天津市第一百中学2024-2025学年高三上学期数学国庆阶段测试2（周末四）试题

高三数学国庆阶段测试2（周末四） 1．设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 2．已知命题，总有，则为（    ） A．，使得 B．，使得 C．，总有 D．，总有 3．设、，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．设函数，则函数的图象可能为（    ） A．B．C． D． 5．已知角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D．1 6．已知，，，则的大小关系为 A． B． C． D． 7．已知，则（    ） A．25 B．5 C． D． 8．已知函数（，），满足，将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，若的图象关于直线对称，则的取值可以为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．设函数若方程恰有2个实数解，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．已知为虚数单位，复数的虚部是 ． 11．一个扇形的周长是，这个当扇形的面积最大时，圆心角为 . 12．已知，是关于的方程的两根，则实数等于 . 13．已知为正实数，直线与曲线相切，则的最小值为 . 14．锐角中，a、b、c分别是三内角A、B、C的对边，设，则的取值范围是 ． 15．如图，在中，，，，D是边上一点，且.若，记，则 ；若点P满足与共线，，则的值为 . 16．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，． (1)求的值； (2)若，（i）求a的值；（ii）求的值． 17．在中，内角所对的边分别为.已知，. （I）求的值； （II）求的值. 18．如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，平面ABCD，，，，点P为棱DF的中点. (1)求证：平面APC； (2)求直线DE与平面BCF所成角的正弦值； (3)求平面ACP与平面BCF的夹角的余弦值. 19．已知数列是公比大于的等比数列，为数列的前项和，，且，，成等差数列．数列的前项和为，满足，且. （1）求数列和的通项公式； （2）令，求数列的前项和为； （3）将数列，的项按照“当为奇数时，放在前面；当为偶数时，放在前面”的要求进行排列，得到一个新的数列，，，，，，，，，，…，求这个新数列的前项和． 20．设函数，e是自然对数的底数． (1)若直线与曲线相切，求实数a的值； (2)令． ①讨论函数的单调性； ②若为整数，且当时，恒成立，其中的导函数，求k的最大值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 A B C B C A C B D 1．A 【分析】先求出，再根据交集的定义可求. 【详解】，故， 故选：A. 2．B 【分析】直接写出命题的否定即可. 【详解】因为，总有，则为，使得 故选:B 3．C 【分析】设，分析函数在上的单调性，结合函数的单调性以及充分条件、必要条件判断可得出合适的选项. 【详解】设，则函数在、上均为增函数， 又因为函数在上连续，故函数在上单调递增， 若，则，即； 若，则，可得. 因此，“”是“”的充要条件. 故选：C. 4．B 【分析】依据函数的奇偶性和函数值特征进行鉴别即可解决. 【详解】函数的定义域为 则为偶函数，图像关于y轴轴对称，排除选项AC； 又，则排除选项D. 故选：B 5．C 【分析】利用诱导公式化简，再进行弦化切代入即可. 【详解】 因为角的终边经过点，则，则， 故选：C. 6．A 【解析】利用等中间值区分各个数值的大小． 【详解】， ， ，故， 所以． 故选A． 【点睛】本题考查大小比较问题，关键选择中间量和函数的单调性进行比较． 7．C 【分析】根据指数式与对数式的互化，幂的运算性质以及对数的运算性质即可解出． 【详解】因为，，即，所以． 故选：C. 8．B 【解析】由，求得，进而得，再结合三角函数的性质，求得，，即可求解. 【详解】因为，即，所以， 又因为，所以，所以， 函数的图象向右平移个单位得到， 的图象关于直线对称，，， 即，，令，得. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换，以及三角函数的图象与性质的综合应用，熟记三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 9．D 【分析】化简，进行参变分离，求出，画出图像根据图像得出结论. 【详解】化简得 当时，设 ∴， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； ，且当时， ； 当时，设 易知函数在分别单调递减， 画出函数图像    根据图像可得. 故选：D. 【点睛】本题采取的是数形结合的思想，在进行分离变量的时候要探讨参数的取值范围. 10．2 【分析】根据复数除法计算方法化简，进而求出虚部． 【详解】， 所以复数的虚部是2． 故答案为：2． 11．2 【分析】设该扇形的弧长为、半径为、圆心角为，根据条件可将表示成关于的二次函数，由此可得答案. 【详解】设该扇形的弧长为、半径为、圆心角为， 因为扇形的周长为16，所以， 所以， 所以当时最大，此时， 故答案为：2. 12．/ 【分析】利用韦达定理及同角公式列式计算并验证得解. 【详解】由方程有两根，得，解得， 依题意，，则，解得，符合题意， 所以实数等于. 故答案为： 13． 【解析】函数求导，由切线方程可得，再利用基本不等式求得最值. 【详解】的导数为， 由切线的方程可得切线的斜率为1，可得切点的横坐标为，切点为， 代入，得， 为正实数， 则， 当且仅当，即时，取得最小值. 故答案为： 【点睛】本题考查导数的运算、导数的几何意义及基本不等式求最值，属于基础题. 14． 【分析】利用正弦定理边化角，结合已知可得，再利用锐角三角形，结合余弦函数的性质求出范围. 【详解】在锐角中，由正弦定理得：，而， 则，又，解得， 因此，即， 所以的取值范围是． 故答案为： 15． / 或 【分析】把两边用表示即可得解；利用共线向量建立，之间的数乘关系，进而结合第一空把用表示，利用垂直向量点积为零可得解． 【详解】， ∴， ∴， 则 ， 又，∴， 所以； ∵与共线， ∴可设，， ∵， ∴， ∴ =， =， ∴=，① ∵， ∴，，，② 把②代入①并整理得： ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴或， 故的值为或． 故答案为：；或． 16．(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）利用同角基本关系式与正弦定理的边角变换即可得解； （2）（i）利用余弦定理运算即可得解；（ⅱ）根据三角恒等变换运算即可得解. 【详解】（1）由，且C是三角形的内角，则， 因为，由正弦定理得， 所以. （2）（i）因为，所以，又， 由余弦定理得， 即，解得或（舍去）， 所以； （ⅱ）由（1）知，由知A为锐角，得， 所以， ， 所以. 17．（Ⅰ）（Ⅱ） 【详解】试题分析：利用正弦定理“角转边”得出边的关系，再根据余弦定理求出， 进而得到，由转化为，求出，进而求出，从而求出的三角函数值，利用两角差的正弦公式求出结果. 试题解析：（Ⅰ）解：由，及，得. 由，及余弦定理，得. （Ⅱ）解：由（Ⅰ），可得，代入，得. 由（Ⅰ）知，A为钝角，所以.于是， ，故 . 考点：正弦定理、余弦定理、解三角形 【名师点睛】利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题. 18．(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）连接BD，交AC于点O，由中位线定理和线面平行判定定理即可证明结果； （2）建立空间直角坐标系，写出坐标，求得平面的法向量，根据线面角公式即可求得直线与平面所成角的正弦值； （3）由（2）可知平面的法向量，再求得平面的法向量，利用空间向量法即可求出结果. 【详解】（1）证明：连接BD，交AC于点O，又P，O分别为DF和DB的中点， 所以， 因为平面APC，平面APC，所以平面APC； （2）解：直线平面ABCD，平面ABCD，所以， 由（1）得，， 所以以A为原点，AB，AD，AF所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， ，，，，，， 所以，， 设平面BCF的法向量， ，，解得， 又. 设直线DE与平面BCF所成角的正弦值， 所以， 所以直线DE与平面BCF所成角的正弦值； （3）解：由（2），，， 设平面APC的法向量为， 则，即，令，则，， 所以平面APC的法向量， 所以， 所以平面ACP与平面BCF的夹角的余弦值为. 19．（1），，；（2）；（3）． 【解析】（1）由题意，设等比数列的公比为，根据题中条件，求出首项和公比，即可得出通项公式；根据，得到是首项为，公差为的等差数列，求出，进而可求出； （2）先由（1）得到，根据分组求和、裂项相消，以及错位相减法，即可求出结果； （3）先由（1）得到，，分别讨论，，三种情况，由分组求和的方法，即可求出结果. 【详解】（1）由题意，设等比数列的公比为， 由已知，得，即，解得，所以； 又数列的前项和为，满足，， 所以是首项为，公差为的等差数列， 所以，则， 则， 又也满足上式，所以，； （2）由（1）可得，， 所以 ， 令① 则②， ①②得， 所以， 因此； （3）由（1）可得数列前项和，数列的前项和； ①当时，； ②当， （i）当时，， （ii）当时，； 时，也满足该式，所以； ③当， ； 综上． 【点睛】本题考查等差数列与等比数列基本量的运算，考查数列的求和，熟记等差数列与等比数列的通项公式，以及数列的求和方法即可，属于中档题型. 20．(1) (2) ①见解析 ②的最大值为2 【分析】（1）设出切点坐标，利用斜率和切点的坐标列方程组，解方程组求得的值.（2）①求得的表达式并求其导数，对分成，两类，讨论函数的单调性. ②当时，将原不等式分离常数得，构造函数，利用导数求得的最小值，由此求得的取值范围. 【详解】解：(1)由题意知与相切，设切点为， 由，所以，解之得. （2）①由题意知函数的定义域是，， 若，则，所以函数在上单调递增； 若，令，得； 令，得. 所以，在上单调递减，在上单调递增. ②由于，， ，令，， ， 令， 在单调递增，且， 在存在唯一的零点，设此零点为，则且， 当时，； 当时，. ，由，，所以的最大值为2. 【点睛】本小题主要考查导数与切线问题，考查利用导数求解不等式恒成立问题，考查化归与转化的数学思想方法，综合性很强，属于难题. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$