1．（24-25七年级上·广西南宁·阶段练习）“转化”是一种解决问题的常用思想，有时画图可以帮助我们找到转化的方法．例如借助图① ， 可以把算式转化为． (1)请你参考图①，利用转化的方法计算： 的值． (2)请你观察图②，利用转化的方法计算： 的值． 例2．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）利用如图所示的图形，可求的值是（   ） A． B． C． D． 例3．（23-24六年级上·山东威海·期末）如图，将一张边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依此类推． (1)阴影部分的面积是______； (2)以下是甲，乙两位同学求的方法； 甲同学的方法：利用已给正方形图形求，； 乙同学的方法：① ② ②－①即可． 根据两位同学的方法，你认为______； (3)______； (4)计算：； (5)请借助甲，乙同学的方法，分别求出的值． 变式1．（24-25七年级上·山东济宁·期中）如何计算？小明和小亮给出了不同的做法： 一、小明的做法： 如图，画一个边长为1的正方形，并将它的面积不断做二等分． 第1次分割：把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为； 第2次分割：将上次分割图中的空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积为； 第3次分割：将上次分割图中的空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积为； … 第2024次分割：将上次分割图中的空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积为． 根据图形可得，． 二、小亮的做法： 设， 则，因为，所以． (1)请仿照小明的做法求出的值（画出最后一次分割的图形，在图上标注阴影部分面积，并写出结果）； (2)请仿照小亮的做法验证（1）的结论； (3)在上面的两种做法中任选一种计算的值． 变式2．（24-25六年级上·山东泰安·期中）数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法．我们经常用数形结合、数形转化的方法解决一些数学问题．如图所示，将一个边长为1的正方形纸片分制成6个部分，部分①的面积是边长为1的正方形纸片面积的一半，部分②的面积是部分①面积的一半，部分③的面积是部分②面积的一半，依此类推． (1)阴影部分的面积是________． (2)受（1）的启发，试求出的值． (3)进而计算：________． 变式3．（22-23七年级上·山东青岛·期中）曹冲称象是我国历史上著名的故事，大家都说曹冲聪明．他到底聪明在何处呢？我们都知道，曹冲称得是石块而不是大象，并且确信，石块的质量就是大象的体重．曹冲的聪明就在于，他用化归思想将问题转变了；借助于船这种工具，将大象的体重转变为一块块石块的重量．转变就是化归的实质．化归不仅是一种重要的解题思想，也是一种最基本的思维策略，更是一种有效的数学思维方式．从字面上看，化归就是转化和归结的意思．例如：我们在七年级数学上册第二章中引入“相反数”这个概念后，正负数的减法就化归为已经解决的正负数的加法了；而引入“倒数”这个概念后，正负数的除法就化归为已经解决的正负数的乘法了． 下面我们再通过具体实例体会一下化归思想的运用： 数学问题，计算(其中是正整数，且，)． 探究问题：为解决上面的数学问题，我们运用数形结合的思想方法，通过不断地分割一个面积为1的正方形，把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并采取一般问题特殊化的策略来进行探究． 探究一：计算． 第1次分割，把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为； 第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积之和为； 第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，……； …… 第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后二等分，所有阴影部分的面积之和为，最后空白部分的面积是． 根据第n次分割图可得等式：． 探究二：计算． 第1次分割，把正方形的面积三等分，其中阴影部分的面积为； 第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和为； 第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，……， …… 第n次分别，把上次分割图中空白部分的面积最后三等分，所有阴影部分的面积之和为，最后空白部分的面积是． 根据第n次分制图可得等式：， 两边同除2，得， 探究三：计算． (仿照上述方法，在图①中只画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并写出探究过程) 解决问题．计算． (在图②中只画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并完成以下填空)． (1)根据第n次分割图可得等式：___________． (2)所以，___________． (3)拓广应用：计算___________． 1．（24-25七年级上·吉林长春·期中）计算： (1)． (2) (3)． (4)． 2．（24-25七年级上·内蒙古赤峰·期中）计算：（第（3）（4）小题用简便方法计算） (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 3．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）计算 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) 4．（24-25六年级上·上海·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4) (5)． 5．（24-25七年级上·浙江金华·开学考试）脱式计算（能简便的用简便方法计算）． (1) (2) (3) (4) (5) (6) 6．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 7．（24-25七年级上·全国·假期作业）计算：． 8．（24-25七年级上·河南信阳·阶段练习）孙老师在多媒体上列出了如下的材料： 计算：． 解：原式； ； ． 上述这种方法叫做拆项法． 请仿照上面的方法计算： (1)； (2)． 9．（23-24七年级上·河南南阳·阶段练习）已知，则的值为 ． 10．（23-24七年级上·山东青岛·阶段练习）在学习了有理数的加减法之后，老师讲解了例题的计算思路为：从左侧开始将两个加数组合在一起作为一组；其和为1，共有1009组，所以结果为．根据这个思路某同学改编了下列几题： (1)计算： ①______； ②______． (2)蚂蚁在数轴的原点处，第一次向右爬行1个单位，第二次向右爬行2个单位，第三次向左爬行3个单位，第四次向左爬行4个单位，第五次向右爬行5个单位，第六次向右爬行6个单位，第七次向左爬行7个单位……按照这个规律，求出第2023次爬行后蚂蚁在数轴什么位置 11.（23-24七年级·重庆·期末） 12．（2024七年级上·北京·专题练习）利用公式计算： （1） ；（直接写答案） （2） ．（直接写答案） 13．（23-24八年级上·广东广州·期末）定义新运算：对任意非零实数，有，则（） A． B．1 C． D． 14．（24-25七年级上·全国·单元测试）． 15．（22-23七年级上·广东深圳·期中）简便运算能使学生思维的灵活性得到充分锻炼，对提高学生的计算能力起到非常大的作用．阅读下列相关材料． 材料一，计算：． 分析：利用通分计算的结果很麻烦，可以采用以下方法进行计算． 解：． ． 材料二，下列算式是一类两个两位数相乘的一种特殊计算方法． ； ； 根据以上材料，完成下列问题： (1)请你根据对材料一的理解，计算：； (2)请你根据对材料二的理解，计算：． 16.（23-24七年级上·湖南湘西·期末）数学老师为了优化同学们的运算思维，提高数学运算能力，复习有理数综合运算时，布置了一道有意思的计算题：请用不同解法计算 刘聪和他的小伙伴选择常规解法： 张明开动脑筋，经过观察算式特点，和同学们深入分析、探究，又找到了下面这种解法：原式的倒数： 所以，原式 (1)请比较刘聪和张明两位同学的解法，你喜欢哪位同学的解法？ 为什么？ (2)请选择你喜欢的解法计算： 17．（24-25七年级上·广东惠州·期中）（1）如果欲求的值，可令①，将①式右边顺序倒置，得②，由②式+①式，得　　；　　；由结论求　　； （2）①观察一列数2，4，8，16，32，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是 　　；根据此规律，如果（n为正整数）表示这个数列的第n项，那么　　，　　； ②为了求的值，可令①，则②，由②式﹣①式，得，，即． 仿照以上推理，计算． 18．（24-25七年级上·山东德州·期中）阅读材料：求． 首先设①， 则②， ②-①得， 即． 以上解法，在数列求和中，我们称之为“错位相减法”． 请你根据上面的材料，解决下列问题： (1)． (2)求的值． (3)若为正整数且，求． 19．（23-24七年级上·河北衡水·期中）高斯上小学时，有一次数学老师让同学们计算“从1到100这100个正整数的和”．许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常烦琐，并且容易出错．聪明的小高斯经过探索后，给出了下面漂亮的解答过程 解：设，① 则，② ①+②，得． （两式左右两端分别相加，左端等于，右端等于100个101的和） ∴，③ ∴． 后来人们将小高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法”． （1）请你运用高斯的“倒序相加法”计算：； （2）请你认真观察上面解答过程中的③式及你运算过程中出现类似的③式，猜想________（用含的代数式表示）； （3）计算：． 20．（24-25七年级上·广东深圳·期中）在一次综合实践活动课上，张老师给每位同学各发了一张正方形纸片，请同学们思考如何通过折纸的方法求出的值． 【操作探究】“乘风”小组的同学经过一番思考和讨论交流后，进行了如下操作：如图1，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，第①部分是边长为1的正方形纸片面积的一半，第②部分是第①部分面积的一半，第③部分是第②部分面积的一半，，依次类推，则图1中空白部分的面积为． “破浪”小组是这样思考的：设， 将等式两边同时乘以得：， 将上式减去下式得，即，即． 【过程思考】 (1)图1中阴影部分的面积是 ，= ． (2)请你利用图2，再设计能求的值的几何图形．（只画出图形即可） (3)根据以上规律， ① ．（为正整数） ② ．（为正整数） 1．（24-25七年级下·重庆·自主招生）计算：． 2．（2023八年级上·四川眉山·竞赛）已知，则（   ） A． B． C． D．1 3．（24-25七年级上·湖北恩施·期末）对于整数x，规定，例如：，求：的值． 4．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： 5．（23-24九年级下·河南郑州·开学考试）选择适当的方法计算下列各题． (1) (2) (3) (4) 6．（23-24七年级上·广东东莞·阶段练习）观察下列式子： 将以上三个等式两边分别相加得： ． (1)直接写出结果：_______； (2)请用上述方法计算（写出具体过程）：______；； (3)直接写出计算结果：_______； (4)直接写出计算结果：________； 7．（23-24七年级上·江苏南京·阶段练习）简便计算： (1)； (2)． 8．（22-23七年级上·四川乐山·期中）阅读理解：计算时，若把与 分别看作一个整体，再利用乘法分配律进行计算，可以大大简化难度，过程如下： 解：令，， 则原式 (1)上述过程使用了什么数学方法？ ；体现了什么数学思想？ ；（填一个即可） (2)用上述方法计算： ① ② ③计算：. 9．（22-23七年级下·四川达州·期中）数学问题：计算（其中，都是正整数，且，）． 探究问题：为解决上面的数学问题，我们运用数形结合的思想方法，通过不断地分割一个面积为 的正方形，把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并采取一般问题特殊化的策略来进行探究． 探究一：计算． 第次分割，把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为． 第次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积之和为． 第次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，． 第次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后二等分，所有阴影部分的面积之和，最后空白部分的面积是． 第次分割图可得等式：．          探究二：计算． 第次分割，把正方形的面积三等分，其中阴影部分的面积为． 第次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和为． 第次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，． 第次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后三等分，所有阴影部分的面积之和为，最后空白部分的面积是． 根据第次分割图可得等式：， 两边同除以，得．         探究三：计算． （仿照上述方法，只画出第次分割图，在图上标注阴影部分面积，并写出探究过程）    解决问题：根据前面探究结果： __________． __________．（只填空，其中，都是正整数，且，） 拓广应用：计算． 10．（24-25七年级下·重庆·自主招生）计算： 11．（24-25七年级上·全国·假期作业）计算题． (1) (2) (3) (4) 1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $$