河南省南阳市方城县第一高级中学2024-2025学年高一下学期期末考试冲刺演练（五）数学试题

方城一高2025年春期高一年级期末考试冲刺演练（五）数学学科 1．B 【分析】根据复数的除法计算，再结合虚部定义计算求解. 【详解】复数z满足， 则， 则z的虚部为. 故选：B. 2．A 【分析】根据斜二测画法的定义，画出平面图形，求得原三角形的直角边，从而面积可得． 【详解】利用斜二测画法的定义，画出原图形，    由是等腰直角三角形，，斜边，得， 因此，， 所以原平面图形的面积是. 故选：A 3．A 【分析】先求再根据向量平行坐标表示列式，即可得结果. 【详解】因为，， 所以 因为， 所以 故选：A 4．C 【分析】设，利用数量积的坐标表示及向量模的坐标表示得到方程组，解得即可. 【详解】设，，，所以，， 又，， 所以，即①， ②， 由①②解得或， 故点的坐标为或． 故选：C 5．B 【解析】由条件求出，再由，代入数据即可得到答案. 【详解】， ． 又，， ∴． ． ， 即， 即． 原式． 故选：B 6．A 【分析】先在中利用余弦定理求出，则可得，再利用同角三角函数的关系求出，然后在中利用正弦定理可求出结果. 【详解】由题意得，在中， 由余弦定理得, 所以， 于是， 所以 在中，由正弦定理得， 所以. 故选：A 【点睛】本题考查同角的平方关系和诱导公式及二倍角的正弦公式的应用，考查运算能力. 7．D 【分析】通过线线垂直证线面垂直以及线面垂直证线线垂直，依次可证平面PBC，，，平面PAO，；同理可证，，即得点O是的垂心 【详解】连接OA、OB、OC， ∵，，平面PBC，，∴平面PBC， ∵平面PBC，∴． 由题意，平面ABC，平面ABC，∴， 又平面PAO，，∴平面PAO， 平面PAO，∴， 同理可证，，∴点O是的垂心． 故选：D 8．D 【分析】根据条件得出正三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，把三棱锥补形为正方体，则求正方体的外接球体积即可. 【详解】如图，因为，是边长为1的正三角形，所以三棱锥为正三棱锥， 所以顶点在底面上的射影为底面的中心，所以平面， 因为平面，所以，连接并延长交于点，则， 因为，所以平面，又平面，所以. 因为E，F分别是，的中点，所以， 因为，所以，所以，所以平面， 所以正三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，所以， 把三棱锥补形为正方体，则正方体的外接球即为三棱锥的外接球， 所以半径为， 所以球O的体积为.    故选：D 9．BCD 【分析】举反例可判断A；设，直接计算可判断B；利用韦达定理求解可判断C；利用反证法即可判断D. 【详解】对A，记，则，满足， 但，不满足，A错误； 对B，记， 若，则， ， 所以，B正确； 对C，若是关于x的方程（p，）的一个根， 则也是该方程的根， 由韦达定理得，解得， 所以，C正确； 对D，同B设，则， 假设，都不等于0， 由，则，则， 整理得，又，所以， 由可得，整理得，所以， 与假设矛盾，故假设不成立，即，中至少有一个是0，D正确. 故选：BCD 10．BC 【分析】首先化简函数，利用函数单调性得出，应用周期公式，对称性及最值，再根据函数的性质逐项判断即可. 【详解】 当时单调递增，则时，函数单调递增， 所以，所以； 不确定，A选项错误； 令，， 所以当时，时，时，函数图象的一个对称中心是，B选项正确； 设，因为函数的最大值为1， 所以函数的最大值是，故C选项正确； 已知在区间上单调递增，若函数在区间上单调递减， 则，但是，不能恒成立 ，故D不正确. 故选：BC. 11．AC 【分析】根据线线平行可得四点共面，即可判断A,根据线线垂直,结合反证法即可得矛盾求解B,根据投影即可求解C,根据四面体的体积公式,高不为定值即可判断D. 【详解】对于A选项，当H为中点时，连接，则由,进而可得，故E，F，G，H共面，故A正确； 对于B选项，分别过作 则平面，平面， 所以,假若平面，平面,则, 平面,所以平面,平面, 因此, 由于是的中点，是上一点，在正方形中，不可能有， 故不与平面垂直，从而B错误； 对于C选项，取，的中点M，N，当H在MN上时，FH在面上的投影为NH， 而，且， 因此，即H的轨迹即为MN，且其长度为，故C正确； 对于D选项，，其中为点到平面的距离， 由于的面积为定值，但是由于面EFG与面不平行，因此不为定值， 故体积不为定值．故D错误． 故选：AC 12．1 【分析】先求出数量积，再根据数量积的几何意义求解即可. 【详解】因为且与的夹角是与的夹角是， 所以， 所以在方向上的投影数量为. 故答案为：1 13．5或-9 【分析】变换得到，根据定义域得到，考虑和两种情况，根据值域得到答案. 【详解】， ，则，故， 当时，，， 解得，； 当时，，， 解得，. 综上所述：或 所以2+ =5或者2+ =-9 14． 【分析】如图，在正方体中，若要使液面形状不可能为三角形， 则平面EHD平行于水平面放置时，液面必须高于平面EHD，且低于平面AFC, 据此计算即可得解. 【详解】如图，在正方体中， 若要使液面形状不可能为三角形， 则平面EHD平行于水平面放置时，液面必须高于平面EHD，且低于平面AFC, 若满足上述条件，则任意转动正方体，液面形状都不可能为三角形， 设正方体内水的体积为V，而， 而（升）， （升） 所以V的取值范围是. 故答案为： 15．(1)最小正周期为， (2)． (3)． 【详解】解：（1）由题可得，所以函数的最小正周期为．由，可得，所以函数的图象的对称中心是． （2）因为在上单调递增，所以当时，，所以，解得．又．所以． （3）因为，所以，则，所以．又至少存在3022个根，所以可得至少包含3021个周期，即，所以的最小值为．又的最小值不小于3022，所以，所以． 16．(1) (2) 【分析】（1）先由余弦定理得出，再由正弦定理得出，再结合二倍角公式即可求解； （2）先由平方关系以及差角公式求出，再由正弦定理求出，进而由三角形面积公式得出四边形的面积． 【详解】（1）在中，，， 由余弦定理可得，所以， 再由正弦定理，可得， 又因为为的角平分线，所以， 所以， 所以. （2）中，，，， 所以， 从而 ， 由正弦定理可得， 而 . 17．(1)； (2). 【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用二倍角的正弦公式求解. （2）利用同角公式及和角的正弦公式求出，再利用正弦定理及数量积的运算律求解. 【详解】（1）在中，由及正弦定理，得， 则，而，， 因此，解得，所以. （2）由（1）知，由，得， ， 由正弦定理得，而， 所以. 18．（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）结合正方体的结构特征，以及线面垂直的判定定理，即可证得平面； （2）连接，根据，得出点H为的外心，进而得到点H也是的重心. 【详解】（1）如图所示，连接，则， 平面，， 又，平面， 平面，平面. 平面.，同理， ，平面. （2）连接，由，得， 因此点H为的外心， 又为正三角形，∴点H也是的重心. 【点睛】本题主要考查了正方体的结构特征，以及线面垂直的判定与证明，其中解答中熟记正方体的结构特征，合理应用线面垂直的判定定理和性质定理是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于中档试题. ．(1)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） (2)证明见解析 【分析】（1）（ⅰ）利用平面向量的线性运算证明即可. （ⅱ）利用平面向量的线性运算将用不同的基底表示，再利用系数相等建立方程，求解参数即可. （2）利用平面向量的线性运算得到，再设，进而得到，同理得到，，再联立这些方程消去变量证明结论即可. 【详解】（1）（ⅰ）因为，所以， 则，整理得. （ⅱ）设，则 ， 又 ， 所以，解得. （2）因为，所以， 则，整理得， 设，代入上式得，记为①， 同理可得，，设，， 可得，记为②，，记为③， 联立①②消去，联立①③消去， 可得，， 又因为，，中任意两个向量互不共线， 所以故有， 由得，由得， 又，故，即. 答案第16页，共17页 答案第10页，共13页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 方城一高2025年春期高一年级期末考试冲刺演练（五）数学学科 考试范围：北师大必修二全册 考试时间：120分钟 一、单选题 1．已知复数z满足（为虚数单位），则z的虚部为（   ） A．1 B． C． D． 2．如图，已知等腰直角三角形是一个平面图形的直观图，，斜边，则这个平面图形的面积是（   ）    A． B．1 C． D． 3．（教材P137第2题改编）已知，，，且，则的值为（    ） A．0 B．2 C． D． 4．（教材P113页第4题）已知，，求满足，的点D的坐标为（ ）． 5．(教材P172第6题)已知，，则的值是（ ）． A． B. C. D. 2 6．（教材P125第2题）如图，某观察站B在城A的南偏西20°的方向，由城A出发的一条公路走向是南偏东40°，在B处测得公路上距B处31km的C处有一人正沿公路向A城走去，走了20km之后到达D处，此时B，D间的距离为21km．要达到A城，这个人还要走（ ） A．15km B．20 km C．km D．17km 7．(课本P248第5题改编)如图，在中，点Р在所在平面外，点O是P在平面ABC上的射影，且点O在的内部．若PA，PB，PC两两垂直，那么点О是的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 8．已知三棱锥的四个顶点在球O的球面上，，是边长为1的正三角形，E，F分别是，的中点，，则球O的体积为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．，，为虚数单位，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若是关于x的方程（p，）的一个根，则 D．若，则，中至少有一个是0 10．已知函数（，）在区间上单调递增，则下列选项正确的是（    ） A．函数的最小正周期为 B．函数图象的一个对称中心可能是 C．函数的最大值为 D．函数在区间上单调递减 11．如图，已知直四棱柱的底面是边长为4的正方形，，E，F，G分别为，AB，的中点，H为正方形（包括边界）上的动点，则（    ） A．存在点H，使得E，F，G，H四点共面 B．存在点H，使得面HEF C．若，则H的轨迹长度为 D．四面体EFGH的体积为定值 三、填空题 12．（教材P109例二）已知向量、、，其中且与的夹角是与的夹角是，则在方向上的投影数量为 ． 13．（教材P173页第1题改编）已知，函数，，若函数值域为，则2a+b= ． 14．若一个棱长为6分米的正方体形封闭容器中盛有V升的水，若将该容器任意放置均不能使水平面呈三角形，则V的取值范围是 ． 四、解答题 15．（教材P75页第六题改编）已知函数 (1)若，求的最小正周期与函数图象的对称中心； (2)若在上单调递增，求的取值范围； (3)若方程在［，］上至少存在3022个根，且的最小值不小于3022，求的取值范围． 16．（教材P130第六题改编）如图，在四边形中，与相交于点，且为的角平分线，，. (1)求； (2)若，求四边形的面积. 17．记的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若是线段的中点，求线段的长． 18．如图，在正方体中，求证： （1）平面； （2）与平面的交点H是的重心. 19．如图，在中，点，，分别在边，，上，且，，交于点. (1)已知. （ⅰ）若是所在平面内任意一点，证明：； （ⅱ）若，，求的值； (2)若，，，证明：. 试卷第4页，共5页 试卷第5页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $$