第12章 全等三角形 同步训练 2025-2026学年华东师大版（2024）数学八年级上册

第12章 全等三角形 一、单选题 1．如图，在中，为内一点，连接且平分，过点作，交于点，．若，，则的长为（   ） A．3 B．1 C．2 D． 2．如图，在中，，，点为的中点，平分，若的面积记为，的面积记为，则的值为（   ） A． B．10 C．8 D． 3．如图，在四边形中，，连接．若平分，P是边上一动点，则长的最小值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 4．如图，等边三角形的边长为，D，E分别是上的点，将沿直线折叠，点A落在点处，且点在外部，则阴影部分图形的周长为（    ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，则等于（   ） A． B． C． D． 6．在中，，边的中垂线与直线所成的角为，则等于（    ） A． B．或 C．或 D．或 7．如图，，，，，则的度数等于（　　） A． B． C． D． 8．如图，等腰三角形的底边长为2，面积是8，腰的垂直平分线分别交、边于E，F点．若点D为边的中点，点M为线段EF上一动点，则周长的最小值为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 二、填空题 9．如图，平分，点在上，于，，点是射线上的动点，则的最小值为 ． 10．如图，是的角平分线，于点，的面积是，，则的长是 ． 11．如图，的两个外角的平分线交于点P，于点E．若，则的周长是 ． 12．如图．点B，C，D，E，F在∠A的两边上，，，则 ． 13．如图，在等腰中，，D为延长线上一点，，垂足为C，且，连接，若，则的面积为 ． 三、解答题 14．如图，，，，，垂足分别是，求证：． 15．如图，点在线段上，，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 16．如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，且，的周长等于． (1)求的长； (2)若，并且，求证：． 17．如下图，在和中，，，．若于点，，求的度数． 18．在中，，点D在延长线上，以为边，在上方作任意，连接交于点G．    (1)如图1，若G为中点，，，求的长度； (2)如图2，点F在的延长线上，连接，若，，试猜想线段和之间存在的数量关系，并说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．D 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定是解题的关键． 根据平分，，证出，得到，即可． 【详解】解：平分， ， ， ， ， ， ，， 又， ， ，， ， ， ， 故选：D． 2．B 【分析】此题考查角平分线的性质，根据三角形的中线求面积，关键是根据三角形中线的性质和角平分线的性质得出面积关系解答． 过点作，，得到，然后得到，利用三角形中线的性质得到，设，，则，进而求解即可． 【详解】解：过点作，， 为的角平分线， ， ，， ， 为中点， ， 设，，则， ， ． 故选：B． 3．A 【分析】本题考查角平分线，熟练掌握角平分线性质是解题关键． 过D作于E，即为 长的最小值，由平分，即得到的长度． 【详解】解：如图，过D作于E， 则长即为 长的最小值， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 故选：A． 4．A 【分析】此题考查了折叠的性质与等边三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用，注意掌握折叠前后图形的对应关系． 根据等边三角形的性质可得，再根据折叠的性质，即可得，从而得到阴影部分图形的周长为：，即可求解． 【详解】解：∵等边三角形的边长为， ∴， ∵将沿直线折叠，点A落在点处， ∴， ∴阴影部分图形的周长为： ． 故选：A 5．B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质．证明，可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴均为直角三角形， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：B 6．B 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质， 熟知线段垂直平分线上任意一点， 到线段两端点的距离相等是解答此题的关键 ．由于的形状不能确定， 故应分是锐角三角形与钝角三角形两种情况进行讨论 ． 【详解】解： 如图①， 当的中垂线与线段相交时， 则可得， ， ， ， ； 如图②， 当的中垂线与线段的延长线相交时， 则可得， ， ， ， ， ． 为或． 故选：B． 7．B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角形的外角性质．先利用判定，求得，再证明是等边三角形，再利用三角形的外角性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 8．C 【分析】本题考查的是轴对称最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键． 连接、，由于是等腰三角形，点是底边边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点为点，故的长为的最小值，由此即可得出结论． 【详解】解：连接、， 是等腰三角形，点是边的中点， ， ，解得， 是线段的垂直平分线， 点关于直线的对称点为点， ∴ ∵ ∴当A、M、D三点共线时，值最小， 的长为的最小值， 周长的最小值． 故选：C． 9． 【分析】本题考查了角平分线的性质、垂线段最短，解题的关键是掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等．过点作于，根据角平分线的性质得到，然后根据垂线段最短求解． 【详解】解：过点作于，如图， 平分，，， ， 点是射线上的动点， 当时，最小，最小值为的长， 的最小值为． 故答案为：5． 10．6 【分析】本题考查了角平分线的性质， 过D作于F，根据角平分线的性质得出，然后根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解∶过D作于F， 又是的角平分线，，， ∴， ∵的面积是， ∴， ∴， 故答案为∶6． 11．11 【分析】本题主要考查了角平分线的性质、三角形的面积等知识点，正确表示出的面积是解题的关键． 如图：过点P作于F，作于G，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，再根据三角形的面积求出，然后再根据求得，再根据三角形周长公式求解即可． 【详解】解：如图：过点P作于F，作于G，连接， ∵和的外角平分线交于点P， ∴， ∵， ∴，解得：， ∵，即， ∴， ∴的周长为． 故答案为：11． 12．/36度 【分析】此题考查了等腰三角形的性质、三角形外角的性质、三角形内角和定理．由，根据等腰三角形的性质，即可得，，，，又由三角形外角的性质、三角形内角和定理，即可求得的度数，此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 13．16 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质；过作于，过作于，由“三线合一”得，再由“”可判定，从而由全等三角形的性质得，再，即可求解；掌握性质及判定方法，能根据题意作出恰当的辅助线，构建是解题的关键． 【详解】解：如图，过作于，过作于， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， （）， ， ； 故答案为16． 14．见解析 【分析】要证 ，考虑利用角平分线的性质（角平分线上的点到角两边距离相等 ），所以先连接 ，证明 平分 即可证明．本题主要考查全等三角形的判定与性质以及角平分线的性质，熟练掌握全等三角形判定定理（ 等 ），以及角平分线性质（角平分线上的点到角两边距离相等 ）是解题的关键． 【详解】证明：连接 ． ∵ ，， ∴ （ ） ∴ ，即 平分 又 ∵ ， ∴ （角平分线上的点到角两边的距离相等 ）． 15．(1)见详解 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等边对等角，三角形的内角和定理： （1）证明即可； （2）全等三角形的性质，得到，等边对等角，求出的度数即可． 【详解】（1）解：在和中， ， ． （2）解：， ， ． 16．(1)； (2)见解析． 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）由是的垂直平分线，则，又的周长等于，则，然后代入即可求解； （）由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得，然后求出，，从而可得，然后利用等角对等边即可求证． 【详解】（1）解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵，的周长等于， ∴， ∴； （2）证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 17． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键，由已知条件可证得，则有，由可得，由于，，即可求出的度数． 【详解】解：在和中， ， ， ， ，即， ， ， ， ， ． 18．(1)6 (2)，理由见解析 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题关键， （1）先证明即可证明，从而求出结论； （2）在上截取，连接，先证明，证明，再证明从而证明结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵G为中点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）线段和之间存在的数量关系为；理由如下： 在上截取，连接，如图2，    在中，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$