第5章 二元一次方程组能力提优测试卷-【勤径学升】2025-2026学年新教材八年级上册数学全程时习测试卷（北师大版2024）

第五章 二元一次方程组 见此图标眼 抖音/微信扫码 领取配套资源，开启高效学习 考号 班级 ⋯⋯⋯装⋯⋯订⋯ 线⋯⋯⋯内，⋯⋯⋯不⋯⋯⋯要⋯⋯答⋯⋯题 =⋯= 能力提优测试卷 ·时间：120分钟·满分：120分 第一部分 选择题(共30分) 一、选择题(本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小 题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 答题卡 1.下列选项中，是二元一次方程组的是 ( ) {2+7=1 B.2 C2+y=5 D.v+2=0 2.利用加减消元法解方程组23y=4.①②则下列做法错误的是 ( ) A.要消去x,①×2-② B.要消去x,①-②×0.5 C.要消去y,①-②×(-3) D.要消去y,①×(-2)+② 3-2则式子8x-y-z的值是 ( ) A.6 B.7 C.8 D.9 4.(天津中考)《孙子算经》是我国古代著名的数学典籍，其中有一道 题：“今有木，不知长短.引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳度之，不足 一尺.木长几何?”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余 4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺.问木长多少尺?设 木长x尺，绳子长y尺，则可以列出的方程组为 ( ) A.-0.54 51 B{<+0.5)=1 C. y=4.5 D- =45 5.以方程组3+y=的解为坐标的点(x,y)在平面直角坐标系 中的位置是在 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 6.△ABC的两边分别为方程组 的解，第三边能被3整 除，这样的三角形有 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 7.某社区为了打造“书香社区”,丰富小区居民的业余文化生活，计 划出资500元全部用于采购 A,B,C三种图书，A种每本30元，B 种每本25元，C种每本20元，其中A种图书至少买5本，最多买6 本(三种图书都要买),此次采购的方案有 ( ) A.5种 B.6种 C.7种 D.8种 8.用5张大小、形状完全相同的长方形纸片在平面直角坐标系中摆 成如图所示的图案，已知点B的坐标为(7,4),则点A的坐标为 ( ) A.(3,4) 4y B B.(4,3) A C.(4,5) D.(4,6) o x 8题图 9.(浙江衢州期末)若2a-b=0,且关于x,y的二元一次方程(a-1)x+ by+5-2a=0,当a取不同值时，方程都有一个公共解，则这个公 共解为 ( ) A二 二 二 10.对x,y定义一种新运算T,规定：T(x,y)=axy+bx-1(其中a,b 均为非零常数),这里等式右边是通常的四则运算.例如：T(0,1) =a×0×1+b×0-1=-1,若T(-2,1)=5,T(1,2)=-5,则 下列结论正确的有 ( ) ①a=-1,b=-2; m=-n+2 ③若T(m,n)=0,则m,n有且仅有3组整数解. A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 第二部分 非选择题(共90分) 二、填空题(本题共5小题，每小题3分，共15分) 11.已知,=是方程3mx-ny+6=0的解，则4m-n=_______ 12.如图，在同一平面直角坐标系中，直线L:y=ax+b与直线l?:y= cx+d相交于点A,则方程组{-a-4=0的解为____ y=cx+d 4y 3 A y=ax+b 0 1 x 12题图 八年级数学 北师版上册 第 29 页 13.若关于x,y的方程组43+4-=15(其中a,b是常数)的解为 v=7则方程组(+1+34(-2)=16的解为_______ 14.(浙江宁波期末)甲对乙说：“当我岁数是你现在的岁数时，你才 4岁.”乙对甲说：“当我的岁数是你现在岁数时，你61岁.”则乙 现在为___岁. 15.新考法》定义新运算：对于任意实数a,b都有a*b=a(a-b)+ 2,等式右边是加法、减法及乘法运算.比如：2*5=2×(2-5)+ 2=-6+2=-4.若3*(x-y)=5,且2*(x+y)=6,则xy的值 为_____ 三、解答题(本题共8小题，共75分.解答应写出文字说明、演算步骤 或推理过程) 16.(10分)解下列方程组： (1)(浙江中考)4+3-=-10 (2)(苏州中考)2-3一= 17.(8分)在等式y=ax2+bx-3中，当x=1时，y=-4;当x=-1 与x=3时，y的值相同. (1)求a,b的值； (2)当x=-2时，求y的值. 进姓名 学校 18.(8分)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=2x-1的图象与 x轴交于点A,与y轴交于点B,与直线l交于点E,直线l分别交 x轴、y轴于点C,D,已知点E的横坐标为2,点C的横坐标为-1. (1)请求出直线l的函数表达式； (2)连接AD,请计算△ADB的面积. 4y E D A co 了 B y=2x-1/ 18题图 19.(8分)阅读材料：善于思考的小强同学在解方程组 4+1-52时，采用了一种“整体代换”的解法：将方程②变形 为4x+10y+y=5,即2(2x+5y)+y=5③.把方程①代入③,得 2×3+y=5,解得y=-1.把y=-1代入方程①,得x=4,所以 原方程组的解为= 请你解决以下问题： (1)模仿小强同学的“整体代换”法解方程组6+9y=26 (2)已知x,y满足方程组+-3-3+9=49求xy的值. 20.(8分)(广州中考)因活动需要购买某种水果，数学活动小组的 同学通过市场调查得知：在甲商店购买该水果的费用y?(元)与 该水果的质量x(千克)之间的关系如图所示；在乙商店购买该水 果的费用y?(元)与该水果的质量x(千克)之间的函数关系式为 y?=10x(x≥0). (1)求y?与x之间的函数关系式； (2)现计划用600元购买该水果，选甲、乙哪家商店能购买该水 果更多一些? ↑y/元 120 75 0 5 10 x/千克 20题图 见此图标眼 抖音/微信扫码 领取配套资源，开启高效学习 21.(8分)已知关于x,y的方程组“±2 +m+9=0 (1)请直接写出方程x+2y=5的所有正整数解； (2)若方程组的解满足x+y=0,求m的值； (3)当m≠-3时，方程x-2y+mx+9=0总有一个公共解，请求 出这个方程的公共解. 22.(12分)某班级布置教室，购买了一些日常用品和修饰品，清单见 表(部分信息不全). 物品名 单价/元 数量/个 金额/元 挂钟 30 2 60 拖把 15 小黑板 40 格言贴 a 2 90 门垫 35 1 b 合计 8 280 请完成下列问题： (1)a=___,b=_____; (2)求该班级购买的拖把、小黑板的数量； (3)若干天后，该班级再次购买格言贴和拖把两种物品(两种物 品都有),共花费105元，则有几种不同的购买方案?请将方 案列举出来. 23.(13分)新考向(山东济宁期末) 【活动回顾】教材中我们曾探究过“以方程x+y=5的解为坐标 (x的值为横坐标，y的值为纵坐标)的点的特性”,了解了二元一 次方程的解与其对应的一次函数图象上点的坐标的关系.发现： 以方程x+y=5的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数y =-x+5的图象相同，是同一条直线.结论：一般地，以一个二元 一次方程的解为坐标的点组成的图象与相应的一次函数的图象 相同，是一条直线. 示例：如图①,我们在画以方程x-y=0的解为坐标的点组成的 图象时，可以取点A(-1,-1)和B(2,2),作出直线AB. 5 4 -4 -3 -2 -1 B2,2 -5-4-3-2-O:1 23456 A(=1;-)1 ÷2 3 -4 -4 -3 -2 -1 5-4-3 2-101 2 13 45 1 6 ÷2 3 -4 23题图① 23题图② 【解决问题】 (1)请你在图②所给的平面直角坐标系中，分别画出以二元一次 方程组{2+3y=12中的两个二元一次方程的解为坐标的点 组成的图象(提示：依据“两点确定一条直线”,画出图象即 可，无需写过程); (2)观察图象，两条直线的交点坐标为_____,由此你得出这 个二元一次方程组的解是_____; 【拓展延伸】 (3)已知以二元一次方程ax+by=7的解为坐标的点组成的图象 经过点A(1,2)和B(4,1),试求a+b的值； (4)在同一平面直角坐标系中，一次函数y=x+3的图象l?和一 次函数y=x-1的图象l?如图③所示.请根据图象，直接判 断方程组y=3的解的情况是____(不需要说明 理由). y4 L l? o 23题图③ 八年级数学 北师版 上册 第 30 页 参考答案及解析 (2)由(1)可知A型号手机的进货单价为2600元/台，B型 号手机的进货单价为1 600元/台. 设购进A型号手机a台，B型号手机b台， 根据题意，得2600a+1600b=60 000,即13a+8b=300, 则(a=-36+303 设此次可获得的利润为W元， 则1W=130(-3+313)+100b=20b+3000 因为20>0, 所以W随b的增大而增大. 因为13a+8b=300,a,b均为正整数， 所以8b=300-13a,即(300-13a)是8的倍数. 又因为300÷8=37⋯⋯4, 所以13a是4的倍数，即a是4的倍数， 所以a的最小值为4, 所以b的最大值为31, 所以当b=31时，所获得的利润最大，最大利润为W=20× 31+3000=3620(元). 答：当购进A型号手机4台，B型号手机31台时，利润最大， 最大利润为3620元. 22.解：(1)因为正比例函数y=-3x的图象与一次函数y=kx+ b的图象交于点P(m,3), 所以-3m=3,解得m=-1,所以P(-1,3). 把(1,1)和(-1,3)代入一次函数y=kx+b,得 -+6=3解得，Lh=21, 所以一次函数表达式是y=-x+2. (2)由(1)知一次函数表达式是y=-x+2, 令x=0,则y=2,即点D(0,2). (3)由(1)知一次函数表达式是y=-x+2, 令y=0,得-x+2=0,解得x=2, 所以点C(2,0),所以OC=2. 因为P(-1,3), 所以△COP的面积=20c·Iy。|=2×2×3=3 (4)由题图可知，正比例函数y=-3x的图象与一次函数y =kx +b的图象交于点P(-1,3),所以方程组的解 为=3 23.解：(1)40003 (2)将点A(10,2000),B(30,4 000)代入y=kx+b,得 90×+ =4000解得6=100 所以AB段的函数关系式为y=100x+1000(10≤x≤30),k 表示的实际意义为小丽散步的速度为100 m/min. (3)设CD段的函数关系式为y=k?x+b?(k?≠0), 将点c(0,4000,D(3,0)代入， 得-解得,:=4-00 所以y=-300x+4000(0≤x≤3) 设OA段的函数关系式为y=k?x(k?≠0), 将点A(10,2000)代入，得10k?=2000, 解得k?=200, 所以y=200x(0≤x<10). 解方程组y=-300x+400得{y=1600 所以点M(8,1 600),它表示的实际意义为当出发8 min时， 爸爸和小丽在离家1600 m的地方相遇. (4)x的取值范围为：5≤x≤4 [解析]当O≤x≤8时，令-300x+4000-200x=1500,解得 x=5,所以由题图可知，当5≤x≤8时，两人的距离不超过 1500m;当8<x≤10时，200x-(-300x+4000)=500x- 4 000<1500,所以两人的距离不超过1500m;当110<a≤ 时，令100x+1000-(-300x+4 000)=1500,解得x=45, 所以由题图可知，当10<x≤45.