陕西省西安市铁一中学2024-2025学年高二下学期期末考试数学试题

2023—2024-2高二年级期末考试 数学试题 时间：120分钟 满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求. 1. 已知，且为纯虚数，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休.”在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数性质，也常用函数解析式来琢磨函数的图象特征，函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 4. 已知数列为等差数列，，，，，设，，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 一个样本容量为10的样本数据，它们组成一个公差为2的等差数列，若，，成等比数列，则此样本的平均数和中位数分别是（ ） A. 12，13 B. 13，13 C. 13，12 D. 12，14 6. 若函数同时满足：(1)对于定义域内的任意，有；(2)对于定义域内的任意，当时，有，则称函数为“理想函数”.给出下列四个函数：①；②；③；④. 其中是“理想函数”的序号是 A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ③④ 7. 若函数有4个零点，则正数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数（且）的图象恒过点A，函数的图象恰好过点A，且在上单调递减，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对得6分，部分选对得3分，选错或不选得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 关于直线对称 C. 关于点中心对称 D. 的最小值为 10. 已知函数，则（ ） A. 有两个极值点 B. 若方程有三个实根，则或 C. 点是曲线的对称中心 D. 直线是曲线的切线 11. 已知函数是上的奇函数，且过点，对于一切正实数，都有，当时，恒成立，则（ ） A. B. 在上是单调函数 C. 当时， D. 当时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 计算_________. 13. 设函数f(x)＝x(ex＋ae－x)(x∈R)是偶函数，则实数a的值为______________． 14. “曼哈顿距离”是人脸识别中的一种重要测距方式，其定义如下：设，，则，两点间的曼哈顿距离已知，点在圆上运动，若点满足，则的最大值为_________． 四、解答题：本题共5小题，满分77分.解答过程应写出必要的文字说明、计算过程、证明过程. 15. 已知函数． （1）求不等式的解集； （2）若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围． 16. 三棱柱中，． （1）证明：； （2）若，求二面角的余弦值． 17. 已知抛物线（）的焦点为，为上一点，且. （1）求的方程； （2）过点且斜率存在的直线与交于不同的两点，，且点关于轴的对称点为，直线与轴交于点.求点的坐标. 18. 已知函数. （1）若，求此时的值； （2）求的单调区间； （3）当，且时，判断与的大小，并说明理由. 19. 已知双曲线，直线为其中一条渐近线，为双曲线的右顶点，过作轴的垂线，交于点，再过作轴的垂线交双曲线右支于点，重复刚才的操作得到，记． （1）求的通项公式； （2）过作双曲线的切线分别交双曲线两条渐近线于，记，求证：． 2023—2024-2高二年级期末考试 数学试题 时间：120分钟 满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求. 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】B 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对得6分，部分选对得3分，选错或不选得0分. 【9题答案】 【答案】ABD 【10题答案】 【答案】ACD 【11题答案】 【答案】ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】8 【13题答案】 【答案】－1 【14题答案】 【答案】## 四、解答题：本题共5小题，满分77分.解答过程应写出必要的文字说明、计算过程、证明过程. 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1） 如图所示：作中点，连接， ， 是等边三角形， 又， 满足，即有， 而，所以， ，平面， 平面， 而平面， 所以，又因为是中点， 所以. （2） 【17题答案】 【答案】（1）； （2）. 【18题答案】 【答案】（1） （2）当时，单调增区间为；单调减区间为. 当时，单调减区间为和；无单调增区间. 当时，单调增区间为；单调减区间为和. （3） 当，且时，， 理由如下： 令，. 则，， 设，则， 因为， 令，得，令，得. 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以，即， 所以的单调递增区间为. 当时，，即， 当时，，即， 综上所述，当且时，. 【19题答案】 【答案】（1） （2）证明：设，有， 以为切点的双曲线的切线，时斜率存在时，设斜率为， 切线方程为，代入双曲线， 得，由， 得，解得，切线方程为， 为切点的双曲线的切线方程也满足， 由，可得， 即， 由可得， 即，所以， 所以，. 先证右边： ， 所以 ，右边得证. 下证左边： 先证，令， ， 所以在递增，所以， 即时，， 所以， 当时，， 证明如下： 所以， 所以当时： ， 当成立，所以，左边得证 所以命题得证． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $