1.4.2 充要条件 导学案-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学导学案聚焦“充要条件”，引导学生理解充要条件的意义，掌握判断方法及证明。通过回顾充分、必要条件，设置原命题与逆命题真假判断的思考问题，以已学逻辑用语为支架衔接新知。 这份资料突出逻辑推理素养的培养，例题结合三角形全等、圆相切等几何实例及代数问题，练习分层设计，含充要性证明题。帮助学生用数学思维构建逻辑关系，用数学语言精确表达推理过程，提升自主学习与问题解决能力。

第一章 集合与常用逻辑用语 1.4.2 充要条件 学习指导 课标要求 核心素养 重难分析 1、理解充要条件的意义 2、掌握判断充要条件的方法 使用常用逻辑用语进行数学表达、论证和交流，提升逻辑推理素养 重点 充要条件的意义 难点 能判定充要关系或进行充要性的证明 新知导入 “若 ，则 ”为真命题，则 是 的 充分 条件， 是 的 必要 条件． 思考： 下列“若 ，则 ”形式的命题中，哪些命题与它们的逆命题都是真命题？ （1）若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等； （2）若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等； （3）若一元二次方程 有两个不相等的实数根，则 ； （4）若 是空集，则 与 均是空集． 不难发现，上述命题中的命题（1）（4）和它们的逆命题都是真命题； 命题（2）是真命题，但它的逆命题是假命题； 命题（3）是假命题，但它的逆命题是真命题． 将命题“若 ，则 ”中的条件 和结论 互换，就得到一个新的 命题“若 ，则 ”，称这个命题为原命题的逆命题． 如果“若 ，则 ”和它的逆命题“若 ，则 ”均是真命题，即既有 ，又有 ，就记作 ． 此时， 既是 的充分条件，也是 的必要条件，我们说 是 的充分必要条件，简称为充要条件． 知识清单 知识点一：充要条件 1.充要条件：如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是 ，即既有，又有，就记作 .此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，则p是q的 条件，简称为充要条件，显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件.概括地说，如果，那么p与q互为 条件. 例题讲解 例1 下列各题中，哪些 是 的充要条件？ （1）：四边形是正方形，：四边形的对角线互相垂直且平分； （2）：两个三角形相似，：两个三角形三边成比例； （3）； （4）是一元二次方程的一个根， ． 例2 已知： 的半径为 ，圆心 到直线 的距离为 ．求证： 是直线 与 相切的充要条件． 课堂练习 1.“”是“”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.设U为全集，则“”是“”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.“”是“”的( )条件. A.充分非必要 B.必要非充分 C.充要 D.既非充分又非必要 4.“”是“”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.“”是“a是质数”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.“是等腰三角形”是“是等边三角形”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7.已知集合，，则“”是“”的________.（请从“充分不必要条件”､“必要不充分条件”､“充要条件”､“既不充分也不必要条件”中选一个填在横线上） 8.在中，“”是“为锐角三角形”的__________条件.（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”或“既不充分也不必要”） 课后练习 1.已知，，则p是q的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.已知，则“”是“”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.设集合，则是的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.“”是“”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.已知，q：x与y互为相反数，则p是q成立的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.设集合，，，或，则“”是“”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7.（多选）已知p是r的充分不必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，则下列结论正确的是( ) A.r是q的充要条件 B.p是q的充分条件 C.r是q的必要不充分条件 D.r是s的充分不必要条件 8.（多选）下列说法正确的是( ) A.“”是“”的必要条件 B.“”是“”的充分不必要条件 C.“或”是“”的充要条件 D.“”是“”的必要不充分条件 9.设，一元二次方程有整数根的充要条件是__________. 10.“三角形全等”是“三角形相似”的________条件（填“充分不必要”，“必要不充分”或“充要”）. 11.“三角形三边相等”是“三角形三角相等”的______条件（填“充分不必要”，“必要不充分”或“充要”）. 12.已知的三边长为a，b，c，其中. 求证：为等边三角形的充要条件是. 答案以及解析 知识清单 1.真命题 充分必要 充要 例题讲解 例题1： 解：（1）因为对角线互相垂直且平分的四边形不一定是正方形，所以 ，所以 不是 的充要条件． （2）因为“若 ，则 ”是相似三角形的性质定理，“若 ，则 ”是相似三角形的判定定理，所以它们均为真命题，即 ，所以 是 的充要条件． （3）因为 时，不一定成立，所以 ，所以 不是 的充要条件． （4）因为“若 ，则 ”与“若 ，则 ”均为真命题，即 ，所以 是 的充要条件． 例题2： 分析：设 ：直线 与 相切．要证 是 的充要条件，只需分别证明充分性（ ）和必要性（ ）即可． 证明：设 直线 与 相切． （1）充分性 ：如图，作 于点 ，则 ．若 ，则点 在 上．在直线 上任取一点 （异于点 ），连接 ．在 Rt 中，．所以，除点 外直线 上的点都在 的外部，即直线 与 仅有一个公共点 ．所以直线 与 相切． （2）必要性 ：若直线 与 相切，不妨设切点为 ，则 ． 因此，． 由（1）（2）可得， 是直线 与 相切的充要条件． 课堂练习 1.答案：B 解析：因为， 所以不能推出，而由可以推出， 所以是的必要不充分条件. 故选：B. 2.答案：C 解析：充分性：若，则有成立.必要性：若，则. 故选：C. 3.答案：B 解析：因为不能推出，而能推出， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 4.答案：B 解析：因为“”不能推出“”； “”能推出“”， 所以，“”是“”的必要不充分条件， 故选：B. 5.答案：D 解析：因为，所以481不是质数， 故“”是“a是质数”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 6.答案：B 解析：因为等腰三角形不一定是等边三角形，所以“是等腰三角形”推不出“是等边三角形”， 又等边三角形一定是等腰三角形，所以“是等边三角形”可以推出“是等腰三角形”， 所以“是等腰三角形”是“是等边三角形”的必要不充分条件. 故选：B. 7.答案：必要不充分条件 解析：因为，， 所以B是A的真子集， 则由推不出，故充分性不成立， 由推得出，故必要性成立， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故答案为：必要不充分条件 8.答案：必要不充分 解析：若， 则，可能有一个大于，故充分性不成立； 若为锐角三角形， 则任意两内角和必大于，故必要性成立. 故答案为：必要不充分. 课后练习 1.答案：B 解析：由题意，推不出，故充分性不成立； 但可以推出，故必要性成立. 故p是q的必要不充分条件. 故选：B. 2.答案：A 解析：若，则，即充分性成立； 若，例如，，， 可得，满足题意， 但，即必要性不成立； 综上所述：“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 3.答案：A 解析：集合， ， A是B的真子集， 是的充分不必要条件. 故选:A. 4.答案：A 解析：由解得; 由解得; 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 5.答案C 解析：，则，即x与y互为相反数.反之也成立，故为充分必要条件. 6.答案：C 解析：，或，，或，，“”是“”的充要条件. 7.答案：AB 解析：由已知得，，，，，由此得且，A正确，C不正确；，B正确；且，D不正确.故选AB. 8.答案：BC 解析： A × . B √ ，但，如. C √ 方程的两根为2，. D × ，如，. 9.解析：方程的两根为，.要使x为整数解，则应为完全平方数，又，故，；，满足要求. 10.答案：充分不必要 解析：由“三角形全等”可得“三角形相似”，故充分性成立； 由“三角形相似”不能推得“三角形全等”. 综上可得，“三角形全等”是“三角形相似”的充分不必要条件. 11.答案：充要 解析：由“三角形三边相等”可得三角形是正三角形，则有三角形的三个内角都是， 即“三角形三边相等”是“三角形三角相等”的充分条件； 又由“三角形三角相等”可得三个内角都是60°，故三角形是正三角形， 则有“三角形三边相等”，即“三角形三边相等”是“三角形三角相等”的必要条件. 综上可得，“三角形三边相等”是“三角形三角相等”的充要条件. 故答案为：充要. 12. 证明：充分性： 因为时，可化为， 即， 所以，即， 所以，即，为等边三角形，充分性成立. 必要性： 因为为等边三角形，且，所以， 则，，所以，必要性成立. 故为等边三角形的充要条件是. 学科网（北京）股份有限公司 $