北京市东城区2024-2025学年高一下学期期末统一检测数学试题

东城区2024-2025学年度第二学期期末统一检测 高一数学 2025.7 本试卷共6页，满分150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 设复数满足，则（ ） A. B. 2 C. D. 4 2. 已知，则（ ） A. B. C. 1 D. 3 3. 已知向量，，且，则（ ） A. B. C. 1 D. 4 4. 甲、乙两个袋子中分别装有标号为1，2，3，4的4个球，这些球除标号不同外没有其他差别.分别从两个袋子中随机摸出一个球，则摸出的两个小球的标号相同的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 在中，若，，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 或 6. 已知直线和平面，若，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 不充分不必要 7. 已知函数，则（ ） A. 是奇函数 B. 在上单调递增 C. 的最大值为2 D. 在内有5个零点 8. 在正方体中，，为侧面上一动点．若，则的长的最大值为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，四棱台的两底面是正方形，侧面是全等的等腰梯形.若该棱台的侧棱，下底面的边长为5，下底面所在平面与侧面所在平面的夹角的正弦值为，则上底面的边长为（ ） A. 15 B. C. 25 D. 10. 在矩形中，，，，交于点，，分别为边，边上的点，且关于点中心对称.为矩形所在平面内的动点，满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 某校从参加语言测试的学生中随机抽取了100名，记录了他们的分数，将数据分成6组：，，，，，，并整理得到如下频率分布直方图.若样本中分数低于60分的有15人，则图中数据_____. 12. 将函数图象上的所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则_____ 13. 已知向量，，若，，向量与的夹角为，则向量与的夹角为_____. 14. 在锐角中，若，则_____；的取值范围是_____. 15. 如图，正方体的棱长为6，动点在棱上，为棱上一点，，点在线段上，且满足， （i）当为中点时，异面直线与所成角的大小为_____； （ii）的长的最小值是_____. 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 已知函数，，其图象相邻的两个对称中心间的距离为. （1）求，的值； （2）若在区间上有且只有一个零点，求的取值范围. 17. 某校学生会制定了本学期学生活动计划.为了解该校学生对活动计划是否支持，按照高一、高二、高三三个年级进行分层随机抽样，获得数据如下表（单位：人）： 年级 支持 不支持 高一 70 20 高二 60 30 高三 20 100 假设所有学生对活动计划是否支持相互独立.用频率估计概率. （1）分别估计该校高一年级学生支持活动计划的概率、该校学生支持活动计划的概率； （2）从该校高一全体学生、高二全体学生、高三全体学生中各随机抽取1人，估计这3人都支持活动计划的概率； （3）已知该校高一（1）班至少有一半的学生支持活动计划.将该校学生支持活动计划的概率估计值记为，除高一（1）班学生外该校其他学生支持活动计划的概率估计值记为.比较与的大小.（结论不要求证明） 18. 如图1，在中，，，，分别为，，的中点，将沿翻折到的位置，如图2. （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）在棱上是否存在点，使得平面平面？请说明理由. 19. 已知的面积为，. （1）求； （2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求边上中线的长. 条件①：； 条件②：； 条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 20. 如图，正四棱柱中，底面边长为1，侧棱长为2.为棱上一动点，平面截正四棱柱所得截面交棱于点. （1）求证：； （2）求四棱锥的体积； （3）写出当的长为何值时，四边形的周长最小，并求此时平面与平面的夹角的正切值. 21. 已知为给定的正整数，平面向量组A由个平面向量构成，即A：，其中，，，.若，均为非负实数，则称为非负平面向量组.记：，；，，.若等于在轴上的投影向量或等于在轴上的投影向量，等于在轴上的投影向量或等于在轴上的投影向量，，等于在轴上的投影向量或等于在轴上的投影向量，称平面向量组B：为的一个投影向量组. （1）若，，写出，，和的值. （2）当时，对于任意非负平面向量组，若，求证：存在的一个投影向量组，使得，. （3）当时，对于任意非负平面向量组，若，求证：存在的一个投影向量组，使得，. 东城区2024-2025学年度第二学期期末统一检测 高一数学 2025.7 本试卷共6页，满分150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】C 【9题答案】 【答案】C 【10题答案】 【答案】A 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】或 【14题答案】 【答案】 ①. ②. 【15题答案】 【答案】 ①. ； ②. . 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 【16题答案】 【答案】（1） （2） 【17题答案】 【答案】（1）； （2） （3） ，理由如下， 设该校共有学生人，高一（1）班共有人，设高一（1）班学生支持活动计划概率为， 所以，即， 又由（1）知，， 所以， 即. 【18题答案】 【答案】（1） 因为在中，分别为，的中点， 所以，所以， 因为平面，平面， 所以平面. （2） 因为在中，分别为，的中点，所以， 因为，所以，所以， 因为是由沿翻折到得到的， 所以，， 因为，平面，平面， 所以平面. （3）存在点为棱的中点时，满足平面平面，理由如下： 存在点为棱的中点时，满足平面平面. 如图，取棱的中点，连接，， 在中，因为为的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面, 又平面，，平面，平面， 所以平面平面， 因为平面，，所以平面， 所以平面， 因为平面，所以平面平面. 【19题答案】 【答案】（1）. （2）选择条件①②时不能满足存在且唯一确定，故选择条件③，此时边上中线长为：. 【20题答案】 【答案】（1） 在正四棱柱中，平面∥平面． 且平面平面，且平面平面． ． （2） （3） 【21题答案】 【答案】（1）,,,. （2） 对于任意非负平面向量组，若，考虑两种投影方式： 1.选择的x分量和的y分量，此时，. 2.选择的y分量和的x分量，此时，. 如果两种方式均不满足条件，则需且，同时且. 由，若，则，相矛盾;同理，由， 若，则，相矛盾. 因此，至少存在一种投影方式满足且. （3） 设，，已知，， 所以，即. 对于A的投影向量组B，和的所有可能取值是由和的不同组合相加得到. 假设对于任意的投影向量组B，都有且. 设，，其中,,,是的子集. 由于，，总共种投影向量组构造方式. 因为，如果且对所有投影向量组B都成立，那么 ,显然存在矛盾. 假设表示投影向量组B在x轴上的投影和，表示在y轴上的投影和。 用反证法，若不存在投影向量组B使得且， 那么和的取值范围会导致与矛盾. 因为如果且对于所有投影向量组B成立， 那么对于所有可能的投影组合，无法全部满足这个条件. 所以一定存在A的一个投影向量组B，使，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $