专项巩固训练卷(5)构造全等三角形的常用方法-【勤径学升】2025-2026学年新教材八年级上册数学全程时习测试卷（华东师大版2024）

专项巩固训练卷(五) 见此图标眼 抖音/微信扫码 领取配套资源，开启高效学习 学升 能径XLESHENGl 构造全等三角形的常用方法 ?方法一 翻折法 1.如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，AD⊥BE,垂足为点D. 求证：∠2=∠1+∠C. 2 D E B C 1题图 ?方法二 补形法 2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AC=BC,D为BC的中点，CF⊥ AD于点E,交AB于点F,连结DF.求证：∠ADC=∠BDF. A E F C D B 2题图 ?方法三 旋转法 3.如图，在正方形ABCD中，E为BC边上一点，F为CD边上一点， BE+DF=EF.求∠EAF的度数. A D F B E C 3题图 ?方法四 作垂线法 4.(吉林长春期中)如图，AD是△ABC的中线，E是AD上一点，且BE =AC.求证：∠BED=∠CAD. E/ B D C 4题图 5 .新考法已知四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°,AC平分 ∠BAD,过点 C 作 AB的垂线交AB 于点 E.求证：AE =二(AB+AD) D C A E B 5题图 ? 方法五 作平行线法 6 .如图，△ABC中，∠BAC=60°,∠C=40°,AP平分∠BAC交BC于 点P,BQ平分∠ABC交AC于点Q.求证：AB+BP=BQ+AQ. B P A Q C 6题图 数学 华师版 八年级 上册 第 15 页 见此图标眼 抖音/微信扫码 领取配套资源，开启高效学习 ?方法六 倍长中线法 7.如图，CE、CB分别是△ABC与△ADC的中线，且AB=AC.求证：CD =2CE. C A E B 7题图 8.如图，在△ABC中，D为BC的中点. (1)求证：AB+AC>2AD; (2)若AB=6,AC=2,求AD的取值范围. A B D C 8题图 ?方法七 截长补短法 9.如图，四边形ABDC中，AC//BD,点E在CD上，AE平分∠CAB,BE 平分∠DBA. 求证：(1)AB=AC+BD; (2)AE⊥BE. C E D A B 9题图 10.新考法如图，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°,直线l经 过点A且绕点A在△ABC所在平面内转动，作BD⊥1,CE⊥l,D、 E为垂足. (1)如图①,求证：DA+DB=2DE; (2)在图②和图③中，(1)的结论是否成立?若成立，请说明理 由；若不成立，直接写出DE、DA、DB三条线段的数量关系. l A/ l 4 A E D D E B C E B C D B C 10题图① 10题图② 10题图③ 数学 华师版 八年级 上册 第 16 页 参考答案及解析 当点P在AC上，点Q在AB上，△APQ≌△DFE时， 如答图④,∴AP=DF=5cm,AQ=DE=4cm, ∴运动时间1=35s, 号 当点P在AB上，点Q在AC上，△APQ≌△DEF时， 如答图⑤,∴AP=DE=4cm,AQ=DF=5cm, 二点P的路程为12+9+15-4=32(cm), 点Q的路程为15+9+12-5=31(cm), ∴运动时间1=3s,- A P Q D B CF E 24题答图⑤ A P Q D B CF □E 24题答图⑥ 当点P在AB上，点Q在AC上，△APQ≌△DFE时， 如答图⑥,∴AP=DF=5cm,AQ=DE=4cm, ∴点P的路程为12+9+15-5=31(cm), 点Q的路程为15+9+12-4=32(cm), ∴运动时间1=3s 量- 综上所述，点Q的运动速度为4cm/s或号cm/s或 cms或cms 专项巩固训练卷(五) 构造全等三角形的常用方法 1.证明：如答图，延长AD交BC于点F. ∵BE平分∠ABC,∴∠ABE=∠CBE. ∵BD⊥AD,∴ ∠ADB=∠BDF=90°. A 2 D E B F C 在△ABD和△FBD中， ∴△ABD≌△FBD(ASA), 1题答图 ∴∠2=∠DFB. 又∵∠DFB=∠1+∠C, ∴∠2=∠1+∠C. 2.证明：如答图，过点B作BG⊥BC交CF的延长线于点G,则 ∠CBG=90°. A ∵∠ACB=90°, 1 ∴∠2+∠ACF=90°. ∵CE⊥AD, E G E ∴∠AEC=90°, 2 ∴∠1+∠ACF=180°-∠AEC C D B 2题答图 =180°-90°=90°, ∴∠1=∠2. 在△ACD和△CBG中， 0 =90°, ∴△ACD≌△CBG(ASA), ∴∠ADC=∠G,CD=BG. ∵D为BC的中点， ∴CD=BD,∴ BD=BG. ∵∠ACB=90°,AC=BC,∴∠DBF=45°. 又∵∠DBG=90°, ∴∠GBF=∠DBG-∠DBF=90°-45°=45°, ∴∠DBF=∠GBF. 在△BDF和△BGF中， ∴△BDF≌△BGF(SAS), ∴∠BDF=∠G,∴∠ADC=∠BDF. 3.解：如答图，延长CB到点H,使得BH=DF,连结AH. ∵∠ABE=90°,∠D=90°, A D ∴∠D=∠ABH=90°. F 在△ABH和△ADF中，, H B E C3题答图 ∴△ABH≌△ADF(SAS), ∴AH=AF,∠BAH=∠DAF, ∴∠BAH+∠BAF=∠DAF+∠BAF, 即∠HAF=∠BAD=90°. ∵BE+DF=EF, ∴BE+BH=EF,即HE=EF. 在△AEH和△AEF中， ∴△AEH≌△AEF(SSS), ∴∠EAH=∠EAF, ∠EAF=—LHAF=45° 4.证明：如答图，过点C作CF⊥AD于点F,过点B作BG⊥ AD,交AD的延长线于点G. ∵CF⊥AD,BG⊥AD, A ∴∠G=∠CFD=90°. ∵AD是△ABC的中线， E ∴ BD=CD. FB 又∵∠BDG=∠CDF, /D c G ∴△BDG≌△CDF,∴ BG=CF. 4题答图 在Rt△BGE和Rt△CFA中，BC=CF ∴ Rt△BGE≌Rt△CFA(HL), ∴∠BED=∠CAD. ·9· 全程时习测试卷·数学·华师版·八年级·上册 5.证明：过点C作CM⊥AD交AD的延长线于点M,如答图. ∵CM⊥AD,CE⊥AB, ∴∠M=∠AEC=∠CEB=90°. ∵AC平分∠BAD,CM⊥AD,CE⊥AB, M ∴CM=CE,∠MAC=∠EAC. 在△MAC和△EAC中， D_ C A E B 5题答图 ∴△MAC≌△EAC(AAS), ∴AM=AE. ∵∠ABC+∠ADC=180°,∠ADC+∠CDM=180°, ∴∠B=∠CDM, ∴在△DMC和△BEC中， ∴△DMC≌△BEC(AAS),∴ DM=BE, ∴AB+AD=AE+BE+AD=AE+DM+AD=AE+AM=2AE, 即AE= 2(AB+AD). 6.证明：∵∠BAC=60°,∠C=40°,∴ ∠ABC=80°. ∵BQ平分∠ABC,∴∠CBQ=2∠ABC= 2×80°=40°, ∴∠CBQ=∠C,∴ BQ=CQ, ∴BQ+AQ=CQ+AQ=AC.① 如答图，过点P作PD//BQ交CQ于点D, 则∠CPD=∠CBQ=40°, ∴∠CPD=∠C=40°, ∴PD=CD,∠ADP=∠CPD+∠C=40°+40°=80°. ∵∠ABC=80°, ∴∠ABC=∠ADP. ∵AP平分∠BAC, ∴∠BAP=∠CAP. 在△ABP和△ADP中， B P A Q D C 6题答图 ∴△ABP≌△ADP(AAS), ∴AB=AD,BP=DP, ∴AB+BP=AD+DP=AD+CD=AC.② 由①②可得AB+BP=BQ+AQ. 7.证明：如答图，延长CE到点F,使EF=CE,连结FB. ∵CE是△ABC的中线，∴ AE=EB. 在△AEC和△BEF中，, ∴△AEC≌△BEF(SAS), C A E B D F ∴∠A=∠EBF,AC=BF. 7题答图 ∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB, ∴∠CBD=∠A+∠ACB=∠EBF+∠ABC=∠CBF. ∵CB是△ADC的中线，∴ AB=BD. 又∵AB=AC,AC=FB,∴ FB=BD. 在△CBF和△CBD中， ∴△CBF≌△CBD(SAS), ∴CD=CF=CE+EF=2CE. 8.(1)证明：如答图，延长AD至点E,使DE=AD,连结BE. ∵D为BC的中点，∴CD=BD. 又∵AD=ED,∠ADC=∠EDB, A ∴△ADC≌△EDB,∴AC=EB. ∵AB+BE>AE, B← /D C ∴AB+AC>2AD. (2)解：∵AB-BE<AE<AB+BE, E ∴AB-AC<2AD<AB+AC. 8题答图 ∵AB=6,AC=2, ∴4<2AD<8,即2<AD<4. 9.证明：(1)如答图，在AB上取一点F,使AF=AC,连结EF. ∵AE、BE分别平分∠CAB、∠DBA, ∴∠CAE=∠FAE,∠EBF=∠EBD. ∵AC//BD,∴∠C+∠D=180°. C E D 在△ACE和△AFE中，: A F B9题答图 ∴△ACE≌△AFE(SAS),∴∠C=∠AFE, ∴∠AFE+∠D=180°. 又∵∠AFE+∠EFB=180°,∴ ∠EFB=∠D. 在△BEF和△BED中， ∴△BEF≌△BED(AAS),∴BF=BD. ∵AB=AF+BF,∴AB=AC+BD. (2)∵△ACE≌△AFE,∴∠CEA=∠FEA. ∵△BEF≌△BED,∴∠FEB=∠DEB, ∠AEF+∠FEB=—(∠CEF+∠DEF)= ×180°=90°, ∴AE⊥BE. 10.(1)证明：如答图①,在l上截取AF=BD,连结CD、CF. ∵△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°,BD⊥l, ∴AC=BC,∠BDA=90°, ∴∠CBD+∠CAD=360°-∠BDA-∠ACB=360°-90°- 90°=180°, ∵∠CAF+∠CAD=180°,∴∠CBD=∠CAF. 在△CBD和△CAF中， l-, E A FD ∴△CBD≌△CAF(SAS),∴CD=CF. B C 又∵CE⊥l,CE=CE, 10题答图① ∴ Rt△CED≌Rt△CEF, ·10· 参考答案及解析 DE=EF=—DF=2(DA+AF)=—(DA+DB), ∴DA+DB=2DE. (2)解：在题图②和题图③中，(1)的结论不成立. 答图②中，结论：DA-DB=2DE[截取AF=BD,证明方法 类似(1)]; 答图③中，结论：DB-DA=2DE[截取AF=BD,证明方法 类似(1)]. l A/ 下 E B< C D l A D E B C F 10题答图② 10题答图③ 专项巩固训练卷(六) 全等三角形的常用模型 1.证明：∵AC//DF,∴∠CAB=∠FDE. ∵BC//EF,∴∠CBA=∠FED. 在△ABC和△DEF中， ∴△ABC≌△DEF(ASA). 2.(1)证明：∵BC=BE+EC,EF=CF+EC,BE=CF, ∴BC=EF. ∵AB//DE,∴∠B=∠DEF. 在△ABC和△DEF中， ∴△ABC≌△DEF(SAS),∴AC=DF. (2)解：∵△ABC≌△DEF,∴ ∠ACB=∠F, ∴DF//AC,∴∠D=∠EGC. 又∵∠D=55°,.∠EGC=55°. 3.证明：在△ABD和△ACE中， ∴△ABD≌△ACE(SAS),∴∠ABD=∠ACE. ∵∠ABC=∠ACB, ∴∠ABC-∠ABD=∠ACB-∠ACE, ∴∠OBC=∠OCB. 4.证明：(1)在△BPC和△DPC中， ∴△BPC≌△DPC(ASA). (2)∵△BPC≌△DPC,∴ BC=DC. 在△ABC和△ADC中， ∴△ABC≌△ADC(SAS),∴AB=AD. 5.证明：∵BF=EC,∴ BF+FC=EC+FC,∴ BC=EF. ∵AC//DF,∴ ∠ACB=∠DFE. 在△BAC和△EDF中，, ∴△BAC≌△EDF(SAS),∴ AB=DE. 6.证明：∵∠DAE=∠BAC, ∴∠DAE-∠DAC=∠BAC-∠DAC, 即∠CAE=∠BAD. 在△ABD和△ACE中，n ∴△ABD≌△ACE(SAS),∴BD=CE. 7.(1)证明：①∵△ABC和△ADE都是等边三角形， ∴AB=AC=BC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=60°, ∴∠BAC-∠CAD=∠DAE-∠CAD, 即∠BAD=∠CAE. 在△ABD和△ACE中， ∴△ABD≌△ACE(SAS),∴BD=CE. ②∵ BC=BD+CD,AC=BC,∴AC=BD+CD. ∵ BD=CE,∴AC=CE+CD. (2)解：AC=CE+CD不成立，AC、CE、CD之间存在的数量 关系是AC=CE-CD. 理由：∵△ABC和△ADE都是等边三角形， ∴AB=AC=BC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=60°, ∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD, ∴∠BAD=∠CAE. 在△ABD和△ACE中，n ∴△ABD≌△ACE(SAS),∴ BD=CE, ∴CE-CD=BD-CD=BC=AC, ∴AC=CE-CD. (3)解：补全图形如答图. A DB yCE 7题答图 AC、CE、CD之间存在的数量关系是AC=CD-CE. 8.解：(1)DE=AD-BE. 证明：∵AD⊥MN,BE⊥MN, ∴∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°, ∴∠ACD+∠BCE=∠BCE+∠CBE=90°, ∴∠ACD=∠CBE. 在△ADC和△CEB中， ·11·