精品解析：河南省焦作市2024-2025学年下学期八年级 期末数学学情调研试题

2024-2025学年（下）期末学情调研 八年级数学（北师大版） 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列体育运动图标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则下列不等式变形正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 5. 如果把分式中的x和y都变为原来的5倍，那么分式的值（ ） A. 变为原来的5倍 B. 变为原来的25倍 C. 变为原来的 D. 不变 6. 如图，的对角线与相交于点O，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，点D是边的中点，平外，于E，已知，，则的长为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 8. 若k为任意整数，则的值总能（ ） A. 被2整除 B. 被3整除 C. 被5整除 D. 被7整除 9. 生活中常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案．用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌．下列图形中不能与正三角形镶嵌整个平面的是（　　） A. 正方形 B. 正五边形 C. 正六边形 D. 正十二边形 10. 如图，边长为1的正六边形ABCDEF放置于平面直角坐标系中，边AB在x轴正半轴上，顶点F在y轴正半轴上，将正六边形ABCDEF绕坐标原点O顺时针旋转，每次旋转60°，那么经过第2025次旋转后，顶点D的坐标为（　　） A. （，） B. （，） C. （，） D. （，） 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 要使分式有意义，请写出一个满足条件的x的值________． 12. 若关于x的一元一次不等式组无解，则m的取值范围是________． 13. 如图，在平面直角坐标系中，直线和相交于点A，若不等式的解集为，则点A的坐标为________． 14. 若关于x的分式方程有增根，则k的值为______． 15. 如图，中，，，D是的中点，将绕点A逆时针旋转得，连接，当时，的长为________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）分解因式： （2）解不等式组 17. 先化简，再求值：，选择一个适当的数作为x的值代入求值． 18. 【阅读材料】 配方法是数学中一种重要的思想方法．它是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． ①用配方法分解因式 例1：分解因式． 解： ②用配方法求值 例2：已知，求的值． 解：原方程可化为：，即． ，， ，， ． 请根据上述材料解决下列问题： （1）用配方法分解因式； （2）已知的三边长分别为，且满足，求边c的取值范围． 19. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，，． （1）将先向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度得到，画出； （2）将绕点B逆时针旋转得到，画出； （3）从（1）中的两个三角形的六个顶点中任意选择四个顶点顺次连接可以得到______个平行四边形，写出其中一个平行四边形的面积______． 20. 如图，在等腰中，，D为的中点，，垂足为E，过点B作交的延长线于点F，连接． （1）求证：； （2）连接，试判断的形状，并说明理由． 21. 如图，四边形是平行四边形，是对角线． （1）请用无刻度的直尺和圆规作的平分线交于点E； （2）在（1）的条件下，若F是上一点，且，求证：平分； （3）在（1）（2）的条件下，若，，则______． 22. 2025年2月7日至2月14日第9届亚洲冬季运动会在哈尔滨举行，吉祥物“滨滨”和“妮妮”深受大众喜爱．某商场购进一批“滨滨”和“妮妮”吉祥物的布偶共300件，其中购进“滨滨”布偶用了4000元，购进“妮妮”布偶用了12000元，已知每件“妮妮”的进价是“滨滨”的1.5倍． （1）求每件“滨滨”和“妮妮”布偶的进价分别是多少元？ （2）如果两款吉祥物布偶按进价的1.5倍标价销售，“滨滨”很快售完，那么“妮妮”至少售出多少件后，剩余的按五折优惠售出，才能使两款吉祥物布偶全部售完的总利润不低于5750元．（不考虑其他因素） 23. 某数学兴趣小组发现平行四边形（邻边不相等）的对角平分线互相平行． 合作探究：同学们讨论时，甲同学提出一组对角平分线互相平行的四边形是平行四边形；乙同学说“不对，应该是一组对角相等，且这一组对角的平分线互相平行的四边形是平行四边形”． （1）哪位同学的意见正确？________．（填写序号：①甲正确②乙正确③都不正确） （2）如果你认为哪位同学的意见正确，请就下面的图形写出已知条件并给予证明；如果认为两个人的说法都不正确，请说明理由． 已知：如图，四边形中，________，． 求证：四边形是平行四边形． 拓展探究：同学们改变条件，继续研究，请帮助同学们计算下面的问题： （3）一组对角互补，且这一组对角的平分线互相平行的四边形相邻三边的长依次是、2、，这个四边形的面积是___________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年（下）期末学情调研 八年级数学（北师大版） 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列体育运动图标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形的识别，解题的关键是掌握：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形称为中心对称图形，据此依次对各个运动图标进行分析即可作出判断． 【详解】解：A．该运动图标不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．该运动图标是中心对称图形，故此选项符合题意； C．该运动图标不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D．该运动图标不是中心对称图形，故此选项不符合题意． 故选：B． 2. 若，则下列不等式变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式两边加（减）、乘（除）数时不等号方向的变化规律是解题的关键．依据不等式的基本性质，对每个选项逐一进行分析判断，看其变形是否正确． 【详解】解：不等式基本性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变，，两边同时加， ，A选项错误． 不等式基本性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，，两边同时除以（正数）， ，B选项错误． 不等式基本性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，，两边先乘（正数），得； 又不等式基本性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变，两边再减， ，C选项正确． 不等式基本性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，，两边乘（负数）， ，D选项错误． 故选：C． 3. 如图，在中，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质．根据等腰三角形的性质，可得，再由三角形外角的性质，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B 4. 下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的定义，熟练掌握因式分解是把一个多项式化为几个整式积的形式这一概念是解题的关键．依据因式分解的定义，即把一个多项式化为几个整式积的形式，对每个选项进行判断 ． 【详解】解： 是把整式积化为多项式，属于整式乘法，不是因式分解， A选项错误． 是多项式，是几个整式积的形式，且符合平方差公式，是把多项式化为整式积， 是因式分解，B选项正确． 右边不是几个整式积的形式， 不是因式分解，C选项错误． 是把整式积化为多项式，属于整式乘法，不是因式分解， D选项错误． 故选： ． 5. 如果把分式中的x和y都变为原来的5倍，那么分式的值（ ） A. 变为原来的5倍 B. 变为原来的25倍 C. 变为原来的 D. 不变 【答案】A 【解析】 【分析】将原分式中的和分别用，代替求出结果，再与原分式比较即可得出答案． 【详解】解：将原分式中的和分别用，代替，得： 新分式， 故新分式的值变为原分式的值的5倍， 故选A． 【点睛】本题考查了分式基本性质，解题的关键是掌握：分式的分子分母都乘以或除以同一个不为零的数或整式，分式的值不变． 6. 如图，的对角线与相交于点O，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，掌握平行四边形的对边平行且相等，对角线互相平分是解题的关键． 【详解】解：∵是平行四边形， ∴， 故选B． 7. 如图，在中，点D是边的中点，平外，于E，已知，，则的长为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及三角形中位线定理，熟练掌握全等三角形的判定条件（如 ）证明三角形全等，进而得出线段关系，再利用中位线定理计算线段长度是解题的关键．通过延长交于点，利用角平分线和垂直条件证明三角形全等，得到线段相等关系，再结合中位线定理求出的长． 【详解】解：延长交于点． 平分， ； 又， ； 且（公共边）， ． ，（全等三角形对应边相等）． ∵，， ． 是中点，是中点， 是的中位线（三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段 ）． 根据三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半， ． 综上，的长为， 故选： ． 8. 若k为任意整数，则的值总能（ ） A. 被2整除 B. 被3整除 C. 被5整除 D. 被7整除 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，掌握乘法公式的运用是解题的关键． 运用乘法公式展开，再根据整式的加减运算得到，结合为任意整数，得到是整数，由此即可求解． 【详解】解： ， ∵为任意整数， ∴是整数， ∴的值总能被5整除， 故选：C． 9. 生活中常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案．用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌．下列图形中不能与正三角形镶嵌整个平面的是（　　） A. 正方形 B. 正五边形 C. 正六边形 D. 正十二边形 【答案】B 【解析】 【分析】判断一种或几种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角，若能构成360°，则说明能够进行平面镶嵌，反之则不能． 【详解】A选项，2个正方形与3个正三角形能进行平面镶嵌，因为2×90°+3×60°＝360°，不符合题意； B选项，正五边形不能与正三角形进行平面镶嵌，因为正五边形的内角和108°．108°的整数倍与60°的整数倍的和不等于360°，符合题意； C选项，2个正六边形与2个三角形能进行平面镶嵌，因为2×120°+2×60°＝360°，不符合题意； D选项，2个正十二边形与1个正三角形能进行平面镶嵌，因为2×150°+1×60°＝360°，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了平面镶嵌，掌握平面镶嵌的条件是解题的关键． 10. 如图，边长为1的正六边形ABCDEF放置于平面直角坐标系中，边AB在x轴正半轴上，顶点F在y轴正半轴上，将正六边形ABCDEF绕坐标原点O顺时针旋转，每次旋转60°，那么经过第2025次旋转后，顶点D的坐标为（　　） A. （，） B. （，） C. （，） D. （，） 【答案】A 【解析】 【分析】如图，连接，．首先确定点的坐标，再根据6次一个循环，由，推出经过第2025次旋转后，顶点的坐标与第三次旋转得到的的坐标相同，由此即可解决问题． 【详解】解：如图，连接，． 在正六边形中，，，， ， 在中，，， ， ， ， ，， 将正六边形绕坐标原点顺时针旋转，每次旋转， 次一个循环， ， 经过第2025次旋转后，顶点的坐标与第三次旋转得到的的坐标相同， 与关于原点对称， ，， 经过第2025次旋转后，顶点的坐标，， 故选：A． 【点睛】本题考查正多边形与圆，规律型问题，坐标与图形变化-旋转等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型． 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 要使分式有意义，请写出一个满足条件的x的值________． 【答案】2（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件．根据分母不为零的条件进行解题即可． 【详解】解：要使分式有意义， 即，则． 故x可以为2． 故答案为：2（答案不唯一）． 12. 若关于x的一元一次不等式组无解，则m的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查根据一元一次不等式组的解集求参数，根据一元一次不等式组解集的确定方法直接解答即可． 【详解】解：∵关于x的一元一次不等式组无解， ∴，即m的取值范围是， 故答案为． 13. 如图，在平面直角坐标系中，直线和相交于点A，若不等式的解集为，则点A的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，观察图象，不等式的解集为确定A点横坐标，从而求其坐标． 【详解】解：∵不等式的解集为， ∴点A的坐标为， 将代入可得， ∴点A的坐标为， 故答案为：． 14. 若关于x的分式方程有增根，则k的值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】先解方程，再根据方程的增根为1，可求出k值． 【详解】解：关于的分式方程去分母得， ， 关于的分式方程的增根是， ， 故答案为：1． 【点睛】本题考查分式方程的增根，理解“分式方程的增根是去分母后所化为整式方程的根”是解决问题的关键，分式方程有增根与分式方程无解意义不同． 15. 如图，中，，，D是的中点，将绕点A逆时针旋转得，连接，当时，的长为________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质，注意分类讨论，先证明为等腰直角三角形，得出，，根据勾股定理得出，即，分两种情况：当点在点B的左侧时，当点在点B的右侧时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】解：∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∵点D为的中点， ∴， ∴， 根据旋转可知：， 当点在点B的左侧时，过点A作于点E，如图所示： 则， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； 当点在点B的右侧时，过点B作于点E，过点作于点F，如图所示： 则， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴； 综上分析可知：或． 故答案为：或． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）分解因式： （2）解不等式组 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查的是因式分解，一元一次不等式组的解法， （1）先提取公因式，然后利用平方差公式进行因式分解； （2）先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集． 【详解】解：（1） （2）， 由①得， 由②得 则不等式组的解集是： 17. 先化简，再求值：，选择一个适当的数作为x的值代入求值． 【答案】，当时，原式 【解析】 【分析】此题考查分式的化简求值，根据分式混合运算法则计算化简，再代入适当的x的值求出结果 【详解】解：原式， 又因为，， 所以， 所以当时，原式 18. 【阅读材料】 配方法是数学中一种重要的思想方法．它是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． ①用配方法分解因式 例1：分解因式． 解： ②用配方法求值 例2：已知，求的值． 解：原方程可化为：，即． ，， ，， ． 请根据上述材料解决下列问题： （1）用配方法分解因式； （2）已知的三边长分别为，且满足，求边c的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查因式分解及其应用； （1）根据材料中的配方法分解因式步骤解题即可； （2）根据配方法分解因式得到，再根据非负数的性质求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：原方程可化为，即， ，， ，， ， 边c的取值范围为； 19. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，，． （1）将先向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度得到，画出； （2）将绕点B逆时针旋转得到，画出； （3）从（1）中的两个三角形的六个顶点中任意选择四个顶点顺次连接可以得到______个平行四边形，写出其中一个平行四边形的面积______． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）3； 【解析】 【分析】本题主要考查作图——旋转变换与平移变换，掌握旋转变换和平移变换的定义与性质是解题的关键． （1）将三个顶点分别先向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位得到其对应点，再首尾顺次连接即可； （2）将三个顶点分别绕点B逆时针旋转得到其对应点，再首尾顺次连接即可得； （3）结合平行四边形的性质分析求解． 【小问1详解】 解：如图，即为所求： 【小问2详解】 解：如图，即为所求： 【小问3详解】 解：根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可得从（1）中的两个三角形的六个顶点中任意选择四个顶点顺次连接可以得到3个平行四边形，分别为，，， ， ， ． 故答案为：3；． 20. 如图，在等腰中，，D为的中点，，垂足为E，过点B作交的延长线于点F，连接． （1）求证：； （2）连接，试判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）见详解 （2）等腰三角形，理由见详解 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定和性质，中垂线的性质，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理． （1）欲求证，先证明，需证明，证明即可． （2）要判断的形状，看其边有无关系．根据（1）的推导，利用等腰三角形三线合一可证是中垂线，则易证，则，从而判断其形状． 【小问1详解】 证明：在等腰中，，， ，， ． 又交的延长线于点， ， ， ， 又为的中点， ， 即， 在和中， ， ， ． 又， ， 即； 【小问2详解】 解：是等腰三角形，理由如下： 连接，如图， 由（1）知：， ， 是等腰直角三角形，且是的平分线， 垂直平分， ， ， ， 是等腰三角形． 21. 如图，四边形是平行四边形，是对角线． （1）请用无刻度的直尺和圆规作的平分线交于点E； （2）在（1）的条件下，若F是上一点，且，求证：平分； （3）在（1）（2）的条件下，若，，则______． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的作法作图即可； （2）由证明，进而证明，推出，结合平行四边形的性质，可得，即平分； （3）由，，可得，结合平分，可得，进而可得，，推出，即可得出． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 证明：， ， ， 四边形是平行四边形， ，，， ， 在和中， ， ， ，， ， 平分； 【小问3详解】 解：如图， ，， ， 平分， ， ，， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查角平分线的作法，平行四边形的性质，含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定等，能够综合应用上述知识点是解题的关键． 22. 2025年2月7日至2月14日第9届亚洲冬季运动会在哈尔滨举行，吉祥物“滨滨”和“妮妮”深受大众喜爱．某商场购进一批“滨滨”和“妮妮”吉祥物的布偶共300件，其中购进“滨滨”布偶用了4000元，购进“妮妮”布偶用了12000元，已知每件“妮妮”的进价是“滨滨”的1.5倍． （1）求每件“滨滨”和“妮妮”布偶的进价分别是多少元？ （2）如果两款吉祥物布偶按进价的1.5倍标价销售，“滨滨”很快售完，那么“妮妮”至少售出多少件后，剩余的按五折优惠售出，才能使两款吉祥物布偶全部售完的总利润不低于5750元．（不考虑其他因素） 【答案】（1）每件“滨滨”布偶的进价是40元，每件“妮妮”布偶的进价是60元 （2）150件 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式． （1）设每件“滨滨”布偶的进价是x元，则每件“妮妮”布偶的进价是元，根据题意列出分式方程，解方程即可； （2）设“妮妮”布偶售出m件后，剩余的按五折优惠售出，才能使两款吉祥物布偶全部售完的总利润不低于5750元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【小问1详解】 解：设每件“滨滨”布偶的进价是x元，则每件“妮妮”布偶的进价是1.5x元 根据题意，得 解得． 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ． 答：每件“滨滨”布偶的进价是40元，每件“妮妮”布偶的进价是60元 【小问2详解】 解：设“妮妮”布偶售出m件后，剩余的按五折优惠售出．根据题意，得 解得： ∴至少售出150件，利润才能不低于5750元 23. 某数学兴趣小组发现平行四边形（邻边不相等）的对角平分线互相平行． 合作探究：同学们讨论时，甲同学提出一组对角平分线互相平行的四边形是平行四边形；乙同学说“不对，应该是一组对角相等，且这一组对角的平分线互相平行的四边形是平行四边形”． （1）哪位同学的意见正确？________．（填写序号：①甲正确②乙正确③都不正确） （2）如果你认为哪位同学的意见正确，请就下面的图形写出已知条件并给予证明；如果认为两个人的说法都不正确，请说明理由． 已知：如图，四边形中，________，． 求证：四边形是平行四边形． 拓展探究：同学们改变条件，继续研究，请帮助同学们计算下面的问题： （3）一组对角互补，且这一组对角的平分线互相平行的四边形相邻三边的长依次是、2、，这个四边形的面积是___________． 【答案】（1）②；（2）分别是，的平分线，且；证明见解析；（3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理，平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定和性质，注意进行分类讨论． （1）举反例说明甲的说法不正确即可；根据解析（2）证明乙的说法正确即可； （2）根据平行线的判定和性质证明，，即可证明四边形为平行四边形； （3）分两种情况：四边形中，，、分别平分、，且，，，；四边形中，，、分别平分、，且，，，，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】解：（1）一组对角平分线互相平行的四边形是平行四边形说法不正确，如图所示： 四边形中，分别是，的平分线，且，但四边形不是平行四边形，故甲同学说法不正确； “一组对角相等，且这一组对角的平分线互相平行的四边形是平行四边形”，因此乙同学说法正确；理由见解析（2）； （2）已知：如图，四边形中，分别是，的平分线，且，． 求证：四边形是平行四边形． 证明：∵分别是，的平分线， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形； （3）如图，四边形中，，、分别平分、，且，，，，连接， ∵、分别平分、， ∴， ， ∵， ∴， ， ∴， ， ∴， 如图，连接， 在中，根据勾股定理得： ， 在中，根据勾股定理得： ， ∴ ； 如图，四边形中，，、分别平分、，且，，，，连接， 同理可得：， 在中，根据勾股定理得： ， 在中，根据勾股定理得： ， ∴ ； 综上分析可知：四边形的面积为：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $