第13章 勾股定理能力提优测试卷-【勤径学升】2025-2026学年新教材八年级上册数学全程时习测试卷（华东师大版2024）

第13章 勾股定理 见此图标眼 抖音/微信扫码 领取配套资源，开启高效学习 考号 ⋯⋯装⋯⋯ 班级 订⋯⋯线⋯内⋯⋯ ⋯不⋯⋯⋯要⋯⋯答⋯⋯题： 能力提优测试卷 ·时间：120分钟·满分：120分 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题 给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知，Rt△ABC的两条边AC、BC的长分别为2、3,则边 AB的长为 ( ) 答题卡 A.1 B.√13 C.√5 D.√5或√13 2.(山东枣庄期末)如图，在4×1的网格中每个正方形的边长为1, 表示长为√5的线段是 ( ) A.OA B.OB C.OC D.OD A C B D E 0 B C D A D B 2题图 3题图 4题图 3.如图，在△ABD中，AC是BD边上的高，已知AB=10,AC=8, BC:CD=2:5,则AD的长为 ( ) A.6 B.12 C.15 D.17 4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,AB=13,AC=5,AB的垂直平分线 DE分别交AB、BC于D、E两点，则△ACE的周长为( ) A.12 B.14 C.16 D.17 5.[传统文化](河南南阳期末)如图是“赵爽弦图”,它是由4个全等 的直角三角形拼成的图形，若大正方形的面积是29,小正方形的 面积是9,设直角三角形较长直角边为b,较短直角边为a,则a+b 的值是 ( ) A.5 B.6 C.7 D.8 C A D D F F A< Xo ba A E B E| BL c B C 5题图 6题图 7题图 8题图 6.如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°,BC的垂直平分线交AB 于点E,交∠CAB的平分线于点F,连结CF、BF,若BF=5,△CEF 的周长为17,则AF的长度是 ( ) A.√119 B.10 C.12 D.13 7.如图，正方形ABCD由9个边长为1的小正方形组成，每个小正方 形的顶点都叫格点，连结AE、AF,则∠EAF= ( ) A.30° B.45° C.60° D.35° 8.(河北保定期末)如图，四边形ABCD中，AC⊥BD于点0,若AD= 1,BC=4,则AB2+CD2等于 ( ) A.15 B.16 C.17 D.20 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 9.用反证法证明“等腰三角形的底角必为锐角”的第一步为假设___ 10.如图，已知△ABC中，AB=10,AC=8,BC=6,AB的垂直平分线 分别交AC、AB于点D、E,连结BD,则CD的长为____ A? A A? A? 9A? A?b 0 A? Ag 水 C A- E B C Q P A- D B 10题图 11题图 12题图 11.新考法如图所示，第七届国际数学教育大会(ICME-7)会徽的 主体图案是由一连串有公共顶点0的直角三角形演化而成的. 如果OA?=A?A?=A?A?=⋯=A?Ag=1,那么OA2为______ 12.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°,AC=3,AB=4,BC=5,CD平 分∠ACB,如果P、Q分别为CD、AC上的动点，那么AP+PQ的最 小值是_____. 13.新情境又到了一年一度的中秋节，公园的园艺师按如下方法新 建造了一处如图所示的花坛，他们先以直角三角形ABC的三边 为直径分别向外作半圆，又将金色的菊花摆放至半圆内，若斜边 AB=3m,则摆放菊花的三个半圆的面积为____m2. C B 13题图 5cm B C 20cm A 15cm10cm 14题图 14.如图，长方体的长为15cm、宽为10cm、高为20cm,BC=5cm,一 只蚂蚁如果沿着长方体的表面从点A爬到点B,那么该蚂蚁需要 爬行的最短距离为_______cm. 三、解答题：本题共10小题，共78分。 15.(6分)如图，在△ABC中，D是BC上一点，且AB=10,AD=8,BD =6,AC=17. (1)求∠ADB的度数； (2)求△ABC的面积. B D C 15题图 16.(6分)(吉林长春期末)如图，一艘小船停留在点A处，在离水面 高度为8米的台阶上有一根绳子连着小船，用绳子拉小船移动到 点D处，已知开始时绳子的长AC=17米，停止后绳子的长CD= 10米，求小船移动的距离AD的长. C A^ D B 16题图 17.(6分)在一次“通关”游戏中，其中一个游戏是每名队员必须从 如图所示的平台B处荡秋千到平台C处，平台B距地面1.2m, OM垂直于地面，点A为秋千静止时在OM上的位置，平台B、C 到OM的水平距离BD、CE分别为1.8m和2.4 m,BD⊥OM于点 D,CE⊥OM于点E,且∠BOC=90°. (1)求秋千OB的长度； (2)求秋千离地面的最小距离. 0 EP C B cD AM 地面 17题图 18.(7分)如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1,每个 小正方形的顶点叫做格点.[提示：(√a)2=a(a≥0)] (1)在图①中以格点为顶点作一个面积为10的正方形； (2)在图②中以格点为顶点作一个三角形，使三角形三边长分别 为2,√5,√13; (3)如图③,A、B、C是小正方形的顶点，求∠ACB的度数. 18题图① 18题图② 18题图③ 数学华师版 八年级 上册 第 23 页 学 见此图标眼 抖音/微信扫码 领取配套资源，开启高效学习 19.(7分)新情境(河南周口期末)为推进乡村振兴，把家乡建设成 为生态宜居、交通便利的美丽家园，某地大力修建崭新的公路. 如图，现从A地分别向C、D、B三地修了三条笔直的公路AC、 AD和AB,C地、D地、B地在同一笔直公路上，公路AC和公路 CB互相垂直，又从D地修了一条笔直的公路DH与公路AB在 H处连结，且公路DH和公路AB互相垂直，已知AC=9千米， AB=15千米，BD=5千米. (1)求公路CD、AD的长度； (2)若修公路DH每千米的费用是2万元，请求出修建公路DH 的费用. A H C D B 19题图 20.(7分)如图，在四边形ABCD中，AC、BD是对角线，△ABC是等 边三角形，将线段CD绕点C顺时针旋转60°得到线段CE,连结 AE、DE. (1)求证：∠BCD=∠ACE; (2)若∠ADC=30°,AD=6,BD=10,求DE的长. D A E BL C 20题图 21.(8分)新情境“劳动基地”是培养学生劳动意识和创新精神的 重要平台，某校在校园一角开辟了一块四边形的“劳动基地”,如 图，经过测量得知∠B=90°,AB=6m,BC=8m,CD=24m,AD= 26m. (1)连结AC,判断△ACD的形状，并说明理由； (2)若在该基地上种植蔬菜，每平方米需要费用3元，则种满这 块基地共需费用多少元? D A B C 21题图 22.(9分)如图①是实验室中的一种摆动装置，BC在地面上，支架 ABC是底边长为BC的等腰直角三角形，摆动臂AD可绕点A旋转， 同时摆动臂DM可绕点D旋转.已知∠BAC=90°,AD=6,DM=1. (1)在旋转过程中， ①当A、D、M三点在同一直线上时，直接写出AM的长； ②当以A、D、M为顶点的三角形为直角三角形时，求AM的长； (2)如图②,把摆动臂AD顺时针旋转90°,点D旋转到△ABC内 的点E处，连结BE、EC、DE.当∠AEC=135°,CE=7时，求 BE的长. A D DA M BE C B4 E C 22题图① 22题图② 23.(10分)新考法定义：过直角三角形一直角边上的中点，向斜边 引垂线，则称此垂线为直角三角形这一直角边上的直中斜垂线， 直中斜垂线将斜边分为长度不相等的两条线段，其中较短的称 为斜勾，较长的称为斜股. 性质：在直角三角形中，斜股与斜勾的平方差等于另一直角边的 平方. (1)如图①,在△ABC中，∠C=90°,D是AC的中点，DE⊥AB于 点E,则DE即为Rt△ABC中直角边AC上的直中斜垂线，AE 为斜勾，BE为斜股，求证：BE2-AE2=BC2; (2)如图②,在△ABC中，∠C=90°,DE、FG分别是Rt△ABC中 直角边AC、BC的直中斜垂线，垂足分别为点E、G,若AC=8, BC=6,求线段EG的长度. C D A4 E B C D F A E G B 23题图① 23题图② 24.