1.4.2 充要条件（导学案）数学人教A版2019必修第一册

1.4.2 充要条件 导学案 1. 理解充分条件、必要条件和充要条件的定义，并能举例说明。 2. 掌握判断充分条件、必要条件和充要条件的方法，包括定义法、集合法和等价法。 3. 能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要性的证明。 4. 初步使用常用逻辑用语进行数学表达、论证和交流，提升逻辑推理素养。 教学重点：理解充分条件、必要条件和充要条件的定义，掌握判断方法。 教学难点：能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要性的证明。 一、自主学习——温故知新 知识梳理 (1)如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有 ，又有 ，就记作 ，此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为 条件． (2)条件关系判定的常用结论： 条件p与结论q的关系 结论(p是q的) p⇒q，且q⇏p 充分不必要条件 q⇒p，且p⇏q 必要不充分条件 p⇒q，且q⇒p 充要条件 p⇏q，且q⇏p 既不充分也不必要条件 注意点： (1)充要条件的判断方法：①确定哪个是条件，哪个是结论；②尝试用条件推结论；③再尝试用结论推条件；④最后判断条件是结论的什么条件． (2)充要条件的等价说法：p是q的充要条件又常说成q成立当且仅当p成立，或p与q等价． 反思感悟　判断充分条件、必要条件及充要条件的四种方法 (1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假． (2)集合法：即利用集合的包含关系判断． (3)等价法：即利用p⇔q与q⇔p的等价关系，一般地，对于条件和结论是否定形式的命题，一般运用等价法． (4)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒pn，可得p1⇒pn；充要条件也有传递性． （一）课堂导入1 导入情境：同学们，我们生活中有很多逻辑关系，比如“如果你带了伞，那么你不会被雨淋湿”。这种逻辑关系在数学中也有广泛的应用。今天，我们来探讨一下数学中的逻辑关系——充分条件、必要条件和充要条件。通过这些逻辑关系，我们可以更好地理解和解决数学问题。 情景引入2 同学们，我们生活中有很多逻辑关系，比如“如果天下雨，那么地面会湿”。这种逻辑关系在数学中也有广泛的应用。今天，我们来探讨一下数学中的逻辑关系——充分条件、必要条件和充要条件。通过这些逻辑关系，我们可以更好地理解和解决数学问题。 设计意图：通过贴近生活实际的例子，引导学生初步感知生活中存在的逻辑关系，激发学生的学习兴趣，为后续学习充分条件、必要条件和充要条件的概念做好铺垫。 教学建议：教师可以引导学生思考生活中类似的逻辑关系，让学生尝试用自己的语言描述这些关系，从而引出本节课的主题。 （二）温故知新 回顾上节课知识： 什么是充分条件？（如果条件p成立，那么结论q一定成立） 什么是必要条件？（如果结论q成立，那么条件p一定成立） 什么是充要条件？（条件p成立，结论q一定成立，且结论q成立，条件p一定成立） 引入新课： 提问：如何判断一个条件是充分条件、必要条件还是充要条件？ 提问：如何证明一个条件是充要条件？ 第二环节 合作探究 （2） 探究点1：充分条件与必要条件 1. 定义： 充分条件：如果条件p成立，那么结论q一定成立，记作p⇒q。 必要条件：如果结论q成立，那么条件p一定成立，记作q⇒p。 充要条件：如果条件p成立，结论q一定成立，且结论q成立，条件p一定成立，记作p⇔q。 1. 实例： 充分条件：命题“如果x > 2，则x > 1”中，x > 2是x > 1的充分条件。 必要条件：命题“如果x > 1，则x > 0”中，x > 0是x > 1的必要条件。 充要条件：命题“如果x > 2，则x > 1”和“如果x > 1，则x > 2”都成立，所以x > 2是x > 1的充要条件。 1. 注意点： 判断条件和结论之间的关系时，要注意条件和结论的逻辑顺序。 充分条件和必要条件的判断可以转化为命题的真假判断。 设计意图：通过具体的实例，帮助学生理解充分条件、必要条件和充要条件的定义，使抽象的概念具体化，便于学生接受和理解。 教学建议：教师可以通过提问和讨论的方式，引导学生分析实例，总结充分条件、必要条件和充要条件的特点，加深学生对概念的理解。 （二）判断方法 1. 定义法：直接判断“若p，则q”和“若q，则p”的真假。 2. 集合法：利用集合的包含关系判断。如果条件p对应的集合A是结论q对应的集合B的子集，即A⊆B，则p是q的充分条件；如果B⊆A，则p是q的必要条件；如果A=B，则p是q的充要条件。 3. 等价法：利用等价命题进行判断。如果p⇔q，则p和q互为充要条件。 探究点1：充分条件的判断 · 问题：判断命题“如果x > 2，则x > 1”中，x > 2是否是x > 1的充分条件。 · 提示：判断“若x > 2，则x > 1”是否为真命题。 · 实例：命题“如果x > 2，则x > 1”中，x > 2是x > 1的充分条件。 探究点2：必要条件的判断 · 问题：判断命题“如果x > 1，则x > 0”中，x > 0是否是x > 1的必要条件。 · 提示：判断“若x > 1，则x > 0”是否为真命题。 · 实例：命题“如果x > 1，则x > 0”中，x > 0是x > 1的必要条件。 探究点3：充要条件的判断 · 问题：判断命题“如果x > 2，则x > 1”和“如果x > 1，则x > 2”是否都为真命题。 · 提示：分别判断“若x > 2，则x > 1”和“若x > 1，则x > 2”的真假。 · 实例：命题“如果x > 2，则x > 1”和“如果x > 1，则x > 2”都为真命题，所以x > 2是x > 1的充要条件。 （3） 典例分析 例3下列各题中，哪些p是q的充要条件？ （1）p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直且平分； （2）p：两个三角形相似，q：两个三角形三边成比例； （3）p：，q：，； （4）p：是一元二次方程的一个根，q：（）. 【解析】 变式3：已知p：实数x满足3a<x<a，其中a<0；q：实数x满足－2≤x≤3.若p是q的充分条件，求实数a的取值范围． 【解析】　 反思感悟　充分条件与必要条件的应用技巧 (1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题． (2)求解步骤：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解． 注意点 1.充要条件就是研究一个命题的条件与结论之间关系,实质上是判断两个互逆的命题(原命题与其逆命题)的真假.常见的方法有定义判断法、等价判断法(以否定形式呈现)、集合判断法. 2.“是的必要而不充分条件”的含义是“而”;“p的必要不充分条件是”的含义是“而 探究 通过上面的学习,你能给出“四边形是平行四边形”的充要条件吗? 可以发现,“四边形的两组对角分别相等”“四边形的两组对边分别相等”“四边形的一组对边平行且相等”和“四边形的对角线互相平分”既是“四边形是平行四边形”的充分条件,又是必要条件,所以它们都是“四边形是平行四边形”的充要条件. 另外,我们再看平行四边形的定义: 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形, 它表明“四边形的两组对边分别平行”也是“四边形是平行四边形”的一个充要条件. 上面的这些充要条件从不同角度刻画了“平行四边形”这个概念,据此我们可以给出平行四边形的其他定义形式.例如: 两组对边分别相等的四边形叫做平行四边形; 对角线互相平分的四边形叫做平行四边形. 类似地,利用“两个三角形全等”的充要条件,可以给出“三角形全等”的其他定义形式,而且这些定义是相互等价的;同样,利用“两个三角形相似”的充要条件,可以给出“相似三角形”其他定义形式,这些定义也是相互等价的;等等. 例4已知：的半径为r，圆心O到直线l的距离为d.求证：是直线l与相切的充要条件. 师生活动:学生分析题意，给出解题思路，教师根据学生情况，可以就以下问题进行追问然后在学生回答的基础上进行板书示范, 追问：（1）如何证明充要条件？ （2）证明充分性时，条件和结论分别是什么？证明必要性时，条件和结论分别是什么？ 设计意图：在推理之前，明确证明思路，分清条件和结论很重要；这个题目的推理过程略有难度，需要教师的引导和书写规范的证明过程. 变式2：求证：一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b＝0. 证明　 反思感悟　充要条件证明的两个思路 (1)直接法：证明p是q的充要条件，首先要明确p是条件，q是结论；其次推证p⇒q是证明充分性，推证q⇒p是证明必要性． (2)集合思想：记p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}，若A＝B，则p与q互为充要条件．    1.已知，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2.若“”是“”的充要条件，则ab的值为（   ） A． B． C．1 D．2 3.设集合那么“”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4.王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其诗作《从军行》中的诗句“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关．黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”传诵至今．由此推断，其中最后一句“返回家乡”是“攻破楼兰”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5.下列选项中，是的充要条件的是（    ） A．， B．， C．， D．， 6.已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7.“”是“”的（　　） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分又不必要条件 8.以下选项中，p是q的充要条件的是（　　） A．p：，q： B．p：，q： C．p：四边形的两条对角线互相垂直平分，q：四边形是正方形 D．p：，q：关于x的方程有唯一解 9.下列命题中是的充要条件的是（    ） A．，：方程有实根 B．， C．， D．， 10.使“”成立的一个充分而不必要条件是（    ） A． B．或 C．x∈{－1，3，5} D．或 1.（2015·重庆·高考真题）“”是“”的 A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 2.（2014·天津·高考真题）设，则“”是“”成立的 A．充要不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充要也不必要条件 3.（2012·天津·高考真题）设，则“”是“”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4.（多选题）使“”成立的一个充分而不必要条件是（    ） A． B．或 C．x∈{－1，3，5} D．或 知识清单 1. 充分条件：如果条件p成立，那么结论q一定成立，记作p⇒q。 2. 必要条件：如果结论q成立，那么条件p一定成立，记作q⇒p。 3. 充要条件：如果条件p成立，结论q一定成立，且结论q成立，条件p一定成立，记作p⇔q。 4. 判断方法： 定义法：直接判断“若p，则q”和“若q，则p”的真假。 集合法：利用集合的包含关系判断。 等价法：利用等价命题进行判断。 方法归纳 1. 定义法：直接利用定义进行判断。 2. 集合法：利用集合的包含关系进行判断。 3. 等价法：利用等价命题进行判断。 4. 传递法：利用充分条件和必要条件的传递性进行判断。 常见误区 1. 条件和结论辨别不清：在判断充分条件、必要条件和充要条件时，容易混淆条件和结论的逻辑顺序。 2. 集合关系理解不透：在利用集合法判断时，容易忽略集合的包含关系。 3. 等价命题应用不当：在利用等价法判断时，容易忽略等价命题的逻辑关系。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.4.2 充要条件 导学案 1. 理解充分条件、必要条件和充要条件的定义，并能举例说明。 2. 掌握判断充分条件、必要条件和充要条件的方法，包括定义法、集合法和等价法。 3. 能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要性的证明。 4. 初步使用常用逻辑用语进行数学表达、论证和交流，提升逻辑推理素养。 教学重点：理解充分条件、必要条件和充要条件的定义，掌握判断方法。 教学难点：能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要性的证明。 一、自主学习——温故知新 知识梳理 (1)如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q，此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件． (2)条件关系判定的常用结论： 条件p与结论q的关系 结论(p是q的) p⇒q，且q⇏p 充分不必要条件 q⇒p，且p⇏q 必要不充分条件 p⇒q，且q⇒p 充要条件 p⇏q，且q⇏p 既不充分也不必要条件 注意点： (1)充要条件的判断方法：①确定哪个是条件，哪个是结论；②尝试用条件推结论；③再尝试用结论推条件；④最后判断条件是结论的什么条件． (2)充要条件的等价说法：p是q的充要条件又常说成q成立当且仅当p成立，或p与q等价． 反思感悟　判断充分条件、必要条件及充要条件的四种方法 (1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假． (2)集合法：即利用集合的包含关系判断． (3)等价法：即利用p⇔q与q⇔p的等价关系，一般地，对于条件和结论是否定形式的命题，一般运用等价法． (4)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒pn，可得p1⇒pn；充要条件也有传递性． （一）课堂导入1 导入情境：同学们，我们生活中有很多逻辑关系，比如“如果你带了伞，那么你不会被雨淋湿”。这种逻辑关系在数学中也有广泛的应用。今天，我们来探讨一下数学中的逻辑关系——充分条件、必要条件和充要条件。通过这些逻辑关系，我们可以更好地理解和解决数学问题。 情景引入2 同学们，我们生活中有很多逻辑关系，比如“如果天下雨，那么地面会湿”。这种逻辑关系在数学中也有广泛的应用。今天，我们来探讨一下数学中的逻辑关系——充分条件、必要条件和充要条件。通过这些逻辑关系，我们可以更好地理解和解决数学问题。 设计意图：通过贴近生活实际的例子，引导学生初步感知生活中存在的逻辑关系，激发学生的学习兴趣，为后续学习充分条件、必要条件和充要条件的概念做好铺垫。 教学建议：教师可以引导学生思考生活中类似的逻辑关系，让学生尝试用自己的语言描述这些关系，从而引出本节课的主题。 （二）温故知新 回顾上节课知识： 什么是充分条件？（如果条件p成立，那么结论q一定成立） 什么是必要条件？（如果结论q成立，那么条件p一定成立） 什么是充要条件？（条件p成立，结论q一定成立，且结论q成立，条件p一定成立） 设计意图：通过复习上节课的知识，帮助学生巩固已学内容，为本节课深入学习充分条件、必要条件和充要条件的定义和判断方法奠定基础。 教学建议：教师可以通过提问的方式，引导学生回顾上节课的知识，同时注意纠正学生对概念理解的偏差。 引入新课： 提问：如何判断一个条件是充分条件、必要条件还是充要条件？ 提问：如何证明一个条件是充要条件？ 第二环节 合作探究 （2） 探究点1：充分条件与必要条件 1. 定义： 充分条件：如果条件p成立，那么结论q一定成立，记作p⇒q。 必要条件：如果结论q成立，那么条件p一定成立，记作q⇒p。 充要条件：如果条件p成立，结论q一定成立，且结论q成立，条件p一定成立，记作p⇔q。 1. 实例： 充分条件：命题“如果x > 2，则x > 1”中，x > 2是x > 1的充分条件。 必要条件：命题“如果x > 1，则x > 0”中，x > 0是x > 1的必要条件。 充要条件：命题“如果x > 2，则x > 1”和“如果x > 1，则x > 2”都成立，所以x > 2是x > 1的充要条件。 1. 注意点： 判断条件和结论之间的关系时，要注意条件和结论的逻辑顺序。 充分条件和必要条件的判断可以转化为命题的真假判断。 设计意图：通过具体的实例，帮助学生理解充分条件、必要条件和充要条件的定义，使抽象的概念具体化，便于学生接受和理解。 教学建议：教师可以通过提问和讨论的方式，引导学生分析实例，总结充分条件、必要条件和充要条件的特点，加深学生对概念的理解。 （二）判断方法 1. 定义法：直接判断“若p，则q”和“若q，则p”的真假。 2. 集合法：利用集合的包含关系判断。如果条件p对应的集合A是结论q对应的集合B的子集，即A⊆B，则p是q的充分条件；如果B⊆A，则p是q的必要条件；如果A=B，则p是q的充要条件。 3. 等价法：利用等价命题进行判断。如果p⇔q，则p和q互为充要条件。 探究点1：充分条件的判断 · 问题：判断命题“如果x > 2，则x > 1”中，x > 2是否是x > 1的充分条件。 · 提示：判断“若x > 2，则x > 1”是否为真命题。 · 实例：命题“如果x > 2，则x > 1”中，x > 2是x > 1的充分条件。 探究点2：必要条件的判断 · 问题：判断命题“如果x > 1，则x > 0”中，x > 0是否是x > 1的必要条件。 · 提示：判断“若x > 1，则x > 0”是否为真命题。 · 实例：命题“如果x > 1，则x > 0”中，x > 0是x > 1的必要条件。 探究点3：充要条件的判断 · 问题：判断命题“如果x > 2，则x > 1”和“如果x > 1，则x > 2”是否都为真命题。 · 提示：分别判断“若x > 2，则x > 1”和“若x > 1，则x > 2”的真假。 · 实例：命题“如果x > 2，则x > 1”和“如果x > 1，则x > 2”都为真命题，所以x > 2是x > 1的充要条件。 设计意图：介绍多种判断方法，帮助学生掌握判断充分条件、必要条件和充要条件的技巧，提高学生的逻辑推理能力。 教学建议：教师可以通过具体的例子，详细讲解每种判断方法的步骤和要点，引导学生选择合适的方法进行判断。 （3） 典例分析 例3下列各题中，哪些p是q的充要条件？ （1）p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直且平分； （2）p：两个三角形相似，q：两个三角形三边成比例； （3）p：，q：，； （4）p：是一元二次方程的一个根，q：（）. 【解析】 （1）因为对角线互相垂直且平分的四边形不一定是正方形（为什么），所以，所以p不是q的充要条件. （2）因为“若p，则q”是相似三角形的性质定理，“若q，则p”是相似三角形的判定定理，所以它们均为真命题，即，所以p是q的充要条件. （3）因为时，，不一定成立（为什么），所以，所以p不是q的充要条件. （4）因为“若p，则q”与“若q，则p”均为真命题，即，所以p是q的充要条件. 变式3：已知p：实数x满足3a<x<a，其中a<0；q：实数x满足－2≤x≤3.若p是q的充分条件，求实数a的取值范围． 【解析】　p：3a<x<a，即集合A＝{x|3a<x<a}． q：－2≤x≤3，即集合B＝{x|－2≤x≤3}． 因为p⇒q，所以A⊆B， 所以⇒－≤a<0， 所以a的取值范围是－≤a<0. 反思感悟　充分条件与必要条件的应用技巧 (1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题． (2)求解步骤：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解． 注意点 1.充要条件就是研究一个命题的条件与结论之间关系,实质上是判断两个互逆的命题(原命题与其逆命题)的真假.常见的方法有定义判断法、等价判断法(以否定形式呈现)、集合判断法. 2.“是的必要而不充分条件”的含义是“而”;“p的必要不充分条件是”的含义是“而 设计意图：通过具体的例题和变式训练，帮助学生巩固所学知识，提高学生运用所学知识解决问题的能力。 教学建议：教师可以引导学生分析例题的解题思路，总结解题方法和步骤，同时鼓励学生积极参与变式训练，提高学生的解题能力。 探究 通过上面的学习,你能给出“四边形是平行四边形”的充要条件吗? 可以发现,“四边形的两组对角分别相等”“四边形的两组对边分别相等”“四边形的一组对边平行且相等”和“四边形的对角线互相平分”既是“四边形是平行四边形”的充分条件,又是必要条件,所以它们都是“四边形是平行四边形”的充要条件. 另外,我们再看平行四边形的定义: 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形, 它表明“四边形的两组对边分别平行”也是“四边形是平行四边形”的一个充要条件. 上面的这些充要条件从不同角度刻画了“平行四边形”这个概念,据此我们可以给出平行四边形的其他定义形式.例如: 两组对边分别相等的四边形叫做平行四边形; 对角线互相平分的四边形叫做平行四边形. 类似地,利用“两个三角形全等”的充要条件,可以给出“三角形全等”的其他定义形式,而且这些定义是相互等价的;同样,利用“两个三角形相似”的充要条件,可以给出“相似三角形”其他定义形式,这些定义也是相互等价的;等等. 例4已知：的半径为r，圆心O到直线l的距离为d.求证：是直线l与相切的充要条件. 分析：设p：，q：直线l与相切.要证p是q的充要条件，只需分别证明充分性（）和必要性（）即可. 证明：设p：，q：直线l与相切. （1）充分性（）：如图1.4-2，作于点P，则.若，则点P在上.在直线l上任取一点Q（异于点P），连接.在中，.所以，除点P外直线l上的点都在的外部，即直线l与仅有一个公共点P.所以直线l与相切. （2）必要性（）：若直线l与相切，不妨设切点为P，则.因此，. 由（1）（2）可得，是直线l与相切的充要条件. 师生活动:学生分析题意，给出解题思路，教师根据学生情况，可以就以下问题进行追问然后在学生回答的基础上进行板书示范, 追问：（1）如何证明充要条件？ （2）证明充分性时，条件和结论分别是什么？证明必要性时，条件和结论分别是什么？ 设计意图：在推理之前，明确证明思路，分清条件和结论很重要；这个题目的推理过程略有难度，需要教师的引导和书写规范的证明过程. 变式2：求证：一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b＝0. 证明　(1)充分性：如果b＝0，那么y＝kx， 当x＝0时，y＝0，函数图象过原点． (2)必要性：因为y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点， 所以当x＝0时，y＝0，得0＝k·0＋b，所以b＝0. 综上，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b＝0. 反思感悟　充要条件证明的两个思路 (1)直接法：证明p是q的充要条件，首先要明确p是条件，q是结论；其次推证p⇒q是证明充分性，推证q⇒p是证明必要性． (2)集合思想：记p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}，若A＝B，则p与q互为充要条件．    1.已知，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【知识点】判断命题的必要不充分条件 【分析】根据充分条件与必要条件的概念，直接判断，即可得出结果. 【详解】因为由能推出；由不能推出； 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 2.若“”是“”的充要条件，则ab的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【知识点】根据充要条件求参数 【详解】由题意得，解得，所以． 3.设集合那么“”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【知识点】判断命题的必要不充分条件 【详解】由交集与并集的定义可知， 若则， 若不能得到， “”是“”的必要不充分条件，故选B. 4.王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其诗作《从军行》中的诗句“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关．黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”传诵至今．由此推断，其中最后一句“返回家乡”是“攻破楼兰”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】充分条件的判定及性质 【分析】由题意，“不破楼兰”可以推出“不还”，但是反过来“不还”的原因有多种，按照充分条件、必要条件的定义即可判断 【详解】由题意，“不破楼兰终不还”即“不破楼兰”是“不还”的充分条件，即“不破楼兰”可以推出“不还”，但是反过来“不还”的原因有多种，比如战死沙场； 即如果已知“还”，一定是已经“破楼兰”，所以“还”是“破楼兰”的充分条件 故选：A 5.下列选项中，是的充要条件的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【知识点】充分条件的判定及性质、必要条件的判定及性质、充要条件的证明 【分析】根据充分、必要条件的判定逐项分析判断. 【详解】对于选项A：因为不能推出，例如，即充分性不成立，故A错误； 对于选项B：因为不能推出，例如，即充分性不成立，故B错误； 对于选项C：因为不能推出，例如，即必要性不成立，故C错误； 对于选项D：因为等价于，所以是的充要条件，故D正确； 故选：D 6.已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【知识点】既不充分也不必要条件 【分析】根据充分必要条件的定义判断． 【详解】或，因此是的既不充分也不必要条件， 故选：D． 7.“”是“”的（　　） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】D 【知识点】既不充分也不必要条件、充分条件的判定及性质、必要条件的判定及性质 【分析】先推导出充分性不成立，再举出反例得到必要性不成立. 【详解】因为，所以或，则或， 故充分性不成立， 若，满足，但不满足，必要性不成立， 故“”是“”的既不充分又不必要条件. 故选：D 8.以下选项中，p是q的充要条件的是（　　） A．p：，q： B．p：，q： C．p：四边形的两条对角线互相垂直平分，q：四边形是正方形 D．p：，q：关于x的方程有唯一解 【答案】D 【知识点】充要条件的证明 【分析】根据充分必要条件的定义判断即可. 【详解】对于A，，，所以p推不出q，q推不出p， 所以p是q既不充分也不必要条件； 对于B，；当时，满足，但q推不出p， 故p是q的充分不必要条件； 对于C，若“两条对角线互相垂直平分”成立推不出“四边形是正方形”； 反之，若“四边形是正方形”成立推出“两条对角线互相垂直平分”成立，故p是q的必要不充分条件； 对于D，若，则关于x的方程有唯一解；若关于x的方程有唯一解，则， 所以，故p是q的充分必要条件. 故选：D. 9.下列命题中是的充要条件的是（    ） A．，：方程有实根 B．， C．， D．， 【答案】D 【知识点】探求命题为真的充要条件 【分析】由充要条件的概念逐项判断即可. 【详解】若方程有实根，则，即或，因此不是的充要条件，A错误； 不一定可以得到，所以不是的充要条件，B错误； 若，则，若，则，故充分性不成立，C错误； 根据集合间的关系可得，D正确． 故选：D 10.使“”成立的一个充分而不必要条件是（    ） A． B．或 C．x∈{－1，3，5} D．或 【答案】BC 【知识点】判断命题的充分不必要条件、充分条件的判定及性质 【分析】根据题意判断选项中对应集合为题干中集合的真子集，即可得答案. 【详解】从集合的角度出发，在选项中判断哪个相应的集合是题干中集合的真子集， 只有B，C满足题意． 故选：BC. 1.（2015·重庆·高考真题）“”是“”的 A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】探求命题为真的充要条件 【详解】试题分析：时，成立，故是充分的，又当时，即，，故是必要的的，因此是充要条件．故选A． 考点：充分必要条件． 2.（2014·天津·高考真题）设，则“”是“”成立的 A．充要不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充要也不必要条件 【答案】C 【知识点】充要条件的证明 【详解】试题分析：当时，，当一正一负时， ，当时，，所以，故选C． 考点：充分必要条件． 3.（2012·天津·高考真题）设，则“”是“”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件、解不含参数的一元二次不等式 【详解】由题意得，不等式，解得或， 所以“”是“”的充分而不必要条件， 故选A． 考点：充分不必要条件的判定． 4.（多选题）使“”成立的一个充分而不必要条件是（    ） A． B．或 C．x∈{－1，3，5} D．或 【答案】BC 【知识点】判断命题的充分不必要条件、充分条件的判定及性质 【分析】根据题意判断选项中对应集合为题干中集合的真子集，即可得答案. 【详解】从集合的角度出发，在选项中判断哪个相应的集合是题干中集合的真子集， 只有B，C满足题意． 故选：BC. 知识清单 1. 充分条件：如果条件p成立，那么结论q一定成立，记作p⇒q。 2. 必要条件：如果结论q成立，那么条件p一定成立，记作q⇒p。 3. 充要条件：如果条件p成立，结论q一定成立，且结论q成立，条件p一定成立，记作p⇔q。 4. 判断方法： 定义法：直接判断“若p，则q”和“若q，则p”的真假。 集合法：利用集合的包含关系判断。 等价法：利用等价命题进行判断。 方法归纳 1. 定义法：直接利用定义进行判断。 2. 集合法：利用集合的包含关系进行判断。 3. 等价法：利用等价命题进行判断。 4. 传递法：利用充分条件和必要条件的传递性进行判断。 常见误区 1. 条件和结论辨别不清：在判断充分条件、必要条件和充要条件时，容易混淆条件和结论的逻辑顺序。 2. 集合关系理解不透：在利用集合法判断时，容易忽略集合的包含关系。 3. 等价命题应用不当：在利用等价法判断时，容易忽略等价命题的逻辑关系。 设计意图：通过课堂小结，帮助学生梳理本节课的主要内容，巩固所学知识。引导学生总结本节课的重点和难点，加深对集合概念的理解。 教学建议：教师通过提问和讲解，引导学生回顾本节课的主要内容。引导学生总结本节课的重点和难点，帮助学生形成知识体系。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$