精品解析：北京市昌平区2024-2025学年高一下学期期末质量抽测数学试卷

昌平区2024—2025学年第二学期高一年级期末质量抽测 数学试卷 2025.7 本试卷共6页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将答题卡交回. 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 在复平面内，复数z对应的点的坐标是，则z的共轭复数（ ） A. B. C. D. 2. 在中，，，，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 3. 下列函数中，最小正周期为且是奇函数的为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，是不重合的平面，m，n是不重合的直线，下列命题中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 5. 将函数的图象向右平移个单位长度后，得到的图象关于y轴对称，则的值可以为（ ） A. B. C. D. 6. 函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C D. 7. 在矩形中，，，，点F在边上.若，则（ ） A. B. C. D. 8. 在中，，则“”是“”的（ ） A 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. “三斜求积术”是我国宋代的数学家秦九韶用实例的形式提出的，其实质是根据三角形的三边长a，b，c求三角形面积S，即.现有面积为的满足，则最大边的边长为（ ） A. B. 4 C. D. 8 10. 已知正三棱锥，，，点D在内部运动（包括边界），则下列四个结论中错误的是（ ） A. 平面 B. 线段长度的最小值为 C. 存在点O，使得 D. 点D到三条侧棱，，的距离的平方和的最小值为12 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 若复数，则______. 12. 已知向量，满足，，，则_______. 13. 以边长为2的正方形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转一周得到一个圆柱，则该圆柱的体积是_______；表面积是_______. 14. 已知函数，若的最小正周期为，则______；若存在，使得，则的最小值为______. 15. 已知函数，.给出下列四个结论： ①函数是奇函数； ②函数在区间上是增函数； ③函数在区间内恰有3个不同的零点； ④函数的值域为. 其中所有正确结论的序号是______. 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 在平面直角坐标系中，角的始边与轴的非负半轴重合，终边经过点. （1）求及的值； （2）求的值. 17. 如图，在三棱柱中，，，平面平面，D，E，F分别为，，的中点. （1）求证：； （2）求证：平面. 18. 已知函数 （1）求的值； （2）求单调递增区间； （3）若对任意，都有，求m的最大值. 19. 在中，. （1）求B值； （2）若，再从下列三个条件中选择一个作为已知，使存在，求的面积. 条件①：； 条件②：； 条件③：边上中线的长为. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答给分. 20. 如图（1），在等腰梯形中，，E，F是上的点，，，，，将沿折起到的位置，将沿折起到的位置，使B，C，G三点重合，如图（2）. （1）求证：平面平面； （2）设H为上的动点，与平面交于点M. （i）若H为的中点，求证：M为的中点； （ii）是否存在点H，使得三棱锥与三棱锥的体积之比为?若存在，求的长度；若不存在，说明理由. 21. 若定义在上的函数满足如下两条性质，则称为函数： ①对任意，且，使得； ②存在正数T，M，对任意，使得. （1）分别判断函数和是否为函数，并说明理由； （2）若函数满足性质②，求M的所有可能取值； （3）若为函数，，且.求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 昌平区2024—2025学年第二学期高一年级期末质量抽测 数学试卷 2025.7 本试卷共6页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将答题卡交回. 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 在复平面内，复数z对应的点的坐标是，则z的共轭复数（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复平面内点的坐标得到复数z，再根据共轭复数的定义求出z的共轭复数即可. 【详解】因为复数z对应的点的坐标是， 所以复数， 所以z的共轭复数. 故选：B 2. 在中，，，，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】由正弦定理求得，结合大边对大角，即，求得答案. 【详解】由，，则， 由正弦定理，， 又，则，故. 故选：A. 3. 下列函数中，最小正周期为且是奇函数的为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用正余弦函数的周期性及奇偶性逐项判断即可. 【详解】对于A，的最小正周期为，A不是； 对于B，函数是偶函数，B不是； 对于C，函数最小正周期为且是奇函数，C是； 对于D，是偶函数，D不是. 故选：C 4. 已知，是不重合的平面，m，n是不重合的直线，下列命题中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【分析】对于A，由，，分析出或，相交，即可判断；对于B，由，，分析出或，即可判断；对于C，由，，分析出，即可判断；对于D，过做平面，设，由，根据线面平行的性质定理可知，又由，可得，根据线面垂直的判定定理可得，即可判断D. 【详解】若，，则或，相交，故A错误； 若，，则或，故B错误； 若，，则，故C错误； 过做平面，设，若，则由线面平行的性质定理可知. 因为，所以，又因为，所以由线面垂直的判定定理可得， 故D正确. 故选：D 5. 将函数的图象向右平移个单位长度后，得到的图象关于y轴对称，则的值可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出平移的图象对应函数的解析式，再利用偶函数的意义求解. 【详解】依题意，平移后所得解析式为，因此， 解得，当时，，D可以， 不存在整数，使得取，ABC不可以. 故选：D 6. 函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定的函数图象，利用周期及最大值点求出即可. 【详解】观察函数图象，得这个函数的最小正周期，则， 又当时，，则，而，则， 所以. 故选：A 7. 在矩形中，，，，点F在边上.若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由点F在边上，可设，.根据可求得的值，用和表示出和，结合数量积的运算律即可求解. 【详解】 ∵点F在边上，∴设，. ∵，∴，∴. ∵，∴. 故选：B. 8. 在中，，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】先判断是否能推出，再判断能否推出即可求解. 【详解】由，，所以，所以，所以， 所以，即， 由有，由余弦定理有，即，又， 所以，所以，， 所以“”是“”的充分必要条件， 故选：C. 9. “三斜求积术”是我国宋代的数学家秦九韶用实例的形式提出的，其实质是根据三角形的三边长a，b，c求三角形面积S，即.现有面积为的满足，则最大边的边长为（ ） A. B. 4 C. D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理角化边，再借助给定的面积公式求解. 【详解】在中，由，得， 则，因此， 解得，所以最大边的边长. 故选：B 10. 已知正三棱锥，，，点D在内部运动（包括边界），则下列四个结论中错误的是（ ） A 平面 B. 线段长度的最小值为 C. 存在点O，使得 D. 点D到三条侧棱，，的距离的平方和的最小值为12 【答案】C 【解析】 【分析】利用线面垂直的判定推理判断A；利用等体积法求出点到平面距离判断B；求出三棱锥外接球半径判断C；构造长方体求解判断D. 【详解】对于A，在正三棱锥中，，则，所以，同理，而平面，则平面，A正确； 对于B，由选项A知，正三棱锥的三条侧棱两两垂直，设点到平面距离为， 由，得，解得，因此线段长度的最小值为，B正确； 对于C，正三棱锥与以为棱的正方体有相同的外接球， 该球半径，球心到点的距离都等于， 又正三棱锥的外接球是唯一的，C错误； 对于D，由选项B知，正三棱锥的三个侧面两两垂直， 当点在内部时，令点到正三棱锥的三个侧面的垂线段长分别为， 点是以这3条垂线段为棱的长方体的顶点，即线段为这个长方体的体对角线，， 则点D到三条侧棱的距离的平方和等于这个长方体共点的3条面对角线的平方和， 即，当且仅当平面时取等号， 当点在边上时，可得点D到三条侧棱的距离的平方和等于，D正确. 故选：C 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 若复数，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用复数的除法求出，进而求出其模. 【详解】依题意，，所以. 故答案为： 12. 已知向量，满足，，，则_______. 【答案】3 【解析】 【分析】利用数量积的定义求出，再利用数量积的运算律求解. 【详解】依题意，，所以. 故答案为：3 13. 以边长为2的正方形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转一周得到一个圆柱，则该圆柱的体积是_______；表面积是_______. 【答案】 ① ②. 【解析】 【分析】由题意可知圆柱的底面半径，高，再根据圆柱的体积公式及表面积公式计算即可. 【详解】由题意可知圆柱的底面半径，高， 所以圆柱的体积为， 表面积为. 故答案为： 14. 已知函数，若的最小正周期为，则______；若存在，使得，则的最小值为______. 【答案】 ①. 4 ②. 【解析】 【分析】根据正弦函数的周期公式及的范围即可求出的值；由存在，使得，分析出和一个为1，另一个为，也就是至少包含半个周期长度，并且能取到最值点，进而列出不等式组求解即可. 【详解】因为的最小正周期为，所以， 又因为，所以. 若存在，使得， 因为正弦函数的值域为， 所以和必然一个为1，另一个为. 因为，所以， 要使在上能取到1和， 也就是至少包含半个周期长度，并且能取到最值点， 所以，解得， 所以的最小值为. 故答案为：4； 15. 已知函数，.给出下列四个结论： ①函数是奇函数； ②函数在区间上增函数； ③函数在区间内恰有3个不同的零点； ④函数的值域为. 其中所有正确结论的序号是______. 【答案】①③④ 【解析】 【分析】利用奇函数定义判断①；求出判断②；利用和角的正弦及二倍角式化简，求出零点判断③；借助二次函数求出值域判断④. 【详解】函数，， 对于①，，函数是奇函数，①正确； 对于②，，， 而，即，②错误； 对于③，， ， 而，由，得， 当，解得，在内恰有3个不同的零点，③正确； 对于④，当，即时， ，当时，，，即函数的值域为，④正确. 