专题12 圆锥曲线的统一定义 讲义-2025届高三数学二轮复习

智学新高考研究院 专题12:圆锥曲线的统一定义 <《<专题综述>>> 椭圆、双曲线、抛物线统称为圆锥曲线，其方程形式为二元二次方程，从几何角度上看都是平面截圆 锥面所得的截线，这就是这几种曲线的统一性，而它们的统一性还体现在定义中.圆锥曲线的定义(包括椭 圆、双曲线的第一定义，椭圆、双曲线、抛物线的统一定义，是研究圆锥曲线有关问题的出发点和归宿， 它反映了圆锥曲线的本质和属性，因此若能灵活运用其定义，则能使许多问题得以顺利解决。 ( . )《《<专题探究>>> ( 题型 一 ：圆锥曲线的第 一 定义 ) ... .. . ◆解题策略 圆锥曲线的定义是：用一平面去截割一个圆锥面，得到的截交线就称为圆锥曲线，阿波罗尼奥斯就是 采用平面截割圆锥的方法进行研究的。用垂直于锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐 倾斜，得到椭圆；当平面倾斜到“和且仅和”圆锥的一条母线平行时，得到抛物线；继续用余下的 倾斜角度的平面截割， 可得到双曲线， 利用Dandelin 双球(这两个球位于圆锥的内部， 一个位于平面π的上方， 一个位于平面的下方，并且与 平面π及圆锥均相切)。 结论1:利用椭圆第一定义可证明：FA+AE =BA+AC=定值。 结论2:上面 一个Dandelin 球与圆锥面的交线为一个圆，并与圆锥的底面平行，记这个圆所在平面为π', 如果平面π与平面π'的交线为m, 在图中椭圆上任取一点A, 该Dandelin 球与平面π的切点为F, 则 点A 到点F的距离与点A到直线m 的距离比是(小于1) (称点F 为这个椭圆的焦点，直线m 为椭圆的准线，常数为离心率e) ◆ 典例精讲 例 1圆锥曲线为什么被冠以圆锥之名?因为它可以从圆锥中截取获得.我们知道，用一个垂直于圆锥的轴 的平面去截圆锥，截口曲线(截面与圆锥侧面的交线)是一个圆，用一个不垂直于轴的平面截圆锥，当截 面与圆锥的轴的夹角θ不同时，可以得到不同的截口曲线，它们分别是椭圆、抛物线、双曲线.因此，我 们将圆、椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线.截口曲线形状与θ和圆锥轴截面半顶角α有如下关系 ,截口曲线为椭圆；当θ=α时，截口曲线为抛物线；当θ<α时，截口曲线为双曲 线. (如图1)现有一定线段AB与平面β夹角为φ(如图2),B 为斜足，β上一动点P 满足∠BAP=γ, 设P点在 β上的运动轨迹是厂，则() 智学新高考研究院 共9页/第2页 学科网（北京）股份有限公司 抛物线 椭圆 图一 双曲线 图二 A. 当 ,「是椭圆 B. 当 ,I 是双曲线 C. 当 时，I 是抛物线 D. 当 时，厂是椭圆 【思路点拨】 由∠BAP=γ 知P在以A为顶点，母线与轴AB夹角为γ的圆锥侧面上，又P点在平面β上，所以P点的轨迹是 平面β与圆锥侧面的交线，结合题意，对各选项分析即可. 例2如图①,用一个平面去截圆锥，得到的截口曲线是椭圆.许多人从纯几何的角度出发对这个问题进 行过研究，其中比利时数学家Germinal dandelin(1794-1847)的方法非常巧妙，极具创造性.在圆锥 内放两个大小不同的球，使得它们分别与圆锥的侧面，截面相切，两个球分别与截面相切于E,F, 在截 口曲线上任取一点A, 过A 作圆锥的母线，分别与两个球相切于C,B, 由球和圆的几何性质，可以知道， AE=AC,AF=AB, 于是AE+AF=AB+AC= BC. 由B,C 的产生方法可知，它们之间的距离 BC是定值， 由椭圆定义可知，截口曲线是以E,F 为焦点的椭圆.如图②,一个半径为2的球放在桌面上，桌面上方 有一个点光源P, 则球在桌面上的投影是椭圆. 已知A₁A₂ 是椭圆的长轴，PA₁ 垂直于桌面且与球相切， PA₁=5, 则椭圆的离心率为 【思路点拨】 根据题意易知A₁A₂ 为椭圆的长轴，长为2a,F 图② 图① 为椭圆的左焦点，A₁F=a-c, 由直角三角形的内切圆的 半径的计算方法可以求出A₁A₂ 的长，进而求出c的长，即可求得结果. 智学新高考研究院 变 式 训 练 练1古希腊数学家阿波罗尼奥斯著作《圆锥曲线论》中采用平面切割圆锥的方法来研究这几种曲线。用 垂直于锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面倾斜到“和且仅和”圆 锥的一条母线平行时，得到抛物线；用平行于圆锥的轴的平面截取，可得到双曲线的一支(把圆锥面换成 相应的二次锥面时，则可得到双曲线)。现有一个正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁, 点0为线段B₁D₁ 的中点，P 是平面A₁BD内一动点，如图所示，若直线OC与PC 所成角为45°,则点P在平面A₁BD内 的 轨 迹 是 ( ) A. 