第37讲 数列求和 专项训练-2026届高三数学一轮复习

第37讲　数列求和 基础热身 1.数列{an}中,an=(-1)n-1(4n-3),设{an}的前n项和为Sn,则S6= (　 ) A.-12 B.16 C.-10 D.12 2.已知数列{an}的前n项和为Sn,若an=,则S9= (　 ) A.1 B. C. D. 3. 已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足an=则S10= (　 ) A.130 B.169 C.200 D.230 4.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=,an+an+1+an+2=,则S2023= (　 ) A.675 B.674 C.1384 D.2023 5.数列{an}的前n项和为Sn,an=,若Sn=9,则n= (　 ) A.97 B.98 C.99 D.100 6.数列{an}的通项公式为an=(n+1)·2n,则该数列的前n项和Sn=　　　　.  综合提升 7.若数列{an}的前n项和为3n-1,则数列{}的前n项和为 (　 ) A.+n-3n+1 B.+n-3n C. D. 8.已知数列{an}满足a1+a2=0,an+2+(-1an=2,则数列{an}的前100项的和为 (　 ) A.50 B.98 C.100 D.102 9.若an+1=f(an),则称函数f(x)为数列{an}的“伴生函数”,已知数列{an}的“伴生函数”为f(x)=2x+1,a1=1,则数列{nan}的前n项和Tn= (　 ) A.n·2n+2- B.n·2n+1+2- C.(n-1)·2n+1+2- D.(n-1)·2n+2- 10.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=,且an+1=an,若不等式(-1)nλ<Sn+对一切n∈N*恒成立,则λ的取值范围为 (　 ) A. B. C. D. 11.(多选题)若数列{an}的前n项和为Sn,2Snan=+1(n∈N*,an>0),则下列结论正确的是(　 ) A.a2022a2023<1 B.a2023> C.S2023> D.+++…+<19 12.已知数列{an}中,a1=2,当n≥2时,(n-1)an=2nan-1,则S=a1+a2+…+a7的值为　　　　.  13.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an-2,则数列的前n项和Tn=　　　　.  14.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=n2+n. (1)求{an}的通项公式; (2)若bn=2n-1,求数{an+bn}的前n项和Tn. 15.在等差数列{an}中,a4=4,Sn为{an}的前n项和,S10=55,数列{bn}满足log2b1+log2b2+…+log2bn=. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式; (2)求数列{(-1)nanbn}的前n项和Tn. 能力拓展 16.记Sn为数列{an}的前n项和,已知a1=1,-=. (1)求{an}的通项公式; (2)令bn=,证明:++…+< 参考答案 1.A　[解析] 因为an=(-1)n-1(4n-3),所以S6=(a1+a2)+(a3+a4)+(a5+a6)=(1-5)+(9-13)+(17-21)=3×(-4)=-12,故选A. 2.B　[解析] 因为an===-,所以S9=++…+=1-=,故选B. 3.C　[解析] ∵an=∴S10=(a1+a3+a5+a7+a9)+(a2+a4+a6+a8+a10)=(1+5+9+13+17)+(11+21+31+41+51)=45+155=200.故选C. 4.A　[解析] S2023=a1+(a2+a3+a4)+(a5+a6+a7)+…+(a2018+a2019+a2020)+(a2021+a2022+a2023)=+++…++==675.故选A. 5.C　[解析] an==-,故Sn=a1+a2+…+an=-1+-+…+-=-1=9,解得n=99.故选C. 6.n·2n+1　[解析] Sn=2×21+3×22+…+(n+1)2n①,2Sn=2×22+3×23+…+(n+1)2n+1②,由②-①得Sn=-4-(22+23+…+2n)+(n+1)2n+1=n·2n+1. 7.D　[解析] 方法一:由题意,设数列{an}的前n项和为Sn,则Sn=3n-1,当n=1时,a1=S1=31-1=2,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n-1-3n-1+1=2·3n-1,∵当n=1时,a1=2也满足上式,∴an=2·3n-1,n∈N*,∴=(2·3n-1)2=4·9n-1,n∈N*,∴数列{}是以4为首项,9为公比的等比数列.设数列{}的前n项和为Tn,则Tn==.故选D. 方法二:由题知{an}的前n项和满足等比数列前n项和公式的形式,∴数列{an}为等比数列,且其公比q=3,=-1,解得a1=2.∵=4,q2=9,∴数列{}是以4为首项,9为公比的等比数列,设数列{}的前n项和为Tn,则Tn==.故选D. 8.C　[解析] 由an+2+(-1an=2,依次令n=1,2,可得a3-a1=2,a4-a2=2,两式相加可得a3+a4=4;依次令n=3,4,可得a5+a3=2,a6+a4=2,两式相加得a6+a5=0;依次令n=5,6,可得a7-a5=2,a8-a6=2,两式相加得a7+a8=4.归纳推理可得a4k-3+a4k-2=0,a4k-1+a4k=4,k∈N*,所以对任意的k∈N*,a4k-3+a4k-2+a4k-1+a4k=4,所以数列{an}的前100项的和为4×25=100.故选C. 9.C　[解析] 依题意,可得an+1=2an+1(n∈N*),所以an+1+1=2(an+1)>0,即=2,故数列{an+1}为等比数列,其首项为a1+1=2,公比也为2,所以an+1=2·2n-1=2n,所以an=2n-1,所以nan=n·2n-n,所以Tn=1×21+2×22+…+n·2n-(1+2+…+n)=1×21+2×22+…+n·2n-.令Hn=1×21+2×22+…+n·2n,则2Hn=1×22+2×23+…+(n-1)·2n+n·2n+1,两式相减得-Hn=21+22+…+2n-n·2n+1=2n+1-2-n·2n+1,所以Hn=(n-1)·2n+1+2,所以Tn=(n-1)·2n+1+2-.故选C. 10.B　[解析] 因为an+1=an,所以=·,而=,所以是首项为,公比为的等比数列,所以=,即an=,所以Sn=+++…+,Sn=+++…+,两式相减得Sn=+++…+-=+-,所以Sn=5-(2n+5).由(-1)nλ<Sn+,得(-1)nλ<5-(2n+5)+,则(-1)nλ<5.当n为奇数时,有-λ<5恒成立,所以λ>-;当n为偶数时,有λ<5恒成立,所以λ<.综上,λ的取值范围为.故选B. 11.ACD　[解析] 令n=1,则2S1a1=+1,即2=+1,即=1,由an>0,得a1=1.当n≥2时,2Sn(Sn-Sn-1)=(Sn-Sn-1)2+1,即-=1,又==1,故{}是首项为1,公差为1的等差数列,则=1+n-1=n.由an>0得Sn>0,故Sn=,所以当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-,又a1=1也适合该式,故an=-(n∈N*).对于A,a2022a2023=(-)×(-)=×<1,A正确;对于B,a2023=-<,B错误;对于C,S2023=>,C正确;对于D,当n≥2时,=<=2(-),故+++…+<1+2×(-1)+2×(-)+…+2×(-)=1+2×(-1+10)=19,D正确.故选ACD. 12.1538　[解析] 因为当n≥2时,(n-1)an=2nan-1,所以=2·,令bn=,则bn=2bn-1,n≥2,又b1=a1=2,所以数列{bn}为等比数列,其公比为2,首项为2,所以bn=2n,则an=n·2n,所以S=a1+a2+…+a7=2+2×22+3×23+4×24+5×25+6×26+7×27,2S=22+2×23+3×24+4×25+5×26+6×27+7×28,所以-S=2+22+…+27-7×28=-7×28=-6×28-2,即S=6×28+2=1538. 13.　[解析] 由题意得,Sn=2an-2,当n≥2时,Sn-1=2an-1-2,两式相减得an=2an-2an-1,即an=2an-1,而a1=S1=2a1-2,解得a1=2,因此数列{an}是首项为2,公比为2的等比数列,则an=2×2n-1=2n,所以====2,所以Tn=2=2=. 14.解:(1)∵Sn=n2+n,∴当n=1时,a1=S1=2,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n,经验证,a1=2满足an=2n, ∴an=2n(n∈N*). (2)∵bn=2n-1,∴b1=1,==2,∴数列{bn}是首项为1,公比为2的等比数列,∴Tn=(a1+a2+…+an)+(b1+b2+…+bn)=(n2+n)+=n2+n+2n-1. 15.解:(1)设等差数列{an}的公差为d, 由解得所以an=n. log2b1+log2b2+…+log2bn=①, 当n≥2时,log2b1+log2b2+…+log2bn-1=②, ①-②得log2bn=n(n≥2),则bn=2n(n≥2),当n=1时,log2b1=1,则b1=2,满足上式,所以bn=2n. (2)记cn=(-1)nanbn=(-1)nn·2n=n(-2)n, 则Tn=(-2)1+2×(-2)2+3×(-2)3+…+n·(-2)n, -2Tn=(-2)2+2×(-2)3+…+n(-2)n+1, 两式相减得3Tn=(-2)1+(-2)2+(-2)3+…+(-2)n-n(-2)n+1=-n(-2)n+1, 故Tn=. 16.解:(1)由题意得,-=-,所以-=-,即-=.又=1,所以数列是以1为首项,为公差的等差数列,所以=,即Sn=an,所以Sn+1=an+1,两式相减得an+1=an+1-an,即an+1=an,所以==…==1,因此{an}的通项公式为an=n. (2)证明:由(1)可得bn=,则==·.因为==·,且==(+),×(+)==1+<2,所以=·=·(+)<2,所以++…+<=< 学科网（北京）股份有限公司 $$