精品解析：北京市昌平区2023-2024学年高一下学期期末质量抽测数学试卷

昌平区2023—2024学年第二学期高一年级期末质量抽测 数学试卷 2024.7 本试卷共4页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将答题卡交回. 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角函数的定义即可得解. 【详解】因为角的终边经过点， 则，所以. 故选：C. 2. 若，，则是（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 【答案】B 【解析】 【分析】 根据，可判断可能在的象限，根据，可判断可能在的象限，综合分析，即可得答案. 【详解】由，可得的终边在第一象限或第二象限或与y轴正半轴重合， 由，可得的终边在第二象限或第四象限， 因为，同时成立，所以是第二象限角. 故选：B 3. 如图，在复平面内，复数，对应的点分别为，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件，利用复数的几何意义，得到，再利用复数的运算，即可求出结果. 【详解】由题知，所以， 得到， 故选：A. 4. 已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据线线，线面及面面位置关系判断各个选项即可. 【详解】对于A:若,则可能，A错误； 对于B:若,则可能,B错误； 对于C:若则可能不垂直，C错误； 对于D:若,则,D正确. 故选：D. 5. 已知圆锥的母线长为5，侧面展开图扇形的弧长为，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据侧面展开图的弧长求出底面半径，再应用圆锥的体积计算即可. 【详解】因为侧面展开图扇形的弧长为,所以, 又因为圆锥的母线长为5，设圆锥的高为h, 所以圆锥的体积为. 故选：A. 6. 在中，，，，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件，利用余弦定理得到，再由，得到，即可求出结果. 【详解】因为，，，由余弦定理， 得到，即，解得， 由，得到， 又，所以， 故选：B. 7. 已知，是两个复数，则“，互为共轭复数”是“，的差为纯虚数”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】利用充分条件与必要条件的判断方法，结合共轭复数的定义及复数的分类，即可求出结果. 【详解】若，互为共轭复数，设，则， 则，若，则，所以“，互为共轭复数”推不出“，的差为纯虚数， 不妨取，，则，显然满足，的差为纯虚数， 但，不互为共轭复数，所以“，互为共轭复数”是“，的差为纯虚数”的既不充分也不必要条件， 故选：D. 8. 海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐.一般早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节某天的时间与水深值（单位：）的部分记录表. 时间 0:00 3:00 6:00 9:00 12:00 水深值 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 据分析，这个港口的水深值与时间的关系可近似的用三角函数来描述.试估计13：00的水深值为（ ） A. 3.75 B. 5.83 C. 6.25 D. 6.67 【答案】C 【解析】 【分析】观察表中数据求出周期和最大最小值，然后可得，将表中最大值点坐标代入解析式可得，然后可得所求. 【详解】记时间为，水深值为， 设时间与水深值的函数关系式为， 由表中数据可知，， 所以，， 所以， 又时，，所以， 所以，即， 所以， ， 即13:00的水深值大约为. 故选：C 9. 函数的部分图象如图所示，则 （ ） A. 1 B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据图象，求得，即可求出结果. 【详解】由图知，得到，又由图知， 由，得到，又，所以， 由，得到，所以， 得到， 故选：C. 10. 在矩形中，，，为矩形所在平面内的动点，且，则的最大值是（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，设，根据条件得到，从而得到，又，结合图形，得，即可求出结果. 【详解】如图，建立平面直角坐标系，设，中点为， 因为，，所以,，，， 得到，所以， 又因为，所以， 又，当且仅当（在的延长线上）三点共线时取等号， 所以， 故选：B. 【点睛】关键点点晴：设，利用向量数量积的坐标运算，得到，再利用圆的几何性质，即可求解. 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 已知正四棱锥的底面边长为，高为，则它的侧面积为_________________. 【答案】 【解析】 【分析】利用正四棱锥的性质，结合条件，求出斜高，即可求出结果.. 【详解】如图，，取的中点，连接，易知， 因为正四棱锥的底面边长为，高为，则，， 所以正四棱锥的侧面积为， 故答案为：. 12. 在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称.若角的终边与单位圆交于点，则_____________. 【答案】## 【解析】 【分析】先根据角与角的终边关于轴对称，且角的终边与单位圆交于点，得到角的终边与单位圆的交点，然后利用正弦函数的定义求解. 【详解】因为角与角的终边关于轴对称，且角的终边与单位圆交于点， 所以，解得， 当时，即角的终边与单位圆的交点， 所以. 当时，即角的终边与单位圆的交点， 所以. 综上所述，. 故答案为： 13. 已知菱形的边长为，，，则_________________. 【答案】 【解析】 【分析】利用向量的线性运算得到，，再利用数量积的定义及运算，即可求出结果. 【详解】因为，所以，又， 所以， 又菱形的边长为，，所以， 故答案为：. 14. 已知函数，则函数的值域为________________；若关于的方程恰有三个不相等的实数根，则实数的取值范围为_________________. 【答案】 ①. ； ②. . 【解析】 【分析】求出每段函数的值域求并集可得的值域；作出函数的图象，根据直线与函数的图象有三个交点可得的取值范围. 【详解】当时，； 当时，； 当时，. 综上，函数的值域为. 作出函数的图象如图： 因为关于的方程恰有三个不相等的实数根， 所以直线与函数的图象有三个交点， 由图可知，，即实数的取值范围为. 故答案为：；. 15. 在棱长为1的正方体中，，，分别为棱，，的中点，动点在平面内，且.给出下列四个结论： ①平面； ②点轨迹的长度为； ③存在点，使得直线平面； ④平面截正方体所得的截面面积为. 其中所有正确结论的序号是_________________. 【答案】①②④ 【解析】 【分析】根据都是棱的中点，可以做出过的截面，再根据正方体的棱长和的长度，可确定点的轨迹，从而可判断各个结论的正确性. 【详解】如图： 因为，分别为，中点，所以， 又，所以，又平面，平面， 所以平面，故①成立； 连接，交于点，易证平面，，， 所以，故点轨迹是平面内以为圆心，以为半径的圆， 所以点轨迹长度为：，故②成立； 由②可知，不可能与平面垂直，故③不成立； 做出截面，可知截面是正六边形，且边长为，其面积为：，故④成立. 故答案为：①②④ 【点睛】方法点睛：根据线面平行的判定和性质，可以确定过点三点的截面. 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 已知，且为第二象限角. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用平方关系得到，再利用正切的和角公式，即可求解； （2）利用倍角公式及正弦的差角公式，得到，即可求解. 【小问1详解】 因为，且为第二象限角，所以，得到， 所以. 【小问2详解】 因为， 由（1）知，，所以. 17. 已知向量，. （1）若，求实数的值； （2）若，求与夹角的大小. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据坐标运算得到，然后根据垂直列方程，解方程即可； （2）利用数量积的公式求夹角即可. 【小问1详解】 ， 因为，所以， 解得. 【小问2详解】 若，则， 因为，，， 所以， 因为，所以. 18. 已知函数，图象的相邻两条对称轴之间的距离为. （1）求的解析式； （2）求在区间上的最小值； （3）若在区间上单调递增，求实数的最大值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用辅助角公式得到，再结合条件，即可得到，从而求出结果； （2）令，得到，利用的图象与性质，即可求出结果； （3）利用的图象与性质，求出的单调增区间，再结合条件，即可求出结果. 【小问1详解】 因为， 又图象的相邻两条对称轴之间的距离为，且，所以，得到， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，令，则 因为，所以，得到， 所以在区间上的最小值为. 【小问3详解】 因为， 由，得到， 令，得到，又在区间上单调递增， 所以实数的最大值为. 19. 在中，. （1）求； （2）若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在. （ⅰ）求的值； （ⅱ）求的面积. 条件①：； 条件②：； 条件③： 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】（1） （2）选①或③（i）；（ii）；选②，不符合题意. 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用余弦定理，即可求出结果； （2）选择①：利用条件得到，从而，即可求出，再利用正弦定得到，利用三角形的面积公式，即可求出结果；选择②：由于，，此时不存在；选择③：利用条件及正弦定理得到，同①即可求解. 【小问1详解】 因为，又由余弦定理， 所以，即，又，所以. 【小问2详解】 选择条件①：因为，又，所以， 由（1）知，所以， （ⅰ）. （ⅱ）因为，由正弦定理，得到，得到， 所以的面积为. 选择条件②：因为，由（1）知，而，此时不存在. 选择条件③：，又，所以， 由正弦定理得，由（1）知，所以， 得到，又，所以，得到，所以， （ⅰ）. （ⅱ）因为，由正弦定理，得到，得到， 所以的面积为. 20. 如图，在几何体中，侧面是正方形，平面平面，，，. （1）求证：； （2）求证：平面； （3）判断直线与是否相交，说明理由. 【答案】（1）证明：因为平面平面，平面平面， 又，面，所以面， 又面，所以. （2）证明：取中点，连接， 因为，，所以且， 所以为平行四边形，得到且， 所以为平行四边形，得到， 又面，面，所以平面. （3）直线与不相交，理由如下， 由（2）知平面，所以平面， 又面，所以，又，， 所以与不平行，故与异面，从而与不相交. 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直的性质定理，得到面，再利用线面垂直的性质，即可证明结果； （2）取中点，连接，根据条件，利用平行四边形的性质，得到，再利用线面平行的判定定理，即可证明结果； （3）利用（2）中的结果，得出与异面，即可求出结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 21. 已知函数，先将图象上所有点向右平移个单位，再把所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的倍，得到函数的图象. （1）求的解析式和零点； （2）已知关于的方程在区间内有两个不同的解. （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）求的值.（用含的式子表示） 【答案】（1）； （2）； 【解析】 【分析】（1）用辅助角公式化简，由三角函数的图象变换可得，继而可得零点； （2）（ⅰ）由（1）得（其中），从而可得的取值范围. （ⅱ）由题意可得，当时，可求；当时，可求，由，从而可以求解. 【小问1详解】 ， 将图象上所有点向右平移个单位得， 再把所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的倍，得到函数的图象， 则， 的零点为和， 故的零点为. 【小问2详解】 （ⅰ）（其中）， 方程在区间内有两个不同的解， 即在区间内有两个不同的解， 故. （ⅱ）是方程（其中） 在区间内有两个不同的解， ， 当时，，即，即； 当时，，即， 即； . 故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 昌平区2023—2024学年第二学期高一年级期末质量抽测 数学试卷 2024.7 本试卷共4页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将答题卡交回. 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，，则是（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 3. 如图，在复平面内，复数，对应的点分别为，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 5. 已知圆锥的母线长为5，侧面展开图扇形的弧长为，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 在中，，，，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 7. 已知，是两个复数，则“，互为共轭复数”是“，的差为纯虚数”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐.一般早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节某天的时间与水深值（单位：）的部分记录表. 时间 0:00 3:00 6:00 9:00 12:00 水深值 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 据分析，这个港口的水深值与时间的关系可近似的用三角函数来描述.试估计13：00的水深值为（ ） A. 3.75 B. 5.83 C. 6.25 D. 6.67 9. 函数的部分图象如图所示，则 （ ） A. 1 B. C. 3 D. 10. 在矩形中，，，为矩形所在平面内的动点，且，则的最大值是（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 已知正四棱锥的底面边长为，高为，则它的侧面积为_________________. 12. 在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称.若角的终边与单位圆交于点，则_____________. 13. 已知菱形的边长为，，，则_________________. 14. 已知函数，则函数的值域为________________；若关于的方程恰有三个不相等的实数根，则实数的取值范围为_________________. 15. 在棱长为1的正方体中，，，分别为棱，，的中点，动点在平面内，且.给出下列四个结论： ①平面； ②点轨迹的长度为； ③存在点，使得直线平面； ④平面截正方体所得的截面面积为. 其中所有正确结论的序号是_________________. 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 已知，且为第二象限角. （1）求的值； （2）求的值. 17. 已知向量，. （1）若，求实数的值； （2）若，求与夹角的大小. 18. 已知函数，图象的相邻两条对称轴之间的距离为. （1）求的解析式； （2）求在区间上的最小值； （3）若在区间上单调递增，求实数的最大值. 19. 在中，. （1）求； （2）若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在. （ⅰ）求的值； （ⅱ）求的面积. 条件①：； 条件②：； 条件③： 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 20. 如图，在几何体中，侧面是正方形，平面平面，，，. （1）求证：； （2）求证：平面； （3）判断直线与是否相交，说明理由. 21. 已知函数，先将图象上所有点向右平移个单位，再把所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的倍，得到函数的图象. （1）求的解析式和零点； （2）已知关于的方程在区间内有两个不同的解. （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）求的值.（用含的式子表示） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $