第12章 全等三角形能力提优测试卷-【勤径学升】2025-2026学年新教材八年级上册数学全程时习测试卷（华东师大版2024）

参考答案及解析 第12章 全等三角形 能力提优测试卷 1.A 2.B 3.C 4.B 5.A 6.D [解析]如答图，连结CD. ∵BC的垂直平分线分别交BC、 AC于点 E、F, BD= CD, ∴△ABD的周长=AB+AD+BD =AB+AD+CD,.当A、D、C三 B 点共线时，AD+CD最小，即此时 △ABD的周长最小，此时点D与 A F D E C 6题答图 点F重合，AD+CD的最小值即为AC的长，∴△ABD的周 长的最小值为AC+AB.∵AB=4,AC=5,∴△ABD的周长 的最小值为5+4=9.故选D. 7.C 8.D [解析]①如答图，过点P作PD⊥ EM AC于点D.∵ BP平分∠ABC,AP平分 ∠EAC,PM⊥BE,PN⊥BF,PD⊥AC, A P ∴PM=PN,PM=PD,∴PN=PD,∴点 D P在∠ACF的平分线上，故①正确；B CNF ②∵PM⊥BE,PN⊥ BF,∴∠ABC + 90°+∠MPN+90°=360°,∴∠ABC + 8题答图 ∠MPN=180°.在Rt△PAM和 Rt△PAD中，LPM=P. ∴ Rt△PAM≌Rt△PAD(HL),∴∠APM=∠APD,同理可证 得Rt△PCD≌Rt△PCN,∠CPD=∠CPN,∴∠MPN= 2∠APC,∠ABC+2∠APC=180°,②正确；③∵AP平分 ∠CAE,BP平分∠ABC,∴ ∠CAE = ∠ABC+ ∠ACB= 2∠PAM,∠PAM=2∠ABC+∠APB,∠ACB=2∠APB, ③正确；④由②可知 Rt△PAM≌ Rt△PAD,Rt△PCD≌ Rt△PCN,∴ S△PAD=S△PA,S△PcD=S△PCcN,∴S△PAM+S△PcN= S△PAD+S△PcD=S△PAc,故④正确，故选D. 9.AC=EC 10.3 [解析]∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F, ∴∠DBF=∠FBC,∠ECF=∠FCB.∵DE//BC,∴∠DFB =∠FBC,∠EFC=∠FCB,∴∠DFB=∠DBF,∠EFC= ∠ECF, △BDF、△FEC是等腰三角形，BD=DF=4,FE =CE,∴CE=FE=DE-DF=7-4=3.故答案为3. 11.80 12.5 [解析]如答图所示，能使△ABP为等腰三角形的格点 P有5个. P P? P? A P?B 户 12题答图 13.26°[解析]设∠COD=x°,∵OC=CD=DE,∴∠CDO= ∠COD=x°,∠DCE=∠DEC.∵∠DCE=∠COD+∠CDO =2x°,∴∠DEC=2x°.∵∠BDE=∠DEC+∠COD=3x°, ∴3x=78,∴x=26.故∠COD=26°. 14.①③④ [解析]如答图，连结OB.∵AB=AC,∠BAC= 120°, ∠ABC = ∠ACB= (180°-∠BAC)=30° D 是线段BC上一点，∠ADC= 90°,∴AD⊥BC, BD=CD, ∴AD垂直平分BC,∴ OB= C I D △ 0 P A B 14题答图 OC.∵OP=OC,∴OB=OP,∠APO= ∠ABO.∵OA = OA,△ABO≌△ACO,∴∠ABO= ∠ACO, ∠APO= ∠ACO.①正确；∵∠APO+∠DCO=∠ACO+∠DCO= ∠ACB=30°,∴∠APO+∠DCO≠40°.②错误；在AC上截 取AI=AP,连结 PI,设AC交OP于点L∵∠PAC = 180°-∠BAC=60°,∴△PAI是等边三角形，∴PI=AP, ∠API=60°.∵ OP=0C,∠POC = ∠PLC- ∠ACO= ∠PLC-∠APO=∠PAC=60°,∴△POC是等边三角形， ∴OP=CP,∠OPC=60°.④正确。∵ ∠OPC=60°, ∴∠IPC=∠APO=60°-∠OPI,∴△IPC≌△APO, ∴IC=OA,∴AC=IC+AI=OA+AP.③正确.综上所述， 其中正确的是①③④. 15.证明：∵BF=CE,∴ BF+CF=CE+CF,即BC=EF. 在△ABC和△DEF中， ∴△ABC≌△DEF(AAS),∴AC=DF. 16.证明：选择小明的方法证明. ∵AB=AC,∴∠B=∠C. ∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴ ∠BED=∠CFD=90°. ∵D是BC的中点，∴BD=CD. ∴△BED≌△CFD,∴.DE=DF. 选择小华的方法证明. 连结AD.∵AB=AC,D是BC的中点，∴∠BAD=∠CAD. ∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴DE=DF. 选择小花用别的方法证明. 连结AD.∵D是BC的中点， BD=CD= BC,SAm= S△uco ∵DE⊥AB,DF⊥AC, am=AB·DE,SAco=4C·DF, 2AB·DE=2AC·DF ∵AB=AC,∴DE=DF.(答案不唯一) 17.解：过点M作MH⊥AB于点H,如答图. C D M A H B 17题答图 ∵∠BAD=30°,∠BAC=60°, ∴∠CAM=∠BAC-∠BAD=60°-30°=30°, ∴AM平分∠BAC. ∵MC⊥AC,MH⊥AB,∴. MH=MC, 即MC的长度等于点M到AB的距离. ·7· 全程时习测试卷·数学·华师版·八年级·上册 18.(1)证明：∵∠BAD=∠CAE,∴∠BAC=∠DAE. ∵∠B=∠D,AB=AD, ∴△ABC≌△ADE,∴ BC=DE. (2)解：∵∠APC是△APB的外角， ∴∠CAE=∠BAD=∠APC-∠B=70°-30°=40°. 19.解：(1)如答图①,△ABC即为所求. (2)如答图②,△ABD即为所求. (3)如答图③,△ABE 即为所求. A D B A B C 19题答图① A E. B 19题答图② 19题答图③ 20.解：(1)如答图所示，BD即为所求. (2)△DBC是等腰三角形. A 理由：∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB. ∵∠A=36°, D ∴∠ABC=∠ACB=(180°-36°)÷2=72°. B C ∵BD平分∠ABC, 20题答图 ∴∠ABD=∠DBC=36°, ∴∠BDC=36°+36°=72°, ∴∠BDC=∠C,∴BD=BC, ∴△DBC是等腰三角形. 21.(1)证明：∵AD//BE,:∠A=∠B. ∵AD=BC,AC=BE,∴ △ACD≌△BEC. (2)解：CF⊥DE. 理由：∵△ACD≌△BEC,∴CD=CE. ∵CF平分∠DCE,∴CF⊥DE. 22.(1)证明：∵∠DEC=∠ABC+∠BDE, ∠DEC=∠DEF+∠CEF,∠DEF=∠ABC, ∴∠BDE=∠CEF. 在△DBE和△ECF中， ∴△DBE≌△ECF(AAS),∴DE=EF. (2)解：成立. 证明如下：过点E、F分别作EM⊥AB于点M,FN⊥BC于 点N,如答图所示. ∵EM⊥AB,FN⊥BC, ∴∠BME=∠CNF=90°. 在△MBE和△NCF中， DA F M B E N C 22题答图 ∴△MBE≌△NCF(AAS),∴ME=FN. 又∵DE=EF,∴ Rt△DME≌Rt△ENF, ∴∠MDE=∠NEF. 又∵∠DEC=∠DEF+∠CEF,∠DEC=∠MDE+∠ABC, ∴∠DEF=∠ABC, ∴若DE=EF,则∠DEF=∠ABC, 这个命题成立. 23.解：(1)已知 对顶角相等 CD SAS (2)1<AD<7 [解析]由(1),得△ABD≌△ECD,且AB =6,AC=8,∴ CE=AB=6.在△ACE中，8-6<AE<8+ 6.又∵·AD= —AE,∴.1<AD<7.故答案为1<AD<7. ∵AB⊥BC,EF⊥BC, ∴∠ABD=∠FCD=90°. 在△ABD和△FCD中， (3)如答图，延长AD交EC的延长线于点F. E A B D C F 23题答图 ∴△ABD≌△FCD(ASA), ∴CF=AB=2,AD=DF. 又∵∠FDE=∠ADE=90°且ED=ED, ∴△ADE≌△FDE,∴AE=EF. ∵EF=CE+CF=4+2=6, ∴AE=6.故AE的长是6. 24.解：(1)6cm 6cm [解析]当t=2时，AP=3×2=6(cm), ∴CP=AC-AP=12-6=6(cm); 当t=6时，运动路程为3×6=18(cm),此时点P在BC 上，则CP=18-12=6(cm). (2)M2或 [解析]如答图①,当P在BC中点上时， △APC的面积等于△ABC面积的一半，CP= — BC= 4.5cm,=12+34.5=2; A B P C A P人 B- C 24题答图① 24题答图② 当P在AB中点上时，如答图②,△APC的面积等于△ABC 面积的一半，AP=BP= —AB=7.5 cm, =12+9+75=2 综上所述，当t为12或g2时，△APC的面积等于△ABC面 积的一半. (3)设点Q的运动速度为xcm/s, 当点P在AC上，点Q在AB上，△APQ≌△DEF时，如答 图③, ∴AP=DE=4cm,AQ=DF=5cm,∴运动时间11=3s, A Q P D B C F E 24题答图③ A Q P D B CF E 24题答图④ ·8· 参考答案及解析 当点P在AC上，点Q在AB上，△APQ≌△DFE时， 如答图④,∴AP=DF=5cm,AQ=DE=4cm, ∴运动时间1=35s, 号 当点P在AB上，点Q在AC上，△APQ≌△DEF时， 如答图⑤,∴AP=DE=4cm,AQ=DF=5cm, 二点P的路程为12+9+15-4=32(cm), 点Q的路程为15+9+12-5=31(cm), ∴运动时间1=3s,- A P Q D B CF E 24题答图⑤ A P Q D B CF □E 24题答图⑥ 当点P在AB上，点Q在AC上，△APQ≌△DFE时， 如答图⑥,∴AP=DF=5cm,AQ=DE=4cm, ∴点P的路程为12+9+15-5=31(cm), 点Q的路程为15+9+12-4=32(cm), ∴运动时间1=3s 量- 综上所述，点Q的运动速度为4cm/s或号cm/s或 cms或cms 专项巩固训练卷(五) 构造全等三角形的常用方法 1.证明：如答图，延长AD交BC于点F. ∵BE平分∠ABC,∴∠ABE=∠CBE. ∵BD⊥AD,∴ ∠ADB=∠BDF=90°. A 2 D E B F C 在△ABD和△FBD中， ∴△ABD≌△FBD(ASA), 1题答图 ∴∠2=∠DFB. 又∵∠DFB=∠1+∠C, ∴∠2=∠1+∠C. 2.证明：如答图，过点B作BG⊥BC交CF的延长线于点G,则 ∠CBG=90°. A ∵∠ACB=90°, 1 ∴∠2+∠ACF=90°. ∵CE⊥AD, E G E ∴∠AEC=90°, 2 ∴∠1+∠ACF=180°-∠AEC C D B 2题答图 =180°-90°=90°, ∴∠1=∠2. 在△ACD和△CBG中， 0 =90°, ∴△ACD≌△CBG(ASA), ∴∠ADC=∠G,CD=BG. ∵D为BC的中点， ∴CD=BD,∴ BD=BG. ∵∠ACB=90°,AC=BC,∴∠DBF=45°. 又∵∠DBG=90°, ∴∠GBF=∠DBG-∠DBF=90°-45°=45°, ∴∠DBF=∠GBF. 在△BDF和△BGF中， ∴△BDF≌△BGF(SAS), ∴∠BDF=∠G,∴∠ADC=∠BDF. 3.解：如答图，延长CB到点H,使得BH=DF,连结AH. ∵∠ABE=90°,∠D=90°, A D ∴∠D=∠ABH=90°. F 在△ABH和△ADF中，, H B E C3题答图 ∴△ABH≌△ADF(SAS), ∴AH=AF,∠BAH=∠DAF, ∴∠BAH+∠BAF=∠DAF+∠BAF, 即∠HAF=∠BAD=90°. ∵BE+DF=EF, ∴BE+BH=EF,即HE=EF. 在△AEH和△AEF中， ∴△AEH≌△AEF(SSS), ∴∠EAH=∠EAF, ∠EAF=—LHAF=45° 4.证明：如答图，过点C作CF⊥AD于点F,过点B作BG⊥ AD,交AD的延长线于点G. ∵CF⊥AD,BG⊥AD, A ∴∠G=∠CFD=90°. ∵AD是△ABC的中线， E ∴ BD=CD. FB 又∵∠BDG=∠CDF, /D c G ∴△BDG≌△CDF,∴ BG=CF. 4题答图 在Rt△BGE和Rt△CFA中，BC=CF ∴ Rt△BGE≌Rt△CFA(HL), ∴∠BED=∠CAD. ·9· 第12章 全等三角形 见此图标眼 抖音/微信扫码 领取配套资源，开启高效学习 考号 班级 能力提优测试卷 ·时间：120分钟·满分：120分 ⋯⋯装⋯⋯ -⋯订⋯⋯ 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题 给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.(江苏无锡期中)如图，AC与BD相交于点0,0A=OD, 答题卡 ∠A=∠D,不添加辅助线，直接判定△ABO≌△DCO的 依据是 ( ) A.角边角 A D B.边角边 ? C.角角边 B C D.斜边直角边 1题图i⋯⋯=- 线⋯⋯内⋯⋯⋯不⋯⋯要⋯⋯⋯答⋯⋯ 2.(江苏南京中考)若一个等腰三角形的腰长为3,则它的周长可能 是 ( ) A.5 B.10 C.15 D.20 3.