精品解析：吉林省吉林市亚桥恒山校区2024-2025学年八年级下学期数学期中测试卷

2024-2025学年度第二学期综合练习 八年级数学试题 本试卷包括三道大题、共22道小题，共6页．全卷满分120分，考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的学校、姓名、班级、学号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、单项选择题（每小题3分，共18分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 对于一元二次方程，化为一般式后二次项系数为2，则一次项系数为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3. 若是的一个根，则的值是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 4. 将函数的图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得图象的函数表达式为（　　） A. B. C. D. 5. 在同一平面直角坐标系中，二次函数的图象和一次函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，二次函数的对称轴是直线，且经过点，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 二次函数y＝3（x+2）2﹣1图象的顶点坐标是_____． 8. 小川一家春节期间团圆相聚，他和兄弟姐妹们约定了互赠一份礼物，若他们一共赠送了90份礼物，则小川及兄弟姐妹一共多少人？若设小川及兄弟姐妹一共有人，则可列方程为___________． 9. 如图，在中，，，，动点从点出发，以的速度沿方向运动；同时动点从点出发，以的速度沿方向运动．设动点运动时间为，当时，则的值为__________． 10. 已知二次函数自变量 x与函数y的部分对应值如下表： x … 0 1 2 3 y … 5 0 0 关于x的一元二次方程的解是______． 11. 如图，抛物线交轴正半轴于点，过点作轴交抛物线于另一点，点在轴上，点在抛物线上．当四边形是菱形时，则的值为______． 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12. 解下列一元二次方程． （1）； （2）． 13. 关于x的方程x2﹣2x+k﹣1=0有两个不等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）若k+1是方程x2﹣2x+k﹣1=4的一个解，求k的值． 14. 如图，已知二次函数y=x2+bx+c过点A（1，0），C（0，﹣3） （1）求此二次函数的解析式； （2）在抛物线上存在一点P使△ABP的面积为10，请直接写出点P的坐标． 15. 为了满足人们对于精神文明的需求，某社区决定逐年增加微型图书阅览室的投入．已知年投入资金万元，年投入资金万元，假定每年投入资金的增长率相同． （1）求该社区年至年投入资金的增长率； （2）如果投入资金年增长率保持不变，求该社区在年投入资金多少万元？ 16. 如图①，一张长方形纸板的长为24，宽为12，将其剪掉四角并折叠成如图②的有盖长方体盒子，若该长方体盒子的底面积为32，求该长方体盒子的高． 17. 小尧用“描点法”画二次函数的 图像，列表如下： x … －4 －3 －2 －1 0 1 2 … y … 5 0 －3 －4 －3 0 －5 … （1）由于粗心，小尧算错了其中的一个 y值，请你指出这个算错的y值所对应的 x ＝ ； （2）在图中画出这个二次函数的图像； （3）当 y≥5 时，x 的取值范围是 ． 18. 某商店决定购买，两种“冰墩墩”纪念品进行销售．已知每件种纪念品的进价比每件种纪念品的进价高30元．用1000元购进种纪念品的数量和用400元购进种纪念品的数量相同． 售价元/件 销售量（件） 100 （1）请直接写出，两种纪念品每件的进价； （2）该商场通过市场调查，整理出型纪念品的售价与数量的关系如表，求当为何值时，售出纪念品所获利润最大，最大利润为多少？ 19. 阅读材料：解方程，我们可以按下面的方法解答： （1）分解因式； 竖分二次项与常数项： ，， ②交叉相乘，验中项： ③横向写出两因式： （2）若，则或； （3）故此方程可以这样写出求解过程： ， ， ∴或 ∴，． 上述这种解一元二次方程的方法叫做十字相乘法．请参考以上方法解下列方程 （1）； （2）； （3）已知关于的方程，若方程有一个根大于，请直接写出的取值范围． 20. 阅读材料： 材料1：若关于的一元二次方程的两个根为，，则，． 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值． 解：∵一元二次方程的两个实数根分别为m，n， ∴，，则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： （1）材料理解：一元二次方程的两个根为，，则___________，___________． （2）类比应用：已知一元二次方程的两根分别为m、n，求的值． （3）思维拓展：已知实数s、t满足，，且，求的值． 21. 如图1，在中，∠C＝90°，BC＝8厘米，点D在AC上，CD＝3厘米．点P、Q分别由A、C两点同时出发，点P沿AC方向向点C匀速移动，速度为每秒k厘米，行完AC全程用时8秒；点Q沿CB方向向点B匀速移动，速度为每秒1厘米．设运动的时间为x秒，的面积为平方厘米，的面积为平方厘米． （1）求与x的函数关系，并在图2中画出的图象； （2）如图2，的图象是抛物线的一部分，其顶点坐标是（4，12），求点P的速度及AC的长； （3）在图2中，点G是x轴正半轴上一点（0＜OG＜6），过G作EF垂直于x轴，分别交、于点E、F． ①说出线段EF的长在图1中所表示的实际意义； ②当时，求线段EF长的最大值． 22. 如图，抛物线与轴交于点，点是抛物线上一点，其横坐标为． （1）求此抛物线的解析式并直接写出顶点坐标； （2）当时，请直接写出的取值范围； （3）将抛物线在点和点之间的部分（包含点和点）记为图象，当图象的最高点与最低点的纵坐标之差大于4时，请直接写出的取值范围； （4）点在轴上，以为对角线构造矩形，且矩形的边与坐标轴平行，当矩形的边与抛物线有3个交点时，请直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第二学期综合练习 八年级数学试题 本试卷包括三道大题、共22道小题，共6页．全卷满分120分，考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的学校、姓名、班级、学号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、单项选择题（每小题3分，共18分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依据一元二次方程“只含一个未知数、未知数最高次数为2、是整式方程”的定义，对每个选项逐一分析判断，看是否符合该定义 ．本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程“只含一个未知数、未知数最高次数为2、是整式方程”的定义是解题的关键． 【详解】选项A：展开右边，，原方程化简为，移项后得，为一次方程，不符合定义． 选项B：方程含项，属于分式方程，非整式方程，排除． 选项C：形式类似二次方程，但未明确，若则方程退化为一次方程，无法确定，排除． 选项D：方程满足整式、仅含且最高次数为2，符合定义． 故选：D． 2. 对于一元二次方程，化为一般式后二次项系数为2，则一次项系数为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式：（a、b、c是常数且），特别要注意的条件．在一般形式中叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中a、b、c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．据此求解即可． 【详解】解：一元二次方程化为一般式为， 则一次项系数为1， 故选：A． 3. 若是的一个根，则的值是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，代数式求值， 根据一元二次方程的解的定义得出，然后整体代入计算即可． 【详解】解：∵是的一个根， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 4. 将函数的图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得图象的函数表达式为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，平移法则：左加右减，上加下减，掌握此法则是解题的关键；按照平移法则进行求解即可． 【详解】解：函数的图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得图象的函数表达式为； 故选：C． 5. 在同一平面直角坐标系中，二次函数的图象和一次函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数以及一次函数的图象，可先根据一次函数的图象判断的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误即可．解题的关键是熟记一次函数在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等． 【详解】解：A、由一次函数的图象可判断矛盾，故不符合题意； B、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向下，和轴的正半轴相交，且与一次函数交于同一点，故选项不符合题意； C、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向下，和轴的正半轴相交，且与一次函数交于同一点，故选项不符合题意； D、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向上，和轴的负半轴相交，且与一次函数交于同一点，故选项符合题意． 故选：D． 6. 如图，二次函数的对称轴是直线，且经过点，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数与不等式之间的关系，二次函数的性质． 根据二次函数开口向下，与轴交于正半轴，得到，，由此即可判断选项A；再由二次函数对称轴为直线，得到，由此即可判断选项B；当时，，由此即可判断选项C；求出二次函数与轴的另一个交点坐标为，即可判断选项D． 【详解】解：二次函数开口向上，与轴交于负半轴， ，， ，故A结论错误，不符合题意； 二次函数对称轴为直线， ， ， ，故B结论错误，不符合题意； 当时，， ，故C结论错误，不符合题意； 二次函数经过点，对称轴为直线， 二次函数与轴的另一个交点坐标为， 当时，， 故D结论正确，符合题意． 故选D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 二次函数y＝3（x+2）2﹣1图象的顶点坐标是_____． 【答案】（﹣2，﹣1） 【解析】 【分析】根据二次函数的顶点式直接求解即可． 【详解】解：二次函数y＝3（x+2）2﹣1图象的顶点坐标是（﹣2，﹣1）． 故答案为：（﹣2，﹣1）． 【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键． 8. 小川一家春节期间团圆相聚，他和兄弟姐妹们约定了互赠一份礼物，若他们一共赠送了90份礼物，则小川及兄弟姐妹一共多少人？若设小川及兄弟姐妹一共有人，则可列方程为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，设小川及兄弟姐妹一共有人，则每人需赠送出份礼物，即可得出关于x的一元二次方程． 【详解】解：由题意可得， ， 故答案为：． 9. 如图，在中，，，，动点从点出发，以的速度沿方向运动；同时动点从点出发，以的速度沿方向运动．设动点运动时间为，当时，则的值为__________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．当运动时间为时，，利用勾股定理，结合，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：当运动时间为时，，， 根据题意得：， 即， 整理得：， 解得： 不符合题意，舍去，， 的值为． 故答案为：． 10. 已知二次函数自变量 x与函数y的部分对应值如下表： x … 0 1 2 3 y … 5 0 0 关于x的一元二次方程的解是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的对称性及与一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数的对称性及与一元二次方程的关系是本题解题关键．根据二次函数的对称性求解对称轴为直线，结合当时，，再进一步作答即可． 【详解】解：根据题意得：点，均在二次函数的图象上， ∴二次函数图象的对称轴为直线， 由表格信息可得：当时，， ∴点关于对称轴的对称点为点， ∴关于的方程的解是． 故答案为：． 11. 如图，抛物线交轴正半轴于点，过点作轴交抛物线于另一点，点在轴上，点在抛物线上．当四边形是菱形时，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，二次函数的性质，由菱形的性质得，，由二次函数的性质得直线是抛物线的对称轴，由得，即可求解；掌握菱形的性质和二次函数的性质，由性质得到直线是抛物线的对称轴是解题的关键． 【详解】解：如图，连接交于， 当时，， ， 四边形是菱形， ， ， 轴， 轴， ， ， 直线是抛物线的对称轴， 抛物线 ， ， ， ， 解得：； 故答案：． 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12. 解下列一元二次方程． （1）； （2）． 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）根据因式分解法计算即可； （2）根据公式法计算即可． 【小问1详解】 解：， ， 解得：，； 【小问2详解】 解：， ， 即， 解得：，． 13. 关于x的方程x2﹣2x+k﹣1=0有两个不等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）若k+1是方程x2﹣2x+k﹣1=4的一个解，求k的值． 【答案】（1）k＜2；（2）k=﹣3． 【解析】 【分析】（1）根据判别式的意义得到△=（﹣2）2﹣4（k﹣1）＞0，然后解不等式即可； （2）把x=k+1代入x2﹣2x+k﹣1=4得（k+1）2﹣2（k+1）+k﹣1=4，再解关于k的方程，然后利用k的范围确定满足条件的k的值． 【详解】（1）根据题意得△=（﹣2）2﹣4（k﹣1）＞0， 解得k＜2； （2）把x=k+1代入x2﹣2x+k﹣1=4得（k+1）2﹣2（k+1）+k﹣1=4， 整理得k2+k﹣6=0，解得k1=﹣3，k2=2， 而k＜2， 所以k=﹣3． 【点睛】本题考查了根的判别式和一元二次方程的根，熟练掌握根据根的情况列出不等式是解题的关键． 14. 如图，已知二次函数y=x2+bx+c过点A（1，0），C（0，﹣3） （1）求此二次函数的解析式； （2）在抛物线上存在一点P使△ABP的面积为10，请直接写出点P的坐标． 【答案】（1）二次函数的解析式为y=x2+2x﹣3． （2）P（﹣4，5）（2，5）． 【解析】 【详解】试题分析：（1）根据曲线上点的坐标与方程的关系，把A（1，0），C（0，﹣3）代入）二次函数y=x2+bx+c中，求出b、c的值，即可得到函数解析式是y=x2+2x﹣3． ∵二次函数y=x2+bx+c过点A（1，0），C（0，﹣3）， ∴，解得． ∴二次函数的解析式为y=x2+2x﹣3． （2）求出A、B两点坐标，得到AB的长，再设P（m，n），根据△ABP的面积为10可以计算出n的值，然后再利用二次函数解析式计算出m的值即可得到P点坐标： ∵当y=0时，x2+2x﹣3=0，解得：x1=﹣3，x2=1． ∴A（1，0），B（﹣3，0）．∴AB=4． 设P（m，n）， ∵△ABP的面积为10，∴AB•|n|=10，解得：n=±5． 当n=5时，m2+2m﹣3=5，解得：m=﹣4或2． ∴P（﹣4，5）（2，5）． 当n=﹣5时，m2+2m﹣3=﹣5，方程无解． ∴P（﹣4，5）（2，5）． 15. 为了满足人们对于精神文明的需求，某社区决定逐年增加微型图书阅览室的投入．已知年投入资金万元，年投入资金万元，假定每年投入资金的增长率相同． （1）求该社区年至年投入资金的增长率； （2）如果投入资金年增长率保持不变，求该社区在年投入资金多少万元？ 【答案】（1）该社区年至年投入资金的增长率为 （2）该社区在年投入资金万元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是正确找出等量关系． （1）设该社区年至年投入资金的增长率为，根据题意列方程即可求解； （2）用万元乘以年投入资金的百分比，即可求解． 【小问1详解】 解：设该社区年至年投入资金的增长率为， 根据题意得：， 解得：或（舍去）； 答：该社区年至年投入资金的增长率为； 【小问2详解】 （万元）， 答：该社区在2025年投入资金3.456万元． 16. 如图①，一张长方形纸板的长为24，宽为12，将其剪掉四角并折叠成如图②的有盖长方体盒子，若该长方体盒子的底面积为32，求该长方体盒子的高． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设该长方体盒子的高为，则该长方形盒子的底面为长，宽的长方形，根据该长方体盒子的底面积为32，即可得出关于一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论． 【详解】解：设该长方体盒子的高为，则该长方形盒子的底面为长，宽的长方形， 依题意得：， 整理得：， 解得：，， 又， ， ． 答：该长方体盒子的高为4． 17. 小尧用“描点法”画二次函数的 图像，列表如下： x … －4 －3 －2 －1 0 1 2 … y … 5 0 －3 －4 －3 0 －5 … （1）由于粗心，小尧算错了其中的一个 y值，请你指出这个算错的y值所对应的 x ＝ ； （2）在图中画出这个二次函数的图像； （3）当 y≥5 时，x 的取值范围是 ． 【答案】（1）2； （2）描点、连线，如图： （3）或 【解析】 【分析】（1）由表格给出的信息可以看出，该函数的对称轴为直线x=-1，则x=-4与x=2时应取值相同． （2）将表格中的x，y值看作点的坐标，分别在坐标系中描出这几个点，用平滑曲线连接即可作出这个二次函数的图象； （3）根据抛物线的对称轴，开口方向，利用二次函数的对称性判断出x=-4或2时，y=5，然后写出y≥5时，x的取值范围即可． 【详解】解：（1）从表格可以看出，当x=-2或x=0时，y=-3， 可以判断（-2，-3），（0，-3）是抛物线上的两个对称点， （-1，-4）就是顶点，设抛物线顶点式y=a（x+1）2-4， 把（0，-3）代入解析式，-3=a-4，解得a=1， 所以，抛物线解析式为y=（x+1）2-4， 当x=-4时，y=（-4+1）2-4=5， 当x=2时，y=（2+1）2-4=5≠-5， 所以这个错算的y值所对应的x=2； （2）略 （3）∵函数开口向上， 当y=5时，x=-4或2， ∴当 y≥5 时，由图像可得： x≤-4或x≥2. 【点睛】本题考查用待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、画函数图像、二次函数与不等式，解题的关键是正确分析表中的数据． 18. 某商店决定购买，两种“冰墩墩”纪念品进行销售．已知每件种纪念品的进价比每件种纪念品的进价高30元．用1000元购进种纪念品的数量和用400元购进种纪念品的数量相同． 售价元/件 销售量（件） 100 （1）请直接写出，两种纪念品每件的进价； （2）该商场通过市场调查，整理出型纪念品的售价与数量的关系如表，求当为何值时，售出纪念品所获利润最大，最大利润为多少？ 【答案】（1），两种纪念品每件的进价分别是元和元； （2）当时，售出纪念品所获利润最大，最大利润为元． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，一次函数与二次函数的应用． （）设纪念品每件的进价是元，则纪念品每件的进价是元，根据用元购进A种纪念品的数量和用元购进种纪念品的数量相同，列出分式方程，进行求解即可； （）设利润为元，根据图表，利用总利润等于单件利润乘以销售数量，列出函数关系式，根据函数的性质，求出最值即可； 【小问1详解】 解：设纪念品每件的进价是元，则纪念品每件的进价是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验：是原分式方程得解， ∴纪念品每件的进价是元， 答：， 两种纪念品每件的进价分别是和元． 【小问2详解】 解：设利润为元，由表格，得： 当时，， ∵， ∴随着的增大而增大， ∴当售价为元时，利润最大为：元； 当时， ， ∵， ∴当时，利润最大为：元， 答：当时，售出纪念品所获利润最大，最大利润为元． 19. 阅读材料：解方程，我们可以按下面的方法解答： （1）分解因式； 竖分二次项与常数项： ，， ②交叉相乘，验中项： ③横向写出两因式： （2）若，则或； （3）故此方程可以这样写出求解过程： ， ， ∴或 ∴，． 上述这种解一元二次方程的方法叫做十字相乘法．请参考以上方法解下列方程 （1）； （2）； （3）已知关于的方程，若方程有一个根大于，请直接写出的取值范围． 【答案】（1），； （2），； （3）． 【解析】 【分析】本题主要考查了十字相乘法解一元二次方程，解一元一次不等式，熟练掌握十字相乘法解一元二次方程是解题的关键． （）利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于的一元一次方程，进一步求解可得答案； （）利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于的一元一次方程，进一步求解可得答案； （）利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于的一元一次方程，求出，，然后根据方程有一个根大于，即，然后求出的取值范围． 【小问1详解】 解： 或， ∴，； 【小问2详解】 解： 或， ∴，； 【小问3详解】 解：， ∴， ∴，， ∵方程有一个根大于， ∴， ∴． 20. 阅读材料： 材料1：若关于的一元二次方程的两个根为，，则，． 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值． 解：∵一元二次方程的两个实数根分别为m，n， ∴，，则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： （1）材料理解：一元二次方程的两个根为，，则___________，___________． （2）类比应用：已知一元二次方程的两根分别为m、n，求的值． （3）思维拓展：已知实数s、t满足，，且，求的值． 【答案】（1）3， （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）直接利用一元二次方程根与系数的关系求解即可； （2）利用一元二次方程根与系数的关系可求出，，再根据，最后代入求值即可； （3）由题意可将s、t可以看作方程的两个根，即得出，，从而可求出，即或，最后分类讨论分别代入求值即可． 【小问1详解】 解：∵一元二次方程的两个根为，， ∴，． 故答案为：，； 【小问2详解】 ∵一元二次方程的两根分别为m、n， ∴，， ∴ ； 【小问3详解】 ∵实数s、t满足，， ∴s、t可以看作方程的两个根， ∴，， ∵ ∴或， 当时， ， 当时， ， 综上分析可知，的值为或． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形计算，分式的混合运算．理解题意，掌握一元二次方程根与系数的关系：和是解题关键． 21. 如图1，在中，∠C＝90°，BC＝8厘米，点D在AC上，CD＝3厘米．点P、Q分别由A、C两点同时出发，点P沿AC方向向点C匀速移动，速度为每秒k厘米，行完AC全程用时8秒；点Q沿CB方向向点B匀速移动，速度为每秒1厘米．