圆的一部分 B. 椭圆的一部分 C. 双曲线的一部分 D. 抛物线的一部分 【思路点拨】 关键是能将立方体ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中直线OC 与平面平面A₁BD 的平行关系找到，则可以判断平面与圆 锥的关系，即可得出结论。 练2古希腊数学家阿波罗尼采用平面切割圆锥的方法来研究曲线，如图①,用一个不垂直于圆锥的轴的 平面截圆锥，当圆锥与截面所成的角不同时，可以得到不同的截口曲线，它们分别是椭圆、抛物线和双 曲线. 图②,在底面半径和高均为1的圆锥中， AB 、CD是底面圆0的两条互相垂直的直径， E 是母线PB 的中点，F 是线段EO 的中点，已知过CD 与E的平面与圆锥侧面的交线是以E 为顶点的圆锥曲线的一部分， 则该曲线为 ,M,N 是该曲线上的两点且MN//CD, 若MN经过点F, 则 M|N|= ① ② 【思路点拨】 利用平面切割圆锥的方法，结合截面倾斜到“和且仅和”圆锥的一条母线平行时，得到的是抛物线， 即可得到答案；建立合适的平面直角坐标，求出点C的坐标，利用待定系数法求出抛物线的标准方程， 由题意可知，MN 为抛物线的通径，从而求解得到答案. 共9页/第3页 学科网（北京）股份有限公司 ( 题型二：圆锥曲线的第二定义 ) ◆ 解 题 策 略 平面内到一个定点F与到一条定直线L(F 不在L上)的距离的比等于常数e的点的轨迹.当0<e<1 时，它表示椭圆；当e>1 时，它表.示双曲线；当e=1 时，它表示抛物线. (其中e是圆锥曲线的离心率， 定点F是圆锥曲线的焦点，定直线是圆锥曲线的准线). 椭圆、双曲线上的任一点和焦点连结的线段长称为焦半径. (1)椭圆焦点在x轴上时，设F₁ 、F₂ 分别是椭圆的左、右焦点， P(x₀,yo) 是椭圆上任一点， 则 |PF₁ I=a+ex₀, |PF₂ I=a-ex₀. (2)双曲线的焦点在x轴上时，设F₁ 、F₂ 分别是双曲线的左、右焦点， P(x₀,yo) 是双曲线上任一点， 则|PF₁ I=|exo+a|, |PF₂ I=lexo-a|. 简记为：绝对值内看焦，左“+”右“一”;去绝对值看支，左“一”右“十”.即： 若点P在双曲线的左支上，则|PF₁I=-(ex₀+a),|PF₂I=-(ex₀-a). 若点P在双曲线的右支上，则|PF₁I=ex₀+a,|PF₂I=ex₀-a. 典 例 精 讲 例 3 已知椭圆C 内有一点A(2,1),F 是椭圆C的左焦点，P 在椭圆C上运动，则3|PA|+5|PF| 的 最小值为_ · 【思路点拨】 ( 的最小值.椭圆 C 的离心率 注意到所 |等于椭圆上的点P到左准线的距离. ) 即求| 求式中的数值 则由椭圆的第二定定义知， 例 4 已知F 是抛物线C:y²=4x 的焦点，过点F的直线l与抛物线交于P,Q 两点，直线l与抛物线的准线l₁ 交于点M, 若PM=2FP, 则 A.3 B. C. D. 【思路点拨】 设P(x1,y₁),Q(x₂,y₂), 联立抛物线，应用韦达定理及已知条件求x₁、x₂, 结 合 抛物线的定义求|PF|、IQF|, 即可求目标式的值. 智学新高考研究院 共9页/第4页 学科网（北京）股份有限公司 智学新高考研究院 》 变 式 训 练 练3在平面直角坐标系x0y 中，椭圆1)的右焦点为F,y 轴右侧的两点A,B 在椭圆 r 上，且直线AB与圆0:x²+y²=b² 相切，若椭圆r 的焦距为12,△ABF的周长为15,则椭圆r 的离心率 为 ( ) 共9页/第5页 学科网（北京）股份有限公司 A. B. c.3 D. 【思路点拨】 利用切点的垂直特性和勾股定理巧妙计算AP, 利用焦半径公式计算AF, 发现AP+AF 为定值后同理可得 BP+BF 且算出周长，最后解出a 并求得离心率. 练4已知F₁,F₂ 为椭圆C: 的左、右焦点，点P 在椭圆C上移动时，△PF₁F₂ 的内心I的轨迹方 程为 _ · 【思路点拨】 求得椭圆的a,b,c, 延长PI交x轴于M, 设P(x₀,yo),I(x,y),M(m,0), 设PF₁=s,PF₂=t, 运用内角平分线定理和椭圆的定义，由代入法即可得到所求轨迹方程. ( 题型三：圆锥曲线的的第三定义 ) ◆ 解 题 策 略 平面内的动点到两定点A₁ (-a,0)A₂ (a,O) 的斜率乘积等于常数e²-1 点的轨迹叫做椭圆或双曲线， 其中两个定点为椭圆和双曲线的两个顶点.其中如果常数e²-1>0 时，轨迹为双曲线， 如果e²-1∈(-1,0 )时，轨迹为椭圆。 反之，若椭圆的方程 1(a>b>0), 过原点的直线交椭圆于A,B两点，P 点是椭圆上异于A,B 两点的任一点，则有 双曲线的方程 1(a>0,b>0), 过原点的直线交双曲线于A,B两点，P 点是双曲线上异于A,B 两点的任一点，则有 ◆ 典 例 精 讲 例5(多选)已知平面内两个定点A(-5,0),B(5,0), 直线AM,BM 相交于点M, 且它们的斜率之积为常数 λ(λ≠0),设点M 的轨迹为C.下列说法中正确的有() A. 存在常数λ(λ≠0),使C上所有的点到两点(-6,0),(6,0)的距离之和为定值 B. 存在常数λ(λ≠0),使C上所有的点到两点(-6,0),(6,0)的距离之差的绝对值为定值 C. 存在常数λ(λ≠0),使C上所有的点到两点(0,-6),(0,6)的距离之和为定值 D. 存在常数λ(λ≠0),使C上所有的点到两点(0,-6),(0,6)的距离之差的绝对值为定值 【思路点拨】 设M 坐标为 则 得y²=λ(x²-25)(x≠±5) , 即可得出结论. 例6(多选)已知双曲线( )的左，右顶点分别为A₁,A₂, 点P,Q 是双曲线C上关于 原点对称的两点(异于顶点),直线PA₁,PA₂,QA₁ 的斜率分别为kpA₁,kpA₂,kQA₁, 若I 则下列说法正确的是() A. 双曲线C的渐近线方程 B. 双曲线C的离心率为 C.kPA₁·k Qa₁ 为定值 D.tan ∠A₁PA₂ 的取值范围为(0,+∞) 【思路点拨】 本题考查双曲线的性质，直线与双曲线的位置关系及其应用，结合双曲线的性质判断各选项即可. 》 变 式 训 练 练5椭圆C:的左、右顶点分别为A₁,A₂, 点P 在C上且直线PA₂的斜率的取值范围是[-2,-1], 那么直线PA₁斜率的取值范围是() A. B. C. D. 【思路点拨】 智学新高考研究院 共9页/第6页 学科网（北京）股份有限公司 由椭圆C: 可知其左顶点A₁(-2,0), 右顶点A₂(2,0). 设P(x₀,yo)(xo≠±2), 代入椭圆方程可 .利用斜率计算公式可得kpA₁ ·kpA₂, 再利用已知给出的kpA₂的范围即可解出. 练6(多选)设椭圆(a>b>0),E(0,b),A(m,n) 为椭圆E上一点，m≠0, 点B、A关于x 轴对称，直线EA,EB 分别与x 轴交于M,N 两点，则() A. |AE|的最大值为 √a²+b² B. 直线EA,EB 的斜率乘积为定值 C. 若y轴上存在点P, 使得∠MPO=∠PNO, 则P的坐标为(0,a)或(0,-a) D. 直线AN 过定点 【思路点拨】 本题考查直线与椭圆的位置关系及应用问题，利用椭圆的几何性质何斜率的定义求解. … …………… ·<<<专题训练>>> ………… … 1.在实际生活中，常常要用到如图1所示的“直角弯管”.它的制作方法如下：如图2,用一个与圆柱底 面所成角为45°的平面截圆柱，将圆柱截成两段，再将这两段重新拼接就可以得到“直角弯管”.在制作 “直角弯管”时截得的截口是一个椭圆，若将圆柱被截开的一段(如图3)的侧面沿着圆柱的一条母线剪 开，并展开成平面图形，则截口展开形成的图形恰好是某正弦型函数的部分图象(如图4).记该正弦型函 数的最小正周期为T, 截口椭圆的离心率为e.若圆柱的底面直径为2,则() 图 1 图 2 图 3 图 4 A.T=2π, B.T=2π, C.T=4π, D.T=4π, 2. 经过椭圆 的右焦点F做直线l交椭圆于A,B 两点，若FA+2FB=0, 则 |FA|+2|FB| 的值为 () A.4.5 B.5.5 C.6 D.7.5 智学新高考研究院 共9页/第7页 学科网（北京）股份有限公司 3. 已知F 是椭圆C: 的左焦点，P 为C上一点，,则的最小值为() A.9 B. C.4 D. 智学新高考研究院 共9页/第8页 学科网（北京）股份有限公司 4. 已知点P是双曲线C: 上的动点，F₁,F₂ 的取值范围是() A.[0,6] B.(2,√6) C. D. 分别是双曲线C的左、右焦点0为坐标原点，则 5. 已知椭 点M₁,M₂,…,M₅ 的一组平行线，交椭圆C 于P₁,P₂,.…,P10, 为其长轴AB的6等分点，分别过这5点作斜率为k(k≠0) 则直线AP₁,AP₂,.….AP¹0 这10条直线的斜率乘积为 · 6.古希腊数学家阿波罗尼斯在《圆锥曲线论》中记载了用平面截圆锥得到圆锥曲线的方法，如图，将 两个完全相同的圆锥对顶放置(两圆锥的顶点和轴都重合),已知两个圆锥的底面直径均为2,侧面积均 为 √5π,记过两个圆锥轴的截面为平面α,平面α与两个圆锥侧面的交线为AC、BD. 已知平面β平行于平 面α,平面β与两个圆锥侧面的交线为双曲线C的一部分，且C的两条渐近线分别平行于AC 、BD, 则该双 曲线C的离心率为 7. 如图是数学家Germinal Dandelin用来证明一 个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型 .在圆锥内 放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面与截面都相切，设图中球0₁,球O₂ 的半径分别为4 和2,球心距离 |0₁O₂l=2√ 10, 截面分别与球O₁, 球O₂ 相切于点E,F(E,F 是截口椭圆的焦点),则此椭 圆的离心率等于 8. 如图，已知圆锥PO的轴PO 与母线所成的角为α,过A₁的平面与圆锥的轴所成的角为β,该平面截这个 圆锥所得的截面为椭圆C, 椭圆C的长轴为A₁A₂, 短轴为B₁B₂, 长半轴长为3,C 的中心为N, 再 以B₁B₂ 为弦且垂直于PO 的圆截面，记该圆与直线PA₁ 交于C₁, 与直线PA₂ 交于C₂, 设cosa=3cosβ. (1)求椭圆C的焦距； (2)椭圆C 左右焦点分别为F₁,F₂,C 上不同两点A,B, 满足F₁A=AF₂B(a>0), 设 直 线F₁B,F₂A 交于 点Q,S△QAB=1, 求四边形ABF₂F₁ 的面积 . 共9页/第9页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12 圆锥曲线的统一定义--答案解析 【专题探究】 例1【解析】解：由知在以为顶点，母线与轴夹角为的圆锥侧面上， 又点在平面上，所以点的轨迹是平面与圆锥侧面的交线， 由题意，对各选项进行分析： 对,因为平面 与圆锥的轴的夹角为 ,圆锥轴截面半顶角为 ，由，知是椭圆，故A正确； 对,因为平面 与圆锥的轴的夹角为 ,圆锥轴截面半顶角为 ，由，知是椭圆，故B不正确； 对,因为平面 与圆锥的轴的夹角为 ,圆锥轴截面半顶角为 ,由两角相等,知是抛物线,故C正确； 对,因为平面 与圆锥的轴的夹角为 ，圆锥轴截面半顶角为 ，由，所以是椭圆，故D正确． 故选：． 例2【解析】易知为椭圆的长轴，长为，为椭圆的左焦点，， 在直角三角形中，球的截面圆是其内切圆， 设，则由三角形面积不变性可得：， 解得，由，解得， 故椭圆的离心率为． 故答案为． 练1【解析】因为直线与所成角为，所以点在以为轴的圆锥曲线的表面上， 且是平面内一动点，连接交于点， 则在平面中易得，所以平面， 由题设可知用平行于圆锥的轴的平面截取，可得到双曲线的一支，所以点轨迹是双曲线的一部分。 故选C 练2【解析】因为是母线的中点，是线段的中点， 所以，又截面，截面，故截面， 由截面倾斜到“和且仅和”圆锥的一条母线平行时，得到的是抛物线， 故过与的平面与圆锥侧面的交线是以为顶点的圆锥曲线的一部分，则该曲线为抛物线； 由题意可知，平面，又平面，则， 则，因为为母线的中点，所以， 建立适当的平面直角坐标系，以为坐标原点，为轴，为轴， 如图所示，则， 设抛物线的方程为， 将点代入方程可得，，解得，所以抛物线的标准方程为， 因为，是该曲线上的两点且，则轴，又经过点， 故为抛物线的通径，所以． 故答案为：抛物线；． 例3【解析】，只需求的最小值. 易知椭圆的离心率为，注意到所求式中的数值恰为， 则由椭圆的第二定义知，等于椭圆上的点到左准线的距离. 过点作左准线的垂线，垂足为 则， 当且仅当三点共线时等号成立， 此时. 故的最小值为31，即的最小值为31. 例4【解析】设，直线. 联立抛物线得：，则. 由直线与抛物线准线交于，则. 由得：，即，则. ∴，，， 故选：A. 练3【解析】解：首先证明椭圆上任意一点到左、右两焦点、的距离 ，焦半径公式 证明：因为、， 所以 同理可得 根据椭圆方程知，，，即， 故椭圆两个焦半径为， 记与圆相切于点，，，， 则，又， 所以，则，， 所以，同理可得 故的周长为． 所以，则，又焦距，所以， 所以离心率． 练4【解析】解：椭圆：的，，， 延长交轴于， 设，，， 连接，， 设，，则， ，， 由内角平分线定理可得 ，， 可得，， 由椭圆的焦半径公式可得： ，即， 可得，， 代入椭圆可得， 即有， 故答案为：． 例5【解析】解：设坐标为，由，得， 对于项，存在常数，使上所有的点到两点，的距离之和为定值 则，且焦点在轴上，此时，，矛盾，故A错误； 对于项，存在常数，使上所有的点到两点，的距离之差的绝对值为定值 则，且焦点在轴上，此时，，符合题意，故B正确． 对于项，存在常数，使上所有的点到两点，的距离之和为定值 则，且焦点在轴上，此时，符合题意，故C正确 对于项，存在常数，使上所有的点到两点，的距离之差的绝对值为定值 则，且焦点在轴上，但无法满足焦点在轴上，故D项错误 故选：． 例6【解析】解：设，则，因为，， 故， 依题意有，所以，所以的渐近线方程为， 离心率，故A错误，B正确 因为点，关于原点对称，所以四边形为平行四边形， 即有，所以，故C正确 设的倾斜角为，的倾斜角为，由题意可得，则， 根据对称性不妨设在轴上方，则，则， 则， 因为在轴上方，则或， 函数在和上单调递增，所以，故D正确． 故选BCD． 练5【解析】由椭圆：可知其左顶点，右顶点． 设，则，得． ，，， ，，解得． 故选：． 练6【解析】因为在椭圆上，所以，， 所以，A错误； 因为点、关于轴对称，所以， 因为，，所以 ，B正确， 假设存在点，使得，则∽， 所以， 因为，， 所以，， 所以， 因为，所以，即点坐标为或， 因为，，所以，， 化简得，即直线过定点， 故选BCD． 【专题训练】 1.【解析】设截口椭圆的长半轴长为，短半轴长为，半焦距长为， 因为圆柱的底面直径为，所以，故， 因为椭圆截面与底面的夹角为， 所以，所以，所以， 所以，所以， 观察图知，正弦型函数的最小正周期为圆柱的侧面展开图的底边边长， 即圆柱的底面圆的周长，所以． 故选：． 2.【解析】经过椭圆的右焦点做直线交椭圆于，两点，若， 设，则的横坐标为：，椭圆的准线方程为，所以， 解得，，可得，则． 故选：． 3.【解析】因为，，所以， 则左准线方程为， 设到左准线的距离为， 则，所以， 所以， 所以过作左准线的垂线交椭圆于点，此时最小， 所以． 故选D． 4.【解析】设，由焦半径公式，， 则  ， 则原式，又因为双曲线中．所以 同理当时，，， 仍可推出 即推出的取值范围为 故选：． 5.【解析】如图所示， 由椭圆的性质可得． 由椭圆的对称性可得，， ， 同理可得，，． 直线，，，这条直线的斜率乘积：． 故答案为：． 6.【解析】解：以矩形的中心为原点， 取中点为，中点为，以所在直线为轴，过点且垂直的直线为轴建立平面直角坐标系， 设双曲线的标准方程为， 由圆锥的底面直径为，侧面积为，得， 显然，即， 所以双曲线的离心率． 故答案为：． 7.【解析】设， 由，解得， 所以， 所以， 设直线与圆锥的母线相交于点，圆锥的母线与球相切于两点， 如图所示，则， 两式相加得，即， 过作，垂直为， 则四边形为矩形，所以，， 所以椭圆的离心率为． 故答案为． 8.【解析】解：过作于点， 而，， 所以，而， ， 同理过向作垂线，可得 ， ， ， ， ，， 故求椭圆的焦距； ，， ， ， ， ， 延长交于点， 则， 设，， 则， ， ， ， ， ， ， ， ， 故四边形的面积．  共7页/第2页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12：圆锥曲线的统一定义 椭圆、双曲线、抛物线统称为圆锥曲线,其方程形式为二元二次方程,从几何角度上看都是平面截圆锥面所得的截线,这就是这几种曲线的统一性,而它们的统一性还体现在定义中.圆锥曲线的定义(包括椭圆、双曲线的第一定义，椭圆、双曲线、抛物线的统一定义，是研究圆锥曲线有关问题的出发点和归宿，它反映了圆锥曲线的本质和属性，因此若能灵活运用其定义，则能使许多问题得以顺利解决。 题型一：圆锥曲线的第一定义 圆锥曲线的定义是：用一平面去截割一个圆锥面，得到的截交线就称为圆锥曲线，阿波罗尼奥斯就是采用平面截割圆锥的方法进行研究的。用垂直于锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面倾斜到“和且仅和”圆锥的一条母线平行时，得到抛物线；继续用余下的倾斜角度的平面截割，可得到双曲线， 利用双球（这两个球位于圆锥的内部，一个位于平面的上方，一个位于平面的下方，并且与平面π及圆锥均相切）。 结论1：利用椭圆第一定义可证明：定值。 结论2：上面一个球与圆锥面的交线为一个圆，并与圆锥的底面平行，记这个圆所在平面为,如果平面与平面的交线为m，在图中椭圆上任取一点，该球与平面的切点为，则点到点的距离与点到直线的距离比是（小于1） （称点F为这个椭圆的焦点，直线m为椭圆的准线，常数为离心率e） 例1圆锥曲线为什么被冠以圆锥之名因为它可以从圆锥中截取获得我们知道，用一个垂直于圆锥的轴的平面去截圆锥，截口曲线截面与圆锥侧面的交线是一个圆，用一个不垂直于轴的平面截圆锥，当截面与圆锥的轴的夹角不同时，可以得到不同的截口曲线，它们分别是椭圆、抛物线、双曲线因此，我们将圆、椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线截口曲线形状与和圆锥轴截面半顶角有如下关系当时，截口曲线为椭圆当时，截口曲线为抛物线当时，截口曲线为双曲线如图现有一定线段与平面夹角为如图，为斜足，上一动点满足，设点在上的运动轨迹是，则(    ) A. 当，时，是椭圆 B. 当，时，是双曲线 C. 当，时，是抛物线 D. 当，时，是椭圆 【思路点拨】 由知在以为顶点，母线与轴夹角为的圆锥侧面上，又点在平面上，所以点的轨迹是平面与圆锥侧面的交线，结合题意，对各选项分析即可． 【规范解析】 解：由知在以为顶点，母线与轴夹角为的圆锥侧面上， 又点在平面上，所以点的轨迹是平面与圆锥侧面的交线， 由题意，对各选项进行分析： 对,因为平面 与圆锥的轴的夹角为 ,圆锥轴截面半顶角为 ，由，知是椭圆，故A正确； 对,因为平面 与圆锥的轴的夹角为 ,圆锥轴截面半顶角为 ，由，知是椭圆，故B不正确； 对,因为平面 与圆锥的轴的夹角为 ,圆锥轴截面半顶角为 ,由两角相等,知是抛物线,故C正确； 对,因为平面 与圆锥的轴的夹角为 ，圆锥轴截面半顶角为 ，由，所以是椭圆，故D正确． 故选：． 例2如图，用一个平面去截圆锥，得到的截口曲线是椭圆．许多人从纯几何的角度出发对这个问题进行过研究，其中比利时数学家的方法非常巧妙，极具创造性．在圆锥内放两个大小不同的球，使得它们分别与圆锥的侧面，截面相切，两个球分别与截面相切于，在截口曲线上任取一点，过作圆锥的母线，分别与两个球相切于，由球和圆的几何性质，可以知道，，，于是由的产生方法可知，它们之间的距离是定值，由椭圆定义可知，截口曲线是以为焦点的椭圆．如图，一个半径为的球放在桌面上，桌面上方有一个点光源，则球在桌面上的投影是椭圆．已知是椭圆的长轴，垂直于桌面且与球相切，，则椭圆的离心率为          ． 【思路点拨】 根据题意易知为椭圆的长轴，长为，为椭圆的左焦点，，由直角三角形的内切圆的半径的计算方法可以求出的长，进而求出的长，即可求得结果． 【规范解析】 解：易知为椭圆的长轴，长为，为椭圆的左焦点，， 在直角三角形中，球的截面圆是其内切圆， 设，则由三角形面积不变性可得：， 解得，由，解得， 故椭圆的离心率为． 故答案为． 练1古希腊数学家阿波罗尼奥斯著作圆锥曲线论中采用平面切割圆锥的方法来研究这几种曲线。用垂直于锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面倾斜到“和且仅和”圆锥的一条母线平行时，得到抛物线；用平行于圆锥的轴的平面截取，可得到双曲线的一支把圆锥面换成相应的二次锥面时，则可得到双曲线。现有一个正方体，点为线段的中点，是平面内一动点，如图所示，若直线与所成角为，则点在平面内的轨迹是(    )  A. 圆的一部分 B. 椭圆的一部分 C. 双曲线的一部分 D. 抛物线的一部分 【思路点拨】 关键是能将立方体中直线与平面平面的平行关系找到，则可以判断平面与圆锥的关系，即可得出结论。 【规范解析】 解：因为直线与所成角为，所以点在以为轴的圆锥曲线的表面上， 且是平面内一动点，连接交于点， 则在平面中易得，所以平面， 由题设可知用平行于圆锥的轴的平面截取，可得到双曲线的一支， 所以点轨迹是双曲线的一部分。 故选C 练2古希腊数学家阿波罗尼采用平面切割圆锥的方法来研究曲线，如图，用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当圆锥与截面所成的角不同时，可以得到不同的截口曲线，它们分别是椭圆、抛物线和双曲线图，在底面半径和高均为的圆锥中，、是底面圆的两条互相垂直的直径，是母线的中点，是线段的中点，已知过与的平面与圆锥侧面的交线是以为顶点的圆锥曲线的一部分，则该曲线为           ，，是该曲线上的两点且，若经过点，则           ． 【思路点拨】 利用平面切割圆锥的方法，结合截面倾斜到“和且仅和”圆锥的一条母线平行时，得到的是抛物线，即可得到答案；建立合适的平面直角坐标，求出点的坐标，利用待定系数法求出抛物线的标准方程，由题意可知，为抛物线的通径，从而求解得到答案． 【规范解析】 解：因为是母线的中点，是线段的中点， 所以，又截面，截面， 故截面， 由截面倾斜到“和且仅和”圆锥的一条母线平行时，得到的是抛物线， 故过与的平面与圆锥侧面的交线是以为顶点的圆锥曲线的一部分，则该曲线为抛物线； 由题意可知，平面，又平面，则， 则，因为为母线的中点，所以， 建立适当的平面直角坐标系，以为坐标原点，为轴，为轴，如图所示， 则， 设抛物线的方程为， 将点代入方程可得，，解得， 所以抛物线的标准方程为， 因为，是该曲线上的两点且， 则轴，又经过点， 故为抛物线的通径，所以． 故答案为：抛物线；． 题型二：圆锥曲线的第二定义 平面内到一个定点与到一条定直线（不在上）的距离的比等于常数的点的轨迹.当时，它表示椭圆；当时，它表示双曲线；当时，它表示抛物线．（其中是圆锥曲线的离心率，定点是圆锥曲线的焦点，定直线是圆锥曲线的准线）. 椭圆、双曲线上的任一点和焦点连结的线段长称为焦半径. （1）椭圆焦点在轴上时，设分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上任一点， 则，. （2）双曲线的焦点在轴上时，设分别是双曲线的左、右焦点，是双曲线上任一点，则，. 简记为：绝对值内看焦，左“＋”右“－”；去绝对值看支，左“－”右“＋”. 即： 若点在双曲线的左支上，则，. 