2025年高三数学秋季开学摸底考（天津专用）

2025年秋季高三开学摸底考试模拟卷 数学（天津卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4．测试范围：高考全部内容 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1．集合，，则（   ） A． B． C． D． 答案:D 详解:解：因为，， 所以. 故选：D. 2．设，则“”是“且”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件 答案:B 详解:对于充分性：当，时，满足， 不满足且，故充分性不成立， 对于必要性，当且时，满足，故必要性成立， 则“”是“且”的必要非充分条件，故B正确. 故选：B 3．函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 答案:B 详解:的定义域为，关于原点对称， ，所以为偶函数，图象关于轴对称，故C错误； 当时，，故D错误； ， 当，，单调递增， 当，，单调递减，再根据对称性，故B正确. 故选：B. 4．设是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列说法中正确的个数为（   ） ①若，则为异面直线    ②若，则 ③若，则    ④若，则 ⑤若，则 A．1 B．2 C．3 D．4 答案:C 详解:对①：因为平面的平行线和平面内的直线可以平行，也可以异面，故①错误； 对②：平行于同一个平面的两个平面平行，故②正确； 对③：先根据垂直于同一条直线的两个平面平行得，再根据，可得，故③正确； 对④：两直线平行，和这两条直线分别垂直的平面也平行，故④错误. 对⑤：若，则存在且， 因为，，所以，又因为，所以，故⑤正确. 故选：C. 5．下列关于统计概率知识的判断，则下列结论正确的是（    ） ①若样本数据，，…，的方差为4，则数据，，…，的标准差为4； ②在研究成对数据的相关关系时，相关关系越强，相关系数越接近于1； ③若事件，满足，则事件与事件相互独立； ④某医院住院的位新冠患者的潜伏天数分别为，则该样本数据的第百分位数为． A．只有一个正确 B．只有两个正确 C．只有一个错误 D．四个题是错误的 答案:B 详解:对于命题①，因为样本数据，，…，的方差为4，则数据，，…，的方差为， 标准差为，所以命题①正确， 对于命题②，相关关系越强，相关系数越接近于1，所以命题②错误， 对于命题③，因为，得到， 则事件与事件相互独立，所以命题③正确， 对于命题④，将数据从小排到大得到， 又，所以该样本数据的第百分位数为，故命题④错误， 故选：B. 6．函数的零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 答案:C 详解:函数在上都单调递增，则函数在定义域上单调递增， 而，， 所以的零点所在区间为. 故选：C 7．已知数列满足，，若，则（   ） A． B． C． D． 答案:D 详解:依题意，，故数列是首项为1，公差为1的等差数列， 则．因为，故，则． 故选：D. 8．若函数（，，）的图象上有两个相邻顶点为，.将的图象沿x轴向左平移1个单位，再沿y轴向上平移个单位后得，则为（   ） A． B． C． D． 答案:C 详解:函数的图象上有两个相邻顶点为，，所以 最高点坐标为，最低点坐标为， 所以函数的周期为， 又因为函数过可得，所以， ，， 的解析式为， 将的图象沿x轴向左平移1个单位，再沿y轴向上平移个单位后得， 所以. 故选：C 9．已知为坐标原点，双曲线的右焦点为，左顶点为，过作的一条渐近线的垂线，垂足为.若，则的离心率为（   ） A． B． C．2 D． 答案:C 详解:    由题意得，，双曲线的渐近线方程为， 如图，不妨设点在直线上， 即点在直线上，则， 在直角中，， 所以，故， 在中，， 所以， 所以，故椭圆的离心率. 故选：C. 第Ⅱ卷 2、 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分 10．已知复数为纯虚数，其中i为虚数单位，则实数 ． 答案: 详解:，因为纯虚数， 则. 故答案为： 11．的展开式中的常数项为 ． 答案: 详解:的展开式的通项公式为， ， 令，则，所以展开式中常数项为. 故答案为：. 12．已知直线l：与圆C：相交于A，B两点，则弦长的取值范围是 . 答案: 详解:由直线l：，得直线l恒过定点， 由圆C：，得，圆心，半径为， 又，即点在圆内， 当直线l经过圆心时，， 当直线时，，则， 所以的取值范围是. 故答案为：. 13．甲乙两人射击一架进入禁飞区的无人机．已知甲乙两人击中无人机的概率分别为， 且甲乙射击互不影响，则无人机被击中的概率为 ．若无人机恰好被一人击中，则被击落的概率为；若恰好被两人击中，则被击落的概率为，那么无人机被击落的概率为 答案: 0.7 0.22. 详解:设甲击中无人机为事件，乙击中无人机为事件，无人机被击中为事件，无人机被击落为事件， 则，所以， 所以， 若无人机恰好被一人击中，即事件， 则， 若无人机被两人击中，即事件， 则， 所以 . 故答案为：， 14．在边长为1的正方形中，点为线段的三等分点， ，则 ；为线段上的动点，为中点，则的最小值为 ． 答案: 详解:以B为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示， 则， 可得， 因为，则，所以； 因为点在线段上，设， 且为中点，则， 可得， 则， 且，所以当时，取到最小值为； 故答案为：；. 15．已知函数，若有6个零点，则实数m的取值范围为 . 答案: 详解:因为当时，， 可知函数在内单调递减，且， 作出函数的图象，如图所示： 令， 因为有6个零点，可知有两不同的实数根， 所以，解得或， 令， 结合函数的图象可知： 当，时，则，解得； 当时，则，解得； 综上所述：实数m的取值范围为. 故答案为：. 三、解答题：（本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．在中，，，所对的边分别为，，，已知，． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 详解:（1）由已知结合正弦定理角化边可得， 又，所以，. （2）由（1）结合余弦定理可得，. 又， 所以为锐角， 所以，. （3）由（2）知，，， 所以， ， 所以，. 17．如图，在三棱柱中，平面，且，，，分别为，，，的中点，．    (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离． 详解:（1）证明：在中，因为，且为的中点，所以， 在矩形中，因为和分别为和的中点，可得， 因为平面，且平面，可得，所以， 又因为，且平面，所以平面. （2）解：以为原点，以所在直线分别为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，则，可得， 设平面的法向量为，则 取，可得，所以； 因为平面，且平面，可得， 又因为，且，平面， 所以平面，即平面， 所以为平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为，则， 所以平面与平面夹角的余弦值. （3）解：因为为的中点，可得，所以， 由（2）知，平面的法向量为， 设点到平面的距离为，则.    18．椭圆（）的左右焦点分别为，，其中，为原点．椭圆上任意一点到，距离之和为． (1)求椭圆的标准方程及离心率； (2)过点的直线交椭圆于、两点，面积为，求的方程． 详解:（1）由题意得，，解得， 故， 故椭圆的标准方程为， 离心率为； （2）由题意，直线斜率不存在时，不能构成， 故设直线方程为， 联立得，， 设， ，解得或， 则， 所以 ， 设到直线的距离为，则， 所以， 解得， 所以直线的方程为或. 19．已知数列满足：①，是的前n项和；②对于，从集合中不重复地任取若干个数，这些数之间经过加减运算后所得数的绝对值为互不相同的正整数，，…，；③，，…，与，，…，一起恰好组成数列． (1)求，的值． (2)（ⅰ）求数列的通项公式； （ⅱ）对于数列，若，，证明：当时，． 详解:（1）令，显然， 由， . （2）（i）由按上述规则产生共个正整数， 而产生共个正整数则个正整数包含①， ②， 故， ， 当时， 又，. (ii)由， 当时，， 由， 当时， 令， ， ， ， . 20．已知函数是函数的导函数，且． (1)求； (2)若在区间内单调递增，求实数的取值范围； (3)当时，证明：． 详解:（1）由题意，设，（为常数）， 又，所以，则． （2）由题意，在内恒成立． ，，． 令，则， 在区间上单调递增， ，即. 所以实数a的取值范围是． （3）设， 又，则，所以在区间上单调递增． ，，即， ，使，当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 又， ，此时且， ∴， 又，，则， 综上，． 试卷第14页，共15页 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$扇学科网·上好课 www,z××k,Com 上好每一堂课 2025年秋季高三开学摸底考试模拟卷 数学（天津卷）·参考答案 一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的. 1 2 4 5 6 8 9 D B B B D 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分 10.1 11.-80 12.[45,10 13.0.7 0.22 14. 15. 6)仔 三、解答题：（本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16.(本小题14分) 【详解】(1)由已知结合正弦定理角化边可得a:b:c=2:1:√2， 又b=2,所以a=2√2，c=2-- 4分 (2)由（1)结合余弦定理可得，0sC=02+-c2.8+2-43 2x22×V24 6分 2ab 又c←日， 所以C为锐角， 8分 -10分 4 (3)由(2)知，si血c=万 cosC=3 -11分 所以sim2C=2 sin CeosC=2x5x3_3万 -12分 448 cos2C=cos'C-sin'C= -13分 所以，sim2C+=sim2Ccos+cos2csin-35x5,11.32+1 -14分 6 6 6=8x28216 17.(本小题15分) 【详解】(1)证明：在ABC中，因为AB=BC,且E为AC的中点，所以AC⊥BE, 在矩形ACC,A,中，因为E和F分别为AC和AC的中点，可得EF/ICC,, --2分 因为CC⊥平面ABC,且ACc平面ABC,可得AC/CC,所以AC⊥EF,-一-- -3分 1/5 扇学科网·上好课 wwW,z××k,Com 上好每一堂误 又因为BE∩EF=E,且BE,EFc平面BEF,所以AC⊥平面BEF -5分 (2)解：以E为原点，以EB,EC,EF所在直线分别为x轴，y轴和z轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，则B(2,0,0),C(0,1,0),D(0,-1,1),可得BC=(-2,1,0),CD=(0,-2,1), --6分 设平面BCD的法向量为n=(:,y,z),则 万.BC=-2.x+y=0 -7分 .CD=-2y+2=0 取y=2,可得x=1,z=4,所以n=L,2,4):- 8分 因为CC,⊥平面ABC,且BEc平面ABC,可得BE⊥CC1, 9分 又因为AC⊥BE,且AC∩CC,=C,AC,CC,c平面ACCA, 所以BE⊥平面ACC,A,,即BE⊥平面CDC, -10分 所以EB-(2,0,0)为平面CDC的一个法向量， -11分 n·EB 2 设平面BCD与平面CDC的夹角为O,则cos0=cos元，EB √2i 同EB V21×221 所以平面BCD与平面CDC夹角的余弦值 21 -12分 (3)解：因为G为BB的中点，可得G(2,0,1),所以GB=(0,0,-1), 13分 由(2)知，平面BCD的法向量为n=1,2,4), ---14分 GB.4 设点G到平面BCD的距离为d,则d= 421 -15分 √1+4+1621 B 18.(本小题15分) 详解】(1)由题意得c=1,2a=2√2，解得a=√5， -2分 故b2=a2-c2=1, 故椭圆的标准方程为。 +y2=1, 3分 2/5 扇学科网·上好课 www,z××k,Com 上好每一堂课 离心*为9.1-2 -4分 a√22 (2)由题意，直线斜率不存在时，不能构成△04B, -6分 故设直线I方程为y=x+3, -一7分 联立号+y=1得，1+2)r+12+16=0, -9分 设Ax,月，B(x2,y), △=122k2-4×161+2k2)>0,解得k>2或k<-2, -10分 12k 16 则写+61+2欢41+2求 -11分 所以4B=+kx+-4xx=+k 12k 16 -4× 1+2k2 1+2k2 4+k2.R2-4 -12分 1+2k2 设0到直线1的距离为d,则d=0-0+3 3 --13分 √1+k2V1+k2 所以8amh,d=2M+EP-4 3 6Nk2-465 1+k21+2k2 19 -14分 1+2k2 解得k=±3， 所以直线1的方程为y=3x+3或y=-3x+3 --15分 19.(本小题15分) 【详解】(1)令M.={1,2,…S.},显然a=S,=1,---- -2分 由M2={1,2…S}={1,a,a-1,a+1={1,2,3,4} 1+a2=4,a1=3. -一4分 (2)(i)由a,a2,…a按上述规则产生1~Sn共Sn个正整数， 3/5 帝学科网·上好课 www,z××k,Com 上好每一堂深 而{a,a2…a,a}产生1~S1共S1个正整数则S1个正整数包含①1,2,3，…Sn,- -6分 ②a1,a1+i,la+1-(i=l,2…S, --7分 :.S+22 -8分 当a22时a=5-5=-3）=3 又a1=1,a。=3--- ----9分 m油-分+1>1d>d4=1d 44 34=27 :当n22时，dn>1,---10分 由d-（g+d-d.=4.>22. 30 当dn23时，dn=d+d4-d+(d,-d,)+…+dn-d) -11 3.4 令S= 3+3+…+ n-1 3, -12分 3,n-1,n-1 3 3-1 3 自 3”542 -14分 --15分 20.(本小题16分) 【详解】(1)由题意，设f(x=e'-asinx+c,(c为常数)， 又f(0）=1+c=0,所以c=-1,则f(x=c-asinx-1.--3分 4/5 扇学科网·上好课 wwW,z××k,Com 上好每一堂深 （2由题意，/八-e-acor≥0在（妈到 内恒成立， 0<x< 2c0sx>0,a e" -4分 cosx 令gx= 则g'(x)= e"(cosx +sinx) >0 5分 cos'x ÷g()在区间Q上单调递增， -…-6分 .asg0=1,即a≤1 所以实数a的取值范围是(-o,, 7分 (3)设hx=f'(x=e-acosx,xe(0,π， 一-8分 又1<a<√2，则h'x=e'+asinx>0,所以hx在区间(0，π上单谓递增. 9分 :h(0=1-a<0,hm=e*+a>0,即h0ha<0, -10分 xe(0,π，使hx)=0,当0<x<时，hx<0,f(x单调递减： --11分 当x。<x<元时，x>0,fx单调递增，-一12分 2 a>0, 0<t,<天，此时sinx,<cosx,且e4-ac0s,=0,- -13分 .f(x]2 f(xo)=e"asinxo -1=acosxo-asinxo-1=a(cosxo-sinxe)-1>-1, ---14分 2e(),asim>0)=e-asinr-I<e-e1=1 综上，-1<f(x)<e5-1 ---16分 5/5 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025年秋季高三开学摸底考试模拟卷 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共45分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题5分，共30分） 10． ____________________ 11.____________________ 12.____________________ 13．____________________ ____________________ 14．____________________ ____________________ 15．____________________ 四、解答题（共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17． （15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（16分） 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学 第 1 页（共 6 页） 数学 第 2 页（共 6 页） 数学 第 3 页（共 6 页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 数学 第 4 页（共 6 页） 数学 第 5 页（共 6 页） 数学 第 6 页（共 6 页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（15 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025年秋季高三开学摸底考试模拟卷 数学（天津卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4．测试范围：高考全部内容 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．设，则“”是“且”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件 3．函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 4．设是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列说法中正确的个数为（   ） ①若，则为异面直线    ②若，则 ③若，则    ④若，则 ⑤若，则 A．1 B．2 C．3 D．4 5．下列关于统计概率知识的判断，则下列结论正确的是（    ） ①若样本数据，，…，的方差为4，则数据，，…，的标准差为4； ②在研究成对数据的相关关系时，相关关系越强，相关系数越接近于1； ③若事件，满足，则事件与事件相互独立； ④某医院住院的位新冠患者的潜伏天数分别为，则该样本数据的第百分位数为． A．只有一个正确 B．只有两个正确 C．只有一个错误 D．四个题是错误的 6．函数的零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 7．已知数列满足，，若，则（   ） A． B． C． D． 8．若函数（，，）的图象上有两个相邻顶点为，.将的图象沿x轴向左平移1个单位，再沿y轴向上平移个单位后得，则为（   ） A． B． C． D． 9．已知为坐标原点，双曲线的右焦点为，左顶点为，过作的一条渐近线的垂线，垂足为.若，则的离心率为（   ） A． B． C．2 D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分 10．已知复数为纯虚数，其中i为虚数单位，则实数 ． 11．的展开式中的常数项为 ． 12．已知直线l：与圆C：相交于A，B两点，则弦长的取值范围是 . 13．甲乙两人射击一架进入禁飞区的无人机．已知甲乙两人击中无人机的概率分别为， 且甲乙射击互不影响，则无人机被击中的概率为 ．若无人机恰好被一人击中，则被击落的概率为；若恰好被两人击中，则被击落的概率为，那么无人机被击落的概率为 14．在边长为1的正方形中，点为线段的三等分点， ，则 ；为线段上的动点，为中点，则的最小值为 ． 15．已知函数，若有6个零点，则实数m的取值范围为 ． 三、解答题：（本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．在中，，，所对的边分别为，，，已知，． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 17．如图，在三棱柱中，平面，且，，，分别为，，，的中点，．    (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离． 18．椭圆（）的左右焦点分别为，，其中，为原点．椭圆上任意一点到，距离之和为． (1)求椭圆的标准方程及离心率； (2)过点的直线交椭圆于、两点，面积为，求的方程． 19．已知数列满足：①，是的前n项和；②对于，从集合中不重复地任取若干个数，这些数之间经过加减运算后所得数的绝对值为互不相同的正整数，，…，；③，，…，与，，…，一起恰好组成数列． (1)求，的值． (2)（ⅰ）求数列的通项公式； （ⅱ）对于数列，若，，证明：当时，． 20．已知函数是函数的导函数，且． (1)求； (2)若在区间内单调递增，求实数的取值范围； (3)当时，证明：. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年秋季高三开学摸底考试模拟卷 数学（天津卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4．测试范围：高考全部内容 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 1、 选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．设，则“”是“且”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件 3．函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 4．设是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列说法中正确的个数为（   ） ①若，则为异面直线    ②若，则 ③若，则    ④若，则 ⑤若，则 A．1 B．2 C．3 D．4 5．下列关于统计概率知识的判断，则下列结论正确的是（    ） ①若样本数据，，…，的方差为4，则数据，，…，的标准差为4； ②在研究成对数据的相关关系时，相关关系越强，相关系数越接近于1； ③若事件，满足，则事件与事件相互独立； ④某医院住院的位新冠患者的潜伏天数分别为，则该样本数据的第百分位数为． A．只有一个正确 B．只有两个正确 C．只有一个错误 D．四个题是错误的 6．函数的零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 7．已知数列满足，，若，则（   ） A． B． C． D． 8．若函数（，，）的图象上有两个相邻顶点为，.将的图象沿x轴向左平移1个单位，再沿y轴向上平移个单位后得，则为（   ） A． B． C． D． 9．已知为坐标原点，双曲线的右焦点为，左顶点为，过作的一条渐近线的垂线，垂足为.若，则的离心率为（   ） A． B． C．2 D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分 10．已知复数为纯虚数，其中i为虚数单位，则实数 ． 11．的展开式中的常数项为 ． 12．已知直线l：与圆C：相交于A，B两点，则弦长的取值范围是 . 13．甲乙两人射击一架进入禁飞区的无人机．已知甲乙两人击中无人机的概率分别为， 且甲乙射击互不影响，则无人机被击中的概率为 ．若无人机恰好被一人击中，则被击落的概率为；若恰好被两人击中，则被击落的概率为，那么无人机被击落的概率为 14．在边长为1的正方形中，点为线段的三等分点， ，则 ；为线段上的动点，为中点，则的最小值为 ． 15．已知函数，若有6个零点，则实数m的取值范围为 . 三、解答题：（本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．在中，，，所对的边分别为，，，已知，． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 17．如图，在三棱柱中，平面，且，，，分别为，，，的中点，．    (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离． 18．椭圆（）的左右焦点分别为，，其中，为原点．椭圆上任意一点到，距离之和为． (1)求椭圆的标准方程及离心率； (2)过点的直线交椭圆于、两点，面积为，求的方程． 19．已知数列满足：①，是的前n项和；②对于，从集合中不重复地任取若干个数，这些数之间经过加减运算后所得数的绝对值为互不相同的正整数，，…，；③，，…，与，，…，一起恰好组成数列． (1)求，的值． (2)（ⅰ）求数列的通项公式； （ⅱ）对于数列，若，，证明：当时，． 20．已知函数是函数的导函数，且． (1)求； (2)若在区间内单调递增，求实数的取值范围； (3)当时，证明： 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$