专题1.6 有理数的乘方（高效培优讲义）数学沪教版五四制2024六年级上册

专题1.6 有理数的乘方 教学目标 1. 理解有理数乘方的定义； 2. 掌握有理数乘方运算的符号法则，并能熟练进行乘方运算； 3. 掌握科学计数法。 教学重难点 1.重点 （1）知道有理数乘方的有关概念； （2）掌握有理数的乘方运算，知道乘方运算后结果的符号； （3）了解科学计数法。 2.难点 （1）有理数乘方的综合应用； （2）有理数乘方有关的新定义题、材料阅读题等。 知识点1 有理数的乘方 1.操作 将一张纸对折1次可以裁成2张，对折2次可以裁成4张，对折3次可以裁成几张? 可以知道，对折2次裁成2×2=4(张),对折3次裁成2×2×2=8(张). 2.思考 想象一下，如果对折5次、10次、20次，那么可裁成几张呢?对折的结果又如何表示呢? 可表示为： 20个2相乘，能用较简洁的式子表示吗? 上面2×2,也就是2个2相乘可以写成22.类似地，2×2×2,也就是3个2相乘可以写成2³,2×2×2×2×2可以写成2⁵,2×2×2×2×2×2×2×2×2×2可以写成210.一般地，我们将n(n为正整数)个相同乘数a相乘，即,记作“an”,读作“a的n次方”。在“an”中，a叫做底数,n称为指数(当指数n为1时可以省略不写). 求n个相同有理数的积的运算叫作有理数的乘方. 要点： （1）乘方的结果叫做幂． （2）乘方与幂不同，乘方是几个相同有理数的乘法运算，幂是乘方运算的结果． （3）底数一定是相同的有理数，当底数不是单纯的一个数时，要用括号括起来． （4）一个数可以看作这个数本身的一次方．例如，5就是51，指数1通常省略不写． 【即学即练】 1．（1）的底数是 ，指数是 ； （2）的底数是 ，指数是 ； （3）的底数是 ，指数是 ． 2．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 3．下列各组数中，相等的一组是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 4．如果，那么等于（    ） A．3 B． C．9 D． 5．计算：（   ） A． B． C． D． 知识点2 科学计数法 1.科学计数法 把一个大于10的数表示成的形式（其中是整数数位只有一位的数，l≤||＜10，是正整数），这种记数法叫做科学记数法，如＝. 要点： （1）负数也可以用科学记数法表示，“”照写，其它与正数一样，如=； （2）把一个数写成形式时，若这个数是大于10的数，则n比这个数的整数位数少1. *2.有效数字 从一个数的左边第一个非零数字起，到末尾数字为止的所有数字都是这个数的有效数字。 【即学即练】 1．2025年，电影“哪吒之魔童闹海”票房突破153.86亿，将数据153.86亿用科学记数法表示为 ． 2．在国家大数据战略的引领下，我国在人工智能领域取得显著成就．某大数据中心存储约本电子书籍，将用科学记数法表示应为（     ） A． B． C． D． 3．年月日，神舟十五号航天员乘组圆满完成了他们的首次出舱任务，飞船的时速为每小时万千米，万千米用科学记数法表示应为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 4．已知月球与地球的距离约为，这个距离用科学记数法（精确到万位）表示为 . 5．台湾岛是我国最大的岛屿，总面积为35882.6258平方公里，用科学记数法应表示为（保留三个有效数字）（    ） A．方公里 B．平方公里 C．平方公里 D．平方公里 题型01 乘方有关的概念辨析、填空 【典例1】．对于（﹣2）3，指数是 ，底数是 ，（﹣2）3＝ ；对于﹣42，指数是 ，底数是 ，幂是 ． 【变式1】．对于（﹣4）3和﹣43，下列说法正确的是（　　） A．底数相同，指数相同 B．底数不同，指数不同 C．底数相同，运算结果不同 D．底数不同，运算结果相同 【变式1】．用乘方的形式表示下列各式，并计算出结果． = = ； = 【变式2】．关于式子，正确的说法是（    ） A．是底数，2是幂 B．4是底数，2是幂 C．4是底数，2是指数 D．是底数，2是指数 【变式3】．计算（    ） A． B． C． D． 题型02 有理数的乘方运算 【典例1】．计算： （1）；    （2）；    （3） （4）；    （5）；    （6）． 【变式1】．计算： （1）；          （2）；         （3）； （4）；        （5）；          （6） 【变式2】．口答： (1)13 (2) (3) (4) (5) (6) 题型03 有理数乘方的应用—判断结果是否相等 【典例1】．下列各组的两个数中，运算后的结果相等的是（　　） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式1】．下列各组数中，数值相等的是（    ）． A．与 B．与 C．与 D．与 【变式2】．下列各式结果相等的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 题型04 有理数乘方的应用—判断结果的正负性 【典例1】．下列各数中：；；，负数为 ．（填序号） 【变式1】．在0，，，，，中，正整数的个数为 ． 题型05 已知有理数乘方运算的结果，求原数 【典例1】．平方等于16的数是 ，立方等于﹣27的数是 ． 【变式1】．如果一个数的平方等于，那么这个数是 ，如果一个数的立方等于，那么这个数是 ． 【变式2】．某数的平方是4，则这个数的立方是（    ） A．8 B．-8 C． D． 【变式3】．若，则得值是 ；若，则得值是 ． 【变式4】．若，则下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 题型06 有理数乘方的应用—比较大小 【典例1】．比较大小： （填或）． 【变式1】．比较大小： ．（填“”“”或“”） 【变式2】．将，，这三个数的大小关系用“”号连接可表示为 ． 【变式3】．将，，按从小到大的顺序排列，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式4】．若，，，则a、b、c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 题型07 有理数乘方的非负性 【典例1】．若，则的值为（   ） A．2 B．1 C． D． 【变式1】．若，则 ． 【变式2】．如果，那么 ． 【变式3】．若与互为相反数，则的值为（　　） A．6 B．8 C． D． 【变式4】．已知m、n满足，那么的值为 ． 题型08 判断n次方的正负性 【典例1】．应等于（    ） A．0 B．1 C． D．2 【变式1】．已知n表示正整数，则的值是（    ） A．0 B．1 C．1或0 D．以上答案都不对 题型09 有理数乘方的应用—乘法的分配律 【典例1】．计算的值是（   ） A． B． C．0 D． 【变式1】．计算的结果是 ． 【变式2】．若n为正整数，则计算的结果是（     ） 题型10 科学计数法 【典例1】．第六代战斗机是一种人工智能控制的吸气式超高音速战斗机，此类战机速度预计可以突破5马赫，飞行一小时的距离约为，将数据22100用科学记数法表示时，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．今年春节档电影《哪吒之魔童闹海》一路高歌猛进，在全球范围内引起了轰动，标志着中国动画电影达到了新高度．截止目前，国内累计票房已突破150亿元，数据150亿用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【变式2】．经中国旅游研究院综合测算，今年“五一”假日期间全国接待国内游客亿人次，亿用科学记数法表示为 . 【变式3】．减少过度包装既节约资源又保护环境，据测算，如果全国每年减少的过度包装纸用量，那么可减排二氧化碳吨，把写成原数为 ． 【变式4】．2024年，安徽省加快能源清洁低碳转型和新型电力系统建设，新增光伏发电装机1088万千瓦，数据1088万用科学记数法表示为 ． 题型11 有理数乘方的实际应用 【典例1】．某种细胞每分钟分裂成3个，一个细胞经过3分钟分裂成27个，再继续分裂分钟后共分裂成（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式1】．一根1米长的木棒，第1次截去一半，第2次截去剩下部分的一半，如此截下去，第4次截完后剩下的木棒长为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【变式2】．一根长的绳子，第一次剪去一半，第二次剪去剩下的一半，这样剪下去，剪第2023次后剩下的绳子的长度为（　　） A．m B．m C．m D．m 【变式3】．如图是一张长、宽的长方形纸片，第一次裁去一半，第2次裁去剩下部分的一半，…，按照此方式裁剪下去，第6次裁剪后剩下的长方形的面积是（   ） A． B． C． D． 题型12 有理数乘方的其他代数应用 【典例1】．已知，，且，则的值等于 ． 【变式1】．若、互为相反数，、互为倒数，的绝对值等于，则 ． 【变式2】．已知、互为相反数，、互为倒数，是绝对值最小的数，的绝对值为2.5，则的值是 ． 题型13 新定义、材料阅读题 【典例1】．对于有理数，，定义新运算：，如，则的值为 ． 【变式1】．学习情境·新定义  定义新运算：对于任意有理数a和b，规定：，则 ． 【变式2】．求的值，可令，则，因．仿照以上推理，计算出的值为 ． 一、单选题 1．，，，，，，中，是正有理数的有（    ）个． A． B． C． D． 2．的值是（    ） A．- B． C．- D． 3．下列各组数中，相等的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 4．696000这个数据用科学记数法表示为（    ） A．696×103 B．69.6×104 C．6.96×105 D．6.96×106 5．以下等式成立的是（  ） A． B． C． D． 6．已知，则的值为（    ）． A．15 B． C． D．125 7．计算(－2)99＋(－2)100的结果是（    ） A．299 B．－2 C．2 D．－299 8．1长的木棒，第一次截去它的一半，第二次截去剩下的一半，如此下去，第六次截去之后剩下的木棒是(       )． A． B． C． D． 9．若a是最大的负整数，b是绝对值最小的有理数，c是倒数等于它本身的自然数，则的值为（   ） A．2020 B．2021 C．2022 D．0 10．观察算式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2187，38＝6561，…．通过观察，用你所发现的规律确定32021的个位数字是（　　） A．3 B．9 C．7 D．1 二、填空题 11．在，，，这四个数中，负数有 个． 12．比较大小： |－10|．（填“>”“<”或“=”） 13．表示 个 连乘，它的底数是 ，指数是 ． 14．计算： ． 15．（）3﹣1的值为 ． 16．计算： ． 17．定义，则 ． 18．我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，如图1，孩子出生后的天数（天），请根据图2，计算孩子自出生后的天数是 天． 三、解答题 19．计算：． 20．计算： （1）．    （2）．    （3）． （4）．    （5）．    （6）． （7）．    （8）．    （9）． 21．下列各式一定成立吗？ （1）；   （2）；    （3）；      （4）． 22．请先写出、、的相反数，并在数轴上表示出这些数及其相反数．（规定：以为一个单位） 23．下列用科学记数法表示的数，原来各是什么数？ ． 24．已知且，试求的值 25．阅读材料：求的值． 解：设，将等式两边同时乘以2得： ， 将下式减去上式得， 即， 即． 请你仿照此法计算： (1)； (2)（其中为正整数）． 26．规定：求若干个相同的有理数（均不等0）的除法运算叫做除方，如 ， 等.类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方” 记作，读作“的圈4次方”.一般地，把 记作aⓝ，“读作“a的圈n次方” (1)（初步探究）直接写出计算结果：________， =________. (2)关于除方，下列说法错误的是________ A．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数  B．对于任何正整数n，1ⓝ=1 C．    D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数 （深入思考）我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘法运算呢？ (3)试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式 =________；=_________；=_______ (4)想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式是________ (5)算一算： . 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.6 有理数的乘方 教学目标 1. 理解有理数乘方的定义； 2. 掌握有理数乘方运算的符号法则，并能熟练进行乘方运算； 3. 掌握科学计数法。 教学重难点 1.重点 （1）知道有理数乘方的有关概念； （2）掌握有理数的乘方运算，知道乘方运算后结果的符号； （3）了解科学计数法。 2.难点 （1）有理数乘方的综合应用； （2）有理数乘方有关的新定义题、材料阅读题等。 知识点1 有理数的乘方 1.操作 将一张纸对折1次可以裁成2张，对折2次可以裁成4张，对折3次可以裁成几张? 可以知道，对折2次裁成2×2=4(张),对折3次裁成2×2×2=8(张). 2.思考 想象一下，如果对折5次、10次、20次，那么可裁成几张呢?对折的结果又如何表示呢? 可表示为： 20个2相乘，能用较简洁的式子表示吗? 上面2×2,也就是2个2相乘可以写成22.类似地，2×2×2,也就是3个2相乘可以写成2³,2×2×2×2×2可以写成2⁵,2×2×2×2×2×2×2×2×2×2可以写成210.一般地，我们将n(n为正整数)个相同乘数a相乘，即,记作“an”,读作“a的n次方”。在“an”中，a叫做底数,n称为指数(当指数n为1时可以省略不写). 求n个相同有理数的积的运算叫作有理数的乘方. 要点： （1）乘方的结果叫做幂． （2）乘方与幂不同，乘方是几个相同有理数的乘法运算，幂是乘方运算的结果． （3）底数一定是相同的有理数，当底数不是单纯的一个数时，要用括号括起来． （4）一个数可以看作这个数本身的一次方．例如，5就是51，指数1通常省略不写． 【即学即练】 1．（1）的底数是 ，指数是 ； （2）的底数是 ，指数是 ； （3）的底数是 ，指数是 ． 【答案】 4 4 / 3 6 2 【分析】此题主要考查幂的含义，解题的关键是熟知的含义：a为底数，n为指数，读作a的n次方，含义是n个a相乘． （1）根据幂的形式特点得出的指数和底数即可； （2）根据幂的形式特点得出的指数和底数即可； （3）根据幂的形式特点得出的指数和底数即可． 【详解】解：（1）的底数是4，指数是4； 故答案为：4；4； （2）的底数是，指数是3； 故答案为：；3； （3）的底数是，指数是2． 故答案为：6；2． 2．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)1 【分析】本题考查了乘方的运算，正数的任何次幂都是正数，负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数，0的任何正整数次幂都等于0． （1）（2）（3）（4）根据乘方运算法则计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 3．下列各组数中，相等的一组是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘方，根据有理数的乘方法则逐项计算判断即可．熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：A、，，，故此选项不符合题意； B、，，，故此选项不符合题意； C、，，所以，故此选项符合题意； D、，，，故此选项不符合题意； 故选：C． 4．如果，那么等于（    ） A．3 B． C．9 D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘方运算，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． 由，可得，于是得解． 【详解】解：，， ， ， 故选：． 5．计算：（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的乘方和有理数的乘法与加法的意义，解题的关键在于能够正确理解题意．根据乘方和乘法的意义进行解答即可． 【详解】解：， 故选：A． 知识点2 科学计数法 1.科学计数法 把一个大于10的数表示成的形式（其中是整数数位只有一位的数，l≤||＜10，是正整数），这种记数法叫做科学记数法，如＝. 要点： （1）负数也可以用科学记数法表示，“”照写，其它与正数一样，如=； （2）把一个数写成形式时，若这个数是大于10的数，则n比这个数的整数位数少1. *2.有效数字 从一个数的左边第一个非零数字起，到末尾数字为止的所有数字都是这个数的有效数字。 【即学即练】 1．2025年，电影“哪吒之魔童闹海”票房突破153.86亿，将数据153.86亿用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：153.86亿=15386000000=， 故答案为：． 2．在国家大数据战略的引领下，我国在人工智能领域取得显著成就．某大数据中心存储约本电子书籍，将用科学记数法表示应为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了科学记数法，根据科学记数法“科学记数法表现形式为，其中，n为正整数，当原数的绝对值时，的值为所有整数位减”即可得，掌握科学记数法是解题的关键． 【详解】解：， 故选：A． 3．年月日，神舟十五号航天员乘组圆满完成了他们的首次出舱任务，飞船的时速为每小时万千米，万千米用科学记数法表示应为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】把一个大于10的数记成的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法，由此即可得到答案． 【详解】解：万千米用科学记数法表示为米． 故选：C． 【点睛】本题考查科学记数法—表示较大的数，关键是掌握用科学记数法表示较大数的方法． 4．已知月球与地球的距离约为，这个距离用科学记数法（精确到万位）表示为 . 【答案】 【分析】本题考查科学记数法，科学记数法的一般形式为，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．据此求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 5．台湾岛是我国最大的岛屿，总面积为35882.6258平方公里，用科学记数法应表示为（保留三个有效数字）（    ） A．方公里 B．平方公里 C．平方公里 D．平方公里 【答案】B 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．数据从左边第一个非零数字起的数字都为有效数字，先用科学记数法表示该数，再保留三个有效数字即可． 【详解】解：35882.6258=， 故选：B． 【点睛】此题考查科学记数法和有效数字定义，注意n的值的确定方法，当原数大于10时，n等于原数的整数数位减1，按此方法即可正确求解． 题型01 乘方有关的概念辨析、填空 【典例1】．对于（﹣2）3，指数是 ，底数是 ，（﹣2）3＝ ；对于﹣42，指数是 ，底数是 ，幂是 ． 【答案】 3 -2 -8 2 4 -16 【详解】【分析】根据乘方的定义可解决本题． 根据乘方的定义，得（﹣2）3的底数是﹣2，指数是3，（﹣2）3＝﹣2×（﹣2）×（﹣2）＝﹣8． 同理，﹣42的底数是4，指数是2，幂是﹣16． 故答案为：3，﹣2，﹣8，2，4，﹣16． 【变式1】．对于（﹣4）3和﹣43，下列说法正确的是（　　） A．底数相同，指数相同 B．底数不同，指数不同 C．底数相同，运算结果不同 D．底数不同，运算结果相同 【答案】D 【分析】根据幂的性质判断即可； 【详解】由（﹣4）3和﹣43可知：指数相同，底数不同， ，，运算结果相同； 故选D． 【点睛】本题主要考查了幂的认识和运算，准确分析判断是解题的关键． 【变式2】．用乘方的形式表示下列各式，并计算出结果． = = ； = 【答案】 【分析】根据幂指数代表底数相乘的次数可得出答案． 【详解】解：=； =； = 故答案为：，；，；，． 【点睛】本题考查幂指数所表示的意义以及有理数乘方的运算，比较基础，掌握基础概念是解题关键． 【变式3】．关于式子，正确的说法是（    ） A． 是底数，2是幂 B．4是底数，2是幂 C．4是底数，2是指数 D．是底数，2是指数 【答案】D 【分析】由知，-4是底数，2是指数，是幂，逐一验证选项即可. 【详解】由知，-4是底数，2是指数，是幂，故选项A、B、C错误，D选项正确； 故选：D. 【点睛】本题考查了幂的有关概念，掌握幂的有关概念是解题的关键. 【变式4】．计算（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据乘法的含义，可得：2m，根据乘方的含义，可得：，据此求解即可． 【详解】解：2m+． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了有理数的乘法、有理数的乘方，解答此题的关键是要明确乘法、乘方的含义． 题型02 有理数的乘方运算 【典例1】．计算： （1）；    （2）；    （3） （4）；    （5）；    （6）． 【答案】（1）；（2）16；（3）2.89；（4）；（5）8；（6）36． 【分析】根据乘方的运算法则，分别进行计算，即可得到答案． 【详解】解：（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； 【点睛】本题考查了乘方的运算法则，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行解题． 【变式1】．计算： （1）；          （2）；         （3）； （4）；        （5）；          （6） 【答案】（1）；（2）27；（3）；（4）；（5）；（6） 【分析】根据有理数乘方运算法则计算即可． 【详解】解：（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6） 【点睛】本题考查了有理数的乘方，熟练运用运算法则是解本题的关键． 【变式2】．口答： (1)13 (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1)1 (2) (3)1 (4)1 (5) (6) 【分析】根据有理数乘方运算法则运算即可． 【详解】（1） （2） （3） （4） （5） （6） 【点睛】本题考查有理数乘方运算和相反数，解题关键是能够熟练应用有理数乘方运算法则，理解相反数的含义． 题型03 有理数乘方的应用—判断结果是否相等 【典例1】．下列各组的两个数中，运算后的结果相等的是（　　） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】根据有理数的乘方分别计算，然后作出判断． 【详解】原式各项计算得到结果，比较即可． A选项：，，不相等，故该选项不符合题意； B选项：，相等，故该选项符合题意； C选项：，，不相等，故该选项不符合题意； D选项：，，不相等，故该选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了有理数的乘方，熟记概念是解题的关键． 【变式1】．下列各组数中，数值相等的是（    ）． A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】本题主要考查有理数的乘方，解题的关键是掌握有理数的乘方运算法则．根据有理数的乘方先进行运算，再进行排除选项． 【详解】解：A. 与，不相等，故本选项不符合题意； B. 与，不相等，故本选项不符合题意； C. 与，不相等，故本选项不符合题意；     D. 与相等，故本选项符合题意；     故选：D． 【变式2】．下列各式结果相等的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的乘方，相反数，以及绝对值，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．各选项中两式利用乘方的意义、绝对值的代数意义，以及相反数定义计算得到结果，判断即可． 【详解】解：A. ，，故此选项符合题意； B. ，，故此选项不符合题意； C. ，，故此选项不符合题意； D. ，，故此选项不符合题意； 故选A． 题型04 有理数乘方的应用—判断结果的正负性 【典例1】．下列各数中：；；，负数为 ．（填序号） 【答案】 【分析】本题主要考查了乘方、正数和负数的定义，掌握乘方、正数和负数的定义是解答本题的关键． 先根据乘方化简，再根据负数的定义即可得出答案． 【详解】解： ，，， 负数为：， 故答案为：． 【变式1】．在0，，，，，中，正整数的个数为 ． 【答案】2 【分析】此题主要考查了正数，以及绝对值，乘方，首先把式子化简，然后再根据正数的定义：比0大的数是正数，可以选出答案． 【详解】解：， ， ， ， ， ∴正数有，，共2个． 故答案为：2． 题型05 已知有理数乘方运算的结果，求原数 【典例1】．平方等于16的数是 ，立方等于﹣27的数是 ． 【答案】 ±4； ﹣3． 【分析】根据有理数的乘方的概念进行解答即可． 【详解】解：∵（±4）2=16， ∴平方等于16的数是±4； ∵（﹣3）3=﹣27， ∴立方等于﹣27的数是﹣3． 故答案为：±4；﹣3． 【点睛】本题考查有理数的乘方． 【变式1】．如果一个数的平方等于，那么这个数是 ，如果一个数的立方等于，那么这个数是 ． 【答案】 【分析】根据平方与立方的运算即可求解． 【详解】∵（）2=，（）3= 故答案为：；． 【点睛】此题主要考查乘方与立方的运算，解题的关键是熟知乘方的运算法则． 【变式2】．某数的平方是4，则这个数的立方是（    ） A．8 B．-8 C． D． 【答案】C 【分析】根据平方和立方的定义去计算． 【详解】解：∵这个数的平方是4，∴这个数可能是2或-2， 2的立方是8，-2的立方是-8． 故选：C ． 【点睛】本题考查平方和立方的定义，需要注意一个数的平方是4，这个数有两种可能，是． 【变式3】．若，则得值是 ；若，则得值是 ． 【答案】 【分析】根据平方和立方的定义进行求解，平方等于9的有两个数，立方等于-8的数有一个． 【详解】∵， ∴x=； ∵， ∴=-2， 故答案为：；． 【点睛】本题考查了平方和立方的定义，掌握平方和立方的定义是解题的关键． 【变式4】．若，则下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据有理数乘方的逆运算即可得出结论． 【详解】解：若 ∴a=±b，故A、B、C不一定成立； ∴，故D正确 故选D． 【点睛】此题考查的是有理数的乘方逆运算，掌握有理数乘方的意义是解决此题的关键． 题型06 有理数乘方的应用—比较大小 【典例1】．比较大小： （填或）． 【答案】< 【分析】本题考查了有理数的大小比较， 1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小． 先计算各数，再利用有理数大小的比较方法比较即可． 【详解】解：，， ∵， ， ． 故答案为：． 【变式1】．比较大小： ．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了有理数比较大小及有理数的乘方运算等知识点，掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据有理数比较大小及有理数的乘方运算化简比较即可解答． 【详解】解：， ， 故答案为：． 【变式2】．将，，这三个数的大小关系用“”号连接可表示为 ． 【答案】 【分析】本题比较有理数比较大小，根据有理数的乘方法则，以及正数大于负数，两个负数，绝对值大的反而小进行判断即可． 【详解】解：∵，，，且， ∴； 故答案为：． 【变式3】．将，，按从小到大的顺序排列，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数的乘方、绝对值以及有理数大小比较，解题的关键是先分别化简各数，再根据有理数大小比较规则进行排序． 先计算出的值，再与比较大小． 【详解】解：，， 是负数，9和27是正数， 最小． 又， ， 故选：A． 【变式4】．若，，，则a、b、c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的乘方，求一个数的相反数，有理数大小比较等知识点，熟练掌握有理数的运算法则和相关概念是解题的关键． 由题意可得，，，然后比较其大小即可． 【详解】解：，，， ， 故选：． 题型07 有理数乘方的非负性 【典例1】．若，则的值为（   ） A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了非负数的性质：掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键． 根据非负数的性质列出方程求出a、b的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【变式1】．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查非负性，有理数的乘方运算，根据非负性求出的值，再根据乘方的法则进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【变式2】．如果，那么 ． 【答案】7 【分析】本题考查非负性，有理数的运算，利用非负性求出的值，再利用有理数的运算法进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：7． 【变式3】．若与互为相反数，则的值为（　　） A．6 B．8 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了非负数的性质：掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键．根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵和互为相反数， ∴， ∴，， ∴，， ∴． 故选：D． 【变式4】．已知m、n满足，那么的值为 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查绝对值与偶次幂的非负性、及有理数的乘方等，理解并运用绝对值与偶次幂的非负性、及有理数的乘方是解题的关键． 由题意易得，则可求m、n的值，进而代入求解即可． 【详解】解：∵m、n满足， ∴， ∴， ∴； 故答案为：1． 题型08 判断n次方的正负性 【典例1】．应等于（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的乘方．根据有理数的乘方运算法则计算即可求解． 【详解】解：， 故选：A． 【变式1】．已知n表示正整数，则的值是（    ） A．0 B．1 C．1或0 D．以上答案都不对 【答案】D 【分析】n为正整数，可能是偶数也可能是奇数，所以分当n为奇数， n为偶数时两种情况考虑，即可求解． 【详解】解：当n为奇数时： =1+1=2； 当n为偶数时： =1-1=0； 故选：D． 【点睛】本题考查了有理数的乘方，本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 题型09 有理数乘方的应用—乘法的分配律 【典例1】．计算的值是（   ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘方，利用有理数的乘方的运算法则是解题的关键．将写成的形式进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 故选：D． 【变式1】．计算的结果是 ． 【答案】 【分析】根据有理数乘方运算的意义可得，再提取公因数计算即可． 本题考查了有理数乘方运算． 【详解】解： 故答案为． 【变式2】．若n为正整数，则计算的结果是（     ） A．0 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】根据为偶数，为奇数，负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，计算即可． 【详解】解： ， 故选：A． 【点睛】本题考查了有理数的乘方，解题的关键是注意符号． 题型10 科学计数法 【典例1】．第六代战斗机是一种人工智能控制的吸气式超高音速战斗机，此类战机速度预计可以突破5马赫，飞行一小时的距离约为，将数据22100用科学记数法表示时，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法．直接根据科学记数法的表示方法计算即可． 【详解】解：， 故选：C． 【变式1】．今年春节档电影《哪吒之魔童闹海》一路高歌猛进，在全球范围内引起了轰动，标志着中国动画电影达到了新高度．截止目前，国内累计票房已突破150亿元，数据150亿用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了科学记数法的运用，掌握科学记数法的表示形式，正确确定的值是关键． 科学记数法的表示形式为，确定n值的方法：当原数的绝对值大于或等于10时，把原数变为a时，小数点向左移动的位数即为n的值；当原数的绝对值小于1时，把原数变为a时，小数点向右移动位数的相反数即为n的值，由此即可求解． 【详解】解：亿， 故选：C ． 【变式2】．经中国旅游研究院综合测算，今年“五一”假日期间全国接待国内游客亿人次，亿用科学记数法表示为 . 【答案】 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，绝对值大于1的数可以用科学记数法表示，一般形式为，为正整数，且比原数的整数位数少1，据此可以解答． 【详解】解：亿用科学记数法表示为． 故答案为： 【变式3】．减少过度包装既节约资源又保护环境，据测算，如果全国每年减少的过度包装纸用量，那么可减排二氧化碳吨，把写成原数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值． 【详解】解：把写成原数为， 故答案为：． 【变式4】．2024年，安徽省加快能源清洁低碳转型和新型电力系统建设，新增光伏发电装机1088万千瓦，数据1088万用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法为整数，正确的确定的值即可． 【详解】解：1088万， 故答案为：． 题型11 有理数乘方的实际应用 【典例1】．某种细胞每分钟分裂成3个，一个细胞经过3分钟分裂成27个，再继续分裂分钟后共分裂成（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了乘方的意义．熟练掌握乘方的意义是解决本题的关键． 根据每分钟分裂成3个，共分裂分钟，根据乘方的意义即得结论． 【详解】∵3分钟分裂了3次，再过分钟共分裂了次， 由题意可知，每分钟分裂成3个，3分钟分裂成个， ∴再过分钟后共分裂成了．故选C． 【变式1】．一根1米长的木棒，第1次截去一半，第2次截去剩下部分的一半，如此截下去，第4次截完后剩下的木棒长为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】此题考查了有理数的乘方，理解题意列出式子是解本题的关键．根据题意列出算式计算即可得到结果． 【详解】解：根据第1次截取后，剩， 第2次截取后，剩， 第3次截取后，剩 第4次后剩下，即（米） 故选B． 【变式2】．一根长的绳子，第一次剪去一半，第二次剪去剩下的一半，这样剪下去，剪第2023次后剩下的绳子的长度为（　　） A．m B．m C．m D．m 【答案】C 【分析】本题考查有理数的乘方，第一次后剩下原长的；第二次后剩下原长的；第三次后剩下原长的；……；第2023次后剩下原长的，这个数乘以绳子的原长即可． 【详解】解：第一次后剩下原长的； 第二次后剩下原长的； 第三次后剩下原长的； …… 第2023次后剩下原长的． ∴剪第2023次后剩下的绳子的长度为． 故选：C． 【变式3】．如图是一张长、宽的长方形纸片，第一次裁去一半，第2次裁去剩下部分的一半，…，按照此方式裁剪下去，第6次裁剪后剩下的长方形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的乘方，分别求出第1次和第2次裁剪后剩下的图形的面积是解题的关键． 先求出第1次和第2次裁剪后剩下的图形的面积，总结出一般变化规律，即可解答． 【详解】解：长方形的面积为：， 第1次裁剪后剩下的长方形的面积， 第2次裁剪后剩下的长方形的面积， …… 第6次裁剪后剩下的长方形的面积， 故选：A． 题型12 有理数乘方的其他代数应用 【典例1】．已知，，且，则的值等于 ． 【答案】或 【分析】本题考查了绝对值的意义，有理数的乘方，有理数的减法运算，根据绝对值的意义，有理数的乘方得定义分别求出，的值，然后结合进行分类讨论即可求解，解题的关键是熟练掌握知识点的应用及分类讨论思想． 【详解】解：∵，， ∴，， 由， 则，， ∴； ，， ∴； 故答案为：或． 【变式1】．若、互为相反数，、互为倒数，的绝对值等于，则 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，先根据相反数的性质和倒数的定义及绝对值的性质得出，，或，再分别代入计算可得． 【详解】解：、互为相反数，， 、互为倒数，， 的绝对值等于，或， 当时，原式； 当时，原式； 综上，原式的值为， 故答案为：． 【变式2】．已知、互为相反数，、互为倒数，是绝对值最小的数，的绝对值为2.5，则的值是 ． 【答案】3.5或 【分析】本题主要考查了代数式求值，相反数、倒数、绝对值以及数轴的意义，直接利用相反数、倒数、绝对值以及数轴的意义得出：，，，或，进而代入得出答案． 【详解】解：∵a、b互为相反数， ∴； ∵c、d互为倒数， ∴； ∵m是绝对值最小的数， ∴； ∵n的绝对值为2.5， ∴或； 当，； 当，． 综上所述，所求代数式的值为：或3.5． 题型13 新定义、材料阅读题 【典例1】．对于有理数，，定义新运算：，如，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算，根据新定义，列出算式进行计算即可，掌握新定义的法则，正确的计算，是解题的关键． 【详解】解： ； 故答案为：． 【变式1】．学习情境·新定义  定义新运算：对于任意有理数a和b，规定：，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查的新定义运算的含义，含乘方的有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键； 根据新定义进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：3． 【变式2】．求的值，可令，则，因．仿照以上推理，计算出的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘方，有理数的减法运算，熟练掌握有理数的乘方，有理数的减法运算是解题的关键． 由题意可令，则，再把两个式子相减即可求得结果． 【详解】解：令， 则， ， ， 故答案为：． 一、单选题 1．，，，，，，中，是正有理数的有（    ）个． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先化简各数，再判断即可． 【详解】是正有理数，是负有理数，是正有理数，是负有理数，是负有理数， 正有理数有，， 故选． 【点睛】本题考查了有理数的分类，绝对值的定义，多重符号的化简，以及乘方的意义，正确化简各数是解答本题的关键． 2．的值是（    ） A．- B． C．- D． 【答案】B 【分析】根据有理数的乘方运算法则进行计算即可； 【详解】解： 故选：B 【点睛】本题主要考查有理数的乘方，掌握有理数的乘法运算法则是解题的关键． 3．下列各组数中，相等的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】根据有理数的乘方的定义，绝对值的性质对各选项分别计算，然后利用排除法求解． 【详解】解：A、-|-1|=-1，-（-1）=1，-（-1）≠-|-1|，故本选项错误； B、（-3）2=9，-32=-9，9≠-9，故本选项错误； C、（-4）3=-64，-43=-64，（-4）3=-43，故本选项正确； D、，，，故本选项错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了绝对值、有理数的乘方．解题的关键是掌握有理数的乘方运算法则，要注意-43与（-4）3的区别． 4．696000这个数据用科学记数法表示为（    ） A．696×103 B．69.6×104 C．6.96×105 D．6.96×106 【答案】C 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数． 【详解】696000用科学记数法表示为，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中1≤|a|＜10，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法． 5．以下等式成立的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据乘方的定义将各数解答即可． 【详解】解：A， 故不符合题意． B，，故不符合题意． C，，故符合题意． D，故不符合题意． 故选C． 【点睛】本题考查了有理数的乘方，计算时要注意符号随指数的奇偶性的不同而有所变化 6．已知，则的值为（    ）． A．15 B． C． D．125 【答案】C 【分析】根据绝对值和平方的非负性，可求x，y，代入求解即可． 【详解】解：根据题意得，，， ∴，， ∴． 故选C． 【点睛】本题考查了非负数，解题的关键是熟练掌握三种非负数：绝对值、偶次方、算术平方根． 7．计算(－2)99＋(－2)100的结果是（    ） A．299 B．－2 C．2 D．－299 【答案】A 【分析】先把化为，再利用乘法的分配律进行计算即可得到答案. 【详解】解：(－2)99＋(－2)100 故选A 【点睛】本题考查的是有理数的乘方的含义，乘法分配律的应用，掌握“有理数的乘方的含义”是解本题的关键. 8．1长的木棒，第一次截去它的一半，第二次截去剩下的一半，如此下去，第六次截去之后剩下的木棒是(       )． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意列出算式，计算即可得到结果． 【详解】解：第一次截去它的一半，剩下的木棒长为m， 第二次截去剩下的一半，剩下的木棒长为m， 第三次截去剩下的一半，剩下的木棒长为m， …, 第六次截去剩下的一半，剩下的木棒长为m， 故选：D． 【点睛】此题考查了有理数的乘方的应用，熟练掌握乘方的意义是解本题的关键． 9．若a是最大的负整数，b是绝对值最小的有理数，c是倒数等于它本身的自然数，则的值为（   ） A．2020 B．2021 C．2022 D．0 【答案】D 【分析】根据是最大的负整数，是绝对值最小的有理数，是倒数等于它本身的自然数，可以得到，，，然后所求式子计算即可． 【详解】解：是最大的负整数，是绝对值最小的有理数，是倒数等于它本身的自然数， ，，， 故选：D． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是求出，，的值． 10．观察算式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2187，38＝6561，…．通过观察，用你所发现的规律确定32021的个位数字是（　　） A．3 B．9 C．7 D．1 【答案】A 【分析】从运算的结果可以看出尾数以3、9、7、1四个数字一循环，用2021除以4，余数是几就和第几个数字相同，由此解决问题即可． 【详解】解：已知31=3，末位数字为3，             32=9，末位数字为9，             33=27，末位数字为7，             34=81，末位数字为1，             35=243，末位数字为3，             36=729，末位数字为9，             37=2187，末位数字为7，             38=6561，末位数字为1，             …             由此得到：3的1，2，3，4，5，6，7，8，…次幂的末位数字以3、9、7、1四个数字为一循环，             又2021÷4=505…1， 所以32021的末位数字与33的末位数字相同是3．             故选:A． 【点睛】此题考查尾数特征及规律型：数字的变化类，通过观察得出3的乘方的末位数字以3、9、7、1四个数字为一循环是解决问题的关键． 二、填空题 11．在，，，这四个数中，负数有 个． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的乘方，正数和负数的定义等知识点，熟练掌握乘方的定义并能正确进行计算是解决此题的关键，先利用有理数的相应的法则进行化简运算，然后再根据正负数的定义即可判断． 【详解】解：,是负数； ,是正数； ,是负数； ,是正数； 负数有,共2个. 故答案为：2． 12．比较大小： |－10|．（填“>”“<”或“=”） 【答案】＜ 【分析】先整理数据，=9，|－10|=10，进而得出大小关系． 【详解】解：∵=9，|－10|=10， 又9<10， ∴<|－10|． 故答案为：<． 【点睛】本题考查有理数的比较大小，本题需要先整理数据，再进行比较即可，题目较简单． 13．表示 个 连乘，它的底数是 ，指数是 ． 【答案】 3 3 【分析】根据有理数幂的定义进行填空． 【详解】解：表示3个连乘，底数是，指数是3． 故答案是：3；；；3． 【点睛】本题考查有理数幂的概念，解题的关键是理解有理数幂的定义． 14．计算： ． 【答案】 【分析】根据有理数的乘方进行运算即可． 【详解】； 故答案为． 【点睛】本题主要考查有理数的乘方，熟练掌握有理数的乘方是解题的关键． 15．（）3﹣1的值为 ． 【答案】﹣1 【分析】根据有理数乘方的意义和减法法则计算即可． 【详解】解：（）3﹣11＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【点睛】此题考查的是有理数的运算，掌握有理数乘方的意义和减法法则是解题关键． 16．计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的乘方、绝对值及有理数的乘法．先算乘方、去绝对值，进而得出答案． 【详解】解：， 故答案为：． 17．定义，则 ． 【答案】-2 【分析】根据新定义运算即可求解． 【详解】=23-32=-1 ∴-1-1=-2 故答案为-2． 【点睛】此题主要考查有理数的运算，解题的关键是熟知新定义运算法则． 18．我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，如图1，孩子出生后的天数（天），请根据图2，计算孩子自出生后的天数是 天． 【答案】123 【分析】本题考查有理数的知识，解题的关键是掌握有理数的混合运算，根据题意中的计算方法，列式计算，即可． 【详解】解：由题意得，图2，计算孩子自出生后的天数， 故答案为：123． 三、解答题 19．计算：． 【答案】-2 【分析】先算乘方，再算乘法和化简绝对值，最后计算加减，即可求解． 【详解】解： ． 【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算顺序是解题的关键． 20．计算： （1）．    （2）．    （3）． （4）．    （5）．    （6）． （7）．    （8）．    （9）． 【答案】（1）64（2）（3）（4）（5）32（6）（7）（8）（9） 【分析】（1）根据乘方的意义计算即可； （2）根据乘方的意义计算即可； （3）根据乘方的意义计算即可； （4）根据乘方的意义计算即可； （5）根据乘方的意义计算即可； （6）根据乘方的意义计算即可； （7）根据乘方的意义计算即可； （8）根据乘方的意义计算即可； （9）根据乘方的意义计算即可； 【详解】解：（1） = =64 （2） = = （3） = = （4） = = （5） = =32 （6） = = （7） = = （8） = = （9） = = = 【点睛】此题考查的是有理数的乘方运算，掌握有理数乘方的意义是解决此题的关键． 21．下列各式一定成立吗？ （1）；   （2）；    （3）；      （4）． 【答案】（1）一定；    （2）不一定；     （3）不一定；    （4）不一定． 【分析】根据乘方的运算和绝对值的意义计算． 【详解】解：（1），所以原等式一定成立； （2），所以原等式不一定成立； （3），所以不原等式一定成立； （4）当，，成立， 当时，，所以原等式不一定成立． 【点睛】此题考查了有理数的乘方，注意乘方是乘法的特例，乘方的运算可以利用乘法的运算来进行，注意任何数的绝对值为非负数． 22．请先写出、、的相反数，并在数轴上表示出这些数及其相反数．（规定：以为一个单位） 【答案】相反数为，相反数为，的相反数为，数轴见解析 【分析】本题主要考查了有理数乘方运算，相反数定义，用数轴上的点表示相反数，先求出各个数，然后写出相反数，再把各个数表示在数轴上即可． 【详解】解：，相反数为， ，相反数为， 的相反数为， 把各个数表示在数轴上，如图所示： 23．下列用科学记数法表示的数，原来各是什么数？ ． 【答案】（1）30000000；（2）1300；（3）8050000；（4）． 【分析】符号不变，首先看n是多少，数位就向右移动多少位． 【详解】解：①3×107=30000000， ②1.3×103=1300， ③8.05×106=8050000， ④2.004×105=20040， ⑤1.96×104=-19600． 【点睛】本题是将科学记数法表示的数还原，若科学记数法a×10n表示的数，还原就是把a的小数点向右移动n位所得到的数；若科学记数法表示较小的数a×10-n，还原为原来的数，需要把a的小数点向左移动n位得到原数；要注意负号，如第⑤小题，要先确定其符号，再还原． 24．已知且，试求的值 【答案】1或343 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， ∴x=±3，， 当x=3，时，， 当x=－3，时，. 25．阅读材料：求的值． 解：设，将等式两边同时乘以2得： ， 将下式减去上式得， 即， 即． 请你仿照此法计算： (1)； (2)（其中为正整数）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的乘方以及有理数的混合运算，数式规律问题的有关知识，解题的关键是明确题意，运用题目中的解题方法，运用类比的数学思想解答问题． （1）根据题目中材料可以得到用类比的方法得到的值； （2）根据题目中材料可以得到用类比的方法得到的值． 【详解】（1）解：设， 将等式两边同时乘以2得， 将下式减去上式得：，即， ； （2）解：设， 两边乘以3得：， 下式减去上式得：， 即， ． 26．规定：求若干个相同的有理数（均不等0）的除法运算叫做除方，如 ， 等.类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方” 记作，读作“的圈4次方”.一般地，把 记作aⓝ，“读作“a的圈n次方” (1)（初步探究）直接写出计算结果：________， =________. (2)关于除方，下列说法错误的是________ A．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数  B．对于任何正整数n，1ⓝ=1 C．    D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数 （深入思考）我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘法运算呢？ (3)试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式 =________；=_________；=_______ (4)想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式是________ (5)算一算： . 【答案】(1)，4 (2)C (3) ，， (4) (5) 【分析】（1）根据运算规定，用除法运算直接得出结果； （2）根据运算规定，验证每个选择支，做出正确的判断； （3）观察例题得到规律，一个非零有理数a的圈n次方等于a的倒数的次方，按规律得到结果； （4）把一个非零有理数a的圈n次方等于a的倒数的次方，写成字母表述的形式； （5）根据圈a的运算规定，按着有理数的运算顺序、运算法则计算出结果. 【详解】（1）解：， ． 故答案为：，4． （2）解：，， 由于， ， 其它三个选项均正确， 所以选项错误， 故选：C． （3）解：； ； ； 故答案为：；；； （4）解：aⓝ， 故答案为：； （5）解： ． 【点睛】本题主要考查了新定义、新定义运算的应用及有理数的混合运算，掌握新定义和有理数的混合运算是解决本题的关键． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$