第1章 勾股定理(考点小卷)-【勤径学升】2025-2026学年新教材八年级上册数学全程时习测试卷（北师大版2024）

参考答案及解析 D 参考答案及解析 第一章 勾股定理 考点小卷1 探索勾股定理 1.A 2.D 3.D [解析]在Rt△ABC中，AB=8,AC=6,∠CAB=90°, 所以BC=10.因为AD⊥BC,所以S△?c=—AC·AB= 12BC·AD,所以6×8=10AD,所以AD=3.故选D. 4.C 5.B [解析]因为∠ACB=90°,所以BC2+AC2=AB2,所 以阴影部分的面积为一四()3+一()+Sm- 2=(L)2=Sam-BC·AC=6.故选B 6.29 7.12 8.1.2 [解析]如答图，设点C到AB A 的距离为h,在Rt△ABD中，由勾股 定理，得AB2=AD2+BD2=9+16= 25,所以AB=5.因为SAm=- BC·D C B 8题答图 AD=—AB·h,即×2×3=÷×5h,所以h=1.2,即 点C到AB的距离为1.2. 9.1875 [解析]因为八个直角三角形全等，四边形 ABCD,四边形EFGH,四边形MNKT是正方形，所以CG= KG,CF=DG=KF,所以S?=(CG+DG)2=CG2+DG2+ 2CG·DG=GF2+2CG·DG,S?=GF2=EF2,S?=(KF- NF)2=KF2+NF2-2KF·NF,所以S?+S?+S?=GF2+ 2CG·DG+GF2+KF2+NF2-2KF·NF=3GF2=3EF2 =1875.故答案为1875. 10.解：连接BE. 因为AB的垂直平分线分别交AB,AC于点D,E, 所以AE=BE. 设AE=x,则BE=x,EC=AC-AE=12-x. 在Rt△BCE中，由勾股定理，得BE2=BC2+EC2, 即x2=92+(12-x)2, 解得：x=38,,所以AE的长为-万8 11.解：设线段AF的长为x, 因为AC=7,BC=5,CE=1, 所以CF=AC-AF=7-x,BE=BC-CE=4. 因为∠C=90°, 所以CF2+CE2=EF2, 即EF2=(7-x)2+1. 又因为AF2+BE2=EF2, 所以x2+42=(7-x)2+1, 解得：=7, 即线段AF的长为47 考点小卷2 一定是直角三角形吗 1.B 2.C 3.D 4.B 5.C [解析]如答图，过点B作BG//CD,交小正方形的顶 点于点G,连接EG.因为BG//CD,所以∠ABG=∠CFB= α.因为BG2=12+42=17,BE2=12+42=17,EG2=32+ 52=34,所以BG2+BE2=EG2,所以△BEG是直角三角 形，∠GBE=90°,所以∠ABE=∠GBE+∠ABG=90°+ α.故选C. D G A F1 CB E 5 题答图 6.5,12,13(答案不唯一) 7.5 8.10,13或16.9 [解析]因为BC=5,AC=12,AB=13,52+ 122=132,所以BC2+AC2=AB2,所以△ABC是直角三 角形，所以∠ACB=90°.当△ABP为等腰三角形时，分 三种情况：①当BP=AB=13时，则t=13÷1=13;②当 AB=AP时，BP=2BC=10,所以t=10÷1=10;③当PB =AP时，PB= AP=t,CP=t-5,AC=12,所以在 Rt△ACP中，AP2=AC2+CP2,所以t2=122+(t-5)2, 解得t=16.9.综上所述，当△ABP为等腰三角形时，t的 值为10,13或16.9. 39 全程时习测试卷·八年级数学·北师版·上册 9.解：能构成直角三角形. 理由如下： 由题图可知AB2=32+32=18,CD2=12+32=10. 又因为EF2=8,所以CD2+EF2=AB2, 所以以AB,CD,EF三条线段为边长，能构成直角三角形. 10.解：根据题意可得△ABC≌△DAE, 所以∠ABC=∠DAE. 因为∠ACB=90°,所以∠BAC+∠ABC=90°, 所以∠BAC+∠DAE=90°,即∠BAD=90°, 所以SABD=—AB·AD=一2c2 因为EC=AC-AE=b-a,易得在△BCD中，BC边上 的高与EC相等， 所以SABcD=—BC·EC=—a(b-a), 所以 Szu形anco= SAu+S△ncD=—2+—a(b-a). 因为!SA?B?= BC·AC= —ab, S△cn=—AC·DE=2b2, 所以Sa边u形anco= SAce+S△Acn=—ab+—b2, 所以-222+—a(b-a)=—ab+—b2, 整理，得a2+b2=c2. 11.解：(1)因为CF= —cD,CF=1, 所以CD=4CF=4,DF=3. 因为四边形ABCD是正方形，所以AD=CD=4. 因为∠D=90°, 所以在Rt△ADF中，AF2=AD2+DF2=25, 所以AF=5. (2)设AB=4a,则CD=AD=BC=4a. 因为E为BC的中点， 所以BE=CE=2a. 因为CF=4cD, 所以CF=a,DF=3a. 因为∠B=∠C=∠D=90°, 所以AE2=AB2+BE2=20a2, AF2=AD2+DF2=25a2, EF2=CE2+CF2=5a2, 所以AE2+EF2=25a2=AF2, 所以△AEF是直角三角形， 所以∠AEF=90°. 考点小卷3 勾股定理的应用 1.C 2.D 3.C 4.B 5.C 6.D 7.D [解析]将长方体的侧面沿 PQ展开，如答图所示.因为长 方体的底面的长和宽分别为 4cm和2cm,高为5cm,所以 Q P A 7题答图 PA=4+2+4+2=12(cm),QA=5 cm.由题意，得 ∠PAQ=90°,所以PQ2=PA2+AQ2=132,所以PQ= 13 cm,所以蚂蚁爬行的最短路径长为13cm.故选D. 8.B [解析]在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB2=AC2+ BC2=25,所以AB=5m.分三种情况：①如答图①,当 AB=AD=5m,△ACD为直角三角形时，CD=BC=3m; ②如答图②,当AB=BD=5m,△ACD为直角三角形时， CD=BD-BC=2m;③如答图③,当AD=BD,△ACD为 直角三角形时，AD2=AC2+CD2=16+CD2,BD2=(BC+ CD)2=(3+CD)2,所以16+CD2=(3+CD)2,所以 CD=3m综上所述，共有3种扩充方案.故选B. B B B A C A 口C A C D D D 8题答图① 8题答图② 8题答图③ 9.9 10.60 11.150 12.5 [解析]由折叠的性质知AB′=AB=8cm,B'C′=BC =10 cm,∠B′= ∠B=90°,∠C′=∠C=90°.在 Rt△ADB′中，由勾股定理，得DB2=AD2-AB2=36,所 以DB′=6cm,所以DC′=B'C′-DB′=4 cm.设DE= x cm,则CE=C'E=(8-x)cm.在Rt△C′DE中，由勾 股定理，得DE2=EC12+DC12,即x2=(8-x)2+42,解 得x=5,即线段DE的长为5cm.故答案为5. 13.解：(1)因为四边形ABCD为长方形， 所以∠ABC=90°. 在Rt△ABC中，AB=15米，AC=25米， 由勾股定理，得AB2+BC2=AC2, 即152+BC2=252, 所以BC=20米. 答：观赏池BC边的长为20米. 40 参考答案及解析 D (2)连接BD. 因为∠BCD=90°,CD=AB=15米，BC=20米， 根据勾股定理，得BD2=BC2+CD2, 所以BD=25米. 因为在△BDE中，BD2+DE2=252+602=4225, BE2=652=4225,所以BD2+DE2=BE2, 所以△BDE是直角三角形，且∠BDE=90°, 所以Ssn=SAoDB- SmcD=BD·DE-BC·CD= 2×25×60-—×20×15=600(平方米) 答：草坪的面积为600平方米. 14.解：在Rt△ACD中，因为∠ADC=90°,∠ACD=45°, 所以∠CAD=∠ACD=45°, 所以△ACD是等腰直角三角形， 所以AD=CD=300米. 在Rt△BCD中， 因为∠BDC=90°,BC=500米，CD=300米， 由勾股定理，得BD2+CD2=BC2, 所以BD2=BC2-CD2, 即BD2=5002-3002, 所以BD=400米， 所以AB=BD+AD=400+300=700(米), 所以这列动车的平均速度为=50(米/秒). 15.解：(1)因为AD⊥AC,所以∠CAD=90°. 在Rt△ACD中， 由勾股定理，得AC2=CD2-AD2=400, 所以AC=20米. 因为AB=16米，BC=12米， 所以AB2+BC2=162+122=400=AC2, 所以△ABC是直角三角形，且∠B=90°, 所以四边形田地的面积为SAumc + S△ucp=—AB·BC+ 二AD·AC=—×16×12+÷×21×20=306(平方米). (2)如答图，过点A作AE⊥CD 于点E. 