广东省广州市越秀区2024-2025学年高一下学期期末考试数学试卷

2024学年第二学期学业水平调研测试 高一年级数学试卷 本试卷共4页，19小题，全卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、班级、姓名、座位号和考生号填写在答题卡相应的位置上．用2B铅笔将考生号、座位号填涂在答题卡相应位置上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，，则在复平面内对应的点位于（ ）． A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 有一组数据按从小到大排序如下：85，86，88，90，94，则这组数据的第30百分位数，第60百分位数分别是（ ）． A. 86，88 B. 86，89 C. 87，88 D. 87，89 3. 已知，，则与向量方向相反的单位向量为（ ）． A. B. C. D. 4. 在正方体中，O为的中点，则直线与所成角的大小为（ ）． A. B. C. D. 5. 正四棱台的上、下底面边长分别为2，4，侧棱长为3，则其体积为（ ）． A. 28 B. C. D. 6. 已知向量对应的复数为，将绕点O按顺时针方向旋转，得到，则向量对应的复数是（ ）． A. B. C. D. 7. 如图，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D．现测得，，，在点C测得塔顶A的仰角为，则塔高为（ ）． A. B. C. D. 8. 空间的1个，2个，3个，4个平面最多可将空间分别分成2个，4个，8个，15个区域，则空间的5个平面最多可将空间分成的区域个数是（ ）． A. 25 B. 26 C. 28 D. 30 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 一个正八面体的八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触面上的数字，得到样本空间为．记事件“接触面上的数字是偶数”，事件“接触面上的数字是素数”，事件“接触面上的数字小于5”，则下列结论正确的是（ ）． A. 事件A与B互斥 B. 事件A与C相互独立 C. D. 10. 某校为了解高一年级学生的身高情况，采用样本量按比例分配的分层随机抽样，抽取了男生20人，其平均数和方差分别为172和12．抽取了女生30人，其平均数和方差分别为162和24．由这些数据，可计算出总样本平均数与总样本方差分别是（ ）． A. B. C. D. 11. 如图，在正三棱柱中，E，F分别是棱，上的点．记直线与所成角的大小为，与平面所成角的大小为，二面角的大小为，则（ ）． A. B. C. 当时， D. 当时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 复数的共轭复数是______． 13. 如图，在四边形中，，．若，则实数______． 14. 已知圆锥的侧面积为，它的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则这个圆锥的底面半径为______，该圆锥的外接球的表面积为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 一个盒子中装有标号为1，2，3，5的4张标签，依次随机选取两张标签，用数组表示可能的结果，其中m表示第一次取出的标签上的数字，n表示第二次取出的标签上的数字． （1）若标签的选取是不放回的，写出样本空间，并求的概率； （2）若标签的选取是有放回的，写出样本空间，并求的概率． 16. 如图，在正四棱柱中，，垂足为E． （1）求证：平面平面； （2）求证：平面平面． 17. 某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图： 利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率． （1）当时，求与； （2）设函数，当时，求的解析式，并求在区间上的最小值． 18. 已知的三个内角的对边分别为设，的面积为S． （1）求证：； （2）已知，，求的内切圆半径r； （3）已知，且，求S的最大值． 19. 如图，在三棱锥中，，，，记二面角的大小为，M，N分别为，的中点． （1）求证：； （2）若，，求三棱锥的体积； （3）设在三棱锥内有一个半径为r的球，，且，求证：． 2024学年第二学期学业水平调研测试 高一年级数学试卷 本试卷共4页，19小题，全卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、班级、姓名、座位号和考生号填写在答题卡相应的位置上．用2B铅笔将考生号、座位号填涂在答题卡相应位置上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 【9题答案】 【答案】BCD 【10题答案】 【答案】AD 【11题答案】 【答案】ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 ①. ②. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 【15题答案】 【答案】（1）， 的概率为； （2），的概率. 【16题答案】 【答案】（1） 由正四棱柱性质可得：， 由平面，平面，所以平面， 又由平面，平面，所以平面， 又因为平面， 所以平面平面； （2） 连接，由正四棱柱可知，平面， 因为平面，所以， 又因为平面，所以平面， 又因为平面，所以， 又因为，平面， 所以平面，又因为平面， 所以平面平面． 【17题答案】 【答案】（1），; （2），0.02. 【18题答案】 【答案】（1） 由余弦定理得：， 所以， 再由三角形面积公式： ， 由于得：； （2）； （3）. 【19题答案】 【答案】（1）证明：设中点为，连接， 因为M，N分别为，的中点，所以， 又，所以， 又平面，所以平面， 又平面，所以 （2） （3）证明：证明：由（2）知，，过作交于， ，又平面，平面，所以， 又平面，所以平面， 平面，所以，， 设的高，所以， 又，，所以， 即， 所以三棱锥的表面积， ， 所以三棱锥的内切球半径， 所以， 即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $