1.4.2 充要条件 导学案-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

本文围绕“充要条件”展开，承接充分、必要条件背景，为后续复杂逻辑推理奠基。通过具体实例、合作探究等环节，培养学生逻辑推理素养，让学生在判断与证明充要条件过程中提升推理能力。 该设计创新点在于采用实例引入与合作探究相结合的教法。从学生层面看，能提升逻辑思维能力；从教师层面讲，提供了清晰授课路径；从课堂效果上，有效突破充要条件证明这一教学难点。

《充要条件》导学案（学生版） 学习目标：通过具体实例理解充要条件的概念；掌握判断充要条件的方法；学会证明充要条件的基本步骤，培养逻辑推理能力 。 学习重难点：重点是充要条件概念的理解与判断方法；难点是充要条件的证明以及应用。 知识回顾 1. 充分条件：若“若p，则q”为真命题，即由p能推出q，记作，则称p是q的充分条件。 2. 必要条件：若“若q，则p”为真命题，即由q能推出p，记作 ，则称p是q的必要条件 。 自主探究 1. 思考引入： 已知命题p：“三角形是等边三角形”，命题q：“三角形的三个内角都为60°”。 判断p能否推出q，q能否推出p？ 2. 充要条件的定义： 如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有，又有，就记作 此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件 。 思考：“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”表达的含义是否相同？ 合作探究 1. 判断充要条件： 例1：判断下列各题中，p是否为q的充要条件： p：直线l与圆O相切，q：圆心O到直线l的距离等于圆的半径r 。 p： ，q：x = 1或x = 2。 p：a > b，q： 方法总结： 定义法：分别判断“若p，则q”与“若q，则p”的真假。 集合法：设，若A = B，则p是q的充要条件 。 2. 充要条件的证明： 例2：求证：关于x的一元二次方程 + bx + c = 0有一个根为1的充要条件是a + b + c = 0。 证明步骤： 充分性：由条件a + b + c = 0推出方程有一个根为1 。 必要性：由方程有一个根为1推出a + b + c = 0 。 课堂练习 1. A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 2. 已知p：|x| = |y|，q：x = y，则p是q的（ ） A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 3. 求证：函数的图象关于y轴对称的充要条件是b = 0。 课堂小结 1. 充要条件的定义及符号表示 。 2. 判断充要条件的方法：定义法、集合法 。 3. 证明充要条件的步骤：先证充分性，再证必要性 。 课后作业 1. 已知p：判断p是q的什么条件？ 2. 求关个负实根的充要条件。 3. 已知A：，若A是B的充分不必要条件，求a的取值范围。 《充要条件》导学案（教师版） 课程标准：理解充要条件的意义，会判断一些简单的充要条件问题，能对充要条件进行证明。 学习目标：通过具体实例理解充要条件的概念；掌握判断充要条件的方法；学会证明充要条件的基本步骤，培养逻辑推理能力 。 学习重难点：重点是充要条件概念的理解与判断方法；难点是充要条件的证明以及应用。 知识回顾 1. 充分条件：若“若p，则q”为真命题，即由p能推出q，记作q ，则称p是q的充分条件。 2. 必要条件：若“若q，则p”为真命题，即由q能推出p，记作p ，则称p是q的必要条件 。 自主探究 1. 思考引入： 已知命题p：“三角形是等边三角形”，命题q：“三角形的三个内角都为60°”。 判断p能否推出q，q能否推出p？ 解析：因为等边三角形的三个内角都为60°，；反之，三个内角都为60°的三角形是等边三角形，所以p。 2. 充要条件的定义： 如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有，又有，就记作。 此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件 。 思考：“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”表达的含义是否相同？ 解析：“p是q的充要条件”说明p是条件，q是结论；“p的充要条件是q”说明q是条件，p是结论，两者含义不同 。 合作探究 1. 判断充要条件： 例1：判断下列各题中，p是否为q的充要条件： p：直线l与圆O相切，q：圆心O到直线l的距离等于圆的半径r 。 解析：根据直线与圆相切的定义，若直线l与圆O相切，则圆心O到直线l的距离等于圆的半径r，即；反之，若圆心O到直线l的距离等于圆的半径r，则直线l与圆O相切，即，所以p是q的充要条件。 p： ，q：x = 1或x = 2。 解析：由，因式分解得(x - 1)(x - 2)=0，解得x = 1或x = 2，所以反之，当x = 1或x = 2时，代入等于0，即，所以p是q的充要条件。 p：a > b， 解析：当a = 1，b = -2时当a = -2，b = 1时所以p不是q的充要条件。 方法总结： 定义法：分别判断“若p，则q”与“若q，则p”的真假。 集合法：若A = B，则p是q的充要条件 。 2. 充要条件的证明： 例2：求证：关于x的一元二次方程个根为1的充要条件是a + b + c = 0。 证明步骤： 充分性：由条件a + b + c = 0推出方程一个根为1 。 解析：当a + b + c = 0时，把x = 1代入方程，所以x = 1是方程x + c = 0的一个根，充分性得证。 必要性：由方程有一个根为1推出a + b + c = 0 。 解析：因为方程一个根为1，把x = 1代入方程得，即a + b + c = 0，必要性得证。 课堂练习 1. A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 答案：A 解析：，因式分解得(x - 5)(x + 1)=0，解得x = 5或x = -1，所以由x = 5能推出不能推出x = 5，的充分不必要条件。 2. 已知p：|x| = |y|，q：x = y，则p是q的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 答案：B 解析：若|x| = |y|，则x = y或x = -y，所以由|x| = |y|不能推出x = y；若x = y，则|x| = |y|一定成立，所以p是q的必要不充分条件。 3. 求证：函数的图象关于y轴对称的充要条件是b = 0。 证明： 充分性：当b = 0时，所以函数f(x)是偶函数，其图象关于y轴对称，充分性得证。 必要性：若函数的图象关于y轴对称，则是偶函数，所以，任意实数，所以b = 0，必要性得证。 课堂小结 1. 充要条件的定义及符号表示 。 2. 判断充要条件的方法：定义法、集合法 。 3. 证明充要条件的步骤：先证充分性，再证必要性 。 课后作业 1. 已知p：0，q：x = 1，判断p是q的什么条件？ 解析：由，解得x = 1或x = -1，所以由不能推出，所以p是q的必要不充分条件。 2. 求关于个负实根的充要条件。 解析：设方程 必要性：因为方程有两个负实根，所以解不等式组得。 充分性：当，方程有两个实根，且，所以两根均为负实根，充分性得证。所以方程有两个负实根的充要条件是 3. 已知A：若A是B的充分不必要条件，求a的取值范围。 解析：由解得。因为A是B的充分不必要条件，所以⊉ 。 1 学科网（北京）股份有限公司 $$