设运动的时间为x秒，的面积为平方厘米，的面积为平方厘米． （1）求与x的函数关系，并在图2中画出的图象； （2）如图2，的图象是抛物线的一部分，其顶点坐标是（4，12），求点P的速度及AC的长； （3）在图2中，点G是x轴正半轴上一点（0＜OG＜6），过G作EF垂直于x轴，分别交、于点E、F． ①说出线段EF的长在图1中所表示的实际意义； ②当时，求线段EF长的最大值． 【答案】（1）．图象见解析 （2）点P的速度每秒厘米，AC＝12厘米； （3）①表示△PCQ与△DCQ的面积差（或△PDQ面积）；② 【解析】 【分析】（1）由，可得，进而得到与的函数关系式，然后画出图象即可； （2）由得，将抛物线顶点坐标代入解析式求出的值，进而可得的值； （3）①观察图象，可知线段的长，也就是与的面积差（或面积） ；②由（2）得 ，，根据自变量的取值以及函数的性质即可求出EF的最大值． 【小问1详解】 解：∵， ∴ ∴． 图象如图所示： 【小问2详解】 解：∵ ∴ ∵抛物线顶点坐标是（4，12）， ∴ 解得 ∴ ∴点P的速度每秒厘米，的长为12厘米． 【小问3详解】 ①观察图象，可知线段的长， ∴线段EF的长表示为与的面积差（或面积） ． ②由（2）得 ∵ ∴ ， ∵二次项系数小于0， ∴在范围，当时，，最大 ∴线段的最大值为． 【点睛】本题考查了二次函数与几何的综合，二次函数的图象与性质，一次函数的应用等知识．解题的关键在于对知识的灵活运用． 22. 如图，抛物线与轴交于点，点是抛物线上一点，其横坐标为． （1）求此抛物线的解析式并直接写出顶点坐标； （2）当时，请直接写出的取值范围； （3）将抛物线在点和点之间的部分（包含点和点）记为图象，当图象的最高点与最低点的纵坐标之差大于4时，请直接写出的取值范围； （4）点在轴上，以为对角线构造矩形，且矩形的边与坐标轴平行，当矩形的边与抛物线有3个交点时，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3）或 （4）或 【解析】 【分析】（1）把点代入进行计算，即可得出，再化为顶点式，得出顶点坐标为； （2）结合抛物线的解析式为，顶点坐标为，即在时，有最大值，且为，根据进行分析，即可作答． （3）先解得抛物线与轴的另一个交点为，且，结合将抛物线在点和点之间的部分（包含点和点）记为图象，且图象的最高点与最低点的纵坐标之差大于4，进行分类讨论，逐个情况进行列式计算，检验，即可作答． （4）根据，，为矩形对角线，得出矩形的中线在直线上，然后根据题意，画出图形，进行分类讨论即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于点， ∴把代入，得， ∴， ∴， ∴． 整理得， ∴顶点坐标为． 【小问2详解】 解：由（1）得抛物线的解析式为，顶点坐标为， 即开口方向向上，在时，有最大值，且为 ∴在中，有最大值，且为 把代入， 得； 把代入， 得； ∵ ∴当时，的取值范围为； 【小问3详解】 解：依题意，令，则， 解得， ∵抛物线与轴交于点， 记抛物线与轴的另一个交点为，且， ∵的顶点坐标为，开口方向向上，在时，有最大值，且为 当时， ∵将抛物线在点和点之间的部分（包含点和点）记为图象，且图象的最高点与最低点的纵坐标之差大于4， ∴ 则 令， 令，则 ∴ 解得（舍去） ∴； 当时，抛物线的最高点即为顶点，且顶点坐标为，最低点是点， 则，不符合题意，舍去； 当时，抛物线的最高点即为顶点，且顶点坐标为，最低点是P点， 则， ∵将抛物线在点和点之间的部分（包含点和点）记为图象，且图象的最高点与最低点的纵坐标之差大于4， ∴ 则或 解得或（舍去） ∴ 综上：或 【小问4详解】 解： ∵，，为矩形对角线， ∴矩形的中心在直线上， Ⅰ．当点P在点A左边，即时， 如图所示：矩形与抛物线有4个交点，不符合题意； Ⅱ．当点P与点A重合时，即时，矩形不存在， Ⅲ．当点P在点A右边，在抛物线对称轴左边时，即时， 如图所示：矩形与抛物线有3个交点，符合题意； Ⅳ． 当点P在直线和直线之间时，即当时， 如图所示：矩形与抛物线有2个交点，不符合题意； Ⅴ．当点P在直线上时，矩形不存在，不符合题意； Ⅵ． 当点P在直线右侧，点B左侧时，即当时， 如图所示：矩形与抛物线有1个交点，不符合题意； Ⅶ．当点P在点B右侧，点N在点A左侧时， ， 解得：时， 如图所示：矩形与抛物线有2个交点，不符合题意； Ⅷ．当点N与点A重合时， ， 解得：， 如图所示，此时矩形与抛物线有3个交点，符合题意； Ⅸ．当点N在点A左边时， ， 解得：， 如图所示，矩形与抛物线有4个交点，不符合题意； 综上：或． 【点睛】本题考查了二次函数的几何综合，二次函数的图象和性质，二次函数的解析式，矩形的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质，矩形的性质，以及具有分类讨论的思想． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $