湖北省荆门市2024-2025学年高二下学期期末学业水平检测数学试卷

荆门市2024一2025学年度下学期期末 高二年级学业水平检测 数 学 本试卷共4页，19题。全卷满分150分。考试用时120分钟。 ★祝考试顺利★ 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并将准考证 号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草 稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的， 1.函数y=n1的导函数为() A.y=-1 B.少= C.y'=Inx D.y'=-n(-x) x 2.设直线1：x+2y+a2=0,圆C:(x-1)2+(y-2)2=4,则1与圆C() A,相交 B.相切 C.相离 D.以上都有可能 3.如果某地的财政收入x与支出y满足线性回归方程)=x+a+e(单位：亿元)，其中，b=1, a=2,≤0.5.若今年该地区财政收入为10亿元，则年支出预计不会超过() A.12亿元 B.12.5亿元 C.10亿元 D.10.5亿元 4.已知直线y=x+1是曲线f(x)=lnx+a的切线，则a=（) A.-1 B.1 C.-2 D.2 5.某马拉松活动中，将5名志愿者分配到4个服务点参加志愿工作，每人只去1个服务点， 每个服务点至少安排1人，则不同的安排方法共有() A.60种 B.120种 C.240种 D.360种 6.已知a>0,函数f(x)=x2-alnx+1在(1,3)内是单调递增函数，则实数a的取值范围是() A.0<a≤2 B.0<a≤18C.2≤a≤18 D.a22 7.如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点0出发，每隔1s等可能地向左或向右移动一 个单位，则移动6次后质点位于4的位置的概率是( 6543296123496 B.5 C.3 D.9 32 32 32 高二数学试卷第1页（共4页） 8,已知椭圆C:+y1的左、右焦点分别为，乃，直线y=x+m与C交于点AB两点 若△FAB面积是△FAB的2倍，则m=() A.-3V2 B.5或-32 C.-2 3 D.-2 3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分.共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.以下结论正确的是（) A.具有相关关系的两个变量x,y的一组观测数据（伍，），(：，y),，(x,少)由此 得到的线性回归方程为y=x+a,回归直线)=bx+à至少经过点(：，y),(:,),…, (x,yn)中的一个点： B.相关系数，的绝对值越接近于1，两个随机变量的正相关性越强 C.已知随机变量X服从二项分布B(p),若E(X)=30,D(X)=20,则p=号 D.设5服从正态分布N@),若P(5>)=p,则p-1<5<0)-=之p 10.已知袋子中有a个红球和b个蓝球，现从袋子中随机摸球，则下列说法正确的是() A.每次摸1个球，摸出的球观察颜色后不放回，则第2次摸到红球的概率为 a+b B.每次摸1个球，摸出的球观察颜色后不放回，则第1次摸到红球的条件下，第2次摸到 红球的概率为a-l a+b-1 C.每次摸出1个球，摸出的球观察颜色后放回，连续摸n次后，摸到红球的次数X的方 差为@ a+b D.从中不放回摸n(a≤a)个球，摸到红球的个数X=k的概率是P(x=利=CC C 11.如图，在棱长为2的正方体ABCD-ABCD中，点O为线段BD的中点，且点P满足 BP=BC+BB(0≤元≤L,0≤4≤1)，则下列说法正确的是（) A.若DP1/平面ABD,则2+：最小值为 D C B.若P0⊥平面4BD,则元=H=1 C.若1==)，则P到平面4BD的距离为25 2 D.若A=1,0≤4≤1时，直线DP与平面ABD所成角为0， 56 33 高二数学试卷第2页（共4页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分共15分 12.(1-3x)°的展开式中，含x项的系数为 ,(用数字作答) 1B.设4B是两个相互独立事件，且P(4=号P()=则P(4+可)=一 14.若函数f(x)=ar2-x+(x+1)nx存在极值点，则实数a的取值范围 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分13分) 已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且2Sn=2a。+n2-1. (1)求an: (2)求数列 的前n项和T。 ad 16.(本小题满分15分) 已知函数f闭=式+分式+2am。 (1)若曲线y=f(x)在点P(2,f(2)处的切线的斜率为6，求实数a; (2)若a=3,求f(x)的极值： (3)当0<a<2时，在4个上的最小值为，求/在该区间上的最大值。 17.(本小题满分15分) 已蜘知椭圆C+i@>b>0)的离心率为，且经过L?D 过D1,0)的直线 b2 1与椭圆C相交于A,B两点. (1)求椭圆C的标准方程： (2)设点M(4,0),记直线MA,MB的斜率分别为k,k2,证明k1+k2为定值 高二数学试卷第3页（共4页） 18.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=ae-2x,a∈R. (1)若f(x)有2个零点，求a的取值范围： (2)当a=2时，证明：f)-nx+2x-≥0在(0，+w)上恒成立 19.(本小题满分17分) 在概率统计中，常常用频率估计概率.已知袋中有若干个红球和白球，有放回地随机摸 球n次，红球出现m次.假设每次摸出红球的概率为P,根据颜率估计概率的思想，则 每次摸出红球的概率p的估计值为P=严 (1)若袋中这两种颜色球的个数之比为1：3，不知道哪种颜色的球多.有放回地随机摸取3 个球，设摸出的球为红球的次数为Y,则Y~B(3,P). (注：P(Y=k)表示当每次摸出红球的概率为P时，摸出红球次数为k的概率) ()完成下表，并写出计算过程： k 0 2 3 P(Y=k) 27 1 64 64 (Y=k) 9 27 4 64 64 ()在统计理论中，把使得P(Y=k)的取值达到最大时的P,作为P的估计值，记为 户，请写出的值. (2)把(1)中“使得P,(Y=k)的取值达到最大时的P作为P的估计值P”的思想称为最 大似然原理.基于最大似然原理的最大似然参数估计方法称为最大似然估计，具体步 骤：先对参数0构建对数似然函数I(),再对其关于参数0求导，得到似然方程 '()=0,最后求解参数0的估计值.已知Y~B(mp)的参数P的对数似然函数 为1p)=∑X,np+∑0-Xn(1-p),其中X= 「0，第次摸出白球 1,第次摸出红球·求参数P的估 计值，并且说明频率估计概率的合理性 高二数学试卷第4页（共4页）荆门市2024一2025学年度下学期期末 高二年级学业水平检测 数学参考答案 命审题人员：龙泉中学周娟马淑敏桂振兴 题号 3 4 5 6 8 9 10 11 答案 A C 0 A CD ABD ACD 1.A【详解】解：y=-(nx=-: 2.C【详解】圆C:(x-}+(y-2}=4的圆心为C1,2),半径r=2,则圆心C到直线1的距离 4"栏，5产疗2=”故直线与圆C相离 5 5 3.B【详解】因为)=x+a+e=x+2+e,所以当x=10时，y=10+2+e=12+e≤12+0.5=12.5. 4.D【详解】函数f(x)=lnx+a,求导得f)=,令直线y=x+1与曲线f(x)=lnx+a相 切的切点为(xo,lnx,+a): 于是上=1且n+a=+l,所以a=x+1=2· 5.C【详解】不同的安排方法共有CA=240种. 6.A【详解】”f"(x)=2x-a，由题知，故f(x)≥0对x∈L,3)恒成立，所以0<a≤2. 7.C【详解】质点移动6次，可能的结果共有2×2×2×2×2×2=64种情况，质点位于4的位 置则质点向左移动1次，向右移动5次，共C。=6种情况，∴质点位于4的位置的概率 为P=6=3 6432 8.C【详解】设直线=x+m与轴的交点为M,则M(-m0)所以SMEy,一 S5=M5,-n.因为S=2S54,所以刘MR=2MR引.由号+少2=1得c=2, 2 即F(2,0E(N2,0),F5=25所以 1-5+m卡2引5+m,解得m=-5或-32 高二数学答案第1页（共8页）】 y=x+m 因为y=x+m与C有两个交点，联立 +y2=1 消y得4x2+6r+3m2-3=0, 3 则△=36m-163m2-3)>0,解得m<4.所以m=-巨 3 9.ACD 【详解】对于A,由回归直线的特征可知：样本点是可能在回归直线上，故选项A正确： 对于B,相关系数·越接近于1，两个随机变量的正线性相关性越强，故选项B错误： 对于C,因为随机变量X服从二项分布B(m,p),且E(X)=30,D(X)=20,则 0p=20解得：n=号故选项C正确： p=30 对于D,若随机变量5服从正态分布N(0,),则其图象关于y轴对称，若P(5>1)=p, 则P0<5<小=P,所以P(1<5<0)=方P,故选项D正确 10.ABD 【详解】对于A选项，记事件A:第一次摸红球，事件A:第一次摸蓝球，事件B:第二次摸红球， 则P(8)=P(AB)+PA,B)片axa-Lbx a a+ba+b-了a+ba+6-司a+b,A对： 对于B选项，每次摸1个球，摸出的球观察颜色后不放回，则第1次摸到红球的条件下， 第2次摸到红球的概率为P(B4)=a-L,B对： a+b-1 对于C选项，由题意可知X~Bn,一 则D(X)=nxa,xb=nab 、a+b a+ba+b(a+b,C错： 对于D选项，从中不放回摸n(n≤a)个球，摸到红球的个数X=k的概率是 P(X=k)= -,D对 11.ACD 【详解】如图，以点D为坐标原点，以DA、DC、DD所在直线为 x八z轴建立空间直角坐标系，则有 D(0,0.0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2.0),D(0,0,2),B(2,2,2).A(2,0,2),C(0,2,2),01,1,0), 高二数学答案第2页（共8页） 则BC=(-2,0,0),BB1=(0,0.2),BP=2BC+uBB=(←2,0,2μ)， 对于A:AB=(0,2,-2),DA=(2,0,2)D,B=2,2,-2）设平面ABD的一个法向量为 J2y-2z=0 m=(小，则有2x+220令x=1,则y==-山，故m=-1-因为 DP=D,B+BP=(2-2元2,2-2)，D,P11平面ABD,所以m·D,P=2-21-2-2H+2=0, 得+u=1,又因为0≤元us1,所以+≥a+四号 2 2 当且仅当入=4=时，等号成立，所以是+的最小值为宁，故A正确： 对于B:BO=(-L,-l,0),则PO=BO-BP=(22-1,-l,-2),若P0⊥平面4BD,则有 P01m,即22-=1-2μ 1-1-1 解得入=山“=乞故B错误： 对于C:若==则丽=(l0),则P到平面4BD的距离为上 m列_上-1_25， 故C正确： 对于D:BD=(-2,-2,0),当2=1,0≤4≤1时，DP=Bp-BD=(0,2,24),则 cos DP,m= 师.m2u+25+H5u+-5424 Dmm3×√4+423㎡+13V正H3V2+ 当4=0时， s原小号 当0<4≤1时， 原号 +2 2 6 +13 * 3 3 当且仅当4=1时，等号成立， 即sne5v6 33 故D正确。 12.-12【详解】因为(1-3x)的展开式的通项为T,1=C1(-3x)=C(-3x),令r=1, T=C4(-3x)=-12x, 高二数学答紫第3页（共8页） 13.各【详解】由题知，P氏)-子P()= 6 P叫回=到州可号号青 P(4+同=P(A)+P(回-P(4B- 14.（一心，0)【详解】f(d)存在极值点等价于f()=2m++mr存在变号零点，等价于 -20=宁+货存在变号实根，令(-宁+严则)=血2，令 r p(x)=x-xr-2,则p'(x)=-lnr,当xe(0,1)时，p'(x)>0,p(x)单调递增，当xe(1,+o) 时，p(x)<0,p(x)单调递减，所以p(x)≤p(I)=-1<0,所以'(x)<0,所以h(x)单 调遥减.令y=1+血xxe0,+o),所以广=1+血，令/=0，解得x尽当0<x<日 时，y<0,所以y=1+xnx在(0，马上单调递减，当x>时，y>0,所以y=1+xnx在 L,+o)上单调递增，所以当x=上时，y=1+xnx取得极小值即最小值，所以 y=1+xnx≥1+n=1->0,所以h(x)= ee 1+r>0,当x无限趋向于0时， A)宁+华趋向于正无穷大，当无限趋向于正无穷大时，)-+严趋向于0， 所以-2a>0,即a<0. 故实数a的取值范围为(-o,0) 15.解：(1)由25。=2a.+n2-1① 所以当n22时，2S.1=2a。1+(n-1)2-1②.… 2分 ①-②得：2a,=20-2a,+21-1,整理得a1=1-21之2,4分 所以a,=n+2neN 6分 (2)由(1)知a,=n+2 11.22 所以aa+ ,13 1 +2八+2+2n+ 3+12+3,10分 2 1 2 222 所以T= -++ 1=2222 +…+ aa,aa aa13557 2n+12n+332n+3 13分 高二数学答紫第4页（共8页） 16.解：(1)因为f'(x)=-x2+x+2a, 曲线y=f(x)在点P(2,f(2》处的切线的斜率k=f"(2)=2a-2,2分 依题意：2a-2=6,a=4.4分 (2)当a=3时，fx)=- x3 +x2+6x,f()=-x2+x+6=-(x-3Xex+2 6分 (0,-2)】 -2 （2,3) 3 (3,+o) f'(x) 0 + 0 f(x) 单减 22 单增 27 3 2 单减 8分 所以，f(x)的极大值为 27 ，f(x)的极小值为一 22 3 9分 (3)f(x)=-x2+x+2a,因为0<a<2.△>0， 410分 令f)=-+x+2a=0,得x=1上+8,5=1++8a,f闭在(，，w上 2 单调递减，在(6，x)上单调递增， 11分 当0<a<2时，有x<1<x2<4,所以f(x)在[1,4上的最大值为f(x), 而-0=-9a+36-00<a<2),放0<0.l13分 所以了在L4上的最小值为了4=8a-0=-5,解得：a=人=2， 3 故国在[L4上的最大值为f2= 3 l5分 17.解：（1)由题意得：e=￡= 又a2=b2+c2,故a2=4b2 2 2分 3 3 又因为经过 将点带入椭圆方程：1 2 =4分 4b2b2 b2=1,a2=4椭圆方程为： +y2=16分 (2)若直线AB的斜率为0，则k1十k2=0,7分 高二数学答案第5页（共8页） 当若直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为：x=y+1,A(x,片)，B(x2) x=y+1 联立方程可得： +y2=1→+42+2y-3=0. -21 -3 则△>0，由韦达定理可知：乃+乃=产+4少2+4 9分 k+k=片，+五=乃.+=2丛-30y+) x-4x2-4y1-3y2-3(1-302-3) 2-30+)小上，0-324-0,4分 t2+4t2+4 综上：故k+k2=0. 415分 1解0)由刊有2个零点放a-兰令8小-产 则y=g)与y=a的图象有2个交点，… 2分 g)=2=,xe(x1)时，g>0,当xeL+o)时，g<0 故y=g(x)在在(-o,1)上单调递增，在(L,+)上单调递减， 放y=g=g)=2,且当x<0时，g)<0,…4分 当x趋向于正无穷时，y=e趋向于正无穷的速率远远比y=2x大，故y=g(x)趋 向于0， 结合图象可知，当a∈ 时，y=gx)与y=a的图象有2个交点， e 故a的取值范围是 2 0 7分 (2)当a=2时，)=2e-2x, 要证f-nx+2r-≥0在0，+o)上恒成立，即证2c4-1nx-氵之0在(0，+o)上 2 恒成立 高二数学答案第6页（共8页） 设=2-nx-x>0h-22->0,9分 y=2和y=-在(0，o)均单调递增，故h)在(0，+o)单调递增 A0=1>0h9}-2e-2<0 故存在xe行使得6)=0，且2e=→n2+,-1=-h元 h(x)在(0，xn)单调递减，在(xo,+0)单调递增， 13分 31-n2x0 hx)in=t )=2e-nxo -=+n2+-1--+6+1n2- Γ2x0 l5分 又因为+>2，所以A>h2->0.所以)-nx+2x-20在 (0,+0）上恒成立 .17分 19.解：(1)因为袋中这两种颜色球的个数之比为1：3，且YB(3,P), 所以P的值为安子 2分 0当n-时.R=-=cp0-p-器-2-cp-p叭8 当p-t,A=o)=cp0-pja Y=2)=Cp20-p）= 64’4分 表格如下 0 3 P(Y=k) 2 27 4 64 64 64 P(Y=k) 9 27 27 64 64 64 64 .5分 高二数学答案第7页（共8页）》 (i)由上表可知P,(Y=k)=Cp(L-p)广 当Y=0或1时，参数p=的概率最大：当Y=2或3时，参数刀=的概率最大. 所以p 经-01 .8分 2=23 2)由p-2xnn+2-x)m0-,则r)2x已n2-X). 号220-x-0,即2.0-0.赵 用， 1川分 故p=空x,即当p时，p0,当p日x时，p0 故(p)在9 立上单调通增，在之x,上单调递减。 5分 即当p=∑x,时，1p)取最大值，故户=X, n 因此，用最大似然估计的参数与频率估计概率的P是一致的，故用频率估计概率是合理 的 ........... 17分 高二数学答案第8页（共8页）