下列所给条件中，能画出唯一的△ABC的是 ( ) A.AC=3,AB=4 B.∠C=90°,AB=9 C.∠A=50°,∠B=30°,AB=10 D.AC=4,AB=5,∠B=60° 4.如图，AC=BC,AE=CD,AE⊥CD于点E,BD⊥CD于点D,AE=7, BD=2,则DE的长是 ( ) A.2 B.5 C.7 D.9 C B A A|F A E P D MN p A B B C D B E C C D B 4题图 5题图 6题图 7题图 5.如图，AB//CD,BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB,AD过点P,且 与AB垂直.若点P到BC的距离是4,则AD的长为 ( ) A.8 B.6 C.4 D.2 题 6.(广东中山期末)如图，在△ABC中，AB=4,AC=5,边BC的垂直 平分线分别交BC、AC于点E、F,D为直线EF上一点，则△ABD的 周长的最小值为 ( ) A.12 B.11 C.10 D.9 7.如图，在△ABC中，∠C=90°,∠B=30°,以A为圆心、任意长为半 径作弧分别交AB、AC于点M和N,再分别以M、N为圆心、大于 MN的长的一半为半径作弧，两弧交于点P,连结AP并延长交BC 于点D,给出下列说法：①AD是∠BAC的平分线；②∠ADB=120°; ③点D在AB的垂直平分线上；④D是线段BC的中点.其中正确 的个数是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 8.如图，∠ABC、∠EAC的平分线BP、AP交于点P, PM⊥BE,PN⊥BF,则下列结论中正确的个数是 ( ) ①CP平分∠ACF;②∠ABC+2∠APC=180°; ③∠ACB=2∠APB;④S△PAc=SPAM+S△PCN· A.1 B.2 C.3 D.4 ME A P B CNF 8题图 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 9.(北京西城区期中)如图，已知AB⊥BD,ED//AB,AB=ED,要使 △ABC≌△EDC,且需用“HL”进行判定，可补充的一个条件 是________ A A A E D D F E B C D B C B E C 9题图 10题图 11题图 10.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F,过点F 作DE//BC,交AB于点D,交AC于点E.若BD=4,DE=7,则线 段EC的长为____ 11.如图，AD=DE,AB=BE,∠CED=100°,则∠A=____。 12.如图，在3×3的网格中，点A、B在格点处，能使△ABP为等腰三 角形的格点P有____个. C E A D A B C 0 0 D B Pl A B 12题图 13题图 14题图 13.(吉林长春期末)借助如图所示的“三等分角仪”能三等分某些度 数的角，这个“三等分角仪”由两根有槽的棒OA、OB组成，两根 棒在点0相连并可绕点0转动，点C固定，OC=DC=DE,点D、 E可在槽中滑动，若∠BDE=78°,则∠COD=_______ 14.如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC,∠BAC=120°,D是线段 BC 上一点，∠ADC=90°,P是线段BA延长线上一点，0是线段AD上 一点，OP=OC.下面的结论：①∠APO = ∠ACO;②∠APO+ ∠DCO=40°;③AC= OA+AP;④OP=CP.其中正确的是 ______.(填序号) 数学 华师版 八年级 上册 第 13 页 三、解答题：本题共10小题，共78分。 15.(6分)如图，在△ABC和△DEF中，∠A=∠D=90°,∠B=∠E, 点B、F、C、E在同一条直线上，且BF=CE.求证：AC=DF. AD B F C E 15题图 16.(6分)新考法如图，在△ABC中，AB=AC,D是BC的中点，DE ⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为点E、F.求证：DE=DF. 请你结合上述讨论，选择恰当的方法完成证明. 针对这道题，三位同学进行了如下讨论. 小明：“需要利用全等证明.” 小华：“要证垂线段相等，我想到了角平分线.” 小花：“我觉得你们都对，但还有别的方法.” A E F B D C 16题图 17.(6分)把两个同样大小的含30°角的三角尺按照如图①所示方 式叠合放置，得到如图②的Rt△ABC和Rt△BAD.设M是AD与 BC的交点，则这时MC的长度等于点M到AB的距离，你知道这 是为什么吗?请说明理由. C D M A2 B 17题图① 17题图② 都 学 18.(7分)(湖北黄冈期中)如图，已知△ABC和△ADE,AB=AD, ∠BAD=∠CAE,∠B=∠D,AD与BC交于点P,点C在DE上. (1)求证：BC=DE; (2)若∠B=30°,∠APC=70°,求∠CAE的度数. A >E B P C D 18题图 19.(7分)图①、图②、图③是3×3的正方形网格，每个小正方形的 边长都为1,线段AB的端点在格点上.只用无刻度的直尺，在给 定的网格中按要求作图，所作图形的顶点均在格点上，不要求写 出作法，保留作图痕迹. (1)在图①中以AB为直角边作一个直角三角形，使它的面积 为3; (2)在图②中以AB为边作一个等腰三角形，使它的面积为3; (3)在图③中以AB为斜边作一个等腰直角三角形. A_ A A B B B 19题图① 19题图② 19题图③ 20.(7分)如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC,∠A=36°. (1)尺规作图：作∠B的平分线 BD,交AC于点D(保留作图痕 迹，不写作法); (2)判断△DBC是不是等腰三角形，并说明理由. 。。 20题图 见此图标眼 抖音/微信扫码 领取配套资源，开启高效学习 21.(8分)如图，C为线段AB上一点，AD//EB,AC=BE,AD=BC,CF 平分∠DCE. (1)求证：△ACD≌△BEC; (2)判断CF与DE的位置关系，并说明理由. A4。D B E 21题图 22.(9分)如图，△ABC中，∠ABC=∠ACB,D、E、F分别是AB、BC、 AC边上的点，BE=CF. (1)若∠DEF=∠ABC,求证：DE=EF; (2)把(1)中的条件和结论反过来，即若DE =EF,则∠DEF= ∠ABC,这个命题是否成立?若成立，请证明；若不成立，请 说明理由. A D F B E C 22题图 23.(10分)新情境某数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个 问题：如图①,在△ABC中，AB=6,AC=8,D是BC的中点，求BC 边上的中线AD的取值范围. 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到 点E,使DE=AD,请补充完整证明“△ABD≌△ECD”的推理 过程. (1)求证：△ABD≌△ECD. 证明：如图①,延长AD到点E,使DE=AD. 在△ABD和△ECD中， AD=ED(__), ∠ADB=∠EDC(___), RD-(中点定义) ____(中点定又), ∴△ABD≌△ECD(__); 数学华师版 八年级上册 第 14 页 E A B D C 23题图② (2)由(1)的结论，根据AD与AE之间的关系，探究得出AD的取 值范围是____; A B D C E 23题图① 【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑 延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论 集合到同一个三角形中. 【问题解决】 (3)如图②,在△ABC中，∠B=90°,AB=2,AD是△ABC的中线， CE⊥BC,CE=4,且∠ADE=90°,求AE的长. 24.(12分)(吉林长春期末)在Rt△ABC中，∠C=90°,BC=9cm, AC=12cm,AB=15cm,动点P从点A出发，以3 cm/s的速度沿 着三角形的边AC→CB→BA运动，回到点A停止，设运动时间为 t(O≤t≤12). A Q P P D B C B CFE 24题图① 24题图② (1)如图①,当t=2时，CP= ______,当t=6时，CP =_____; (2)如图①,当t=_____时，△APC的面积等于△ABC面积的 一半； (3)如图②,在△DEF中，∠E=90°,DE=4cm,DF=5cm,∠D= ∠A.在△ABC的边上，若另外有一个动点Q,与点P同时从 点A出发，沿着边AB→BC→CA运动，回到点A停止；在两点 运动过程中的某一时刻，恰好△APQ和△DEF全等，求点Q 的运动速度.