由“垂线段最短”,可得线段 AE的长即为所引水渠的最短 长度. A B C D2 E 15题答图 因为AD⊥AC,AE⊥CD, 所以S△AcD=—AD·AC=—cD·AE, 所以21×20=29AE,解得AE=42, 所以这条水渠的最短长度为420米. 16.解：(1)会受到台风的影响. 理由：如答图①.过点A作AD⊥BC,B 垂足为D. 因为在Rt△ABC中， A AB⊥AC,AB=400 km,AC=300 km, D 所以BC=500 km. C 因为AD⊥BC, 16题答图① 所以BC·AD=—AB·AC, 所以AD=ABAC=400×300=240(km) 因为240<250,所以农场A会受到台风的影响. (2)如答图②,作AD⊥BC于点D. 假设台风中心在线段EF上移动时， 会对农场A造成影响，连接AE,AF, 所以AE=AF=250 km. 由(1)知AD=240km,由勾股定理，得 DF=70km, B A E D F C 16题答图② 所以EF=2DF=140 km. 因为台风中心的移动速度是25 km/h, 所以该农场受台风影响的时间为140÷25=5.6(h). 答：台风影响该农场持续时间为5.6h. 第二章 实数 考点小卷1 认识实数 1.A 2.A 3.C 4.D 5.C 6.B [解析]因为-a<b<a,所以1bl<a.又因为1<a< 2,所以b可以是-1. 7.2(答案不唯一) 8.4.1 [解析]因为42<17<52,所以4<x<5.因为4.12= 16.81<17,4.22=17.64>17,所以4.1<x<4.2.又因 为4.122=16.9744<17,4.132=17.0569>17,所以 4.12<x<4.13.故把x 精确到十分位是4.1. 9.解：正分数集合,1.6,}; 41 第一章 勾股定理 D 第一章 勾股定理 考点小卷1 探索勾股定理 ◎满分：40分 得分： 一、选择题(每小题3分，共15分) 1.在直角三角形中，若勾为3,股为4,则弦为 ( ) A.5 B.6 C.7 D.8 2.在Rt△ABC中，斜边AB的长为6,则AB2+ AC2+BC2的值为 ( ) A.36 B.48 C.60 D.72 3.(四川成都期中)如图，在Rt△ABC中，AB=8, AC=6,∠CAB=90°,AD⊥BC,那么AD的长为 ( ) A.5 B.10 C.5 D A C A D C D B B 3题图 4题图 4.如图，在△ABC中，∠C=90°,AD为BC边上 的中线.若AC=8,AD=17,则△ABC的面积为 ( ) A.60 B.68 C.120 D.240 5.(周口中考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB= 90°,分别以各边为直径作半圆.若BC·AC= 12,则图中阴影部分的面积为 ( ) A.4 C B.6 C.8 B A D.12 5题图 6.如图，在Rt△ABC中，∠BAC= 90°,以BC和AC为边分别向外 作正方形，面积分别为S?和 S?.已知 S?-S?=25,且AB+ AC=7,则S?的值为_______ 二、填空题(每小题3分，共12分) A S? Br c Si 6题图 7.若等腰三角形ABC的周长为16 cm,底边BC 上的高 AD为4 cm,则△ABC的面积是____ _cm2. 8.如图，网格中每个小正方形的边长是1,△ABC 是格点三角形(顶点都在格点上),则点C到 AB的距离为____ DH A A< T K G E M N C F C B B 8题图 9题图 9.(浙江杭州期中)我国古代数学家赵爽为了证 明勾股定理，创制了一幅“弦图”,后人称其为 “赵爽弦图”.如图是由“赵爽弦图”变化得到 的，由八个全等的直角三角形拼接而成.记图 中正方形ABCD,正方形 EFGH,正方形MNKT 的面积分别为S?,S?,S?,若EF=25,则S?+ S?+S?=______ 三、解答题(共13分) 10.(6分)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,AB的 垂直平分线分别交AB,AC于点D,E.若AC= 12,BC=9,求AE的长. A D E C B 10题图 11.(7分)(陕西西安期中)如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°,点E,F分别在BC,AC上，连 接EF.若AF2+BE2=EF2,AC=7,BC=5, EC=1,求线段AF的长. A F CE B 11题图 1 全程时习测试卷·八年级数学·北师版·上册□ 考点小卷2 一定是直角三角形吗 ◎满分：50分 得分： __ 一、选择题(每小题3分，共15分) 1.下列各组数中，是勾股数的是 ( ) A.5,8,10 B.7,24,25 C.13,14,15 D.6,12,13 2.(山西太原期中)现有长度为4cm,5cm,8 cm, 12 cm,13 cm的五根细木条，若选择其中的三 根，首尾顺次相接恰好能摆成直角三角形的是 ( ) A.4cm,5 cm,8 cmB.5cm,8 cm,12 cm C.5 cm,12cm,13 cm D.8cm,12cm,13 cm 3.车间李师傅收到一个零件质检任务，零件如图 所示，按照规定∠B=90°,李师傅依次测量 △ABC三条边的长度，由此判断该零件是否合 格.李师傅这样做的依据是 ( ) A.直角三角形两锐角互余 B.三角形两边之和大于第三边 C.勾股定理 D.勾股定理的逆定理 B A 0 o 0 A C B2 D C 3题图 4题图 4.如图，在△ABC中，AB=1.5,BC=1.7,AC= 0.8,则BC边上的高AD为 ( ) A.0.6 B号 C.1.2 D64 5.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长 都是一个单位长度，点A,B,C,D,E均在小正 方形的顶点上，线段AB, D CD交于点F,若∠CFB= α,则∠ABE等于( ) A A.180°-α B.180°-2α CB E C.90°+α D.90°+2α 5题图 二、填空题(每小题3分，共9分) 6.请写出一组包含12的勾股数：_______. 7.若一个三角形的三边长分别为m+1,8,m+5, 当m=_____时，这个三角形是直角三角 形，且斜边长为m+5. 8.如图，在△ABC中，BC=5,AC= 12,AB=13,动点P从点B出发 沿射线BC以每秒1个单位长度 的速度移动.设运动时间为ts, 若△ABP为等腰三角形，则t的 值为___ A B P C 8题图 三、解答题(共26分) 9.(8分)如图，网格中每个小正方形的边长都是 1,点A,B,C,D都在格点上.若EF2=8,则以 AB,CD,EF三条线段为边长，能否构成直角三 角形?请说明理由. A C B D 9题图 10.(8分)面积法是最常见的验证勾股定理的方 法.用两个全等的直角三角形的纸板拼出如 图所示的图形，∠ACB=∠DEA=90°,设AB =AD=c,BC=AE=a,AC=DE=b,请结合图 形验证勾股定理. B a C c b E b /a A C D 10题图 11.(10分)如图，在正方形ABCD中，E是BC的 中点，F是CD上一点，且CF=4cD (1)若CF的长度为1,求AF的长度； (2)试说明：∠AEF=90°. A D F B E C 11题图 2 第一章 勾股定理 D 考点小卷3 勾股定理的应用 ◎满分：70分 得分：_ 一、选择题(每小题3分，共24分) 1.(巴中中考)“今有方池一丈，葭 D. 生其中央，出水一尺，引葭赴岸， C A 适与岸齐.问：水深几何?”这是 我国数学史上的“葭生池中”问 题.即AC=5,DC=1,BD=BA, 则BC= ( ) B A.8 B.10 1题图 C.12 D.13 2.两只小鼹鼠在地下同时从同一处开始打洞，一 只朝正北方向挖，每分钟挖15 cm,另一只朝正 东方向挖，每分钟挖20 cm,10 min 之后两只小 鼹鼠相距 ( ) A.50 cmB.150 cm C.200 cm D.250 cm 3.如图，一枝长30 cm的花插在圆柱形 花瓶中(壁厚不计),花瓶底面直径为 7 cm,高为24 cm,则这枝花露在花瓶 外面部分的长度最短为( ) A.3cm B.4cm C.5 cm D.6cm 3题图 4.《九章算术》中有个“折竹抵地”的问题，其大 意为：如图，一根竹子，原来高一丈，后来竹子 折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子根部 三尺远，问原处还有多高的竹子(1丈= 10尺)?设原处的竹子还有x尺，则可列方程 为 ( ) A.x2+(x+3)2=102 B.x2+32=(10-x)2 C.x2+32=102 D.x2+(x+3)2=(10-x)2 4题图 5.小华新买了一条跳绳，如图①,他按照体育老 师教的方法确定适合自己的绳长：一脚踩住绳 子的中央，手肘靠近身体，两肘屈成90°,小臂 水平转向两侧，两手将绳拉直，此时的绳长即 合适长度.将图①抽象成如图②,若两手握住 的绳两端距离约为1m,小臂到地面的距离约 为1.2m,则适合小华的绳长为 ( ) 1m 1.2m 5题图① 5题图② A.2.2m B.2.4 m C.2.6m D.2.8m 6.(河北邯郸期末)如图，某自动感应门的正上 方A处装着一个感应器，离地面的高度AB为 2.5米，一名学生站在C处时，感应门自动打 开，此时这名学生到感应门的距离BC为 1.2米，头顶到感应器的距离AD为1.5米，则 这名学生的身高CD为 ( ) A.0.9米 B.1.3米 C.1.5米 D.1.6米 A D B Q 5cm C B 4cmP 2cm A C 6题图 7题图 8题图 7.(陕西宝鸡期末)如图，长方体的底面的长和 宽分别为4cm和2cm,高为5cm.若一只蚂蚁 从点P开始经过4个侧面爬行一圈到达点Q, 则蚂蚁爬行的最短路径长为 ( ) A.8cm B.10cm C.12 cm D.13 cm 8.如图，某小区有一块直角三角形的绿地，量得 两直角边AC=4m,BC=3m,考虑到这块绿地 周围还有足够多的空余部分，于是打算将这块 绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以AC 为一直角边的直角三角形，则扩充方案共有 ( ) A.2种 B.3种 C.4种 D.5种 二、填空题(每小题3分，共12分) 9.(吉林长春期末)如图，在离水面8米的岸上， 有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为 17米，几分钟后船到达点D的位置，此时绳子CD 的长为10米，问船向岸边移动了___米. C 8米 A B D B A C 9题图 10题图 10.如图，在A镇和B镇之间有一座大山，原来从 A镇到B镇需沿道路A→C→B绕过两镇间的 大山，为了促进两镇交流发展，决定修建一条 从A镇直达B镇的公路.已知AC=90 km, BC=120km,AC⊥BC,那么直达公路建成后， 从A镇到B镇比原来少走_________km. 3 全程时习测试卷·八年级数学·北师版·上册0 11.如图是一个外轮廓为长方形的机器零件平面 示意图，根据图中的尺寸(单位：mm),可以计 算出两孔中心B和C的距离为_ ___mm. B' A D C′ E B C 12题图 180 T A 150 60 工 B 60 11题图 12.如图，有一张长方形纸片ABCD,AB=8 cm, BC=10cm,E为CD上一点，将纸片沿AE折 叠，BC的对应边B'C′恰好经过点D,则线段 DE的长为_____cm. 三、解答题(共34分) 13.(8分)如图，长方形ABCD是某公园的荷花 观赏池，对角线AC为观赏浮桥，点E为公园 小门，BE,DE为两条小路，图中阴影部分为草 坪，测得AB=15米，AC=25米，DE=60米， BE=65米. (1)求观赏池BC边的长； (2)求草坪的面积. A D B C E 13题图 14.(8分)(山西长治期末)如图，在距离铁轨AB 300米的点C处(即CD=300米，CD⊥AB), 观察由太原到北京的“和谐号”动车，当动车 车头在点A处时，恰好位于点C处的北偏东 45°的方向上，14秒后，动车车头由点A处到 达点B处，此时测得B,C两点间的距离为 500米，求这列动车的平均速度. D B A 北 45% 西- c 东 南 14题图 4 15.(8分)如图是张伯伯承包的一块待开垦的四 边形田地ABCD,AC为田间的一条小路，且 AD⊥AC,已知AB=16米，BC=12米，CD= 29米，AD=21米. (1)求四边形田地的面积； (2)为了方便灌溉，张伯伯打算从靠近河岸的 CD边上引一条水渠到点A处，请你帮他 计算这条水渠的最短长度. A B C D 15题图 16.(10分)(河北保定期中)近期某市受台风影响， 出现雷雨天气.台风风力影响半径为250 km (即以台风中心为圆心，250 km为半径的圆 形区域都会受台风影响).如图，线段BC是 台风中心从C市向西北方向移动到B市的大 致路线，A是某个大型农场，且AB⊥AC,A,C 之间相距300 km,A,B之间相距400 km. (1)判断农场A是否会受到台风的影响，并 说明理由； (2)若台风中心的移动速度为25 km/h,则台 风影响该农场持续时间有多长? 北 B A C 16题图