若点在双曲线的右支上，则，. 例3 已知椭圆内有一点是椭圆的左焦点，在椭圆上运动，则的最小值为 . 【思路点拨】 ，即求的最小值.椭圆的离心率为，注意到所求式中的数值恰为，则由椭圆的第二定义知，等于椭圆上的点到左准线的距离. 【规范解析】 ，只需求的最小值. 易知椭圆的离心率为，注意到所求式中的数值恰为， 则由椭圆的第二定义知，等于椭圆上的点到左准线的距离. 过点作左准线的垂线，垂足为 则， 当且仅当三点共线时等号成立， 此时. 故的最小值为31，即的最小值为31. 例4 已知是抛物线的焦点，过点的直线与抛物线交于，两点，直线与抛物线的准线交于点，若，则（    ） A． B． C． D． 【思路点拨】 设，，联立抛物线，应用韦达定理及已知条件求、，结合抛物线的定义求、，即可求目标式的值. 【规范解析】 设，直线. 联立抛物线得：，则. 由直线与抛物线准线交于，则. 由得：，即，则. ∴，，， 故选：A. 练3在平面直角坐标系中，椭圆的右焦点为，轴右侧的两点，在椭圆上，且直线与圆相切，若椭圆的焦距为，的周长为，则椭圆的离心率为(    ) A. B. C. D. 【思路点拨】 利用切点的垂直特性和勾股定理巧妙计算，利用焦半径公式计算，发现为定值后同理可得且算出周长，最后解出并求得离心率． 【规范解析】 解：首先证明椭圆上任意一点到左、右两焦点、的距离 ，焦半径公式 证明：因为、， 所以 同理可得 根据椭圆方程知，，，即， 故椭圆两个焦半径为， 记与圆相切于点，，，， 则，又， 所以，则，， 所以，同理可得 故的周长为． 所以，则，又焦距，所以， 所以离心率． 练4已知，为椭圆：的左、右焦点，点在椭圆上移动时，的内心的轨迹方程为__________________． 【思路点拨】 求得椭圆的，，，延长交轴于，设，，， 设，，运用内角平分线定理和椭圆的定义，由代入法即可得到所求轨迹方程． 【规范解析】 解：椭圆：的，，， 延长交轴于， 设，，， 连接，， 设，，则， ，， 由内角平分线定理可得 ，， 可得，， 由椭圆的焦半径公式可得： ，即， 可得，， 代入椭圆可得， 即有， 故答案为：． 题型三：圆锥曲线的的第三定义 平面内的动点到两定点的斜率乘积等于常数点的轨迹叫做椭圆或双曲线, 其中两个定点为椭圆和双曲线的两个顶点.其中如果常数时，轨迹为双曲线， 如果时，轨迹为椭圆。 反之，若椭圆的方程为（a＞b＞0），过原点的直线交椭圆于两点，点是椭圆上异于两点的任一点，则有. 双曲线的方程为（a＞0，b＞0），过原点的直线交双曲线于两点，点是双曲线上异于两点的任一点，则有. 例5（多选）已知平面内两个定点，，直线，相交于点，且它们的斜率之积为常数，设点的轨迹为下列说法中正确的有(    ) A. 存在常数，使上所有的点到两点，的距离之和为定值 B. 存在常数，使上所有的点到两点，的距离之差的绝对值为定值 C. 存在常数，使上所有的点到两点，的距离之和为定值 D. 存在常数，使上所有的点到两点，的距离之差的绝对值为定值 【思路点拨】 设坐标为，则 ，得，即可得出结论． 【规范解析】 解：设坐标为，由，得， 对于项，存在常数，使上所有的点到两点，的距离之和为定值 则，且焦点在轴上，此时，，矛盾，故A错误； 对于项，存在常数，使上所有的点到两点，的距离之差的绝对值为定值 则，且焦点在轴上，此时，，符合题意，故B正确． 对于项，存在常数，使上所有的点到两点，的距离之和为定值 则，且焦点在轴上，此时，符合题意，故C正确 对于项，存在常数，使上所有的点到两点，的距离之差的绝对值为定值 则，且焦点在轴上，但无法满足焦点在轴上，故D项错误 故选：． 例6（多选）已知双曲线的左，右顶点分别为，，点，是双曲线上关于原点对称的两点异于顶点，直线，，的斜率分别为，，，若，则下列说法正确的是(    ) A. 双曲线的渐近线方程为 B. 双曲线的离心率为 C. 为定值 D. 的取值范围为 【思路点拨】 本题考查双曲线的性质，直线与双曲线的位置关系及其应用，结合双曲线的性质判断各选项即可． 【规范解析】 解：设，则，因为，， 故， 依题意有，所以，所以的渐近线方程为， 离心率，故A错误，B正确 因为点，关于原点对称，所以四边形为平行四边形， 即有，所以，故C正确 设的倾斜角为，的倾斜角为，由题意可得，则， 根据对称性不妨设在轴上方，则，则， 则， 因为在轴上方，则或， 函数在和上单调递增，所以，故D正确． 故选BCD． 练5椭圆的左、右顶点分别为，，点在上且直线的斜率的取值范围是，那么直线斜率的取值范围是  (    ) A. B. C. D. 【思路点拨】 由椭圆：可知其左顶点，右顶点设，代入椭圆方程可得利用斜率计算公式可得，再利用已知给出的的范围即可解出． 【规范解析】 解：由椭圆：可知其左顶点，右顶点． 设，则，得． ，，， ，，解得． 