时，两人的距离不超过 1500m;当：>4时，100x+1000>1500,所以两人的距离 超过1500m.综上所述，两人能用对讲机联系时x的取值范 围为5≤x≤45. 第五章 二元一次方程组 能力提优测试卷 1.D 2.D 3.B 4.A 5.C 6.C 7.B 8.B [解析]设小长方形的长为x,宽为y,根据题意，得 {+y=47解得x=3.所以点A的横坐标为x+y=4,纵坐 标为y+x-y=3,所以点A的坐标为(4,3). 9.D [解析]由2a-b=0,得b=2a,所以关于x,y的二元一次 方程(a-1)x+by+5-2a=0可变为(a-1)x+2ay+5-2a =0,整理，得(x+2y-2)a-x+5=0.因为当a取不同值时， 方程都有一个公共解，所以++5-=-°1解得二故 选D. 10.C [解析]根据题意，T(-2,1)=5,T(1,2)=-5,所以 2+-1=1-5解得{6==2.故结论①正确；因为T(m, n)=0,即-mn-2m-1=0,且n≠-2,所以m=n+2,故 结论②正确；又因为m,n均为整数，所以n+2=±1,所以n =-1或-3,所以满足条件的m,n的值为Lm=1或 m=3故结论③错误.故选C. 11.-2 12.=3 13.{=-1 14.23 15.-1 [解析]根据新运算可得3*(x-y)=5,即3[3-(x- y)]+2=5,整理，得x-y=2;2*(x+y)=6,即2[2-(x+ y)]+2=6,整理，得x+y=0.联立，得+y=2,①①+② 得2x=2,解得x=1.将x=1代入②,得y=-1,所以xy=-1. ·17· 全程时习测试卷·八年级数学·北师版·上册 16.解:(1){4x+35,10,② ①×3+②,得10x=5, 解得：x=2 把：x=2代入①,得2×2-y=5, 解得y=-4, 所以方程组的解是二 (2),2-3=3,② ①-②,得4y=4,解得y=1. 将y=1代入①,得x=3, 所以方程组的解为=3 17.解：(1)根据题意，得a-6-3=94+36-3, 解得16=-2 (2)由(1)可得a=1,b=-2,即y=x2-2x-3, 所以当x=-2时，y=(-2)2-2×(-2)-3=5. 18.解：(1)直线l的函数表达式为y=x+1. (2)SAon=×2×2=2 19解(1)8+9-=25. 将方程②变形为6x+8y+y=25, 即2(3x+4y)+y=25.③ 将方程①代入③,得2×16+y=25, 解得y=-7. 把y=-7代入方程①,解得，x=4, 所以原方程组的解为 (2)将原方程组化为 s3-5149, 由①,得x2+3y2=11-xy.③ 将③代入②,得3(11-xy)-5xy=49, 解得xy=-2. 20.解：(1)当O≤x≤5时，设γ?=kx(k≠0), 将(5,75)代入，得5k=75, 所以k=15,所以y?=15x; 当x>5时，设γ?=mx+n(m≠0), 易知(5,75)满足此函数关系式. 将(5,75),(10,120)代入，得 0m+n=120解得=30 所以y?=9x+30. 综上y={95+30,x>5. (2)当y?=600时，9x+30=600,解得：x=130, 当y?=600时，10x=600,解得x=60. 因为3>60,,所以选甲商店能购买该水果更多一些. 21.解：(1)方程x+2y=5,解得x=-2y+5. 当y=1时，x=3;y=2,x=1. 故方程x+2y=5的所有正整数解为=2,=3 (2)联立，得+3=0.解得,=5 代入x-2y+mx+9=0,得-5-10-5m+9=0, 解得m=-号 (3)因为x-2y+mx+9=0总有一个公共解，所以方程的解 与m无关， 所以mx=0,x-2y+9=0,解得：x=0,y=2 故这个方程的公共解为二 22.解：(1)45 35 (2)设该班级购买拖把x个，小黑板y个， 根据题意，得0 +154+409+90+35=280 解得=2 故该班级购买拖把1个，小黑板2个. (3)设购买m个格言贴，n个拖把， 根据题意，得45m+15n=105,所以 n=7-3m. 又因为m,n均为正整数， 所以”三4或{n=1, 所以该班级共有2种购买方案. 方案1:购买1个格言贴，4个拖把； 方案2:购买2个格言贴，1个拖把. 23.解：(1)图象如答图所示. y4 2x+3y=125 -4 -3 -2 -1 -5-4-3-2-1 0123456x ≠2 ix- 3 4 =5 23题答图 (2)(3,2) =3 (3)将点A(1,2)和点B(4,1)代入二元一次方程ax+by=7, 得4+6=7 解得6=31所以a+b=4. ·18· 参考答案及解析 (4)无解 [解析]根据题图③可知，两直线平行，所以方程组 -y=3无解，故答案为无解. 专项巩固训练卷(七) 二元一次方程组的参数、同解、错解问题 1.2 2.-1 3.解：将x=1,y=2代入方程组，得-2m= ①×2+②,得5n=45,即n=9. 将n=9代入②,得m=-2. 4.解：5+3=-2,① ①-②×3,得2x=23-3p, 所以：x=2-2 ①-②×5,得-2y=23-5p, 所以y=-2+2p. 因为x-y=-1, 所以((2-2D)-(-2+2)=-1, 解得p=6. 5.A 6.-3 7.解：2-2y=-3,② ①×2,得4x+2y=8.③ ②+③,得5x=5,解得x=1. 将x=1代入①,得2+y=4,解得y=2, 所以方程组的解为{=2 因为方程组2+y-7和-2y=-3的解相同， 所以将{y=2代人{a3 -by=-1得{a4-2b=-1⑤ ④+⑤,得2a=6,解得a=3. 将a=3代入④,得3+2b=7,解得b=2, 所以a+b=5,所以a+b的平方根为±√5. 8.解：解方程组 5-2=3,得 Lv=1将,=2代入 2m -3y=19.得{2m-3=19解得{m= 9.C 10.7 [解析]把=-3代入4x-by=-4,解得b=8.把 =4代入ax+5y=10,解得a=-2,所以原方程组为 4=85二=4解得=8,所以x-y=7. 11.解：把,=2和{“=2代入ax+by=2中， 得3-2+26=2解得=4 把=-2代入cx-7y=8中，得c=-2, 则abc=-40. 专项巩固训练卷(八) 二元一次方程组、一次函数的应用 1.解：设甲商品的进价为x元，乙商品的进价为y元， 根据题意，得4?*+5?4解得,=460 答：甲商品的进价为600元，乙商品的进价为400元. 2.解：设做上衣的布料用xm,做裤子的布料用ym, 根据题意，得2号解得=2460 能生产运动服为330×2=240(套). 答：做上衣的布料用360m,做裤子的布料用240m,能生产 240套运动服. 3.解：(1)设A,B两种品牌电风扇每台的进价分别是x元、y元， 根据题意，得+2=400解得{=150 答：A,B两种品牌电风扇每台的进价分别是100元、150元. (2)设购进A种品牌电风扇a台，B种品牌电风扇b台， 根据题意，得100a+150b=1000, 其正整数解为6=6或{6=4’或16=2 当a=1,b=6时， 利润为(180-100)×1+(250-150)×6=680(元); 当a=4,b=4时， 利润为(180-100)×4+(250-150)×4=720(元); 当a=7,b=2时， 利润为(180-100)×7+(250-150)×2=760(元). 因为680<720<760, 所以当a=7,b=2时，利润最大. 答：为能在销售完这两种品牌电风扇后获得最大利润，该商店 应购进A种品牌电风扇7台，B种品牌电风扇2台. 4.解：(1)340 680 (2)根据题图得，直线OD的表达式为y=20x, 直线DE的表达式为y=-5x+450. 联立=-5+450.解得=360 所以折线ODE的最高点D的坐标为(18,360), 360×(8-6)=720(元), 所以当x=18时，日销售利润最大，最大利润为720元. 5.解：(1)30 (2)设乙组停工后，y关于x的函数表达式为y=kx+b(k≠0), 因为点(30,210),(60,300)在图象上， 所以08+6=303解得=120 所以y关于x的函数表达式为y=3x+120(30≤x≤60). (3)乙组已停工的天数为10天. ·19·