精品解析：河南省驻马店市汝南县第三初级中学2024-2025学年下学期期中素质测试九年级数学试题

河南省驻马店市汝南县2024-2025学年下学期期中素质测试卷 九年级数学 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 下面图形既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 一束光线射向两块平行玻璃板，在玻璃板表面会发生反射和折射，光路如图所示，已知，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，将一直角梯形纸片绕虚线旋转一周形成一个几何体，则该几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 5. 某商场购进一款年货大礼包，经调研发现，当该款大礼包每盒的售价为45元时，每天可售出100盒，每盒的售价每降低1元，每天的销量增加10盒，要使该款大礼包每天的销售额达到6000元，每盒的售价应降低多少元？若设该款大礼包每盒降价元，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 6. 如图(1)，在中，，．动点从点出发，先沿运动到点，再从点沿直线运动到点．设点运动的路程为，的面积为，图(2)是点运动时与的函数关系图象，则的值为( ) A. B. C. D. 7. 如图，是的外接圆，是的直径，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 对于实数a，b，定义运算“★”：，已知关于x的方程恰好有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在等边中，，P为边OA上一点，且．将等边向右平移，当点P落在抛物线的图象上时，点P的横坐标为（ ） A. B. C. 或 D. 10. 如图是一面钟表，以指针的旋转中心为坐标原点，以整9点时针和分针所在的直线分别为轴和轴建立如图所示的平面直角坐标系，当时间为10点10分时，分针的外端点落在点A处．若，则点A的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 不等式组的解集是_______． 12. 如图，在等边三角形中，，为BC边上的高，以为边在右侧作，使，当点E恰好落在的中位线所在的直线上时，的长为______． 13. 计算：=______． 14. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴正半轴上，顶点、在第一象限内，且，若菱形的顶点在矩形的边上，则点的坐标为______． 15. 随着“中国诗词大会”节目的热播，《唐诗宋词精选》和《唐诗鉴赏辞典》也随之热销．某书商看准商机，欲购进这两种图书，已知每本《唐诗鉴赏辞典》的进价比《唐诗宋词精选》多9元，花费2400元购进《唐诗鉴赏辞典》的数量与花费1500元购进《唐诗宋词精选》的数量一样多．若设每本《唐诗鉴赏辞典》的进价为x元，则可列方程__________． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. （1）计算：； （2）化简：． 17. 用适当的方法解方程： （1） （2） 18. 如图，在正方形网格中，的顶点均在格点上，请仅用无刻度直尺完成下列作图（保留作图痕迹）． （1）在图中，作关于点对称的图形； （2）在图中，作出将绕点逆时针旋转，再向左平移个单位长度后的图形． （3）在图中，找一格点，连接，使． 19. 如图，某同学通过定滑轮拉动静止在水平地面上的高为米的长方体重物，开始时与重物相连的绳子和水平面的夹角为，拉动一段距离后，绳子与水平面的夹角为，绳子的自由端（用手拉的一端）竖直向下移动了米（绳子伸缩不计），求定滑轮到地面的距离（结果精确到米．参考数据：，，） 20. 甲公司将员工的午餐外包给某家餐饮公司，该餐饮公司根据每天甲公司员工团购订餐的数量，给出以下优惠方案： 套餐类别 套餐单价 团购订餐优惠方案 ：米饭套餐 元 方案一：套餐满份打九折，套餐满份打八折． 方案二：总费用满元立减元． 注：方案一、二不可同时使用． ：面食套餐 元 （1）某天甲公司有人团购订餐，且订套餐的人数不少于人 ．若按方案一结算的总费用恰为元，求这天订套餐和套餐的人数分别有多少人． （2）某天甲公司有人团购订餐，其中订套餐的人数大于订套餐人数的倍，设其中有人订套餐，按方案一结算的总费用为元，按方案二结算的总费用为元． ①分别求，与之间的函数关系式． ②若按方案二结算较合算，则的值为______． 21. 如图，在中，．用直尺和圆规按下列步骤作图： ①以点为圆心，适当的长为半径画弧，分别交边于点； ②分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点； ③作射线，交边于点； ④以点为圆心，的长为半径画，交射线于点（点在线段上），连接． （1）猜想：直线与的位置关系，并说明理由： （2）求的半径长． 22. 如图，已知直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，过点作轴的平行线交反比例函数的图象于点． （1）求直线和反比例函数图象的表达式； （2）求的面积； （3）请直接写出不等式的的取值范围． 23. 如图1所示，将一个边长为2的正方形ABCD和一个长为2、宽为1的长方形CEFD拼在一起，构成一个大的长方形ABEF．现将小长方形CEFD绕点C顺时针旋转至，旋转角为． （1）当点′恰好落在EF边上时，求旋转角的值； （2）如图2，G为BC的中点，且0°＜＜90°，求证：； （3）小长方形CEFD绕点C顺时针旋转一周的过程中，与能否全等？若能，直接写出旋转角的值；若不能，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省驻马店市汝南县2024-2025学年下学期期中素质测试卷 九年级数学 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据合并同类项、完全平方差公式、平方差公式及幂的乘方运算逐项验证即可得到答案． 【详解】解：A、，运算错误，不符合题意； B、，运算错误，不符合题意； C、，运算正确，符合题意； D、，运算错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查整式混合运算，涉及合并同类项、完全平方差公式、平方差公式及幂的乘方运算等知识，熟练掌握整式混合运算法则是解决问题的关键． 2. 下面图形既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解答本题的关键．根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项分析即可． 【详解】解：A．该图不是中心对称图形，是轴对称图形，故不符合题意； B．该图不是中心对称图形，是轴对称图形，故不符合题意； C．该图是中心对称图形，不是轴对称图形，故不符合题意； D．该图既是中心对称图形，也是轴对称图形，故不符合题意； 故选D． 3. 一束光线射向两块平行玻璃板，在玻璃板表面会发生反射和折射，光路如图所示，已知，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，几何中角度的计算，理解反射，入射光线的原理，平行线的性质是关键． 如图所示，过点作，即为入射光线与反射光线的法线，则，根据对角相等，平行性的性质即可求解． 【详解】解：如图所示取两块平行玻璃板为，过点作，即为入射光线与反射光线的法线，则，延长到交于点， ∴， ∴， ∴， ∵光线射向两块平行玻璃板， ∴， 根据折射，反射原理得到， ∴， 故选：B ． 4. 如图，将一直角梯形纸片绕虚线旋转一周形成一个几何体，则该几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查旋转体及旋转体的三视图，将一直角梯形纸片绕虚线旋转一周形成一个几何体是圆台，根据从上面看几何体得到的平面图形是俯视图即可得到答案，掌握旋转体的形成及俯视图定义，发挥空间想象能力是解决问题的关键． 【详解】解：由题意可知，将一直角梯形纸片绕虚线旋转一周形成一个几何体是圆台， 圆台的俯视图是， 故选：B． 5. 某商场购进一款年货大礼包，经调研发现，当该款大礼包每盒的售价为45元时，每天可售出100盒，每盒的售价每降低1元，每天的销量增加10盒，要使该款大礼包每天的销售额达到6000元，每盒的售价应降低多少元？若设该款大礼包每盒降价元，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是设该款大礼包每盒降价元，根据该款大礼包每天的销售额达到6000元，列出方程即可． 【详解】解：设该款大礼包每盒降价元，根据题意得： ， 故选：D． 6. 如图(1)，在中，，．动点从点出发，先沿运动到点，再从点沿直线运动到点．设点运动的路程为，的面积为，图(2)是点运动时与的函数关系图象，则的值为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查动点问题的函数图象，勾股定理，等腰三角形的性质，找到点的位置是解题的关键．过点作，交与点，先判断点的位置，进而得出答案． 【详解】解：过点作，交与点， ，， ， ， 由函数图象可知，当时，， ， 此时点、点、点三点重合， 当时，，， 则此时三角形的面积为， 即． 故选：C． 7. 如图，是的外接圆，是的直径，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质和等边对等角，连接，根据圆圆内接四边形的对角互补可得，然后根据等边对等角得到，再根据三角形的内角和定理解题即可． 【详解】解：连接， 则， 又∵， ∴， ∴， 故选：C． 8. 对于实数a，b，定义运算“★”：，已知关于x的方程恰好有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式．先求得，根据题意得出关于x的一元二次方程，然后根据根的判别式得出，求出m的取值范围即可． 【详解】解：∵， ∴， 整理得， ∵关于x的方程恰好有两个不相等的实数根， ∴， 解得， 故选：B． 9. 如图，在等边中，，P为边OA上一点，且．将等边向右平移，当点P落在抛物线的图象上时，点P的横坐标为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，二次函数，如图，过作轴的垂线段，交于点，证明，求得点的纵坐标，代入函数解析式即可，熟练用相似三角形的性质求得点的纵坐标是解题的关键． 【详解】解：如图，过作轴的垂线段，交于点， ， ， ， 是等边三角形，， ，， ， 即点的纵坐标为3， 当时，可得， 解得， 故选：C． 10. 如图是一面钟表，以指针的旋转中心为坐标原点，以整9点时针和分针所在的直线分别为轴和轴建立如图所示的平面直角坐标系，当时间为10点10分时，分针的外端点落在点A处．若，则点A的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解含有的直角三角形，正确使用三角函数是解决本题的关键． 过点A作轴，于点B，构造出含有直角三角形，由，解直角三角形即可． 【详解】解： 过点A作轴，于点B． 当时间为10点10分时，分针的外端点落在点A处， 此时分钟转动了， ∴， 在中，， ∴，， 又∵点A在第一象限， ∴点A坐标为． 故选：A． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 不等式组的解集是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，先分别解出不等式组中的不等式，再由不等式组解集的法则“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解”即可得到答案，熟记一元一次不等式组的解法是解决问题的关键． 【详解】解：， 由①得； 由②得； 不等式组的解集为， 故答案为：． 12. 如图，在等边三角形中，，为BC边上的高，以为边在右侧作，使，当点E恰好落在的中位线所在的直线上时，的长为______． 【答案】3或##或3 【解析】 【分析】先根据等边三角形的性质和勾股定理求出，分两种情况：①当点E在边、的中点D、G所在的直线上时，②当点E在边、的中点F、G所在的直线上时，分别求解即可． 【详解】解：∵等边三角形， ∴ ，， ∵为边上的高，即， ∴，， 由勾股定理，得， 分两种情况：①当点E在边、的中点D、G所在的直线上时，如图， ∴， ∴， ∴， 过点A作于F， ∴， ∴， 由勾股定理，得， ∵，， ∴； ②当点E在边、的中点F、G所在的直线上时，如图， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴； 综上，当点E恰好落在的中位线所在的直线上时，的长为3或． 故答案为：3或． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形的中位线的性质，勾股定理，熟练掌握等边三角形的性质和三角形的中位线的性质是解题的关键，注意分类讨论思想的运用，以免漏解． 13. 计算：=______． 【答案】 【解析】 【分析】根据乘法的定义：求几个相同加数的运算，叫做乘法，和乘方的定义：求几个相同因数乘积的运算，叫做乘方，即可得出答案． 【详解】∵＝，＝3n， ∴=． 故答案为． 【点睛】本题考查了乘法与乘方的定义．解题的关键在对乘法与乘方定义的区分，本题的易错点在于因没有注意观察，而把两种运算当成一种运算． 14. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴正半轴上，顶点、在第一象限内，且，若菱形的顶点在矩形的边上，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】作轴于点F，则，由菱形的性质得出，，求出，再由矩形的性质得出，，得出，由直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半分别求出，，由勾股定理求出，进而可得出点E的坐标． 【详解】解：如图，作轴于点F， 则， ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴， ∵菱形的顶点C在矩形的边上， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，菱形的性质，矩形的性质，直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键． 15. 随着“中国诗词大会”节目的热播，《唐诗宋词精选》和《唐诗鉴赏辞典》也随之热销．某书商看准商机，欲购进这两种图书，已知每本《唐诗鉴赏辞典》的进价比《唐诗宋词精选》多9元，花费2400元购进《唐诗鉴赏辞典》的数量与花费1500元购进《唐诗宋词精选》的数量一样多．若设每本《唐诗鉴赏辞典》的进价为x元，则可列方程__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，设每本《唐诗鉴赏辞典》的进价为x元，可得每本《唐诗宋词精选》的价格为元，根据花费2400元购进《唐诗鉴赏辞典》的数量与花费1500元购进《唐诗宋词精选》的数量一样多，列方程即可解答，正确地表示出等量关系是解题的关键． 【详解】解：设每本《唐诗鉴赏辞典》的进价为x元，可得每本《唐诗宋词精选》的价格为元， 可列方程， 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）1 ； （2） 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂、负整数指数幂、特殊三角函数值，整式的混合运算． （1）先计算零指数幂、负整数指数幂、特殊三角函数值，再算加减法即可； （2）先利用平方差公式和完全平方公式展形，再合并同类项即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 17. 用适当的方法解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是解一元二次方程，根据题目的不同结构特点，选择适当的方法解一元二次方程是解题的关键． （1）先移项，再利用配方法求解即可； （2）先移项，再利用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：， 等式两边加6，得， 由完全平方公式得， ∴或， 解得：，； 【小问2详解】 解：， 移项得，， 提取公因式，得， 解得：， 18. 如图，在正方形网格中，的顶点均在格点上，请仅用无刻度直尺完成下列作图（保留作图痕迹）． （1）在图中，作关于点对称的图形； （2）在图中，作出将绕点逆时针旋转，再向左平移个单位长度后的图形． （3）在图中，找一格点，连接，使． 【答案】（1） 解：如图，即为所求； （2） 解：如图，即为所求； （3） 解：如图，点P即为所求． 【解析】 【分析】本题考查旋转作图，作中心对称图形，平移图形，勾股定理，熟练掌握旋转的性质和中心对称的性质是解题的关键． （1）利用中心对称的性质，分别作出点A、B、C关于点O的对称点，再顺次连接即可； （2）根据旋转和平移的性质，分别作出点A、B、C绕点A顺时针方向旋转，再向左平移个单位长度后的对应点，再顺次连接即可； （3）取格点P，使，即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 19. 如图，某同学通过定滑轮拉动静止在水平地面上的高为米的长方体重物，开始时与重物相连的绳子和水平面的夹角为，拉动一段距离后，绳子与水平面的夹角为，绳子的自由端（用手拉的一端）竖直向下移动了米（绳子伸缩不计），求定滑轮到地面的距离（结果精确到米．参考数据：，，） 【答案】定滑轮到地面的距离约为米． 【解析】 【分析】本题考查了解三角形的应用，设竖直方向与延长线交于点，由题意得米，设，则，根据三角函数得出，解得，理解题意，运用三角函数解三角形是解题的关键． 【详解】解：如图，设竖直方向与延长线交于点， 由题意得：米， 设，则， 在中，，， ∴， 在中，，， 则， ∴， ∴，解得：, ∴， ∴定滑轮到地面的距离（米）， 答：定滑轮到地面的距离约为米． 20. 甲公司将员工的午餐外包给某家餐饮公司，该餐饮公司根据每天甲公司员工团购订餐的数量，给出以下优惠方案： 套餐类别 套餐单价 团购订餐优惠方案 ：米饭套餐 元 方案一：套餐满份打九折，套餐满份打八折． 方案二：总费用满元立减元． 注：方案一、二不可同时使用． ：面食套餐 元 （1）某天甲公司有人团购订餐，且订套餐的人数不少于人 ．若按方案一结算的总费用恰为元，求这天订套餐和套餐的人数分别有多少人． （2）某天甲公司有人团购订餐，其中订套餐的人数大于订套餐人数的倍，设其中有人订套餐，按方案一结算的总费用为元，按方案二结算的总费用为元． ①分别求，与之间的函数关系式． ②若按方案二结算较合算，则的值为______． 【答案】（1）30人；10人 （2）①； ②17或18或19 【解析】 【分析】本题主要考查了列函数关系式，一元一次不等式的实际应用，二元一次方程组的应用： （1）设这天订套餐的有人，订套餐的有人，则，先求出，再根据题意，列出方程组，即可求解； （2）①先求出，再分别根据两种方案的付费方法，列出函数关系式，即可求解；②根据按方案二结算较合算，列出不等式，再结合且为非负整数，即可求解． 【小问1详解】 解：设这天订套餐的有人，订套餐的有人，则， ， ，即． 根据题意，得， 解得． 答：这天订套餐的有人，则订B套餐的有人． 【小问2详解】 解：①根据题意，有人订套餐， 则， 解得， ， ． ， ，， ， ． ②根据题意，得， 解得， ，且为非负整数， 或或． 故答案为：或或． 21. 如图，在中，．用直尺和圆规按下列步骤作图： ①以点为圆心，适当的长为半径画弧，分别交边于点； ②分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点； ③作射线，交边于点； ④以点为圆心，的长为半径画，交射线于点（点在线段上），连接． （1）猜想：直线与的位置关系，并说明理由： （2）求的半径长． 【答案】（1） 直线与相切，理由如下： 如图，过点作于点． 由作图可知，是的平分线． ∵， ∴， 又， ∴， 圆心到的距离等于的半径， ∴是的切线． （2）3 【解析】 【分析】（1）如图，过点作于点．由作图可知，是的平分线．则，进而结论得证； （2）由勾股定理得，由，，可得，即，计算求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由勾股定理得， ∵，， ∴，即， 解得， ∴的半径长为3． 【点睛】本题考查了作角平分线，角平分线的性质，切线的判定，勾股定理．熟练掌握作角平分线，角平分线的性质，切线的判定，勾股定理是解题的关键． 22. 如图，已知直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，过点作轴的平行线交反比例函数的图象于点． （1）求直线和反比例函数图象的表达式； （2）求的面积； （3）请直接写出不等式的的取值范围． 【答案】（1）， （2）6 （3） 【解析】 【分析】（1）由题意，利用待定系数法确定函数表达式即可得到答案； （2）根据题意，在平面直角坐标系中，由代入坐标求解即可得到答案； （3）由函数图象与不等式的关系，数形结合即可得到答案． 【小问1详解】 解：已知直线与反比例函数的图象交于点， ，解得；； 直线的表达式为；反比例函数图象的表达式为； 【小问2详解】 解：直线与轴交于点， 当时，，即； 过点作轴的平行线交反比例函数的图象于点， ， ， ； 【小问3详解】 解：直线的表达式为；反比例函数图象的表达式为， 不等式的解集是当反比例函数图象在直线上方时的取值范围， 如图所示： ， 当时，反比例函数的图象在直线的上方，故不等式的的取值范围是． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数综合，涉及待定系数确定函数关系式、反比例函数图象与性质、一次函数图象与性质、平面直角坐标系中求三角形面积、利用函数图象解不等式等知识，熟练掌握一次函数图象与性质、反比例函数图象与性质，数形结合是解决问题的关键． 23. 如图1所示，将一个边长为2的正方形ABCD和一个长为2、宽为1的长方形CEFD拼在一起，构成一个大的长方形ABEF．现将小长方形CEFD绕点C顺时针旋转至，旋转角为． （1）当点′恰好落在EF边上时，求旋转角的值； （2）如图2，G为BC的中点，且0°＜＜90°，求证：； （3）小长方形CEFD绕点C顺时针旋转一周的过程中，与能否全等？若能，直接写出旋转角的值；若不能，说明理由． 【答案】（1）∠α=30° （2）证明：∵G为BC中点 ∴CG=1 ∴CG=CE ∵长方形CEFD绕点C顺时针旋转至CE′F′D′ ∴∠D′CE′=∠DCE=90°，CE=CE′=CG ∴∠GCD′=∠DCE′=90°+α 在△GCD′和△E′CD中 ∵CD′=CD，∠GCD=∠DCE′，CG=CE′ ∴△GCD′≌△E′CD（SAS） ∴GD′=E′D； （3）旋转角a的值为135°或315°时，△BCD′与∠DCD′全等 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质得CE=CH=1，即可得出结论； （2）由G为BC中点可得CG=CE，根据旋转的性质得∠D′CE′=∠DCE=90°，CE=CE′CE，则∠GCD′=∠DCE′=90°+α，然后根据“SAS”可判断△GCD′≌△E′CD，则GD′=E′D； （3）根据正方形的性质得CB=CD，而CD=CD′，则△BCD′与△DCD′为腰相等的两等腰三角形，当两顶角相等时它们全等，当△BCD′与△DCD′为钝角三角形时，可计算出α=135°，当△BCD′与△DCD′为锐角三角形时，可计算得到α=315°． 【详解】解：（1）∵长方形CEFD绕点C顺时针旋转至CE′F′D′， ∴CE=CH=1， ∴△CEH为等腰直角三角形， ∴∠ECH=45°， ∴∠α=30°； （2） 略 （3）解：能． 理由如下： ∵四边形ABCD为正方形 ∴CB=CD ∵CD′=CD′ ∴△BCD′与△DCD′为腰相等的两等腰三角形，当∠BCD′=∠DCD′时，△BCD′≌△DCD′，当△BCD′与△DCD′为钝角三角形时，则旋转角α=（360°-90°）÷2=135° 当△BCD′与△DCD′为锐角三角形时，∠BCD′=∠DCD′=∠BCD=45°，则α=360°﹣90°÷2=315° 即旋转角a的值为135°或315°时，△BCD′与△DCD′全等． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $