专项巩固训练卷(6)全等三角形的常用模型-【勤径学升】2025-2026学年新教材八年级上册数学全程时习测试卷（华东师大版2024）

专项巩固训练卷(六) 见此图标眼 抖音/微信扫码 领取配套资源，开启高效学习 学升 能径XLESHENGl 全等三角形的常用模型 ?模型一 平移模型 1.如图，点A、B、D、E在同一条直线上，AB=DE,AC//DF,BC//EF. 求证：△ABC≌△DEF. C F A B D E 1题图 2.如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB=DE,AB//DE,BE=CF. (1)求证：AC=DF; (2)若∠D=55°,求∠EGC的大小. D ×G B E C F 2题图 ?模型二 对称模型 3.(山东济南期中)如图，已知AB=AC,AD=AE,∠ABC=∠ACB,BD 与CE相交于点0.求证：∠OBC=∠OCB. A E人 D0 B C 3题图 4.如图，P为AC上任意一点，且∠1=∠2,∠3=∠4. (1)求证：△BPC≌△DPC; (2)求证：AB=AD. B A< P^3 4 2 C D 4题图 数学 华师版 八年级 上册 第 17 页 ?模型三 旋转模型 角度1 不共顶点旋转模型 5.如图，AC//DF,AC=DF,BF=EC.求证：AB=DE. A B CF E D 5题图 角度2 共顶点旋转模型(手拉手模型) 6.在△ABC中，AB=AC,D是边BC上一点，点E在AD的右侧，线段 AE=AD,且∠DAE=∠BAC.求证：BD=CE. A E B D C 6题图 见此图标眼 抖音/微信扫码 领取配套资源，开启高效学习 7.已知△ABC为等边三角形，D为直线 BC上的一动点(点D不与点 B、C重合),以AD为边作等边△ADE(顶点A、D、E按逆时针方向 排列),连结CE. (1)如图①,当点D在边BC上时，求证： ①BD=CE;②AC=CE+CD; (2)如图②,当点D在边 BC的延长线上且其他条件不变时，结论 AC=CE+CD是否成立?若不成立，请写出AC、CE、CD之间 存在的数量关系，并说明理由； (3)如图③,当点D在边BC的反向延长线上且其他条件不变时， 补全图形，并直接写出AC、CE、CD之间存在的数量关系. A E B DC F A E B CD F DB C 7题图① 7题图② 7题图③ ?模型四 三垂直模型 8.在△ABC中，∠ACB=90°,AC=BC,直线MN经过点C,且AD⊥MN 于点D,BE⊥MN于点E. (1)当直线MN绕点C旋转到图①的位置时，试问DE、AD、BE具 有怎样的等量关系?并加以证明； (2)当直线MN绕点C旋转到图②的位置时，DE、AD、BE具有怎样 的等量关系?(请直接写出这个等量关系，不需要证明) M C 赤 A B E N\ Mc E A B D N/ 8题图① 8题图② ?模型五 一线三等角模型 9.(1)如图①,在△ABC中，∠BAC=90°,AB=AC,直线m经过点A, BD⊥m,CE1m,垂足分别为点D、E.求证：DE=BD+CE; (2)如图②,将(1)中的条件改为：在△ABC中，AB=AC,D、A、E三 点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α,其中α 为任意钝角，请问结论DE=BD+CE是否成立?若成立，请给 出证明过程；若不成立，请说明理由. C B D A Em C B D A Em 9题图① 9题图② 数学华师版 八年级 上册 第 18 页 ?模型六 角平分线模型 10.(江苏宿迁期中)如图，在△ABC中，AC=BC,∠C=90°,BD平分 ∠ABC,AD⊥BD,AD=a.求BE的长. A D久 E C B 10题图 ?模型七 半角模型 11.如图，在四边形ABDC中，∠BDC=120°,∠ABD=∠ACD=90°, BD=CD,以D为顶点作一个度数为60°的角，它的两边交AB于 点M,交AC于点N,连结MN.求证：MN=BM+CN. A M V B C D 11题图 参考答案及解析 DE=EF=—DF=2(DA+AF)=—(DA+DB), ∴DA+DB=2DE. (2)解：在题图②和题图③中，(1)的结论不成立. 答图②中，结论：DA-DB=2DE[截取AF=BD,证明方法 类似(1)]; 答图③中，结论：DB-DA=2DE[截取AF=BD,证明方法 类似(1)]. l A/ 下 E B< C D l A D E B C F 10题答图② 10题答图③ 专项巩固训练卷(六) 全等三角形的常用模型 1.证明：∵AC//DF,∴∠CAB=∠FDE. ∵BC//EF,∴∠CBA=∠FED. 在△ABC和△DEF中， ∴△ABC≌△DEF(ASA). 2.(1)证明：∵BC=BE+EC,EF=CF+EC,BE=CF, ∴BC=EF. ∵AB//DE,∴∠B=∠DEF. 在△ABC和△DEF中， ∴△ABC≌△DEF(SAS),∴AC=DF. (2)解：∵△ABC≌△DEF,∴ ∠ACB=∠F, ∴DF//AC,∴∠D=∠EGC. 又∵∠D=55°,.∠EGC=55°. 3.证明：在△ABD和△ACE中， ∴△ABD≌△ACE(SAS),∴∠ABD=∠ACE. ∵∠ABC=∠ACB, ∴∠ABC-∠ABD=∠ACB-∠ACE, ∴∠OBC=∠OCB. 4.证明：(1)在△BPC和△DPC中， ∴△BPC≌△DPC(ASA). (2)∵△BPC≌△DPC,∴ BC=DC. 在△ABC和△ADC中， ∴△ABC≌△ADC(SAS),∴AB=AD. 5.证明：∵BF=EC,∴ BF+FC=EC+FC,∴ BC=EF. ∵AC//DF,∴ ∠ACB=∠DFE. 在△BAC和△EDF中，, ∴△BAC≌△EDF(SAS),∴ AB=DE. 6.证明：∵∠DAE=∠BAC, ∴∠DAE-∠DAC=∠BAC-∠DAC, 即∠CAE=∠BAD. 在△ABD和△ACE中，n ∴△ABD≌△ACE(SAS),∴BD=CE. 7.(1)证明：①∵△ABC和△ADE都是等边三角形， ∴AB=AC=BC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=60°, ∴∠BAC-∠CAD=∠DAE-∠CAD, 即∠BAD=∠CAE. 在△ABD和△ACE中， ∴△ABD≌△ACE(SAS),∴BD=CE. ②∵ BC=BD+CD,AC=BC,∴AC=BD+CD. ∵ BD=CE,∴AC=CE+CD. (2)解：AC=CE+CD不成立，AC、CE、CD之间存在的数量 关系是AC=CE-CD. 理由：∵△ABC和△ADE都是等边三角形， ∴AB=AC=BC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=60°, ∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD, ∴∠BAD=∠CAE. 在△ABD和△ACE中，n ∴△ABD≌△ACE(SAS),∴ BD=CE, ∴CE-CD=BD-CD=BC=AC, ∴AC=CE-CD. (3)解：补全图形如答图. A DB yCE 7题答图 AC、CE、CD之间存在的数量关系是AC=CD-CE. 8.解：(1)DE=AD-BE. 证明：∵AD⊥MN,BE⊥MN, ∴∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°, ∴∠ACD+∠BCE=∠BCE+∠CBE=90°, ∴∠ACD=∠CBE. 在△ADC和△CEB中， ·11· 全程时习测试卷·数学·华师版·八年级·上册 ∴△ADC≌△CEB(AAS), ∴AD=CE,DC=EB, ∴DE=CE-CD=AD-BE. (2)DE=BE-AD. 9.(1)证明：∵BD⊥m,CE⊥m, ∴∠BDA=∠CEA=90°, ∴∠BAD+∠ABD=90°. ∵∠BAC=90°,∴∠BAD+∠CAE=90°, ∴∠ABD=∠CAE. 又∵∠BDA=∠AEC,AB=CA,∴ △ADB≌△CEA, ∴BD=AE,AD=CE, ∴DE=AE+AD=BD+CE. 10.解：如答图，延长AD、BC,相交于点F. ∵BD平分∠ABC, ∴∠ABD=∠FBD. 又∵∠ADB=∠FDB=90°. BD=BD, ∴△BAD≌△BFD, ∴AD=DF,∴AF=2AD=2a. ∵∠DAC+∠AED=90°, ∠EBC+∠BEC=180°-∠ACB=90°, ∠AED=∠BEC,:∠DAC=∠EBC. 又∵∠ACF=∠BCE=90°,AC=BC, ∴△ACF≌△BCE,∴ BE=AF=2a. (2)解：结论DE=BD+CE成立. 证明：∵∠BDA=∠BAC=α, ∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°-a, ∴∠ABD=∠CAE. 又∵∠BDA=∠AEC,AB=CA, ∴△ADB≌△CEA, ∴BD=AE,AD=CE, ∴DE=AE+AD=BD+CE. A D E F C B 10题答图 11.证明：如答图，延长NC至点E,使CE=BM,连结DE. ∵∠ACD=90°, A ∴∠ECD=180°-∠ACD=90°. 在△BDM和△CDE中， M N B C E D ∴△BDM≌△CDE(SAS), 11题答图 ∴∠CDE=∠BDM,DE=DM, ∴∠NDE=∠NDC+∠CDE=∠NDC+∠BDM =∠BDC-∠MDN=120°-60°=60°. 在△DMN和△DEN中， ∴△DMN≌△DEN(SAS), ∴MN=EN=CE+CN=BM+CN. 期中综合测试卷 1.B 2.A 3.C 4.D 5.C 6.D [解析]∵AB=AC,∴∠B=∠C=40°.∵△ACD为等腰 三角形，且点D不与点B、C重合，∴分两种情况：①当AD =CD时，∠CAD=∠C=40°,∴∠ADB=∠C+∠CAD= 80°;②当CD=AC时，∠C=40°,∠ADC=180°∠C =70°,∴ ∠ADB=180°-∠ADC=110°.综上所述，∠ADB 的度数为80°或110°. 7.B 8.C 9.4 10.在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么 这两条直线平行 11.0B 12.y(4y-1) 13.7 14.①②③④ [解析]∵AB=AC,AD⊥BC,∴∠BAD= ∠DAC= —∠BAC ∠ACB=30°, ∠ABC=30°, ∴∠BAD=90°-30°=60°.∵AD=AB,∴ △ABD是等边 三角形，故①正确；∵△ABD是等边三角形，∴ ∠ABD= ∠ADB=60°,BD = AD.∵∠EDF=60°, ∠BDE = ∠ADF.在△BDE 和 △ADF 中， ∴△BDE≌ △ADF(ASA),∴ BE=AF,∴ AE=CF,故②正 确；同理可得△ADC为等边三角形，∴∠EAD=∠FCD. 又∵AE=CF,AD= CD,∴△AED≌△CFD,故③正确； ∵AB=AC,AE=FC,AC=AF+ FC,∵ AC=AF+ AE. ∵AC=DC,∴DC=AF+AE,故④正确. 15.解：(1)原式=5+(-3)+2=2 (2)原式=4x?+x?-x?=4x?. 16.解：(1)原式=x2(4x2+4x+1)=x2(2x+1)2. (2)原式=a2-b2+4b-4=a2-(b2-4b+4)=a2-(b- 2)2=(a+b-2)(a-b+2). 17.解:原式=(4x2-32-6x2+3xy+2)÷(2x) =(-22+3xy)=(一)=4x=6y 当x=2,y=-1时，原式=4×2-6×(-1)=8+6=14. 18.(1)证明：∵CD⊥OM,CE⊥ON, ∴∠ADC=∠CEB=90°. 在Rt△ADC和Rt△BEC中， {4D=BE ∴ Rt△ADC≌Rt△BEC(HL), ∴CD=CE. ∵CD⊥OM,CE⊥ON, ∴OC平分∠MON. (2)解：∵ BE=AD=3,BO=4, ∴OE=OB+BE=4+3=7. ∵CD⊥0M,CE⊥ON, ∴∠CDO=∠CEO=90°. 在Rt△DOC和Rt△EOC中， ·12·