故选：． 练6(多选)设椭圆，，为椭圆上一点，，点、关于轴对称，直线，分别与轴交于，两点，则(    ) A. 的最大值为 B. 直线，的斜率乘积为定值 C. 若轴上存在点，使得，则的坐标为或 D. 直线过定点 【思路点拨】 本题考查直线与椭圆的位置关系及应用问题，利用椭圆的几何性质何斜率的定义求解. 【规范解析】 解：因为在椭圆上，所以，， 所以，A错误； 因为点、关于轴对称，所以， 因为，，所以 ，B正确， 假设存在点，使得，则∽， 所以， 因为，， 所以，， 所以， 因为，所以，即点坐标为或， 因为，，所以，， 化简得，即直线过定点， 故选BCD． <<<专题训练>>> 1.在实际生活中，常常要用到如图所示的“直角弯管”它的制作方法如下：如图，用一个与圆柱底面所成角为的平面截圆柱，将圆柱截成两段，再将这两段重新拼接就可以得到“直角弯管”在制作“直角弯管”时截得的截口是一个椭圆，若将圆柱被截开的一段如图的侧面沿着圆柱的一条母线剪开，并展开成平面图形，则截口展开形成的图形恰好是某正弦型函数的部分图象如图记该正弦型函数的最小正周期为，截口椭圆的离心率为若圆柱的底面直径为，则(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 【解析】 解：设截口椭圆的长半轴长为，短半轴长为，半焦距长为， 因为圆柱的底面直径为，所以，故， 因为椭圆截面与底面的夹角为， 所以，所以，所以， 所以，所以， 观察图知，正弦型函数的最小正周期为圆柱的侧面展开图的底边边长，即圆柱的底面圆的周长，所以． 故选：． 2. 经过椭圆的右焦点做直线交椭圆于，两点，若，则的值为(    ) A. B. C. D. 【解析】 解：经过椭圆的右焦点做直线交椭圆于，两点，若， 设，则的横坐标为：，椭圆的准线方程为，所以， 解得，，可得，则． 故选：． 3. 已知是椭圆：的左焦点，为上一点，，则的最小值为(    ) A. 9 B. C. D. 【解析】 解：因为，，所以， 则左准线方程为， 设到左准线的距离为， 则，所以， 所以， 所以过作左准线的垂线交椭圆于点，此时最小， 所以． 故选D．   4. 已知点是双曲线：上的动点，，分别是双曲线的左、右焦点为坐标原点，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【解析】 解：设，由焦半径公式，， 则  ， 则原式，又因为双曲线中．所以 同理当时，，， 仍可推出 即推出的取值范围为 故选：． 5. 已知椭圆，点，，，为其长轴的等分点，分别过这点作斜率为的一组平行线，交椭圆于，，，，则直线，，这条直线的斜率乘积为______． 【解析】 解：如图所示， 由椭圆的性质可得． 由椭圆的对称性可得，， ， 同理可得，， ． 直线，，，这条直线的斜率乘积：． 故答案为：． 6. 古希腊数学家阿波罗尼斯在圆锥曲线论中记载了用平面截圆锥得到圆锥曲线的方法，如图，将两个完全相同的圆锥对顶放置两圆锥的顶点和轴都重合，已知两个圆锥的底面直径均为，侧面积均为，记过两个圆锥轴的截面为平面，平面与两个圆锥侧面的交线为已知平面平行于平面，平面与两个圆锥侧面的交线为双曲线的一部分，且的两条渐近线分别平行于，则该双曲线的离心率为          ． 【解析】 解：以矩形的中心为原点， 取中点为，中点为，以所在直线为轴， 过点且垂直的直线为轴建立平面直角坐标系， 设双曲线的标准方程为， 由圆锥的底面直径为，侧面积为，得， 显然，即， 所以双曲线的离心率． 故答案为：． 7. 如图是数学家用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面与截面都相切，设图中球，球的半径分别为和，球心距离，截面分别与球，球相切于点是截口椭圆的焦点，则此椭圆的离心率等于          ． 【解析】 解：设， 由，解得， 所以， 所以， 设直线与圆锥的母线相交于点，圆锥的母线与球相切于两点， 如图所示，则， 两式相加得，即， 过作，垂直为， 则四边形为矩形，所以，， 所以椭圆的离心率为． 故答案为． 8. 如图，已知圆锥的轴与母线所成的角为，过的平面与圆锥的轴所成的角为，该平面截这个圆锥所得的截面为椭圆，椭圆的长轴为，短轴为，长半轴长为，的中心为，再以为弦且垂直于的圆截面，记该圆与直线交于，与直线交于，设． 求椭圆的焦距； 椭圆左右焦点分别为，，上不同两点，，满足，设直线，交于点，，求四边形的面积． 【解析】 解：过作于点， 而，， 所以，而， ， 同理过向作垂线，可得 ， ， ， ， ，， 故求椭圆的焦距； ，， ， ， ， ， 延长交于点， 则， 设，， 则， ， ， ， ， ， ， ， ， 故四边形的面积．  共17页/第19页 学科网（北京）股份有限公司 $$