1.2圆的方程 讲义-2025-2026学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

授课主题 1.2.1&1.2.2圆的标准方程与一般方程 知 识 梳 理 一：圆的标准方程 ，其中为圆心，为半径. 注意：(1)如果圆心在坐标原点，这时，圆的方程就是.有关图形特征与方程的转化：如：圆心在x轴上：b=0；圆与y轴相切时：；圆与x轴相切时：；与坐标轴相切时：；过原点： (2)圆的标准方程圆心为，半径为，它显现了圆的几何特点. (3)标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径.由圆的标准方程可知，确定一个圆的方程，只需要a、b、r这三个独立参数，因此，求圆的标准方程常用定义法和待定系数法. 二：点和圆的位置关系 如果圆的标准方程为，圆心为，半径为，则有 (1)若点在圆上 (2)若点在圆外 (3)若点在圆内 注意：判断点与圆的位置关系的两种方法 几何法：主要利用点到圆心的距离与半径比较大小 代数法：把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的大小，并作出判断 三：圆的一般方程 当时，方程叫做圆的一般方程.为圆心，为半径. 注意：由方程得 (1)当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形． (2)当时，方程只有实数解.它表示一个点. (3)当时，可以看出方程表示以为圆心，为半径的圆. (4)二元二次方程表示圆的充要条件是 四：几种特殊位置的圆的方程 条件 方程形式 标准方程 一般方程 圆心在原点 过原点 圆心在x轴上 圆心在y轴上 圆心在x轴上且过原点 圆心在y轴上且过原点 与x轴相切 与y轴相切 五：用待定系数法求圆的方程的步骤 求圆的方程常用“待定系数法”.用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是： (1)根据题意，选择标准方程或一般方程. (2)根据已知条件，建立关于或的方程组. (3)解方程组，求出或的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程. 六：轨迹方程 求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量之间的方程． 1．当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义（如圆）时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法（或称相关点法）． 2．求轨迹方程时，一要区分“轨迹”与“轨迹方程”；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等． 3．求轨迹方程的步骤： （1）建立适当的直角坐标系，用表示轨迹（曲线）上任一点的坐标； （2）列出关于的方程； （3）把方程化为最简形式； （4）除去方程中的瑕点（即不符合题意的点）； （5）作答． 例题讲解 考点一 圆的方程 例1、求满足下列条件的各圆的方程： （1）圆心在原点，半径是3； （2）圆心在点C（3，4）上，半径是； （3）经过点P（5，1），圆心在点C（8，―3）上． 例2、写出下列方程表示的圆的圆心和半径． （1）x2+y2=2；（2）(x―3)2+y2=a2（a≠0）；（3）(x+2)2+(y+1)2=b2（b≠0）． 例3、求下列各圆的标准方程： （1）圆心在直线y=0上，且圆过两点A（1，4），B（3，2）； （2）圆心在直线2x+y=0上，且圆与直线x+y―1=0切于点M（2，―1）． 例4、求经过A（0，-1）和直线x+y=1相切，且圆心在直线y=-2x上的圆的方程． 例5、下列方程能否表示圆？若能表示圆，求出圆心和半径． （1）2x2+y2―7y+5=0； （2）x2―xy+y2+6x+7y=0； （3）x2+y2―2x―4y+10=0； （4）2x2+2y2―5x=0． 例6、已知圆，则圆关于点对称的圆的方程为(    ) A． B． C． D． 例7、已知圆与圆关于直线对称，则圆的标准方程为(    ) A． B． C． D． 例8、过三点的圆的一般方程为(    ) A． B． C． D． 例9、求以为圆心，且经过点的圆的一般方程(    ) A． B． C． D． 例10、方程x2＋y2＋4x－2y＋5m＝0表示圆的条件是(    ) A．m<1 B．m>1 C．m< D．<m<1 例11、已知方程C：x2+y2―2x―4y+m=0， （1）若方程C表示圆，求实数m的范围； （2）在方程表示圆时，该圆与直线l：x+2y―4=0相交于M、N两点，且，求m的值． 例12、已知直线x2+y2―2(t+3)x+2(1―4t2)y+16t4+9=0表示一个圆． （1）求t的取值范围； （2）求这个圆的圆心和半径； （3）求该圆半径r的最大值及此时圆的标准方程． 例13、（1）△ABC的三个顶点分别为A（―1，5），B（―2，―2），C（5，5），求其外接圆的方程； （2）圆C过点P（1，2）和Q（―2，3），且圆C在两坐标轴上截得的弦长相等，求圆C的方程． 考点二 点与圆的位置关系 例1、(多选)下列各点中，不在圆的外部的是(    ) A． B． C． D． 例2、若点在圆的内部，则a的取值范围是(　　). A． B． C． D． 例3、判断点M（6，9），N（3，3），Q（5，3）与圆(x―5)2+(y―6)2=10的位置关系． 考点三 圆过定点 例1、对任意实数，圆恒过定点，则定点坐标为 ． 考点四 动点的轨迹方程 例1、已知圆C过三个点． (1)求圆C的方程： (2)已知O为坐标原点，点A在圆C上运动，求线段的中点P的轨迹方程． 例2、已知一曲线是与两个定点O（0，0），A（3，0）距离的比为的点的轨迹，求这条曲线的方程，并画出曲线． 例3、已知曲线C上任意一点到原点的距离与到A（3，―6）的距离之比均为． （1）求曲线C的方程． （2）设点P（1，―2），过点P作两条相异直线分别与曲线C相交于B，C两点，且直线PB和直线PC的倾斜角互补，求证：直线BC的斜率为定值． 例4、已知定点A（4，0），P点是圆x2+y2=4上一动点，Q点是AP的中点，求Q点的轨迹方程． 考点五 综合运用 例1、若直线 经过圆的圆心，则 的最小值是(    ) A． B．4 C．5 D． 例2、已知、满足，则的最大值为(    ) A． B． C． D． 举一反三 1.圆心是（4，―1），且过点（5，2）的圆的标准方程是（ ） A．(x―4)2+(y+1)2=10 B．(x+4)2+(y―1)2=10 C．(x―4)2+(y+1)2=100 D． 2.方程表示一个圆，则的取值范围是(    ) A． B． C． D． 3．(多选题)下列方程不是圆的一般方程的有(    ) A． B． C． D． 4.求圆心在直线x―2y―3=0上，且过点A（2，―3），B（―2，―5）的圆的标准方程． 5.（1）过点且圆心在直线上； （2）与轴相切，圆心在直线上，且被直线截得的弦长为． 6．根据下列条件，求圆的标准方程： (1)圆心在点，且过点； (2)过点和点，半径为2； (3)，为直径的两个端点； (4)圆心在直线上，且过点和点． 7.（1）求过的圆的方程，及圆心坐标和半径； （2）求经过点且与直线相切于点（8，6）的圆的方程． 8.判断方程ax2+ay2―4(a―1)x+4y=0（a≠0）是否表示圆，若表示圆，写出圆心坐标和半径长． 9.方程表示圆，则a的取值范围是 A．或 B． C． D． 10.如图，等边△ABC的边长为2，求这个三角形的外接圆的方程，并写出圆心坐标和半径长． 11．若点在圆的内部，则实数a的取值范围是_____. 12．若点在圆上,则实数___. 13．若点在圆外，则实数a的取值范围是 . 14.已知点A（2，3）在圆外，则实数m的取值范围为________． 15.点（a+1，a―1）在圆的内部，则a的取值范围是________． 16．点是直线上任意一点，是坐标原点，则以为直径的圆经过定点(      ) A．和 B．和 C．和 D．和 17．若圆过坐标原点，则实数m的值为(    ) A．1 B．2 C．2或1 D．－2或－1 18．已知方程表示的曲线恒过第三象限内的一个定点，若点又在直线：上，则 A．1 B．2 C．3 D．4 19.如下图，过第一象限的定点C（a，b）作互相垂直的两直线CA、CB，分别交于x轴、y轴的正半轴于A、B两点，试求线段AB的中点M的轨迹方程． 20.已知定点A（2，0），点Q是圆x2+y2=1上的动点，∠AOQ的平分线交AQ于M，当Q点在圆上移动时，求动点M的轨迹方程． 21.平面内到两定点距离的比值是一个不等于1的常数的动点的轨迹是一个圆． 22．已知圆C经过点且圆心C在直线上. (1)求圆C方程； (2)若E点为圆C上任意一点，且点，求线段EF的中点M的轨迹方程. 23．已知方程表示圆，其圆心为. (1)求圆心坐标以及该圆半径的取值范围； (2)若，线段的端点的坐标为，端点在圆上运动，求线段中点的轨迹方程. 24．(多选)若直线始终平分圆的周长，则的取值可能是(　　) A． B．- C． D．2 25．已知实数满足，则的最大值为 ． 26．若直线：始终平分圆：的周长，则的最小值为 . 课 后 作 业 1．圆心在原点，半径是的圆的标准方程为(    ) A． B． C． D． 2．已知半径为3的圆的圆心与点关于直线对称，则圆的标准方程为(    ) A． B． C． D． 3．在平面直角坐标系中，已知、两点，若圆以为直径，则圆的标准方程为(    ) A． B． C． D． 4．圆(x―1)2+y2=1的圆心到直线的距离是（ ） A． B． C．1 D． 5．已知直线l恰好经过圆的圆心，且与直线垂直，则直线l的方程为(    ) A． B． C． D． 6．过坐标原点，且在x轴和y轴上的截距分别为2和3的圆的方程为(    ) A． B． C． D． 7．将圆平分的直线是(    ) A． B． C． D． 8．曲线关于（ ） A．直线轴对称 B．直线轴对称 C．点中心对称 D．点中心对称 9．已知圆C的圆心在直线2x－y－7＝0上，且圆C与y轴交于两点A(0，－4)，B(0，－2)，则圆C的标准方程为(     ) A．(x－2)2＋(y－3)2＝5 B．(x－2)2＋(y＋3)2＝5 C．(x＋2)2＋(y＋3)2＝5 D．(x＋2)2＋(y－3)2＝5 10．(多选)设是圆心为的圆：上的动点，是圆的切线，且，则下列说法正确的是(    ) A．圆的圆心为 B． C．点到距离的最小值为6 D．点到距离的最大值为12 11．(多选)已知圆M的一般方程为，则下列说法正确的是(    ) A．圆M的半径为5 B．圆M关于直线对称 C．点在圆M内 D．实数x，y满足圆M的方程，则的最小值是5 12．若直线过圆的圆心，则ab的最大值为( ) A. B. C.4 D.16 13．圆心在直线上，且过点的圆的标准方程为 . 14．已知圆过点，，则圆心到坐标原点的距离的最小值为 . 15．已知为圆O上的点，则圆O的方程为 ． 16．圆，关于直线对称的圆的标准方程为 . 17．过点的直线与圆交于点B，则线段中点P的轨迹方程为 . 18．已知圆C过点，当圆C到原点O的距离最小时，圆C的标准方程为 ． 19．点是圆上的动点，点是 (为原点)的中点，则动点 的轨迹方程为 ． 20.已知为圆上任意一点．则的最大值为 21.已知圆C经过点且圆心C在直线上. (1)求圆C方程； (2)若E点为圆C上任意一点，且点，求线段EF的中点M的轨迹方程.    22．已知直线过点，且与轴分别交于点，为等腰直角三角形． (1)求的方程； (2)设为坐标原点，点在轴负半轴，求过，，三点的圆的一般方程． 23．已知圆心为C的圆经过，两点，且圆心C在直线上． (1)求圆C的方程； (2)已知点，点N在圆C上运动，求线段中点P的轨迹方程． 24．已知圆C经过点，，且圆心C在直线上． (1)求圆C的一般方程； (2)若线段OP的端点P在圆C上运动，端点O为坐标原点，求线段OP的中点M的轨迹方程． 25.已知圆心为C的圆经过，两点，且圆心C在直线上. (1)求圆C的标准方程； (2)设P为圆C上的一个动点，O为坐标原点，求OP的中点M的轨迹方程. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 授课主题 1.2.1&1.2.2圆的标准方程与一般方程 知 识 梳 理 一：圆的标准方程 ，其中为圆心，为半径. 注意：(1)如果圆心在坐标原点，这时，圆的方程就是.有关图形特征与方程的转化：如：圆心在x轴上：b=0；圆与y轴相切时：；圆与x轴相切时：；与坐标轴相切时：；过原点： (2)圆的标准方程圆心为，半径为，它显现了圆的几何特点. (3)标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径.由圆的标准方程可知，确定一个圆的方程，只需要a、b、r这三个独立参数，因此，求圆的标准方程常用定义法和待定系数法. 二：点和圆的位置关系 如果圆的标准方程为，圆心为，半径为，则有 (1)若点在圆上 (2)若点在圆外 (3)若点在圆内 注意：判断点与圆的位置关系的两种方法 几何法：主要利用点到圆心的距离与半径比较大小 代数法：把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的大小，并作出判断 三：圆的一般方程 当时，方程叫做圆的一般方程.为圆心，为半径. 注意：由方程得 (1)当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形． (2)当时，方程只有实数解.它表示一个点. (3)当时，可以看出方程表示以为圆心，为半径的圆. (4)二元二次方程表示圆的充要条件是 四：几种特殊位置的圆的方程 条件 方程形式 标准方程 一般方程 圆心在原点 过原点 圆心在x轴上 圆心在y轴上 圆心在x轴上且过原点 圆心在y轴上且过原点 与x轴相切 与y轴相切 五：用待定系数法求圆的方程的步骤 求圆的方程常用“待定系数法”.用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是： (1)根据题意，选择标准方程或一般方程. (2)根据已知条件，建立关于或的方程组. (3)解方程组，求出或的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程. 六：轨迹方程 求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量之间的方程． 1．当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义（如圆）时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法（或称相关点法）． 2．求轨迹方程时，一要区分“轨迹”与“轨迹方程”；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等． 3．求轨迹方程的步骤： （1）建立适当的直角坐标系，用表示轨迹（曲线）上任一点的坐标； （2）列出关于的方程； （3）把方程化为最简形式； （4）除去方程中的瑕点（即不符合题意的点）； （5）作答． 例题讲解 考点一 圆的方程 例1、求满足下列条件的各圆的方程： （1）圆心在原点，半径是3； （2）圆心在点C（3，4）上，半径是； （3）经过点P（5，1），圆心在点C（8，―3）上． 【答案】（1）x2+y2=9 （2）(x―3)2+(y―4)2=5（3）(x―8)2+(y+3)2=25 【解析】 （1）x2+y2=9；（2）(x―3)2+(y―4)2=5； （3）解法一：∵圆的半径，圆心在点C（8，―3）． ∴圆的方程是(x―8)2+(y+3)2=25． 