(12分)如图，∠AOB=90°,线段0A=18m,OB=6m,一机器人 Q在点B处. (1)若BC=AC,求线段BC的长； (2)在(1)的条件下，若机器人Q从点B出发，以3m/min的速度 沿着△OBC的三条边逆时针走一圈后回到点B,设行走的时 间为t min,则当t为何值时，△OBQ是以点Q为直角顶点的 直角三角形? B 0 C A 24题图 数学华师版 八年级 上册 第 24 页 参考答案及解析 (2)(20+√80)[解析]BA=BD=10m,则DC=BD- BC=10-6=4(m),故AD=√AC2+DC2=√80 m,则 △ABD的周长为AD+AB+BD=√80+10+10=(20+ √80)m.故答案为(20+√80).[注：√80=4√5,答案也 可填(20+4√5),化简二次根式为之后内容，本书不要求 化简.] (3)∵ DA=DB, 二设DC=x m,则AD=(6+x)m. ∵DC2+AC2=AD2, ∴x2+82=(6+x)2, 解得：=3 ∵AC=8m,BC=6m, ∴AB=√62+82=10(m), △ABD的周长=AD+BD+AB=2×(3+6)+10= 3(m) 24.解：(1)勾股定理. 内容为直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. (2)梯形ABCD的面积为-2(a+b)(a+b)= 2a2+ab+ 1,2 b2,也可以表示为-2ab+2ab+2e, 2a2+ab+2bB2=2ab+2ab+22, 即a2+b2=c2. (3)设AB=AC=xkm,则AH=(x-0.9)km. 在Rt△ACH中，由勾股定理， 得AC2=CH2+AH2, ∴x2=1.22+(x-0.9)2, 解得x=1.25, ∴AC=1.25 km, ∴AC-CH=1.25-1.2=0.05(km). 答：新路CH 比原路AC少0.05 km. 第13章 勾股定理 能力提优测试卷 1.D 2.B 3.D 4.D [解析]∵DE垂直平分AB,∴ AE=BE.∵∠C=90°,AB =13,AC=5,∴ BC=√AB2-AC2=√132-52=12, ∴C△ACE=AE+CE+AC=BE+CE+AC=BC+AC=12+5 =17.故选D. 5.C [解析]∵大正方形的面积是29,小正方形的面积是9, ∴一个小三角形的面积是4×(29-9)=5,,直角三角形的 斜边长为√29,2ab=5,即ab=10.又∵a2+b2=29, ∴a2+b2+2ab=49,即(a+b)2=49,∴a+b=7或a+b= -7(不符合题意，舍去).故选C. 6.A 7.B 8.C 9.等腰三角形的底角是直角或钝角 10411.8 12.15 [解析]如答图，过点A作AE⊥BCC E 于点E,交DC于点P,过点P作PQ⊥ Q P AC于点Q.∵CD平分∠ACB,∴PE= A- PQ,∴ AP+PQ=AP+PE=AE,此时 D B AP+PQ的值最小.∵AC=3,AB=4,BC 12题答图 =5,∴AC2+AB2=BC2,∴△ABC是直角三角形，∴ △ABC 的面积=—×3×4=—×5×AE,AE=号，⋯AP+PQ 的值最小为15故答案为25 13.4 14.25 [解析]蚂蚁爬行最可能出现的三种情况如下： ①按如答图①所示展开. ∵长方体的宽为10cm、高为20cm,BC=5cm, ∴BD=CD+BC=10+5=15(cm),AD=20 cm. 在Rt△ABD中，∠D=90°, 根据勾股定理，得 AB=√AD2+BD2=√202+152=√625(cm); ②按如答图②所示展开. ∵长方体的宽为10cm、高为20cm,BC=5cm, ∴BD=CD+BC=20+5=25(cm),AD=10cm. 在Rt△ABD中，∠D=90°, 根据勾股定理，得 AB=√AD2+BD2=√102+252=√725(cm); ③按如答图③所示展开. ∵长方体的宽为10cm、高为20 cm,BC=5cm, ∴AC=CD+AD=10+20=30(cm). 在Rt△ABC中，∠C=90°,根据勾股定理，得 AB=√AC2+BC2=√302+52=√925(cm). 综上所述，∵625<725<925,.. AB的最小值为√625cm. 此时AB=25cm, ∴蚂蚁需要爬行的最短距离是25 cm. BC D A B A BC D C D A 14题答图① 14题答图② 14题答图③ 15.解：(1)∵BD2+AD2=62+82=102=AB2, ∴△ABD是直角三角形，∠ADB=90°. (2)在Rt△ACD中，∵∠ADC=90°, ∴CD=√AC2-AD2=√172-82=15, ∴BC=BD+CD=6+15=21, △ABC的面积= BC·AD=2×21×8=84. 16.解：由题意知∠ABC=90°,BC=8米，AC=17米，CD= 10米，在Rt△ABC中，由勾股定理可得AB=√AC2-BC2 =15(米). 在Rt△CDB中，由勾股定理可得BD=√CD2-BC2= 6(米), ∴AD=AB-BD=15-6=9(米). 答：小船移动的距离AD的长为9米. ·15· 全程时习测试卷·数学·华师版·八年级·上册 17.解：(1)∵∠BOC=90°,∴∠BOD+∠COE=90°. ∵BD⊥0M于点D,CE⊥0M于点E, ∴∠BDO=∠CEO=90°,∴∠BOD+∠OBD=90°, ∴∠COE=∠OBD. 在△OBD和△COE中， ∴△OBD≌△COE(AAS),∴OD=CE. 又∵BD、CE分别为1.8m和2.4m,∴OD=CE=2.4m, ∴在Rt△OBD中，由勾股定理，得OB=√OD2+BD2= 3 m. (2)∵平台B距地面1.2m,BD⊥0M于点D, ∴DM=1.2m,∵OM=OD+DM=3.6m. 又∵OA=OB,OB=3m, ∴OA=3m, ∴秋千离地面的最小距离为AM=OM-OA=3.6-3= 0.6(m). 18.解：(1)如答图①所示.(图形位置不唯一) 18题答图① 18题答图② (2)如答图②所示.(图形位置不唯一) (3)连结AB. ∵AB=√22+12=√5, BC=√22+12=√5, AC=√32+12=√10, ∴AB2+BC2=AC2,AB=BC, ∴△ABC为等腰直角三角形，∠ABC=90°, ∴∠ACB=45°. 19.解：(1)∵∠C=90°,AC=9千米，AB=15千米， ∴BC=√AB2-AC2=12千米. ∵BD=5千米，∴CD=7千米， ∴AD=√AC2+CD2=√130千米. (2)· DH⊥AB,SAuBD·AC=—AB·DH, 解得DH=3千米， ∴修建公路DH的费用为3×2=6(万元). 20.(1)证明：由旋转的性质，知∠DCE=60°,CE=CD. ∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°,AC=BC, ∴∠ACB=∠DCE,∴ ∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD, 即∠BCD=∠ACE. (2)解：在△ACE和△BCD中， ∴△ACE≌△BCD(SAS),∴AE=BD=10. ∵∠DCE=60°,CD=CE, ∴△CDE是等边三角形，∴∠CDE=60°. ∵∠ADC=30°, ∴∠ADE=∠ADC+∠CDE=90°. 在Rt△ADE中，DE=√AE2-AD2=√102-62=8. 21.解：(1)△ACD是直角三角形.理由如下： 连结AC,∵∠B=90°,AB=6m,BC=8m, ∴AC=√AB2+BC2=√62+82=10(m). ∵CD=24m,AD=26m,102+242=262, ∴AC2+CD2=AD2, ∴△ACD是直角三角形，且∠ACD=90°. (2)由(1)可知∠ACD=90°,∵∠B=90°, Sauweuc= S△muc + SaAco=-AB·BC+÷AC·CD= 2×6×8+×10×24=14(m2), ∴3×144=432(元). 故种满这块基地共需费用432元. 22.解：(1)①AM的长为7或5. ②根据题意，分两种情况： I.当∠AMD为直角时，AM2=AD2-DM2=62-12=35, ∴AM=√35; Ⅱ.当∠ADM为直角时，AM2=AD2+DM2=62+I2=37, ∴AM=√37. 综上所述，AM的长为√35或√37. (2)如答图，连结CD. ?D 4 B E C 由题可得∠DAE=90°,AE=AD=6, ∴∠AED=45°,DE2=AD2+AE2=72. ∵∠AEC=135°,∴∠CED=90°, ∴CD=√CE2+DE2=√49+72=11. ∵∠BAC=∠DAE=90°, ∴∠BAC-∠CAE=∠DAE-∠CAE, 即∠BAE=∠CAD. ∵AB=AC,AE=AD,∴△BAE≌△CAD, ∴ BE=CD=11. 23.(1)证明：连结BD, ∵D是AC的中点，∴AD=CD. 在Rt△BCD中，根据勾股定理有 BC2=BD2-CD2=BD2-AD2. 同理可得BE2=BD2-DE2,AE2=AD2-DE2, ∴ BE2-AE2=(BD2-DE2)-(AD2-DE2)=BD2-AD2, ∴ BE2-AE2=BC2. (2)解：在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=8,BC=6, ∴AB=√AC2+BC2=√82+62=10. 根据直角三角形直中斜垂线性质有BE2-AE2=BC2. 设AE=x,则BE=10-x, ∴(10-x)2-x2=62,解得=1, AE=1同理可得BG=号， EC=AB=AE=BG=10-15-9=5, ∴线段EG的长度为5. 22题答图 ·16· 参考答案及解析 24.解：(1)设BC=xm,∵ BC=AC, ∴OC=OA-CA=OA-BC=(18-x)m, 在Rt△OBC中，OB2+OC2=BC2, 即62+(18-x)2=x2, 解得x=10,即BC=10m. (2)如答图所示. B Q 0 C A 24题答图 当0Q⊥BC时符合条件，由(1)可得OB=6cm,OC=8cm, 此时QC=3t-(OB+OC)=3t-(6+8)=(3t-14)m, BQ=BC-QC=(24-3t)m, 在Rt△OQC中，0Q2+QC2=0C2, 即0Q2=0C2-QC2=82-(3t-14)2=-9t2+84t-132. 在Rt△BQ0中，0Q2+BQ2=OB2, 即OQ2=OB2-QB2=62-(24-3t)2=-540+144t-9t2, 则有-9t2+84t-132=-540+144t-9t2,解得t=6.8, 则当t=6.8时， △OBQ是以点Q为直角顶点的直角三角形. 专项巩固训练卷(七) 利用勾股定理解决最短路径问题 1.解：计划修筑的这条公路不会穿过公园.理由如下： 如答图，过点C作CD⊥AB,垂足为点D. E北 F C 60° 45° A D B 1题答图 由∠CBE=45°,易得∠BCD=∠DBC=45°, ∴CD=BD. 设CD=BD=x km, ∵∠CAF=60°, ∴∠CAD=30°,∴AC=2x km. 由勾股定理，得 AD=√AC2-CD2=√(2x)2-x2=√3x(km). 由AD+DB=2km,得√3x+x=2,∴x=√3-1, ∴CD=(√3-1)km≈0.732 km>0.7km. ∴计划修筑的这条公路不会穿过公园. 2.100 m [解析]如答图，连结AB,作AC⊥BC于点C. ∵AC=40+40=80(m), BC=70-20+10=60(m), ∴AB2=602+802=1002,则AB=100 m. 出发点10m A 北 20m m04 40m. B C 70m 终点 2题答图 3.10 4.解：如答图，作出点A关于河岸MN的对称点A′,连结A'B 交MN于点P,连结AP,则AP+PB=A'P+PB=A'B就是 最短路程. A' M A+牧童 北 N 东 D 小屋B 4题答图 在Rt△A'DB中，A'D=4+4+7=15(km),BD=8km. 由勾股定理求得A'B=√152+82=17(km). 即他要完成这件事情所走的最短路程是17km. 5.解：如答图，长方形AA'BB′是圆柱的侧面展开图，连结AB, 此时所需彩带最短，最短长度为AB. ∵∠AA'B=90°, 由题意可知AA'=4米，A'B=5米， 由勾股定理，得AA'2+A'B2=AB2, 即AB2=42+52=41, ∴AB=√41米(负值已舍). 答：最少需要彩带√41米. B'- B A A' 5题答图 6.解：(1)圆锥 (2)动手操作略. 扇形 (3)把此立体图形的侧面展开，如答图所示，连结AC,则AC 为蜗牛爬行的最短路线. S C A 6题答图 (4)由题易知 SC=5. 在Rt△ASC中，由勾股定理，得AC2=102+52=125. 故蜗牛爬行的最短路程的平方为125. 7.解：如答图，将长方体的侧面展开在同一平面内. ∵PA=2×(8+4)=24(cm),QA=10cm,∠A=90°, ∴PQ=√242+102=26(cm). ∵26÷1.5≈17.3(s), 17.3<20, ∴20 s内蚂蚁能爬到点Q. 4cm 4 cmo P8cm 8cm A 7题答图 ·17·