精品解析：新疆生产建设兵团第二中学2024-2025学年高一下学期期末考试数学试卷

新疆生产建设兵团第二中学 2024—2025学年（第二学期）数学学科期末考试 第Ⅰ卷（选择题，共42分） 一、选择题：本题共6小题，每小题5分，共30分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 复数（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的除法运算直接计算即可. 【详解】. 故选：C. 2. 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 是向量的单位向量 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量垂直、共线的坐标表示判断AB；用坐标求出向量的模判断C；求出单位向量判断D. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，，B错误； 对于C，，则，C错误； 对于D，与向量共线的单位向量为， 因此是向量单位向量，D正确. 故选：D 3. 已知一平面平行于两条异面直线，一直线与两异面直线都垂直，那么这个平面与这条直线的位置关系是（ ） A. 平行； B. 垂直； C. 斜交； D. 不能确定． 【答案】B 【解析】 【分析】在平面内作出与异面直线平行的相交直线，再结合线面垂直的判定定理求解即可. 【详解】我们设异面直线为，平面为，设另一直线为， 由题意得，，， 过作平面使得，则，故， 过作平面使得，所以， 因为异面，所以与相交且在平面内，所以，故B正确. 故选：B 4. 如图，用、、三类不同的元件连接成一个系统．当正常工作且、至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知、、正常工作的概率依次为、、，则系统不能正常工作的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用独立事件的概率乘法公式计算出该系统正常工作的概率，再利用对立事件的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】由题意可知，该系统正常工作的概率为， 因此，该系统不能正常工作的概率为. 故选：C. 5. 已知圆台的上、下底面面积分别为和，其侧面积为，则圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出圆台的高，再利用圆台的体积公式进行计算. 【详解】设圆台的上、下底面的半径分别为，，母线长为，高为， 由圆台的上、下底面面积分别为和，得，所以，， 由圆台侧面积公式可得，所以， 所以， 所以该圆台的体积 . 故选：A 6. 已知甲、乙两袋中分别装有编号为1、2、3、4的四个球．从甲、乙两袋中各取出一个球，每个球被取出的可能性相同．事件A：从甲袋中取出的球的编号是偶数；事件B：从乙袋中取出的球的编号是奇数；事件C：取出的两个球的编号都是偶数或都是奇数．给出下列命题：①事件A与事件B为互斥事件；②事件B与事件A相互独立；③事件C与事件A相互独立．那么这三个命题中真命题的个数为（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C 【解析】 【分析】写出总的情况以及事件A，B，C包含的情况，从而根据互斥事件和独立事件的定义进行判断，得到结论. 【详解】甲、乙两袋中各取出一个球，总的情况分别为， ，共16种， 其中事件A包含，共8种， 事件B包含，共8种， 事件C包含，共8种， 对于①，，故事件A与事件B不为互斥事件，为假命题； 对于②，，又， 故，事件B与事件A相互独立，为真命题； 对于③，，， 又，故，事件C与事件A相互独立，为真命题； 故选：C 二、选择题：本大题共2小题，每小题6分，共计12分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 7. 某校秋季运动会中A，B两班的各个单项得分（满分5分）的雷达图如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 在200米项目中，A班的得分比B班的得分高 B. 对于这六个项目成绩，A班的第80百分位数比B班的第80百分位数高 C. 对于这六个项目成绩，A班与B班的众数相同 D. B班的总分比A班的总分高 【答案】AD 【解析】 【分析】利用雷达图、结合方差、极差的概念逐项判断即可. 【详解】由雷达图可知，100米，200米，铅球，1000米，跳远，跳高这六个项目， A班的得分分别为4,4,3,5,4，3；B班的得分分别为5,3,4,5,3，4； 对于A，在200米项目中，A班的得分比B班的得分高，正确； 对于B，，A班的得分从小到大排序为3,3,4,4,4，5； B班的得分分别为3,3,4,4,5，5；所以A班的第80百分位数为4，B班的第80百分位数为5， 故A班的第80百分位数比B班的第80百分位数高，错误； 对于C，A班的众数为4,B班的数据中3,4,5出现的次数一样，众数为3,4,5，错误； 对于D，A班的总分为，B班的总分为， 所以B班的总分比A班的总分高，正确. 故选：AD 8. 如图，四个半径为2的实心小球两两相切，则（ ） A. 这四个实心小球所形成的空隙内可以放入一个棱长为的正方体 B. 存在一个侧面积为的圆柱可以放进这四个实心小球所形成的空隙内 C. 这四个实心小球所形成的空隙内可以放入一个半径为的小球 D. 这四个实心小球可以放入一个半径为的大球内部 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据球心构成的正四面体球内切球的半径，进而求出内部放入正方体，圆柱的可能性判断ABC选项，根据正四面体的外接球判断D选项即可. 【详解】依题意，四个小球球心是棱长为4的正四面体的4个顶点， 设是正四面体的外接球的球心，为正中心，则在线段上， ，， 由，得，正四面体的外接球的半径为， 点到实心小球球面距离的最大值为，最小值为， 对于D，这四个实心小球可以放入一个半径为的大球内部，D正确； 对于C，四个实心小球所形成的空隙内可以放入一个半径为的小球， 而，即，C错误； 对于A，半径为的小球内接正方体的棱长为， 因此四个实心小球所形成的空隙内可以放入一个棱长为的正方体，A正确； 对于B，令半径为的小球的内接圆柱底面圆半径为，母线长为， 则，当且仅当时取等号，即， 该圆柱侧面积，因此存在一个侧面积为圆柱 可以放进这四个实心小球所形成的空隙内，B正确. 故选：ABD 第Ⅱ卷（非选择题，共58分） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分． 9. 已知平面向量，满足，，且在上的投影向量为，则________ 【答案】##0.5 【解析】 【分析】根据投影向量的公式得到方程，求出. 【详解】在上的投影向量为， 故，故. 故答案： 10. 某高中有学生500人，其中男生300人，女生200人，现希望获得全体学生的身高信息，按照分层随机抽样的方法抽取了容量为50的样本.经计算得到男生身高样本均值为170cm，方差为，女生身高样本均值为160cm，方差为.则每个女生被抽入到样本的概率均为______，所有样本的方差为______. 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】计算出抽样比即可得到每个女生被抽入到样本的概率，求出所有样本均值，再根据分层抽样方差计算公式计算可得. 【详解】依题意，每个女生被抽入到样本的概率等于抽样比； 由分层抽样知，样本中男生有人，女生有人， 则所有的样本均值为： ， 所以所有样本的方差 故答案为：； 四、解答题：本题共3小题，共48分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 11. 在中，角，，的对边分别为，，，已知，，. （1）求的面积； （2）求中的角平分线的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 分析】（1）根据面积公式运算求解即可； （2）设角平分线为，根据面积关系运算求解即可. 【小问1详解】 因为，，， 所以的面积为. 【小问2详解】 设角平分线为， 因为 则， 即，解得， 所以的角平分线的长为. 12. 某工厂对工人的专业技能做了一次测试，并将所有测试成绩（满分100分）按照，，…，进行分组，得到如图所示的频率分布直方图，已知图中． （1）求出a，b的值； （2）估计此次测试的平均成绩； （3）按照人数比例用分层随机抽样的方法，从成绩在内的工人中抽取4人，再从这4人中任选2人，请列举出样本空间并求出这2人成绩都在内的概率． 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率之和即可求解， （2）根据平均数的计算公式即可求解， （3）由列举法列举所有基本事件，即可由古典概型概率公式求解. 【小问1详解】 由频率分布直方图可知，即， 又因为，可解得，. 【小问2详解】 此次测试成绩的平均分为：. 【小问3详解】 成绩在和内的人数之比为， 故抽取的4人中成绩在内的有3人，设为，，， 成绩在内的有1人，设为， 再从这4人中选2人，这2人的所有可能情况为，，，，，，共6种， 这2人成绩均在内的情况有为，，共3种， 故这2人成绩都在内的概率为. 13. 由平行六面体截去三棱锥后得到如图所示的几何体，其体积为5，底面为菱形，与交于点O，． （1）求证平面； （2）求证平面平面； （3）设，，与底面所成角为，求平面与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）补全平行六面体，连接交于点，连接，由平行四边形证得，即可得到线面平行； （2）由底面是菱形，得到，由等腰三角形三线合一得到，从而得到线面垂直，进而得到面面垂直； （3）由几何体的体积先求出几何体的高，建立空间直角坐标系，由与底面所成角为，求出的坐标，进而用向量求出平面与平面所成角的正弦值． 【小问1详解】 证明：如图补全平行六面体，连接交于点，连接， 在平行六面体，， 所以四边形为平行四边形，所以， 又为的中点，为的中点，所以，， 所以四边形平行四边形，所以， 又所以平面，平面，所以平面. 【小问2详解】 证明：因为底面是菱形，所以， 又因为，，所以， 又平面，平面，， 所以平面，又平面，所以平面平面. 【小问3详解】 解：， 因为截后的几何体体积为5，所以平行六面体体积为6， 又因为，，设平行六面体的高为， 所以，所以，， 以O为坐标原点，为x轴，为y轴， 过O与平面垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系， 则，，，设，则， 又因为，， 因为，所以， 所以，因为与底面所成角为， 平面的一个法向量为， 所以， 又，，由图可知，所以，所以， 设平面的一个法向量为， 则，取一个法向量， 设平面的一个法向量为， 则，取一个法向量， 所以，， 所以，平面与平面所成角的正弦值. 【点睛】 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新疆生产建设兵团第二中学 2024—2025学年（第二学期）数学学科期末考试 第Ⅰ卷（选择题，共42分） 一、选择题：本题共6小题，每小题5分，共30分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 复数（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 是向量单位向量 3. 已知一平面平行于两条异面直线，一直线与两异面直线都垂直，那么这个平面与这条直线的位置关系是（ ） A 平行； B. 垂直； C. 斜交； D. 不能确定． 4. 如图，用、、三类不同的元件连接成一个系统．当正常工作且、至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知、、正常工作的概率依次为、、，则系统不能正常工作的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆台的上、下底面面积分别为和，其侧面积为，则圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知甲、乙两袋中分别装有编号为1、2、3、4的四个球．从甲、乙两袋中各取出一个球，每个球被取出的可能性相同．事件A：从甲袋中取出的球的编号是偶数；事件B：从乙袋中取出的球的编号是奇数；事件C：取出的两个球的编号都是偶数或都是奇数．给出下列命题：①事件A与事件B为互斥事件；②事件B与事件A相互独立；③事件C与事件A相互独立．那么这三个命题中真命题的个数为（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、选择题：本大题共2小题，每小题6分，共计12分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 7. 某校秋季运动会中A，B两班的各个单项得分（满分5分）的雷达图如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 在200米项目中，A班的得分比B班的得分高 B. 对于这六个项目成绩，A班第80百分位数比B班的第80百分位数高 C. 对于这六个项目成绩，A班与B班的众数相同 D. B班的总分比A班的总分高 8. 如图，四个半径为2的实心小球两两相切，则（ ） A. 这四个实心小球所形成的空隙内可以放入一个棱长为的正方体 B. 存在一个侧面积为的圆柱可以放进这四个实心小球所形成的空隙内 C. 这四个实心小球所形成的空隙内可以放入一个半径为的小球 D. 这四个实心小球可以放入一个半径为的大球内部 第Ⅱ卷（非选择题，共58分） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分． 9. 已知平面向量，满足，，且在上投影向量为，则________ 10. 某高中有学生500人，其中男生300人，女生200人，现希望获得全体学生的身高信息，按照分层随机抽样的方法抽取了容量为50的样本.经计算得到男生身高样本均值为170cm，方差为，女生身高样本均值为160cm，方差为.则每个女生被抽入到样本的概率均为______，所有样本的方差为______. 四、解答题：本题共3小题，共48分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 11. 在中，角，，的对边分别为，，，已知，，. （1）求的面积； （2）求中的角平分线的长. 12. 某工厂对工人专业技能做了一次测试，并将所有测试成绩（满分100分）按照，，…，进行分组，得到如图所示的频率分布直方图，已知图中． （1）求出a，b的值； （2）估计此次测试的平均成绩； （3）按照人数比例用分层随机抽样的方法，从成绩在内的工人中抽取4人，再从这4人中任选2人，请列举出样本空间并求出这2人成绩都在内的概率． 13. 由平行六面体截去三棱锥后得到如图所示的几何体，其体积为5，底面为菱形，与交于点O，． （1）求证平面； （2）求证平面平面； （3）设，，与底面所成角为，求平面与平面所成角的正弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $