第二章 有理数及其运算单元自测培优卷- 2026-2027学年北师大版七年级数学上册

**基本信息** 北师大版七年级有理数及其运算单元自测培优卷，45分钟100分，涵盖选择、填空、解答，基础巩固与能力提升结合，融入实际情境与规律探究，适配单元复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|有理数概念、运算、数轴|基础概念辨析，如数值相等判断、四舍五入应用| |填空题|6/18|绝对值、新定义运算|结合刻度尺数轴转换、五进制换算，培养抽象能力| |解答题|7/58|混合运算、实际应用、规律探究|白菜称重计算、送货路线耗油问题，体现模型意识与运算能力|

第二章 有理数及其运算单元自测培优卷 考试时间：45分钟　　满分：100分 适用：北师大版七年级单元基础测试、周测 1、 选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）下列各组数中，数值相等的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】根据幂的乘方和有理数的乘法法则及绝对值的性质进行计算，再逐一判断即可． 解：∵，，故选项A不符合题意； ∵，，故选项B不符合题意； ∵，，故选项C符合题意； ∵，，故选项D不符合题意； 故选：C． 【点拨】本题考查有理数的乘方和有理数的乘法法则及绝对值的性质，熟练掌握有理数的乘方和有理数的乘法法则及绝对值的性质是解题的关键． 2．（24-25七年级上·陕西商洛·期中）下面计算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数的混合运算，解题的关键在于熟练掌握相关运算法则．根据有理数的相关运算法则计算各项并判断，即可解题． 解：A、，选项计算错误，不符合题意； B、，选项计算错误，不符合题意； C、，选项计算正确，符合题意； D、，选项计算错误，不符合题意； 故选：C． 3．（25-26七年级下·浙江杭州·开学考试）据统计，至2025年年末，拱墅区常住人口四舍五入后约为万人．这时的拱墅区常住人口最多可能是（     ）人． A．1201000 B．1201400 C．1201499 D．1201999 【答案】C 解：∵万是四舍五入到千位得到的近似数，原数为整数人数，要使原数最大，需满足四舍条件，即百位数字最大为，个位和十位取最大数字， ∴最大原数为． 4．（25-26七年级上·吉林长春·期中）数轴上点A表示的运算结果完全正确的是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据有理数的加减运算法则求出运算结果，再根据数轴的定义即可得． 解：， A、点A表示的数是0，与运算结果不符，此项错误； B、数轴未标出原点和单位长度，此项错误； C、数轴规范，且点A表示的数是，此项正确； D、数轴未画出正方向，此项错误； 故选：C． 【点拨】本题考查了有理数的加减运算、数轴，熟练掌握数轴的定义是解题关键． 5．（25-26七年级上·辽宁铁岭·期末）如图是一个正方体的展开图，若相对面上的两个数互为相反数，则等于（    ）    A． B．1 C．7 D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题． 利用正方体及其表面展开图的特点即相反数的定义求出，，，进而代入计算即可． 解：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中面a的相对面是，b的相对面是0，c的相对面是4， ∵相对面的两个数都互为相反数， ∴，，， ∴． 故选：D． 6．（25-26六年级上·山东烟台·期中）在下列各数中：，，，，，，0，其中是负数的有（   ）个． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】先对各数进行化简，再根据负数的定义统计负数的个数即可． 解：依次判断各数： ∵ ，是负数， ，是正数， ，是负数， ，是负数， ，是负数， ，是正数， 既不是正数也不是负数， ∴负数共有个． 7．（25-26七年级上·广东东莞·期中）有理数，在数轴上的位置如图所示，则下列各式一定成立的个数有（     ） ①；②；③；④． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】根据数轴上点的位置确定、的正负号及绝对值的大小关系，结合有理数的运算法则逐一判断即可． 解：由数轴可知：，且， ∴，故①正确； ，故②正确； ，故③正确； ，故④错误． 综上所述，一定成立的有①②③，共3个． 8．（25-26七年级上·新疆阿克苏·期中）观察下列各式：，，，，，，，……根据上述算式中的规律，猜想的末位数字是（   ） A．1 B．3 C．7 D．9 【答案】B 【分析】本题考查数字规律探索，找到循环周期并计算余数是解题关键．观察3的幂次方的末位数字，发现每4次循环一次，循环顺序为，计算2025除以4的余数，根据余数即可确定末位数字． 解：因为，，，，，，，……， 所以发现规律为的末位数字按照的顺序进行循环， 因为 ， 所以的末位数字是3． 故选：B 2、 填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9．（25-26七年级上·天津西青·阶段检测）若，为有理数，且，则______． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘方的运算，偶次幂和绝对值的非负性，有理数除法，利用非负数的性质，求出 和 的值，再代入计算即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 解：∵，，且， ∴且， 解得，， 则， ∴， 故答案为：． 10．（24-25六年级上·山东烟台·阶段检测）若，且，那么的值是________． 【答案】或 【分析】根据绝对值的定义确定x和y的所有可能取值，再结合的条件筛选出符合的取值，最后计算的值即可. 解：∵， ∴． ∵， ∴或． 当时， ； 当时， ． 故答案为或． 11．（25-26七年级上·广东佛山·期中）操作思考：将刻度尺放在图1的数轴上，如图2所示，，则刻度尺上的长度相当于该数轴上的______个长度单位． 【答案】 【分析】本题考查了数轴，解题的关键是掌握数轴知识．先计算数轴上，相当于刻度尺上的，即可解答． 解：，， 则刻度尺上的长度相当于该数轴上的个长度单位． 故答案为：． 12．（25-26六年级上·山东泰安·期中）已知表示不超过的最大整数，如：．现定义：，如，则______． 【答案】 【分析】本题考查了新定义，有理数的加法和减法，理解新定义是解答本题的关键． 根据新定义运算，先计算 的值，再与 进行加法运算． 解：由定义 ，得 ， 则 ． 故答案为：． 13．（25-26七年级上·山东枣庄·阶段检测）下列运用有理数加法法则，思考、计算“”的正确排序为______． 结果的符号是取的负号；    和的绝对值分别为和，大于； 是异号两数相加；    结果的绝对值是用得到； 计算结果为； 【答案】或 【分析】本题考查了异号两数相加的法则，先判断式子是异号两数相加，再运用异号两数相加的法则，结果的符号和绝对值大的数的符号相同，最后用较大绝对值减去较小绝对值即可，熟悉异号两数相加的计算步骤是解题的关键． 解：计算“”的步骤为， 是异号两数相加； 和的绝对值分别为和，大于； 结果的符号是取的负号； 结果的绝对值是用得到； 计算结果为； 或是异号两数相加； 和的绝对值分别为和，大于； 结果的绝对值是用得到； 结果的符号是取的负号； 计算结果为； 故答案为：或． 14．（24-25七年级上·安徽芜湖·期末）小明在学习了“进位制”的知识后，掌握了不同进位制的数之间的转换方法，如将二进制数，换算成十进制数应为：．右图是小明采用“五进制”记数的方法所画的图形，从右向左，用涂黑的圆表示数，满五进一，表示的“五进制”数为，则此图表示的十进制数为______． 【答案】 【分析】本题考查有理数乘方、加法的运算及零指数幂，正确理解五进制数与十进制数换算方法是解答本题的关键． 根据题中方法计算即可得答案． 解：， 故答案为：． 三、解答题（本大题共7小题，共58分） 15.（8分）（25-26七年级上·湖南长沙·阶段检测）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）3；（2） （1）解： ； （2）解： ． 16.（8分）（25-26七年级上·重庆·期中）计算题，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤． （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用含乘方的有理数的混合运算法则计算即可； （2）利用含乘方的有理数的混合运算法则计算即可． （1）解： ； （2）解： ． 17.（8分）（24-25七年级上·河南南阳·阶段检测）在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值去掉．例如：；；； （1）根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式： ① ； ② ； ③ 其中． （2）根据你发现的规律完成计算： 【答案】（1）；；；；（2） 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，绝对值的定义，解题的关键是掌握绝对值的定义． （1）利用题干中的方法和绝对值的意义即可求解； （2）利用（1）中的规律去掉绝对值后，根据有理数的加减混合运算法则计算即可． （1）解：①， ； ②， ； ③， ； 故答案为：；；； （2）， ， ， ， ． 18.（8分）（25-26七年级上·浙江温州·阶段检测）有6筐白菜，以每筐25千克为标准质量，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称量后的记录如图． 请回答下列问题： （1）这6筐白菜中最接近标准质量的这筐白菜为______千克． （2）超市原计划将这6筐白菜按每千克3元销售，现为促销决定打九折销售，求这6筐白菜现价比原价便宜了多少钱？ 【答案】（1）；（2）这6筐白菜现价比原价便宜了元 【分析】（1）根据绝对值的意义，绝对值越小越接近标准，可得答案； （2）先算得总质量，再算得便宜的钱． （1）解：∵， ∴的最接近标准，这6筐白菜中最接近标准质量的这筐白菜的质量为：（千克）； （2）解：由题意得：（千克）， （元）； 答：这6筐白菜现价比原价便宜了元． 19.（8分）（25-26七年级下·安徽亳州·期末）观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， … 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第5个等式：____________________； （2）运用你发现的规律求的值． 【答案】（1）；（2） （1）解：由题意得第5个等式：； （2）解： ． 20.（8分）（25-26七年级上·甘肃兰州·期中）综合与实践 【实践探究】 课堂上老师给出一道计算题，计算：．同学们积极思考，主动出击，有三位同学的做法如下： 甲：原式 ． 乙：原式． 丙：原式的倒数为 ． 故原式． 认真阅读，请解答下列问题： （1）上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，也有正确的解法，你认为甲、乙、丙谁的解法是错误的，谁的解法是正确的． 【小试牛刀】 （2）用甲、乙、丙的所有正确的解法进行解答，计算：． 【拓展延伸】 （3）用甲、乙、丙的所有正确的解法中，你认为比较简便一种解法进行解答，计算； 【答案】（1）甲的解法错误，乙与丙的解法正确；（2）；（3） 【分析】本题考查了有理数的乘除运算法则，利用一个非零数的倒数的倒数是自身是解题关键． （1）根据除法运算法则，正负号变化规则，倒数的定义和乘法运算法则判断即可； （2）根据解法三，先求倒数，将除法化为乘法，再求倒数即可； （3）根据解法三，先求倒数，将除法化为乘法，再求倒数即可． 解：（1）解法一中，除法是没有分配律的，计算是错误的； 则甲的解法错误，乙与丙的解法正确； （2）原式的倒数为 故原式； （3）原式的倒数为 故原式． 21.（10分）（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）【问题情境】 如图1，送货员计划开车从货物集散中心出发送货（送货地点均在笔直的道路上），为更直观地显示送货路线，可以将道路表示为如图2所示的以向东为正方向的数轴，货物集散中心在数轴上的原点处，数轴上1个单位长度表示实际距离为，送货员开车从货物集散中心出发，先向西行驶到达村，继续向西行驶到达村，最后向东行驶到达村． 【问题发现】 （1）、、三个村庄的位置在数轴上表示的数分别是点、、，请在数轴上表示出点、、的位置； 【初步探究】 （2）若送货员驾驶的汽车的耗油量为升/千米，则该汽车从货物集散中心出发到达村全程共耗油多少升？ 【拓展延伸】 （3）若在这条道路上有一个便民超市和一所学校，便民超市在数轴上表示的数是，学校在数轴上表示的数是，且位于点向西处的位置，到点的距离为，求便民超市与学校之间的距离．【提示：到0之间的距离可以表示为】 【答案】（1）由题意可得：点A、B、C的位置如下图所示： （2）共耗油升；（3）便民超市与学校之间的距离为或 【分析】本题考查了数轴的相关知识点、有理数的混合运算的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）根据题意标出点A、B、C的位置即可； （2）先求出该汽车从货物集散中心出发到达C村所行驶的路程，再乘以0.1即可得解； （3）由（1）知点B表示的数为，求出，再分两种情况：①当便民超市在点C左侧时；②当便民超市在点C右侧时；分别求解即可． 解：（1）略 （2）， （升）． 所以该汽车从货物集散中心出发到达C村全程共耗油1.4升． （3）由（1）知点B表示的数为， 因为n位于点B向西处的位置， 所以． ①当便民超市在点C左侧时，， 所以便民超市与学校之间的距离为． ②当便民超市在点C右侧时，， 所以便民超市与学校之间的距离为． 所以便民超市与学校之间的距离为或． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 有理数及其运算单元自测培优卷 考试时间：45分钟　　满分：100分 适用：北师大版七年级单元基础测试、周测 1、 选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）下列各组数中，数值相等的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 2．（24-25七年级上·陕西商洛·期中）下面计算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·浙江杭州·开学考试）据统计，至2025年年末，拱墅区常住人口四舍五入后约为万人．这时的拱墅区常住人口最多可能是（     ）人． A．1201000 B．1201400 C．1201499 D．1201999 4．（25-26七年级上·吉林长春·期中）数轴上点A表示的运算结果完全正确的是（      ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级上·辽宁铁岭·期末）如图是一个正方体的展开图，若相对面上的两个数互为相反数，则等于（    ）    A． B．1 C．7 D． 6．（25-26六年级上·山东烟台·期中）在下列各数中：，，，，，，0，其中是负数的有（   ）个． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 7．（25-26七年级上·广东东莞·期中）有理数，在数轴上的位置如图所示，则下列各式一定成立的个数有（     ） ①；②；③；④． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 8．（25-26七年级上·新疆阿克苏·期中）观察下列各式：，，，，，，，……根据上述算式中的规律，猜想的末位数字是（   ） A．1 B．3 C．7 D．9 2、 填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9．（25-26七年级上·天津西青·阶段检测）若，为有理数，且，则______． 10．（24-25六年级上·山东烟台·阶段检测）若，且，那么的值是________． 11．（25-26七年级上·广东佛山·期中）操作思考：将刻度尺放在图1的数轴上，如图2所示，，则刻度尺上的长度相当于该数轴上的______个长度单位． 12．（25-26六年级上·山东泰安·期中）已知表示不超过的最大整数，如：．现定义：，如，则______． 13．（25-26七年级上·山东枣庄·阶段检测）下列运用有理数加法法则，思考、计算“”的正确排序为______． 结果的符号是取的负号；    和的绝对值分别为和，大于； 是异号两数相加；    结果的绝对值是用得到； 计算结果为； 14．（24-25七年级上·安徽芜湖·期末）小明在学习了“进位制”的知识后，掌握了不同进位制的数之间的转换方法，如将二进制数，换算成十进制数应为：．右图是小明采用“五进制”记数的方法所画的图形，从右向左，用涂黑的圆表示数，满五进一，表示的“五进制”数为，则此图表示的十进制数为______． 三、解答题（本大题共7小题，共58分） 15.（8分）（25-26七年级上·湖南长沙·阶段检测）计算： （1）； （2）． 16.（8分）（25-26七年级上·重庆·期中）计算题，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤． （1） （2） 17.（8分）（24-25七年级上·河南南阳·阶段检测）在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值去掉．例如：；；； （1）根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式： ① ； ② ； ③ 其中． （2）根据你发现的规律完成计算： 18.（8分）（25-26七年级上·浙江温州·阶段检测）有6筐白菜，以每筐25千克为标准质量，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称量后的记录如图． 请回答下列问题： （1）这6筐白菜中最接近标准质量的这筐白菜为______千克． （2）超市原计划将这6筐白菜按每千克3元销售，现为促销决定打九折销售，求这6筐白菜现价比原价便宜了多少钱？ 19.（8分）（25-26七年级下·安徽亳州·期末）观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， … 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第5个等式：____________________； （2）运用你发现的规律求的值． 20.（8分）（25-26七年级上·甘肃兰州·期中）综合与实践 【实践探究】 课堂上老师给出一道计算题，计算：．同学们积极思考，主动出击，有三位同学的做法如下： 甲：原式 ． 乙：原式． 丙：原式的倒数为 ． 故原式． 认真阅读，请解答下列问题： （1）上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，也有正确的解法，你认为甲、乙、丙谁的解法是错误的，谁的解法是正确的． 【小试牛刀】 （2）用甲、乙、丙的所有正确的解法进行解答，计算：． 【拓展延伸】 （3）用甲、乙、丙的所有正确的解法中，你认为比较简便一种解法进行解答，计算； 21.（10分）（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）【问题情境】 如图1，送货员计划开车从货物集散中心出发送货（送货地点均在笔直的道路上），为更直观地显示送货路线，可以将道路表示为如图2所示的以向东为正方向的数轴，货物集散中心在数轴上的原点处，数轴上1个单位长度表示实际距离为，送货员开车从货物集散中心出发，先向西行驶到达村，继续向西行驶到达村，最后向东行驶到达村． 【问题发现】 （1）、、三个村庄的位置在数轴上表示的数分别是点、、，请在数轴上表示出点、、的位置； 【初步探究】 （2）若送货员驾驶的汽车的耗油量为升/千米，则该汽车从货物集散中心出发到达村全程共耗油多少升？ 【拓展延伸】 （3）若在这条道路上有一个便民超市和一所学校，便民超市在数轴上表示的数是，学校在数轴上表示的数是，且位于点向西处的位置，到点的距离为，求便民超市与学校之间的距离．【提示：到0之间的距离可以表示为】 学科网（北京）股份有限公司 $