第13章 勾股定理基础过关检测卷-【勤径学升】2025-2026学年新教材八年级上册数学全程时习测试卷（华东师大版2024）

第13章 勾股定理 见此图标眼 抖音/微信扫码 领取配套资源，开启高效学习 考号 班级 ⋯⋯⋯装⋯订⋯⋯⋯ 姓名 线，⋯⋯⋯⋯内⋯⋯⋯不⋯⋯⋯要⋯⋯答⋯⋯⋯⋯题⋯ 基础过关检测卷 ·时间：120分钟·满分：120分 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题 给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知，Rt△ABC的两条直角边AC、BC的长分别为2,3, 则它的斜边AB的长为 ( ) A.√5 B.4 C72 D.√13 答题卡 2.如果三角形的三边长分别为√2,√6,2,那么这个三角形的最大角 的度数为 ( ) A.90° B.60° C.45° D.30° 3.如图是一个外轮廓为长方形的机器零件平面示意图，根据图中的 尺寸(单位：mm),可以计算出两圆孔中心A和B的距离为( ) A.80 mm B.150 mm C.120 mm D.100 mm 60 Z C 150 C (郭 60 D A0 180 -2 0 2 3 4 5 3题图 4题图 4.如图，数轴上一点A,表示-1,过点A作数轴的垂线，并在垂线上 截取AC=2,连结OC,以点0为圆心，OC为半径作弧交x轴的负 半轴于点D,则点D表示的数为 ( ) A.-√7 B.-√6 C.-√5 D.-2 5.如图，直线l上有三个正方形a、b、c.若正方形a、b的面积分别为5 和11,则c的面积为 ( ) A.6 B.5 C.11 D.16 b a c 5题图 6题图 7题图 6.[传统文化]在《直指算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地 秋千未起，踏板一尺离地.送行二步与人齐，五尺人高曾记.仕女佳 人争蹴，终朝笑语欢嬉.良工高士素好奇，算出索长有几?”大意为： 有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺(水 平距离)时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺.如 图，如果秋千的绳索始终拉得很直，那么绳索有多长( ) A.11.5尺 B.12.5尺 C.13.5尺 D.14.5尺 7.(吉林长春期末)如图，在赵爽弦图中，已知直角三角形短直角边 长为a,长直角边长为b,大正方形的面积为25,小正方形的面积为 5,则ab的值是 ( ) A.4 B.6 C.8 D.10 8.在直角三角形中，自锐角顶点引的两条中线长分别为√10和√35, 则这个直角三角形的斜边长是 ( ) A.3 B.2√3 C.2√5 D.6 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 9.如图，轮船甲从港口0出发沿北偏西25°的方向航行8海里，同时 轮船乙从港口0出发沿南偏西65°的方向航行15海里，这时两轮 船相距_____海里. 甲北 BR D 2° 0 东 b c >C A 650° c a E F 乙 A- aE b D B△ 9题图 12题图 13题图 10.[传统文化]《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈， 末折抵地，去本三尺，问折者高几何?意思是一根竹子，原高一 丈(一丈等于十尺),虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好 抵地，抵地处离竹子底部三尺远，问折断处离地面的高度是多 少?设折断处离地 面的高度为x 尺，则可列方程 为____. 11.(湖北黄冈期末)一个三角形的三边长的比为3:4:5,且其周长为 60 cm,则其面积为____ 12.把两个全等的直角三角形拼成如图所示的形状，使点A、E、D在 同一条直线上，利用此图的面积可以得到一个关于a、b、c的代数 恒等式，则这个恒等式是______ 13.新情境>周末小明和爸爸一起外出露营，如图为爸爸所支帐篷示 意图，正面为等腰三角形ABC,已知帐篷的长CF=2m,宽BC= 1.8m,高AG=1.2m,则帐篷一面长方形ACFD的面积为 m2. 14.新考法如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,按 C EP 以下步骤作图：以点A为圆心，以小于AC的 M 长为半径作弧，分别交AC、AB于点M、N;再 A B 分别以点M、N为圆心，以大于MN N 的长为 14题图 半径作弧，两弧相交于点P;连结AP,交BC于点E.若CE=6,BE =10,则AC的长为____ 三、解答题：本题共10小题，共78分。 15.(6分)在Rt△ABC中，∠ABC=90°,两条直角边AB、BC的长c、a 满足Ic-121+√a-5=0,求△ABC的周长. 16.(6分)(河南平顶山期末)如图，在△ABC中，D是边BC上的一 点，AB=15,AD=12,AC=13,BD=9.求△ABC的面积. B D C 16题图 17.(6分)如图，八年级的小明和小亮同学学习了勾股定理之后，为 了测得风筝的高度CE,他们进行了如下操作： ①测得BD=9米(注：BD⊥CE); ②根据手中线的剩余长度计算出风筝线 BC=15米； ③牵线放风筝的小明身高AB=1.6米. 求风筝的高度CE是多少米. 龙 B/ DE 17题图 18.(7分)(河北中考)某社区开辟了一块四边形空地打造绿化带 (阴影部分).如图，现测得AB=AD=13m,BC=8m,CD=6m, 且BD=10m. (1)求证：∠BCD=90°; (2)求绿化带的面积. C B D 18题图 学校 数学 华师版 八年级 上册 第 21 页 19.(7分)如图，△BED是等腰直角三角形，AC经过点E,过点B作 BA⊥AC,过点D作DC//BA,若AC=10,CD=8,求△BDE的 面积. Ar B C D 19题图 20.(7分)如图，在6×6的网格图中，每个小方格的边长都为1,请 在给定网格中按下列要求作出图形. (1)在图①中作一个三边长分别为4,√5,√13的三角形； (2)在图②中作一个腰长为√10,且顶角为90°的等腰三角形. 20题图① 20题图② 21.(8分)如图①,小巷左、右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙 时，梯子底端到左墙角的距离BC为0.7m,梯子顶端到地面的距 离AC为2.4m.如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙 时，梯子顶端到地面的距离A'D为1.5m(如图②),求小巷的宽 度CD. A A' 2.4m 1.5m 0.7m C R D C B D 21题图① 21题图② 见此图标眼 抖音/微信扫码 领取配套资源，开启高效学习 22.(9分)(江苏无锡期末)如图，在等腰△ABC中，已知AB=AC, BD⊥AC于点D. (1)若∠A=48°,求∠CBD的度数； (2)若BC=15,BD=12,求AB的长. A D B C 23.(10分)如图，有一块Rt△ABC的绿地，量得两直角边AC=8m, BC=6m.现在要将这块绿地扩充成等腰三角形ABD,且扩充部 分(△ADC)是以8m为直角边长的直角三角形，求扩充后等腰三 角形ABD的周长. (1)在图①中，当AB = AD = 10m时，△ABD的周长为 __________m; (2)在图②中，当 BA = BD = 10 m时，△ABD的周长为 ___________m; (3)在图③中，当DA=DB时，求△ABD的周长. A 8m D. 6mC B A 8m D 6mC B A 8m D.. 6mC B 23题图① 23题图② 23题图③ 数学 华师版 八年级 上册 第 22 页 24.(12分)新考法我们根据图形的移、拼、补可以简单直观地推理 验证数学规律和公式，这种方法称之为“无字证明”,它比严谨的 数学证明更为优雅与有条理.三国时代东吴数学家赵爽(字君 卿，约公元3世纪)在《勾股圆方图注》一书中用割补的方法构造 了“无字证明”图形(如图①).图①中四个直角三角形较长的直 角边长都为a,较短的直角边长都为b,斜边长都为c,大正方形的 面积可以表示为c2,也可以表示为4×÷ab+(a-b)2, (1)图①可以推导出你学过的什么定理?请写出定理的内容； (2)图②为加菲尔德构造的“无字证明”图形：以a、b为直角边， 以c为斜边画两个全等的直角三角形，A、E、B三点在一条直 线上.请你利用图②推导(1)中的定理； (3)根据(1)中的定理，解决下面的问题：如图③,在一条东西走 向河流的一侧有一村庄C,河边原有两个取水点A、B,其中 AB=AC,由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村 为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H(A、H、B在同 一条直线上),并新修一条路CH,且CH⊥AB.测得CH= 1.2km,HB=0.9km,求新路CH比原路AC少多少千米. 24题图① C D c/ a b C A a EbB 24题图② AH B 24题图③ 参考答案及解析 C=C ∴ Rt△DOC≌Rt△EOC(HL), ∴OD=OE=7. ∵AD=3,∴AO=OD+AD=7+3=10. 19.(1)证明：a2-8a+10=a2-8a+16-16+10=(a-4)2-6. ∵不论a取何值，(a-4)2≥0, 当且仅当a=4时等号成立， ∴(a-4)2-6≥-6, ∴a2-8a+10的最小值为-6. (2)解：代数式-2x2+12x-7有最大值. -2x2+12x-7=-2(x2-6x)-7=-2(x2-6x+9- 9)-7=-2(x-3)2+11. ∵不论x取何值，(x-3)2≥0, 当且仅当x=3时等号成立， ∴-2(x-3)2+11≤11, ∴当x=3时，代数式-2x2+12x-7的最大值为11. 20.解：(1)如答图①,△DCB即为所要求作的三角形. (2)如答图②,△EFG即为所要求作的三角形. (3)如答图③,△MPN即为所要求作的三角形. A D B C 20题答图① F A G BLE C 20题答图② N A P BL M C 20题答图③ 21.(1)证明：∵AB=AC,∴ ∠ABC=∠ACB. ∵∠ABE=∠ACE,∴∠EBC=∠ECB, ∴BE=CE. 在△ABE和△ACE中， ∴△ABE≌△ACE(SAS). (2)解：∵∠ABE=20°,AB=AD, ∴∠BAD=180°-2∠ABE=140°. ∵∠BEC=120°,由(1)得BE=EC, ∠EBC=2×(180°-120°)=30°, ∴∠ABC=∠ABE+∠EBC=20°+30°=50°, ∴∠BAC=80°, ∴∠CAD=∠BAD-∠BAC=140°-80°=60°. 22.解：(1)BD=AE BD+CE=DE [解析]∵AB⊥AC,∴∠BAC=90°,∴∠BDA= ∠AEC= ∠BAC=90°.∵∠BAD+∠CAE=90°,∠BAD+∠ABD= 90°,∴ ∠CAE = ∠ABD.∵ AB = CA,∴ △ABD≌ △CAE(AAS),∴ BD=AE,AD = CE.∵AE+AD= DE, ∴BD+CE=DE.故答案为BD=AE;BD+CE=DE. (2)成立.理由如下： ∵∠BDA= ∠AEC=∠BAC,∠BAD+∠CAE+∠BAC= ∠BAD+∠ABD+∠BDA=180°, ∴∠BAD+∠CAE=∠BAD+∠ABD, ∴∠CAE=∠ABD. ∵∠BDA=∠AEC,AB=CA, ∴△ABD≌△CAE, ∴BD=AE,AD=CE. ∵AE+AD=DE,∴BD+CE=DE. (3)存在.当△DAB≌△ECA时，CE=AD,AE=BD=7 cm. ∵AD+AE=DE=10cm, ∴CE=AD=DE-AE=3cm, =2=2,x=3=3=2; 当△DAB≌△EAC时， AD=AE= DE=5 cm,EC=DB=7cm, =42=2⋯x=7-5=号 综上所述，存在x,使得△ABD与△EAC全等，当1=2 x=2或当=2,x=15 23.解：(1)C (2)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac (3)∵a+b=10,ab=20, Sm=a2+b2-2(a+b)·b-2a2=2a2+2b2- 2ab=2(a+b)2-2ab=×102-3×20=50-30 =20. 24.解：(1)40 BE=AD [解析]∵△ABC和△CDE是等边三角形，∴ BC=AC, ∠ACB=∠DCE=60°,CE=CD,∴ ∠BCE=∠ACD=20°, ∴△CBE≌△CAD,∠ECA=∠ACB-∠ECB=60°-20°= 40°,∴BE=AD.故答案为40;BE=AD. (2)如答图①. ①(1)中BE与AD的数量关系仍存在.证明如下： ∵△ABC和△CDE是等边三角形， ∴ BC=AC,CE=CD. ∵∠BCE=∠ACD=120°, ∴△CBE≌△CAD,∴ BE=AD. ②∵△CBE≌△CAD,∴∠CBE=∠CAD. ∵∠AOP=∠BOC,∴∠APB=∠ACB=60°. A P E o B C D 24题答图① A D.D? B E c D? 24题答图② (3)α=150°或330°时，△BCD的面积最大. [解析]如答图②,当点D旋转到D?或D?时，S△BCD的面 积最大，此时α的度数是60°+90°=150°或150°+180° =330°,∴α=150°或330°. 第13章 勾股定理 基础过关检测卷 1.D 2.A 3.B 4.C 5.A 6.D 7.D 8.D [解析]如答图，AD、CE均为Rt△ABC的中线，∴AB= 2BE,BC=2BD.∵∠B=90°,∴AD2=AB2+BD2,CE2= ·13· 全程时习测试卷·数学·华师版·八年级·上册 BE2+BC2.∵AD=√35,CE=√10,: 35=4BE2+BD2, 10=BE2+4BD2,∴BE2+BD2=9.∵在Rt△ABC中，AC2= AB2+BC2,:AC2=4BE2+4BD2=36,∵AC=6.故选D. C D B- E A 8题答图 9.17 10.x2+32=(10-x)2 11.150cm212.a2+b2=c213.3 14.12 [解析]如答图，过点E作DE⊥AB于点D.由题意可 知AP平分∠BAC.∵∠C=∠ADE=90°,∴CE=DE=6. ∵BE=10,∴ BD=√BE2-DE2=√102-62=8.∵AE= AE,CE=DE,∴ Rt△ACE≌Rt△ADE,∴AC=AD.设AC= AD=x,在Rt△ABC中，由勾股定理可得AC2+BC2=AB2, ∴x2+162=(x+8)2,解得x=12.故答案为12. C PE M A N D B 14题答图 15.解：∵Ic-121+√a-5=0, ∴c-12=0,a-5=0,∴c=12,a=5. ∵∠ABC=90°,∴. AC=√122+52=13, ∴C△ABc=12+5+13=30. 16.解：∵AD2+BD2=144+81=225,AB2=225, ∴AD2+BD2=AB2, ∴△ABD为直角三角形，∠ADB=90°, ∴∠ADC=90°, ∴CD=√AC2-AD2=√132-122=5, ∴BC=CD+BD=5+9=14, △ABC的面积=— BC·AD=2×14×12=84. 17.解：因为BD⊥CE,所以∠BDC=90°. 在Rt△BCD中，由勾股定理，得CD2=BC2-BD2, 即CD2=152-92=144, 所以CD=12米. 根据题意易得四边形ABDE是长方形， 所以DE=AB=1.6米， 所以CE=CD+DE=12+1.6=13.6(米). 答：风筝的高度CE为13.6米. 18.(1)证明：∵△BCD中，BC=8m,CD=6m,BD=10m, ∴ BC2+CD2=82+62=100. 又∵BD2=102=100, ∴ BC2+CD2=BD2, ∴△BCD是直角三角形，∠BCD=90°. (2)解：过点A作AE⊥BD于点E, A ∴∠AEB=90°. AB=AD,⋯.BE=DE=—BD=5m C B 在Rt△ABE中，AB=13m, E D ∴AE=√AB2-BE2=√132-52=12(m), 18题答图 SAnn=BD·AE=2×10×12=60(m2) Sac=BC·CD=2×8×6=24(m2), ∴S阴影部分=S△ABD-S△BcD=60-24=36(m2). ∴绿化带的面积为36m2. 19.解：∵△BED是等腰直角三角形， ∴BE=DE,∠BED=90°, ∴∠AEB+∠CED=90°. ∵ BA⊥AC,∴∠A=90°, ∴∠AEB+∠ABE=90°, ∴∠ABE=∠CED. ∵DC//BA, ∴∠C=180°-∠A=90°=∠A, ∴△AEB≌△CDE,∴. CD=AE. ∵AC=10,CD=8,∴ EC=2. 在Rt△DCE中，由勾股定理，得DE2=EC2+CD2=68, Sam-DB2=34. 20.解：(1)如答图①,△ABC即为所要求作的三角形，其中 AB=4,BC=√5,AC=√13(答案不唯一). (2)如答图②,△MNP即为所要求作的三角形，其中MP =NP=√10,∠MPN=90°(答案不唯一). B C A M N 20题答图① 20题答图② 21.解：在△ACB中，∠ACB=90°, ∴AB2=AC2+BC2. 在△A'BD中，∠A'DB=90°, ∴A'B2=BD2+A'D2. ∵AB=A'B,∴BD2+A'D2=AC2+BC2. ∵A'D=1.5m,BC=0.7m,AC=2.4m, ∴BD2+1.52=2.42+0.72, ∴BD=2m, ∴CD=BC+BD=0.7+2=2.7(m). 22.解：(1)因为在等腰△ABC中，AB=AC,BD⊥AC,所以 ∠ABC=∠C,∠ADB=90°. 因为∠A=48°,所以∠ABC=∠C=2×(180°-∠A)= 66°,∠ABD=90°-∠A=42°, 所以∠CBD=∠ABC-∠ABD=24°. (2)因为BD⊥AC,所以∠BDC=90°. 因为BC=15,BD=12,所以CD=9. 设AB=x,则AD=x-9. 因为∠ADB=90°,BD=12, 所以122+(x-9)2=x2, 解得：=25,即AB=5 23.解：(1)32 [解析]∵AB=AD=10m,AC⊥BD,AC=8m, ∴DC=√AD2-AC2=√102-82=6(m),则△ABD的周 长为10+10+6+6=32(m).故答案为32. ·14· 参考答案及解析 (2)(20+√80)[解析]BA=BD=10m,则DC=BD- BC=10-6=4(m),故AD=√AC2+DC2=√80 m,则 △ABD的周长为AD+AB+BD=√80+10+10=(20+ √80)m.故答案为(20+√80).[注：√80=4√5,答案也 可填(20+4√5),化简二次根式为之后内容，本书不要求 化简.] (3)∵ DA=DB, 二设DC=x m,则AD=(6+x)m. ∵DC2+AC2=AD2, ∴x2+82=(6+x)2, 解得：=3 ∵AC=8m,BC=6m, ∴AB=√62+82=10(m), △ABD的周长=AD+BD+AB=2×(3+6)+10= 3(m) 24.解：(1)勾股定理. 内容为直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. (2)梯形ABCD的面积为-2(a+b)(a+b)= 2a2+ab+ 1,2 b2,也可以表示为-2ab+2ab+2e, 2a2+ab+2bB2=2ab+2ab+22, 即a2+b2=c2. (3)设AB=AC=xkm,则AH=(x-0.9)km. 在Rt△ACH中，由勾股定理， 得AC2=CH2+AH2, ∴x2=1.22+(x-0.9)2, 解得x=1.25, ∴AC=1.25 km, ∴AC-CH=1.25-1.2=0.05(km). 答：新路CH 比原路AC少0.05 km. 第13章 勾股定理 能力提优测试卷 1.D 2.B 3.D 4.D [解析]∵DE垂直平分AB,∴ AE=BE.∵∠C=90°,AB =13,AC=5,∴ BC=√AB2-AC2=√132-52=12, ∴C△ACE=AE+CE+AC=BE+CE+AC=BC+AC=12+5 =17.故选D. 5.C [解析]∵大正方形的面积是29,小正方形的面积是9, ∴一个小三角形的面积是4×(29-9)=5,,直角三角形的 斜边长为√29,2ab=5,即ab=10.又∵a2+b2=29, ∴a2+b2+2ab=49,即(a+b)2=49,∴a+b=7或a+b= -7(不符合题意，舍去).故选C. 6.A 7.B 8.C 9.等腰三角形的底角是直角或钝角 10411.8 12.15 [解析]如答图，过点A作AE⊥BCC E 于点E,交DC于点P,过点P作PQ⊥ Q P AC于点Q.∵CD平分∠ACB,∴PE= A- PQ,∴ AP+PQ=AP+PE=AE,此时 D B AP+PQ的值最小.∵AC=3,AB=4,BC 12题答图 =5,∴AC2+AB2=BC2,∴△ABC是直角三角形，∴ △ABC 的面积=—×3×4=—×5×AE,AE=号，⋯AP+PQ 的值最小为15故答案为25 13.4 14.25 [解析]蚂蚁爬行最可能出现的三种情况如下： ①按如答图①所示展开. ∵长方体的宽为10cm、高为20cm,BC=5cm, ∴BD=CD+BC=10+5=15(cm),AD=20 cm. 在Rt△ABD中，∠D=90°, 根据勾股定理，得 AB=√AD2+BD2=√202+152=√625(cm); ②按如答图②所示展开. ∵长方体的宽为10cm、高为20cm,BC=5cm, ∴BD=CD+BC=20+5=25(cm),AD=10cm. 在Rt△ABD中，∠D=90°, 根据勾股定理，得 AB=√AD2+BD2=√102+252=√725(cm); ③按如答图③所示展开. ∵长方体的宽为10cm、高为20 cm,BC=5cm, ∴AC=CD+AD=10+20=30(cm). 在Rt△ABC中，∠C=90°,根据勾股定理，得 AB=√AC2+BC2=√302+52=√925(cm). 综上所述，∵625<725<925,.. AB的最小值为√625cm. 此时AB=25cm, ∴蚂蚁需要爬行的最短距离是25 cm. BC D A B A BC D C D A 14题答图① 14题答图② 14题答图③ 15.解：(1)∵BD2+AD2=62+82=102=AB2, ∴△ABD是直角三角形，∠ADB=90°. (2)在Rt△ACD中，∵∠ADC=90°, ∴CD=√AC2-AD2=√172-82=15, ∴BC=BD+CD=6+15=21, △ABC的面积= BC·AD=2×21×8=84. 16.解：由题意知∠ABC=90°,BC=8米，AC=17米，CD= 10米，在Rt△ABC中，由勾股定理可得AB=√AC2-BC2 =15(米). 在Rt△CDB中，由勾股定理可得BD=√CD2-BC2= 6(米), ∴AD=AB-BD=15-6=9(米). 答：小船移动的距离AD的长为9米. ·15·