解法二：∵圆心为C（8，―3），故设圆的方程为(x―8)2+(y+3)2=r2． 又∵点P（5，1）在圆上，∴(5―8)2+(1+3)2=r2，∴r2=25， ∴所求圆的方程是(x―8)2+(y+3)2=25． 例2、写出下列方程表示的圆的圆心和半径． （1）x2+y2=2；（2）(x―3)2+y2=a2（a≠0）；（3）(x+2)2+(y+1)2=b2（b≠0）． 【答案】（1）（0，0），（2）（3，0），|a|（3）（―2，―1），|b| 【解析】 （1）圆心（0，0），半径为； （2）圆心（3，0），半径为|a|； （3）圆心（―2，―1），半径为|b|． 例3、求下列各圆的标准方程： （1）圆心在直线y=0上，且圆过两点A（1，4），B（3，2）； （2）圆心在直线2x+y=0上，且圆与直线x+y―1=0切于点M（2，―1）． 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）∵圆心在直线y=0上，∴设圆心坐标为C（a，0），则|AC|=|BC|， 即，即 ，解得a=―1，即圆心为（―1，0）， 半径，则圆的标准方程为 ， （2）设圆心坐标为（a，b）， 则，解得a=1，b=－2，∴， ∴要求圆的方程为 ． 例4、求经过A（0，―1）和直线x+y=1相切，且圆心在直线y=―2x上的圆的方程． 【答案】或 【解析】因为圆心在直线y=―2x上，设圆心坐标为（a，―2a） 设圆的方程为 圆经过点A（0，―1）和直线x+y=1相切， 所以有 解得，a=1或 所以圆的方程为 或． 例5、下列方程能否表示圆？若能表示圆，求出圆心和半径． （1）2x2+y2―7y+5=0； （2）x2―xy+y2+6x+7y=0； （3）x2+y2―2x―4y+10=0； （4）2x2+2y2―5x=0． 【答案】（1）不能表示圆（2）不能表示圆（3）不能表示圆（4）表示圆 【解析】（1）∵方程2x2+y2―7y+5=0中x2与y2的系数不相同，∴它不能表示圆． （2）∵方程x2―xy+y2+6x+7y=0中含有xy这样的项，∴它不能表示圆． （3）方程x2+y2―2x―4y+10=0化为(x―1)2+(y―2)2=―5，∴它不能表示圆． （4）方程2x2+2y2－5x=0化为，∴它表示以为圆心，为半径长的圆． 例6、已知圆，则圆关于点对称的圆的方程为(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】圆的圆心为，半径为，关于对称的点为， 圆对称后只是圆心位置改变，圆的半径不会变化，仍为，因此所求的圆的方程为. 故选：D 例7、已知圆与圆关于直线对称，则圆的标准方程为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可得，圆的圆心坐标为，半径为，设圆心关于直线的对称点为，则，解得，所以圆的标准方程为.故选：A 例8、过三点的圆的一般方程为(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设圆的方程为，将A，B，C三点的坐标代入方程， 整理可得，解得，故所求的圆的一般方程为，故选：D． 例9、求以为圆心，且经过点的圆的一般方程(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得，圆的半径，所以圆的方程为， 所以圆的一般方程为.故选：C. 例10、方程x2＋y2＋4x－2y＋5m＝0表示圆的条件是(    ) A．m<1 B．m>1 C．m< D．<m<1 【答案】A 【解析】方程x2＋y2＋4x－2y＋5m＝0，标准形式， 表示圆的条件是，解得．故选：A 例11、已知方程C：x2+y2―2x―4y+m=0， （1）若方程C表示圆，求实数m的范围； （2）在方程表示圆时，该圆与直线l：x+2y―4=0相交于M、N两点，且，求m的值． 【答案】（1）（―∞，5）；（2）m=4 【解析】（1）∵方程C：x2+y2―2x+4y+m=0表示圆，∴D2+E2―4F＞0，即4+16―4m＞0解得m＜5， ∴实数m的取值范围是（―∞，5）． （2）∵方程C：x2+y2―2x―4y+m=0，∴(x―2)2+(y―2)2=5―m， 圆心（1，2）到直线x+2y―4=0的距离， ∵圆与直线l：x+2y―4=0相交于M、N两点，且，∴，解得m=4． 例12、已知直线x2+y2―2(t+3)x+2(1―4t2)y+16t4+9=0表示一个圆． （1）求t的取值范围； （2）求这个圆的圆心和半径； （3）求该圆半径r的最大值及此时圆的标准方程． 【答案】（1）（2）（t+3，4t2－1） （3） 【解析】（1）已知方程表示一个圆D2+E2―4F＞0，即4(t+3)2+4(1―4t2)2―4(16t4+9)＞0，整理得7t2―6t―1＜0． （2）圆的方程化为[x―(t+3)]2+[y+(1―4t2)]2=1+6t―7t2． ∴它的圆心坐标为（t+3，4t2－1），半径为． （3）由． ∴r的最大值为，此时圆的标准方程为． 例13、（1）△ABC的三个顶点分别为A（―1，5），B（―2，―2），C（5，5），求其外接圆的方程； （2）圆C过点P（1，2）和Q（―2，3），且圆C在两坐标轴上截得的弦长相等，求圆C的方程． 【答案】（1）x2+y2―4x―2y―20=0（2）(x+1)2+(y―1)2=5或(x+2)2+(y+2)2=25 【解析】（1）解法一：设所求的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，由题意有 ，解得． 故所求的圆的方程为x2+y2―4x―2y―20=0． 解法二：由题意可求得AC的中垂线的方程为x=2，BC的中垂线方程为x+y―3=0．∴圆心是两中垂线的交点（2，1），∴半径， ∴所求的圆的方程为(x―2)2+(y―1)2=25，即x2+y2―4x―2y―20=0． （2）解法一：如右图所示，由于圆C在两坐标轴上的弦长相等，即|AD|=|EG|，所以它们的一半也相等，即|AB|=|GF|，又|AC|=|GC|， ∴Rt△ABC≌Rt△GFC，∴|BC|=|FC|． 设C（a，b），则|a|=|b|． ① 又圆C过点P（1，2）和Q（―2，3）， ∴圆心在PQ的垂直平分线上， 即，即y=3x+4，∴b=3a+4． ② 由①知a=±b，代入②得或． ∴或5． 故所求的圆的方程为(x+1)2+(y―1)2=5或(x+2)2+(y+2)2=25． 即x2+y2+2x―2y―3=0或x2+y2+4x+4y―17=0． 解法二：设所求的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0． ∵圆C过点P（1，2）和Q（－2，3）， ∴，解得． ∴圆C的方程为x2+y2+Dx+(3D―8)y+11―7D=0，将y=0代入得x2+Dx+11―7D=0． ∴圆C在x轴上截得的弦长为．将x=0代入得y2+(3D―8)y+11―7D=0， ∴圆C在y轴上截得的弦长为． 由题意有，即D2―4(11―7D)=(3D―8)2―4(11―7D)，解得D=4或D=2．故所求的圆的方程为x2+y2+4x+4y―7=0或x2+y2+2x―2y―3=0． 考点二 点与圆的位置关系 例1、(多选)下列各点中，不在圆的外部的是(    ) A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】对于A，，点在圆内； 对于B，，点在圆外； 对于C，，在圆上； 对于D，，在圆内.故选：ACD 例2、若点在圆的内部，则a的取值范围是(　　). A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题可知，半径，所以，把点代入方程， 则，解得，所以故a的取值范围是.故选：D 例3、判断点M（6，9），N（3，3），Q（5，3）与圆(x―5)2+(y―6)2=10的位置关系． 【答案】M在圆上 N在圆外 Q在圆内 【解析】∵圆的方程为(x―5)2+(y―6)2=10，分别将M（6，9），N（3，3），Q（5，3）代入得 (6―5)2+(9―6)2=10，∴M在圆上； (3―5)2+(3―6)2=13＞10，∴N在圆外； (5―5)2+(3―6)2=9＜10，∴Q在圆内． 考点三 圆过定点 例1、对任意实数，圆恒过定点，则定点坐标为 ． 【答案】或 【解析】，即， 令，解得，，或，，所以定点的坐标是或． 故答案为：或. 考点四 动点的轨迹方程 例1、已知圆C过三个点． (1)求圆C的方程： (2)已知O为坐标原点，点A在圆C上运动，求线段的中点P的轨迹方程． 【答案】(1)；(2) 【解析】(1)解：设圆的方程为， 因为圆过三个点，所以，解得， 所以圆的方程为，即． (2)设动点P的坐标为， A的坐标是．由于P为线段OA的中点，所以 ， ， 所以有 ①A是圆上的点，所以A坐标满足：② 将①代入②整理，得， 所以P的轨迹是以为圆心，以1为半径的圆，方程为． 例2、已知一曲线是与两个定点O（0，0），A（3，0）距离的比为的点的轨迹，求这条曲线的方程，并画出曲线． 【答案】(x+1)2+y2=4 曲线是圆心为C（―1，0），半径长为2的圆 【解析】 在给定的坐标系中，设M（x，y）是曲线上的任意一点，点M在曲线上的条件是． 由两点间距离公式，得，两边平方并化简，得曲线方程x2+y2+2x―3=0，配方得(x+1)2+y2=4． 所以所求曲线是圆心为C（―1，0），半径长为2的圆（如图）． 例3、已知曲线C上任意一点到原点的距离与到A（3，―6）的距离之比均为． （1）求曲线C的方程． （2）设点P（1，―2），过点P作两条相异直线分别与曲线C相交于B，C两点，且直线PB和直线PC的倾斜角互补，求证：直线BC的斜率为定值． 【答案】（1）；（2）直线BC的斜率为定值． 【解析】（1）曲线C上的任意一点为Q（x，y）， 由题意得 （2）证明：由题意知，直线PB和直线PC的斜率存在，且互为相反数，P（1，―2）， 故可设PA：y+2=k（x―1），由 因为点P的横坐标x=1一定是该方程的解，故可得，同理，， 所以；故直线BC的斜率为定值． 例4、已知定点A（4，0），P点是圆x2+y2=4上一动点，Q点是AP的中点，求Q点的轨迹方程． 【答案】(x―2)2+y2=1 【解析】 设Q点坐标为（x，y），P点坐标为（x＇，y＇），则且，即x＇=2x―4，y＇=2y． 又P点在圆x2+y2=4上，∴x＇2+y＇2=4，将x＇=2x―4且y＇=2y代入得(2x―4)2+(2y)2=4，即(x―2)2+y2=1． 故所求的轨迹方程为(x―2)2+y2=1． 考点五 综合运用 例1、若直线 经过圆的圆心，则 的最小值是(    ) A． B．4 C．5 D． 【答案】D 【解析】圆的圆心为，则， ，当且仅当时等号成立，故选：D 例2、已知、满足，则的最大值为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】圆的标准方程为，圆心为，半径为， 记点，则，如下图所示： 当点为直线与圆的交点，且点在线段上时，取最大值，即， 因此，的最大值为.故选：B. 举一反三 1.圆心是（4，―1），且过点（5，2）的圆的标准方程是（ ） A．(x―4)2+(y+1)2=10 B．(x+4)2+(y―1)2=10 C．(x―4)2+(y+1)2=100 D． 【答案】A 2.方程表示一个圆，则的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，得，解得.故选：B 3．(多选题)下列方程不是圆的一般方程的有(    ) A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】根据二元二次方程表示圆的条件， 对于A中，方程，可得，所以方程是圆的一般方程； 对于B中，方程，可得，所以方程不是圆的一般方程； 对于C中，方程中，和的系数不相等，所以方程不是圆的一般方程； 对于D中，方程中，存在项，所以方程不是圆的一般方程.故选：BCD. 4.求圆心在直线x―2y―3=0上，且过点A（2，―3），B（―2，―5）的圆的标准方程． 【答案】 (x+1)2+(y+2)2=10 【解析】设圆的标准方程为，则 解得：，所以所求圆的标准方程是：(x+1)2+(y+2)2=10． 5.（1）过点且圆心在直线上； （2）与轴相切，圆心在直线上，且被直线截得的弦长为． 【答案】（1）（2）或 【解析】（1）设圆的方程为：，则 ，解得： 所求圆的方程为： （2）设圆的方程为：，则 解得：或 所求圆的方程为：或． 6．根据下列条件，求圆的标准方程： (1)圆心在点，且过点； (2)过点和点，半径为2； (3)，为直径的两个端点； (4)圆心在直线上，且过点和点． 【答案】(1)；(2)或； (3)；(4) 【解析】(1)由题意可得，所以圆的标准方程为； (2)设圆的标准方程为，因为圆过点和点， 所以，解得或， 所以圆的标准方程为或； (3)因为的中点坐标为，即圆心为，半径， 所以圆的标准方程为； (4)设圆的标准方程为，由题意可得，解得， 所以圆的标准方程为 7.（1）求过的圆的方程，及圆心坐标和半径； （2）求经过点且与直线相切于点（8，6）的圆的方程． 【解析】（1）法一：设圆的方程为：，则 ，解得： 所以所求圆的方程为：，即，所以圆心为（4，1），半径为． 法二：线段的中点为为， 线段的中垂线为，即 同理得线段中垂线为 联立，解得 所以所求圆的方程为（4，1），半径 所以． （2）法一：设圆的方程为：，则 ，解得： 所以圆的方程为． 法二：过点与直线垂直的直线是， 线段的中垂线为， 由得：圆心坐标为，由两点间距离公式得半径， 所以圆的方程为． 8.判断方程ax2+ay2―4(a―1)x+4y=0（a≠0）是否表示圆，若表示圆，写出圆心坐标和半径长． 【答案】， 9.方程表示圆，则a的取值范围是 A．或 B． C． D． 【答案】D 【解析】方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0转化为，所以若方程表示圆，则有，∴ ，∴ ． 10.如图，等边△ABC的边长为2，求这个三角形的外接圆的方程，并写出圆心坐标和半径长． 【答案】，， 11．若点在圆的内部，则实数a的取值范围是_____. 【答案】 【解析】因为点在圆的内部，所以，即，解得 故答案为： 12．若点在圆上,则实数___. 【答案】或 【解析】因为点在圆上,则点的坐标满足圆的方程，即，得解得：或.故答案为或. 13．若点在圆外，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【解析】点在圆外，，且， 解得或．实数的取值范围为．故答案为：. 14.已知点A（2，3）在圆外，则实数m的取值范围为________． 【答案】（3，5） 【解析】∵圆即，∴5－m＞0，则m＜5． ∵点A（2，3）在圆外，∴4+9－4－12+m＞0，∴m＞3． 综上可得，3＜m＜5，故答案为：（3，5）． 15.点（a+1，a―1）在圆的内部，则a的取值范围是________． 【思路点拨】直接把点（a+1，a―1）代入圆的方程左边小于0，解不等式可得a的范围． 【答案】（－∞，1） 【解析】∵点（a+1，a―1）在圆的内部（不包括边界）， ∴ ，整理得：a＜1．故答案为：（－∞，1）． 16．点是直线上任意一点，是坐标原点，则以为直径的圆经过定点(      ) A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【解析】设点，则线段的中点为， 圆的半径为， 所以，以为直径为圆的方程为， 即，即， 由，解得或， 因此，以为直径的圆经过定点坐标为、.故选：D. 17．若圆过坐标原点，则实数m的值为(    ) A．1 B．2 C．2或1 D．－2或－1 【答案】A 【解析】将代入圆方程，得，解得或0， 当时，，满足题意；当时，，不满足题意.故选：C． 18．已知方程表示的曲线恒过第三象限内的一个定点，若点又在直线：上，则 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】方程可化为. 曲线恒过定点，，解得或. 点在第三象限，，代入直线的方程， 可得.故选：. 19.如下图，过第一象限的定点C（a，b）作互相垂直的两直线CA、CB，分别交于x轴、y轴的正半轴于A、B两点，试求线段AB的中点M的轨迹方程． 【答案】2ax+2by=a2+b2（x＞0且y＞0）． 20.已知定点A（2，0），点Q是圆x2+y2=1上的动点，∠AOQ的平分线交AQ于M，当Q点在圆上移动时，求动点M的轨迹方程． 【答案】 21.平面内到两定点距离的比值是一个不等于1的常数的动点的轨迹是一个圆． 【解析】以两定点所在的直线为轴，以两定点所在线段的中垂线为轴建立直角坐标系，设两定点分别为，设动点，则，， 整理得： 所以，即 所以动点的轨迹是一个圆． 22．已知圆C经过点且圆心C在直线上. (1)求圆C方程； (2)若E点为圆C上任意一点，且点，求线段EF的中点M的轨迹方程. 【答案】(1)；(2)． 【解析】(1)由题可设圆C的标准方程为，则， 解之得，所以圆C的标准方程为； (2)设M(x，y)，，由及M为线段EF的中点得，解得, 又点E在圆C：上， 所以有，化简得：, 故所求的轨迹方程为． 23．已知方程表示圆，其圆心为. (1)求圆心坐标以及该圆半径的取值范围； (2)若，线段的端点的坐标为，端点在圆上运动，求线段中点的轨迹方程. 【答案】(1)；(2) 【解析】(1)方程可变为：由方程表示圆，所以，即得， .圆心坐标为. (2)当时，圆方程为：， 设，又为线段的中点，的坐标为则， 由端点在圆上运动，即 线段中点的轨迹方程为 24．(多选)若直线始终平分圆的周长，则的取值可能是(　　) A． B．- C． D．2 【答案】ABC 【解析】由题可知直线过圆心，有，即， 则，故ABC符合题意．故选：ABC． 25．已知实数满足，则的最大值为 ． 【答案】36 【解析】实数满足，即表示以为圆心、1为半径的圆，表示圆上的点到点的距离的平方，则最大值为圆心与点距离加上半径后的平方，故的最大值为．故答案为：36 26．若直线：始终平分圆：的周长，则的最小值为 . 【答案】 【解析】圆：，圆心为(-2，-1)，半径为2， 由已知可得，直线：过圆心，即有，即，则 代入，故答案为：20. 课 后 作 业 1．圆心在原点，半径是的圆的标准方程为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为圆的圆心在原点，半径是3，所以圆的标准方程为，故选：A. 2．已知半径为3的圆的圆心与点关于直线对称，则圆的标准方程为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设圆心坐标，由圆心与点关于直线对称，得到直线与垂直， 结合的斜率为1，得直线的斜率为，所以，化简得① 再由的中点在直线上，，化简得② 联立①②，可得，所以圆心的坐标为， 所以半径为3的圆的标准方程为.故选：C 3．在平面直角坐标系中，已知、两点，若圆以为直径，则圆的标准方程为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可知，圆心的横坐标为，纵坐标为，即点， 圆的半径为，因此，圆的标准方程为.故选：A. 4．圆(x―1)2+y2=1的圆心到直线的距离是（ ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【解析】 圆(x―1)2+y2=1的圆心为（1，0），由点到直线的距离公式得． 5．已知直线l恰好经过圆的圆心，且与直线垂直，则直线l的方程为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由直线l与直线m垂直，设直线l，m的斜率分别为，，则，即，解得．易得圆C的圆心为，故直线l的方程为，整理可得直线l的方程为．故选：C． 6．过坐标原点，且在x轴和y轴上的截距分别为2和3的圆的方程为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设圆的方程为，由题意知,圆过点，和， 所以，解得，所以所求圆的方程为.故选：A 7．将圆平分的直线是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】要使直线平分圆，只要直线经过圆的圆心即可，由，得， 所以圆心坐标为，对于A，因为，所以直线不过圆心，所以A错误，对于B，因为，所以直线不过圆心，所以B错误，对于C，因为，所以直线过圆心，所以C正确，对于D，因为，所以直线不过圆心，所以D错误，故选：C 8．曲线关于（ ） A．直线轴对称 B．直线轴对称 C．点中心对称 D．点中心对称 【答案】D 9．已知圆C的圆心在直线2x－y－7＝0上，且圆C与y轴交于两点A(0，－4)，B(0，－2)，则圆C的标准方程为(     ) A．(x－2)2＋(y－3)2＝5 B．(x－2)2＋(y＋3)2＝5 C．(x＋2)2＋(y＋3)2＝5 D．(x＋2)2＋(y－3)2＝5 【答案】B 【解析】设圆心，因为，所以， 解得，则半径为，圆心.即圆C的标准方程为.故选：B 10．(多选)设是圆心为的圆：上的动点，是圆的切线，且，则下列说法正确的是(    ) A．圆的圆心为 B． C．点到距离的最小值为6 D．点到距离的最大值为12 【答案】ABD 【解析】由题知，圆的圆心为，半径为，又， ，点的轨迹方程为， 故点到的距离的最大值为， 最小值为．故选：ABD 11．(多选)已知圆M的一般方程为，则下列说法正确的是(    ) A．圆M的半径为5 B．圆M关于直线对称 C．点在圆M内 D．实数x，y满足圆M的方程，则的最小值是5 【答案】ABD 【解析】圆M的一般方程为，化为标准方程为，则圆心，半径为5，故A正确；圆心满足直线方程，则直线过圆心，所以圆M关于直线对称，故B正确；点到圆心的距离为，故该点在圆外，故C不正确； 实数x，y满足圆M的方程，则为圆上一点与点的距离，又，则在圆外，所以的最小值即，故D正确.故选：ABD. 12．若直线过圆的圆心，则ab的最大值为( ) A. B. C.4 D.16 【答案】B 【解析】圆心为(-1，-1)，所以.则.则. 由于，所以当时，ab取得最大值为.故选B. 13．圆心在直线上，且过点的圆的标准方程为 . 【答案】 【解析】直线的斜率为，线段的中点为， 线段的垂直平分线的方程为：，即， 联立，解得，即圆心坐标为，半径， 所以所求圆的标准方程为：.故答案为：. 14．已知圆过点，，则圆心到坐标原点的距离的最小值为 . 【答案】 【解析】依题意，可知圆心在线段的中垂线上，的斜率为，线段的中点为， 故线段的中垂线方程为，故到坐标原点的距离的最小值为.故答案为：. 15．已知为圆O上的点，则圆O的方程为 ． 【答案】 【解析】设圆O的方程为， 因为点A、B、C在圆O上，所以，解得， 所以圆O的一般方程为，标准方程为. 故答案为： 16．圆，关于直线对称的圆的标准方程为 . 【答案】 【解析】由圆方程可得：圆心，半径， 设圆心关于的对称点，则，解得：，即， 圆的标准方程为：.故答案为：. 17．过点的直线与圆交于点B，则线段中点P的轨迹方程为 . 【答案】 【解析】设点P的坐标为，点B为，由题意，结合中点坐标公式可得， 故，化简得.即线段AB中点P的轨迹方程为. 故答案为： 18．已知圆C过点，当圆C到原点O的距离最小时，圆C的标准方程为 ． 【答案】 【解析】由可得线段中点坐标为，又， 所以垂直平分线的方程为，所以圆心C在线段垂直平分线上， 当圆C到原点O的距离最小时，则,所以直线方程为， 联立，所以圆心, 又半径,故圆的方程为： 故答案为： 19．点是圆上的动点，点是 (为原点)的中点，则动点 的轨迹方程为 ． 【答案】 【解析】由点是圆上的动点，可得， 因为点是 (为原点)的中点，可得， 设，则点的轨迹表示以原点为圆心，半径为的圆， 所以动点的轨迹方程为. 故答案为：. 20.已知为圆上任意一点．则的最大值为 【答案】 【解析】圆即，故圆心，半径为， 又表示圆C上的点M到点的距离， 故其最大值为，故答案为： 21.已知圆C经过点且圆心C在直线上. (1)求圆C方程； (2)若E点为圆C上任意一点，且点，求线段EF的中点M的轨迹方程. 【答案】(1)；(2) 【解析】(1)设圆C的标准方程为，可知其圆心为， 由题意可得，解得，所以圆C的标准方程为. (2)设，由及M为线段EF的中点得，解得，即， 又因为点E在圆C：上，则， 化简得：，故所求的轨迹方程为．    22．已知直线过点，且与轴分别交于点，为等腰直角三角形． (1)求的方程； (2)设为坐标原点，点在轴负半轴，求过，，三点的圆的一般方程． 【答案】(1)或；(2) 【解析】(1)因为直线过点，所以设直线为，， 令，得，所以，令，得，所以， 又因为为等腰直角三角形，所以，得，解或， 当时直线过原点，不满足题意，故直线的方程为或， 即或. (2)由题意可知直线的方程为，即，设圆的方程为， 将，，代入得，解得， 所以所求圆的方程为. 23．已知圆心为C的圆经过，两点，且圆心C在直线上． (1)求圆C的方程； (2)已知点，点N在圆C上运动，求线段中点P的轨迹方程． 【答案】(1)，(2) 【解析】(1)设圆的方程为，由题意得，解得         所以圆的方程为. (2)设点的坐标是，点的坐标是， 由于点的坐标为，点是线段的中点，所以，   于是       因为点在圆上运动，所以点的坐标满足圆的方程，即      所以，整理得 所以，线段中点的轨迹方程. 24．已知圆C经过点，，且圆心C在直线上． (1)求圆C的一般方程； (2)若线段OP的端点P在圆C上运动，端点O为坐标原点，求线段OP的中点M的轨迹方程． 【答案】(1)；(2) 【解析】(1)设所求圆的C的一般方程为，则圆心， 由题意得，解得，所以圆的C的一般方程为. (2)依题意，设，，因为M为线段OP的中点，，所以， 又因为点P在圆C上运动，所以，故， 整理得：，所以点M的轨迹方程为. 25.已知圆心为C的圆经过，两点，且圆心C在直线上. (1)求圆C的标准方程； (2)设P为圆C上的一个动点，O为坐标原点，求OP的中点M的轨迹方程. 【答案】(1)；(2). 【解析】(1)设圆心C的坐标为，半径为r，∵圆心C在直线上，∴， ∵圆C经过，两点，∴，即， 化简得：，又，所以， ∴圆心C的坐标为，， 所以圆C的标准方程为：； (2)设，，∵M为OP的中点，∴，∴， ∵P在圆C上，∴，即， ∴OP的中点M的轨迹方程为. 学科网（北京）股份有限公司 $$