精品解析：四川省乐山市2024-2025学年八年级下学期教学质量监测数学试题

乐山市八年级教学质量监测数学 本试题卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）两部分，共6页．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效．满分150分．考试时间120分钟．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回． 第一部分 选择题 注意事项： 1．选择题必须用2B铅笔将答案标号填涂在答题卡对应题目标号的位置上． 2．第一部分共12题，每小题3分，共36分． 一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列式子是分式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的定义．根据分式的定义，分母中含有字母的代数式称为分式．需逐一判断各选项分母是否含有字母，即可． 【详解】解：选项A：，分母为常数3，不含字母，属于整式，故本选项不符合题意． 选项B：，分母为，含字母和，符合分式定义，故本选项符合题意． 选项C：，分母为常数13，不含字母，属于整式，故本选项不符合题意． 选项D：，分母为圆周率（常数），不含字母，属于整式，故本选项不符合题意． 故选：B． 2. 2025年3月，在上海半导体展上，代号“峨眉山”的光刻机惊艳亮相，它能以0.000000005米的精度在米粒上刻下《论语》全文，数据0.0000000005用科学记数法表示为（　　） A. B. 5 C. 5 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键；科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数． 【详解】解：将数据0.0000000005用科学记数法表示为； 故选A． 3. 如图，手掌盖住的点的坐标可能为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中象限里点的特点，掌握象限中点坐标的符号是解题的关键． 根据第四象限中点坐标的符号即可求解． 【详解】解：手盖住的点在第四象限， ∴盖住点的坐标的符号为， ∴四个选项中，只有D选项符合题意． 故选：D． 4. 若一组数据2，，3，4，5的众数是5，则这组数据的中位数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】由众数的定义得出，再将数据重新排列后由中位数的定义可得答案． 【详解】解：数据2、、3、4、5的众数为5， ， 将数据从小到大重新排列为2、3、4、5、5， 所以中位数为4． 故选：． 【点睛】本题考查众数、中位数，解答本题关键是明确题意，求出这组数据的中位数． 5. 如图，在平行四边形中，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可知：，所以，再由可得，进而可求出的度数． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， 故选：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，关键是熟练掌握平行四边形对边平行以及等腰三角形的性质． 6. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件得到，将其代入化简后的式子求值即可． 【详解】解：因为，得． 所以． 故选：． 【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，运用因式分解法正确将所给的分式分子、分母因式分解是解题的关键． 7. 已知点在第二象限，则直线的图像大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题象限中点的符号，一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答． 根据点在第二象限，可知，，然后根据一次函数的性质，即可得到直线的图象经过哪几个象限． 【详解】解：点在第二象限， ，， 直线的图象经过第一、二、四象限， 故选：C． 8. 如图，两条宽均为的纸条，交叉叠放在一起，且它们的夹角为，则它们重叠部分的面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，过点B作于E，于F，由题意得，，，则可证明四边形是平行四边形，得到，由等面积法可得，则，求出，得到，由勾股定理可得，则，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点B作于E，于F， 由题意得，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴它们重叠部分的面积为， 故选：C． 9. 若将、的值扩大3倍，分式的值（　　） A. 缩小3倍 B. 不变 C. 扩大3倍 D. 扩大9倍 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质，即分式的分子和分母同时乘（或除以）同一个不为的整式，分式的值不变，通过代入和化简来判断分式值的变化是解题的关键．根据、的值扩大倍得到新的、值，再将其代入原分式，通过化简新分式并与原分式对比，从而判断分式值的变化情况． 【详解】解：将、的值扩大倍，则变为，变为，代入分式可得： ∵分子分母可提取公因式， ∴ 新分式与原分式相同，所以分式的值不变． 故选：B． 10. 如图，在矩形中，点是上一点，且，，垂足为点，在下列结论中，不一定正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据已知条件判定，再根据矩形的对边相等，以及全等三角形的对应边相等进行判断即可． 【详解】解：A、由矩形，可得，， ． 又， ，故A正确； B、由，可得， 由矩形，可得， 又， ，故B正确； C、由，可得， 由矩形，可得， ，故C正确； D、不一定等于， 直角三角形中，不一定等于的一半，故D错误； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了矩形和全等三角形，解决问题的关键是掌握矩形的性质：矩形的四个角都是直角，矩形的对边相等．解题时注意：在直角三角形中，若有一个锐角等于，则这个锐角所对的直角边等于斜边的一半． 11. 代数式的值一定不为（　　） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了分式的混合运算，解分式方程，正确进行分式的混合运算是解题关键．将代数式化简后分析各选项的可能性，确定无法取到的值即可. 【详解】解： ， 选项D（0）：当分子即时，分母，此时值为0，可能； 选项C（1）：若，则，解得矛盾，无解，故不可能； 选项B（2）：若，解得，分母，可能； 选项A（3）：若，解得，分母，可能； 综上，代数式的值一定不为1， 故选C 12. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限内交于点，与轴交于点．若，则的值为（　　） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数k 的几何意义，相似三角形的判定和性质．作轴，轴，证明，根据对应边成比例得出，，再根据反比例函数图象上的点的坐标特征，得出，进而证明，可得，再根据即可求解． 【详解】解：如图，连接，过点A，B分别作x轴的垂线，垂足为D，E， ， ， 轴，轴， ， ， ， ，， 是反比例函数在第一象限上的点， ， ， ， ， ， ， ， 反比例函数图象经过第一象限， ， ， 故选B． 第二部分 非选择题（共114分） 注意事项： 1．考生须用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答案区域作答，作图可用铅笔画线，确认后用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚，答在试题卷上无效． 2．本部分共16小题，共计114分． 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分． 13. 计算：___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查负整数指数幂，利用负整数指数幂的法则，进行计算即可． 【详解】解：； 故答案为：． 14. 四名选手参加射击预选赛，他们成绩的平均环数及方差S2如右表所示．如果选出一个成绩较好且状态稳定的人去参赛，则应选____． 甲 乙 丙 丁 平均环数 7 8 8 7 s2 1 1 1.2 1.8 【答案】乙 【解析】 【分析】先比较平均数，乙丙的平均成绩好且相等，再比较方差即可解答． 【详解】解：由表格中数据可知，乙、丙的平均成绩最好， 由于丙的方差大，波动大，乙的方差小，波动小，所以应选乙． 故答案为：乙． 【点睛】本题考查方差的意义：反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立． 15. 若分式方程有增根，则增根为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，把原方程去分母化为整式方程，再解方程并检验即可得到答案． 【详解】解： 去分母得：， 解得， 检验，当时，， ∴是原方程的增根， 故答案为：． 16. 如图，在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，D为斜边AB上一动点，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E、F．则线段EF的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】连接CD，证四边形CEDF是矩形，可得EF＝CD，再由垂线段最短可得CD⊥AB时线段CD的长最小，进而解答即可． 【详解】解：如图，连接CD， ∵DE⊥BC，DF⊥AC，∠ACB＝90°， ∴四边形CEDF是矩形， ∴EF＝CD， 由垂线段最短可得：CD⊥AB时，线段CD的长最小， 在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4， ∴AB＝＝＝5， 当CD⊥AB时， ∵△ABC的面积＝AB×CD＝AC×BC， ∴CD＝＝＝， ∴EF的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理以及三角形面积等知识；熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 17. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点．则不等式的解集为___________． 【答案】或##或 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题．熟练掌握两函数图象的上下位置关系，求出交点B的坐标，是解题的关键． 根据一次函数图象与反比例函数图象的上下位置关系，求出交点B的坐标，即可得出不等式的解集． 【详解】解：∵一次函数与反比例函数的图象交于点， ∴，． ∴． ∴． ∴不等式解集为或． 故答案为：或． 18. 如图1，在平面直角坐标系中，四边形是矩形．直线由原点开始向上平移，所得的直线与矩形两边分别交于两点，设面积为与函数关系的图象如图2所示． （1）点的坐标为___________； （2）当时，函数与函数解析式为___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是明确题意，求出相应的各段的函数解析式，明确各自对应的函数图象． （1）根据图象可知，当点在上运动时，面积对应的函数图象为这 段图象，故由时可求出点的坐标； （2）由图象可知，当时，点在上运动，此时点N到的距离不变为4，再根据三角形面积得结论． 【详解】解：（1）当点N从点O移动到点A时，如图所示， ∵与矩形两边分别交于M、N两点， ∴点M的坐标是，点N的坐标是，面积为S， ∴S与b函数关系式是：； ∴当时，直线经过点， ∴； 当点时，如图所示， 此时点N到的距离不变为4， ∴； 故答案为：；． 三、本大题包含第19题、20题、21题，共3小题，每小题8分，共24分． 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的减法运算，掌握运算法则是解题的关键． 通分化为同分母的分式减法计算即可． 【详解】解：原式． ． ． 20. 如图，在中，点分别在对边和上，且．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，由平行四边形的性质得，再求出即可证明四边形是平行四边形． 【详解】证明： ∴． 四边形是平行四边形． 21. 已知一次函数的图象经过点和点，求当时，函数y的值． 【答案】﹣17 【解析】 【分析】把点（−1，1）和点（1，−5）代入y＝kx＋b得到一个关于k、b的方程组，从而求解． 【详解】解：因为一次函数y＝kx＋b的图象经过点（−1，1）和点（1，−5）， 根据题意可得：， 解得：， ∴次函数的解析式为：y＝−3x−2， 把x＝5代入解析式可得：y＝−3×5−2＝−17． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，正确解方程组求出k、b的值是解题的关键． 四、本大题包含第22题、23题、24题，共3小题，每小题9分，共27分． 22. 解答下列问题时，小张和小李两位同学写出了不完整的解答过程． 学校组织春季“远足”，学生队伍从学校出发后，做后勤保障的老师带着保障用品，骑自行车从学校出发，在距离学校处追上学生队伍．已知老师的速度是学生的速度的倍，求老师和学生的速度各是多少？ 小张：． 小李：设学生的速度为． 根据以上信息，解答下列问题． （1）小张所列方程中的表示___________； （2）根据小李设的未知数，列方程并解答． 【答案】（1）学生走用的时间； （2）方程见解析，学生的速度为，老师的速度为． 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程的应用，涉及追及问题中的时间、速度与路程关系，以及如何根据题意建立正确的方程． （1）需要分析小张所列方程中未知数的含义； （2）根据小李设的学生速度，利用老师和学生行驶路程相同但时间不同的关系来列方程． 【小问1详解】 解：分析方程， 右边，已知老师的速度是学生的速度的倍， 因此应为学生的速度，x为学生从出发到被老师追上，学生用的时间． 左边表示老师的速度，而学生比老师多用1小时，因此实际上是老师的时间． 小张的方程中，x表示由学生走用的时间；． 【小问2详解】 解；设学生的速度为，则老师的速度为，由题得 解得 经检验，为方程的根 学生的速度为，则老师的速度为． 23. 为深入学习贯彻年全国“两会”精神，培养发展新质生产力所需要的高素质人才，某校组织了以“聚焦两会热点争做时代青年”为主题的知识竞赛，并随机抽查了八、九年级各名学生的成绩单位：分，进行了如下数据的整理与分析． 数据收集： 八年级名学生的竞赛成绩分别为：，，，，，，，，，； 九年级名学生的竞赛成绩分别为：，，，，，，，，，． 数据整理分析： 平均数 中位数 众数 方差 八年级 九年级 根据以上统计信息，回答下列问题： （1）表中 ______， ______； （2）若该校八年级名学生均参加了本次知识竞赛，请你估计该校八年级学生本次竞赛成绩在分及以上的学生人数； （3）九年级小芬认为，在此次知识竞赛中，九年级成绩比八年级成绩好，你同意吗？请选择适当的统计量说明理由． 【答案】（1）， （2）人 （3）同意，见解析 【解析】 【分析】（1）根据中位数、众数的定义直接求解即可； （2）用乘以八年级学生本次竞赛成绩在分及以上的学生人数所占的比例即可； （3）根据平均数、中位数、众数以及方差的意义判断即可． 【小问1详解】 解：八年级名学生的竞赛成绩排序：，，，，，，，，，， 中间的数是，， 中位数， 九年级名学生的竞赛成绩中，出现次数最多， 这组数据的众数是，即的值为， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：（人）， 答：估计该校八年级学生本次竞赛成绩在分及以上的学生人数为人； 【小问3详解】 解：同意， 理由：两个年级学生竞赛成绩的平均数相同，而九年级学生竞赛成绩的方差小，成绩稳定， 九年级成绩比八年级成绩好． 【点睛】本题考查了统计表、中位数、众数、平均数和方差、用样本估计总体，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 24. 在“综合与实践”课堂上，同学们经过探索发现“将中心对称图形面积二等分的直线往往会经过对称中心”，如：平行四边形的对角线交于点，过的直线，将平行四边形等分成面积相等的四边形和四边形． 课后，小李想运用课堂上探究的结论，用一条直线将图的面积等分成两份．请你用三种方法完成（保留画图痕迹，不写画法）． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质． 根据题意构造矩形连接对角线交点即可． 【详解】解：如图： 五、本大题包含第25题、26题，共2小题，每小题10分，共20分． 25. 在一堂平面几何专题复习课上，刘老师先引导学生解决了以下问题： 【问题情境】 如图，在中，点在边上，，求证：． 证明：如图，在边上截取一点，使得，连接． 在和中． ①___________ 又 ②___________ 又 ③___________ 【问题解决】 上述问题情境中，“①”处应填：___________；“②”处应填：___________；“③”处应填：___________． 刘老师进一步谈到：证明线段相等问题时，可根据已知条件，在较长线段上截取一段，构造三角形全等的条件．通过证明三角形全等解决问题，此过程体现了转化的思想方法． 【知识迁移】 如图，在正方形中，是边上一点，点在延长线上，平分，求证：． 【答案】[问题解决]；；；[知识迁移]见解析． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，添加合适的辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）根据可判定，得到①的答案；根据等角对等边可得②的答案；根据等量代换可得③的答案； （2）在边上截取一点，使得，连接，根据正方形性质和角平分线的定义可推出，从而得到，然后由，，可推出，即可证明，从而得到结论． 【详解】解：[问题解决] 如图，在边上截取一点，使得，连接． 在和中， ， ， ， 又， ， ， ， ， 又， ， 故答案为：；；； [知识迁移] 证明：在边上截取一点，使得，连接，如图， 正方形， ， 又， ， ， ， ， 平分， ， ， 又， ， ， 在和中， ， ， ． 26. 如图所示，直线与轴负半轴、轴正半轴分别交于、两点． （1）若，求直线的解析式； （2）当取不同的值时，点在轴正半轴上运动，以为旋转中心，将线段顺时针旋转得线段，将线段逆时针旋转得线段，连接交轴于点，求证：的长为定值． 【答案】（1）直线的解析式； （2）见解析． 【解析】 【分析】本题主要考查的是一次函数的综合应用，解答本题主要应用了一次函数图象上点的坐标与解析式的关系、全等三角形的性质和判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）利用待定系数法求一次函数解析式即可； （2）先得到点A和B的坐标，作轴于点，得到，即可求出，然后求出直线的解析式，得到点的坐标解答即可． 【小问1详解】 解：由交两轴于、两点 ． ， ，即 直线的解析式． 【小问2详解】 解：当时，；当时，，解得， ∴点A的坐标为，点A的坐标为， 作轴于点， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ． 设直线为，则 为 ． 长为定值． 六、本大题共2小题，第27题12分，第28题13分，共25分． 27. 对于正数，规定．请解答下列问题． （1）计算：； （2）计算：； （3）探究是否存在正数使得成立，若存在，请求出的值． 【答案】（1）1； （2）； （3）存在，时，题中等式成立． 【解析】 【分析】本题主要考查了求代数式的值，分式的计算以及解分式方程； （1）根据题意，将和分别代入代数式，即可求解； （2）根据题意得出，进而根据平方差公式展开结合新定义，即可求解； （3）根据，，代入计算即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得； 【小问2详解】 解：由（1）可知，则 ； 【小问3详解】 解：由（1）可知，得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，整理得， 解得， 经检验，是方程的解， 由上可得，时，题中等式成立． 28. 如图1，矩形在平面直角坐标系中，点在轴上，点在轴上，点坐标为．反比例函数的图象与交于点，与交于点． （1）求证：； （2）若的面积为，求反比例函数的解析式； （3）如图2，在（2）的条件下，将沿轴的正方向平移得到，若线段在内部的长度为3．求点的坐标． 【答案】（1）见解析； （2）反比例函数解析式为； （3）点的坐标为或． 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，反比例函数与几何综合，正方形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）由矩形的性质可得，则根据点B坐标可得，则可证明四边形为正方形，得到，可求出．则．证明，即可证明． （2）根据列式求解即可； （3）由（1）（2）得，可求出直线解析式为直线解析式为；直线解析式为；设，由平移的性质可得，则平移方式为向右平移m个单位长度，则，可得直线的解析式为，直线解析式为，直线解析式为；再分当与交于与交于，当与交于，与交于，两种情况讨论求解即可． 【小问1详解】 证明：∵四边形是矩形， ∴， ， ∴ 四边形为正方形， ， 在中，当时，，当时，， ∴． ． 在和中． ， ． 【小问2详解】 解：∵， ∴， 解得或（舍去）， ∴反比例函数解析式为； 【小问3详解】 解：由（1）（2）得， 设直线解析式为， ∴， ∴ ∴直线解析式为 同理可得直线解析式为；直线解析式为； 设，由平移的性质可得，则平移方式为向右平移m个单位长度，则， ∴直线的解析式为，直线解析式为，直线解析式为； ①当与交于与交于， 在中，当时，， 中，当时，， ∴ ， 解得， ∴． ②当与交于，与交于， 同理可得 ， 解得， ∴． 综上，若线段在内部的长度为3，则点的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 乐山市八年级教学质量监测数学 本试题卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）两部分，共6页．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效．满分150分．考试时间120分钟．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回． 第一部分 选择题 注意事项： 1．选择题必须用2B铅笔将答案标号填涂在答题卡对应题目标号的位置上． 2．第一部分共12题，每小题3分，共36分． 一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列式子是分式的是（　　） A. B. C. D. 2. 2025年3月，在上海半导体展上，代号“峨眉山”的光刻机惊艳亮相，它能以0.000000005米的精度在米粒上刻下《论语》全文，数据0.0000000005用科学记数法表示为（　　） A. B. 5 C. 5 D. 5 3. 如图，手掌盖住的点的坐标可能为（　　） A. B. C. D. 4. 若一组数据2，，3，4，5的众数是5，则这组数据的中位数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 如图，在平行四边形中，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知点在第二象限，则直线的图像大致是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，两条宽均为的纸条，交叉叠放在一起，且它们的夹角为，则它们重叠部分的面积为（　　） A. B. C. D. 9. 若将、的值扩大3倍，分式的值（　　） A. 缩小3倍 B. 不变 C. 扩大3倍 D. 扩大9倍 10. 如图，在矩形中，点是上一点，且，，垂足为点，在下列结论中，不一定正确的是（　　） A. B. C. D. 11. 代数式的值一定不为（　　） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 12. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限内交于点，与轴交于点．若，则的值为（　　） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 第二部分 非选择题（共114分） 注意事项： 1．考生须用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答案区域作答，作图可用铅笔画线，确认后用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚，答在试题卷上无效． 2．本部分共16小题，共计114分． 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分． 13 计算：___________． 14. 四名选手参加射击预选赛，他们成绩的平均环数及方差S2如右表所示．如果选出一个成绩较好且状态稳定的人去参赛，则应选____． 甲 乙 丙 丁 平均环数 7 8 8 7 s2 1 1 1.2 1.8 15. 若分式方程有增根，则增根为___________． 16. 如图，在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，D为斜边AB上一动点，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E、F．则线段EF的最小值为_____． 17. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点．则不等式的解集为___________． 18. 如图1，在平面直角坐标系中，四边形是矩形．直线由原点开始向上平移，所得的直线与矩形两边分别交于两点，设面积为与函数关系的图象如图2所示． （1）点的坐标为___________； （2）当时，函数与函数解析式___________． 三、本大题包含第19题、20题、21题，共3小题，每小题8分，共24分． 19. 计算：． 20. 如图，在中，点分别在对边和上，且．求证：四边形是平行四边形． 21. 已知一次函数的图象经过点和点，求当时，函数y的值． 四、本大题包含第22题、23题、24题，共3小题，每小题9分，共27分． 22. 解答下列问题时，小张和小李两位同学写出了不完整的解答过程． 学校组织春季“远足”，学生队伍从学校出发后，做后勤保障的老师带着保障用品，骑自行车从学校出发，在距离学校处追上学生队伍．已知老师的速度是学生的速度的倍，求老师和学生的速度各是多少？ 小张：． 小李：设学生的速度为． 根据以上信息，解答下列问题． （1）小张所列方程中的表示___________； （2）根据小李设的未知数，列方程并解答． 23. 为深入学习贯彻年全国“两会”精神，培养发展新质生产力所需要的高素质人才，某校组织了以“聚焦两会热点争做时代青年”为主题的知识竞赛，并随机抽查了八、九年级各名学生的成绩单位：分，进行了如下数据的整理与分析． 数据收集： 八年级名学生的竞赛成绩分别为：，，，，，，，，，； 九年级名学生的竞赛成绩分别为：，，，，，，，，，． 数据整理分析： 平均数 中位数 众数 方差 八年级 九年级 根据以上统计信息，回答下列问题： （1）表中 ______， ______； （2）若该校八年级名学生均参加了本次知识竞赛，请你估计该校八年级学生本次竞赛成绩在分及以上的学生人数； （3）九年级的小芬认为，在此次知识竞赛中，九年级成绩比八年级成绩好，你同意吗？请选择适当的统计量说明理由． 24. 在“综合与实践”课堂上，同学们经过探索发现“将中心对称图形面积二等分的直线往往会经过对称中心”，如：平行四边形的对角线交于点，过的直线，将平行四边形等分成面积相等的四边形和四边形． 课后，小李想运用课堂上探究的结论，用一条直线将图的面积等分成两份．请你用三种方法完成（保留画图痕迹，不写画法）． 五、本大题包含第25题、26题，共2小题，每小题10分，共20分． 25. 在一堂平面几何专题复习课上，刘老师先引导学生解决了以下问题： 问题情境】 如图，在中，点在边上，，求证：． 证明：如图，在边上截取一点，使得，连接． 在和中． ①___________ 又 ②___________ 又 ③___________ 问题解决】 上述问题情境中，“①”处应填：___________；“②”处应填：___________；“③”处应填：___________． 刘老师进一步谈到：证明线段相等问题时，可根据已知条件，在较长线段上截取一段，构造三角形全等的条件．通过证明三角形全等解决问题，此过程体现了转化的思想方法． 【知识迁移】 如图，在正方形中，是边上一点，点在延长线上，平分，求证：． 26. 如图所示，直线与轴负半轴、轴正半轴分别交于、两点． （1）若，求直线的解析式； （2）当取不同的值时，点在轴正半轴上运动，以为旋转中心，将线段顺时针旋转得线段，将线段逆时针旋转得线段，连接交轴于点，求证：的长为定值． 六、本大题共2小题，第27题12分，第28题13分，共25分． 27. 对于正数，规定．请解答下列问题． （1）计算：； （2）计算：； （3）探究是否存在正数使得成立，若存在，请求出的值． 28. 如图1，矩形在平面直角坐标系中，点在轴上，点在轴上，点坐标为．反比例函数图象与交于点，与交于点． （1）求证：； （2）若的面积为，求反比例函数的解析式； （3）如图2，在（2）的条件下，将沿轴的正方向平移得到，若线段在内部的长度为3．求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$