故答案为：①③④ 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 在平面直角坐标系中，角的始边与轴的非负半轴重合，终边经过点. （1）求及的值； （2）求的值. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）设角的终边经过点，先求出，再根据三角函数的定义求出的值，再根据二倍角的正切公式即可求出的值； （2）先根据三角函数的定义求出的值，再将利用二倍角公式及诱导公式变形，再将的值代入计算即可. 【小问1详解】 设角的终边经过点，则， 所以由三角函数的定义可知， 所以； 【小问2详解】 由（1）根据三角函数的定义可知， 所以 . 17. 如图，在三棱柱中，，，平面平面，D，E，F分别为，，的中点. （1）求证：； （2）求证：平面. 【答案】（1）证明见详解 （2）证明见详解 【解析】 【分析】（1）由面面垂直的性质定理可得平面，再由线面垂直的判定定理证明平面，进而得证； （2）连接，可证四边形是平行四边形，可得，利用线面平行的判定定理得证. 【小问1详解】 因为平面平面，平面平面，平面，， 所以平面，又平面， 所以， 又，是的中点，所以， 又平面，， 所以平面， 又平面，所以. 【小问2详解】 如图，连接， 因为分别是的中点， 所以，，又，， 所以，， 所以四边形是平行四边形，故， 又平面，平面， 所以平面. 18. 已知函数 （1）求的值； （2）求的单调递增区间； （3）若对任意，都有，求m的最大值. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）代入函数式求出函数值. （2）利用和角的正弦、二倍角公式及辅助角公式化简函数，再利用正弦函数单调性求出递增区间. （3）求出在指定区间内相位的范围，再利用恒成立的不等式列式求解. 【小问1详解】 依题意，. 【小问2详解】 函数 ， 由，得， 所以函数的单调递增区间为. 【小问3详解】 当时，，而， 而在上单调递增，在上单调递减， 由，，得，解得， 所以m的最大值是. 19. 在中，. （1）求B的值； （2）若，再从下列三个条件中选择一个作为已知，使存在，求的面积. 条件①：； 条件②：； 条件③：边上的中线的长为. 注：如果选择条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答给分. 【答案】（1） （2）答案见详解 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理及商数关系将变形化简，再结合角的范围即可求出角； （2）若选择条件①，由余弦定理可得，此时，方程无实数解，不存在；若选择条件②，先由求出，由正弦定理求出，再求出，即可根据三角形的面积公式求出的面积；若选择条件③，设的中点为，则在中，由余弦定理求出的值，即可根据三角形的面积公式求出的面积. 【小问1详解】 因为，所以由正弦定理可得， 在中，因为，所以， 所以，所以； 【小问2详解】 若选择条件①：， 则，，， 则由余弦定理，可得， 整理可得，此时， 方程无实数解，所以不存在； 若选择条件②：， 因为，所以. 又因为，， 所以由正弦定理可得，解得. 又因为， 所以， 所以的面积； 若选择条件③：边上的中线的长为， 设的中点为，则，，. 则在中，由余弦定理 可得， 整理可得，解得或（舍）， 所以的面积. 20. 如图（1），在等腰梯形中，，E，F是上的点，，，，，将沿折起到的位置，将沿折起到的位置，使B，C，G三点重合，如图（2）. （1）求证：平面平面； （2）设H为上的动点，与平面交于点M. （i）若H为的中点，求证：M为的中点； （ii）是否存在点H，使得三棱锥与三棱锥的体积之比为?若存在，求的长度；若不存在，说明理由. 【答案】（1）证明见解析； （2）（i）证明见解析；（ii）存在，. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的判定性质、面面垂直的判断推理得证. （i）利用线面平行的判定性质证得即可得证；（ii）利用锥体体积公式列式求解. 【小问1详解】 在等腰梯形中，，由，得， 在图（2）中，平面，则平面， 而平面，则，由，，得， 于是，而平面，则平面， 又平面，所以平面平面. 【小问2详解】 （i）由平面，平面，得平面， 平面，平面平面，因此， 而H为的中点，所以M为的中点. （ii）由，得， 由平面，平面，得平面， 点到平面的距离等于点到平面的距离， 由（1）同理可得平面，三棱锥的体积， 三棱锥的体积， 因此，则， 由（i），知， 于是，即 21. 若定义在上的函数满足如下两条性质，则称为函数： ①对任意，且，使得； ②存在正数T，M，对任意，使得. （1）分别判断函数和是否为函数，并说明理由； （2）若函数满足性质②，求M的所有可能取值； （3）若为函数，，且.求证：. 【答案】（1）函数是函数，函数不是函数，证明见详解. （2）. （3）证明见详解. 【解析】 【分析】（1）依据题干的两条性质，即单调性和周期性变形特征，分别验证函数是否满足. （2）对于给定含三角函数的函数，利用函数性质②的等式展开化简，结合三角函数本身的性质，即可推导出参数的可能取值. （3）基于函数性质，由初始值递推后续函数值，再结合单调关系推导目标值，依据给定参数范围，确定最值取值范围，完成证明. 【小问1详解】 函数是函数，函数不是函数，理由如下： 任意，且，，，即，满足性质①. 对任意，使得，此时， 满足,，即存在正数满足性质②. 函数是函数. 任意，且，，，即，满足性质①. 对任意，使得，此时不满足性质②. 函数不是函数. 【小问2详解】 函数满足性质②，，，即. 【小问3详解】 为函数，满足②，,又，、、， 又满足①，,即，，又，当时，；当时，， 综上所述. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $