专项巩固训练卷(1)勾股定理及其逆定理中的常见应用-【勤径学升】2025-2026学年新教材八年级上册数学全程时习测试卷（北师大版2024）

见此图标眼 抖音/微信扫码 领取配套资源，开启高效学习 学升 新径XLESENGl 专项巩固训练卷(一) 勾股定理及其逆定理中的常见应用 ?类型一 折叠问题 1.如图，长方形纸片ABCD中，AB=4cm,BC=8cm,现将其沿EF对 折，使得点C与点A重合，点D落在点D'处，则AF的长为( ) A.3 cm B号 cm C.5 cm D4cm D' AK F. D B- E C C CE B B D A 1题图 2题图 2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=4cm,BC=3cm,现将△ABC 进行折叠，使顶点A,B重合，则折痕DE的长为( ) A2cm B4cm ccm D.5cm 3.如图，长方形纸片ABCD中，已知AD=8,折叠纸片使AB边落在对 角线AC上，点B落在点F处，折痕为AE,且BE=3.求CF的长. A D F B E C 3题图 4.如图，在长方形ABCD中，AB=5,BC=12,E是边AD上的一个动 点，把△BAE沿BE折叠，点A落在点A'处，当△A'DE是直角三角 形时，求DE的长. A E D A' B C 4题图 5.如图，折叠等腰三角形纸片ABC,使点C落在边AB上的点F处， 折痕为DE.已知AB=AC,FD⊥BC. (1)试说明：∠AFE=90°; (2)如果AF=3,BF=6,求AE的长. A F E B D C 5题图 八年级数学 北师版 上册 第 5 页 6.如图，在长方形ABCD中，AB=CD=5,BC=AD=3. (1)如图①,将长方形ABCD沿EF翻折，使点A与点C重合，点D 落在点D'处，求BF的长； (2)如图②,将△ABD沿BD翻折，若A'B交CD于点E,求CE 的长； (3)如图③,P为AD边上的一点，将△ABP沿BP翻折得到 △A'BP,A'B,A'P分别交CD边于点E,F,且DF=A'F,求CE 的长. D' D- E C A- F B A' D< E C A- B A' D- E P F C A B 6题图① 6题图② 6题图③ ?类型二 最短路径问题 7.如图，一圆柱高8cm,底面半径为2cm,在圆柱下底面的点A处有 一只蚂蚁，它想吃到上底面与点A相对的点B处的食物，则它沿圆 柱侧面爬行的最短路程是(π取3) ( ) A.6cm B.8cm C.10 cm D.12cm B B B 40cm 40 cm A. A 10cm 30cm 10cm[ 30cm10cm A ① ② 7题图 8题图 9题图 8.如图，小红想用一条彩带缠绕易拉罐，从点A绕到正上方点B正好 四圈，已知易拉罐底面周长是12 cm,高是20cm,那么所需彩带的 最短长度是____ 9.包装纸箱是我们生活中常见的物品.如图①,创意DIY小组的同学 将一个10cm×30 cm×40cm的长方体纸箱裁去一部分(纸箱表面 的粗虚线为裁剪线),得到如图②所示的简易书架.若一只蜘蛛从 该书架的顶点A出发，沿书架内壁爬行到顶点B处，则它爬行的最 短距离为_____cm. 10.如图，小河的同一侧有A,B两个村庄，它们到小河所在的直线的 距离分别为AA?=2千米，BB?=5千米，A?B?=24千米，要在小河 上A?,B?之间修建一座小型发电站P,使它到A,B两个村庄的距 离之和最短. (1)请在图中画出P的位置； (2)求这个最短距离. B A M A? B? N 10题图 11.葛藤为了争夺雨露阳光，常常绕着树干盘旋而上，它还有一手绝 招，就是绕树盘旋上升时，总是沿着最短路线盘旋前进，难道植 物也懂数学吗? 阅读信息，你能解决下列问题吗? (1)如图，若树干的周长(即底面圆的周长)为30cm,从点A绕一 圈到点B,葛藤升高40 cm,则它爬行的路程是多少? (2)若树干的周长(即底面圆的周长)为40 cm,绕一圈爬行 50 cm,则爬行一圈升高多少?若爬行10圈到达树顶，则树 干高多少? B A 11题图 见此图标眼 抖音/微信扫码 领取配套资源，开启高效学习 ?类型三 实际应用问题 12.如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子 底端到左墙角的距离BC为0.7m,梯子顶端到地面的距离AC为 2.4m.当保持梯子底端的位置不变，将梯子斜靠在右墙时，梯子 顶端到地面的距离为1.5m,则小巷的宽为 ( ) A' 2.4m 1.5m 6.7 D 12题图 A.2m B.2.5m C.2.6m D.2.7m 13.如图①是吊车的实物图，图②是吊车工作示意图.吊车作业时是 通过液压杆CD的伸缩使起重臂AB绕点B转动的，从而使得起 重臂升降作业(起重臂AB的长度也可以伸缩).在某次起重作业 中，学习兴趣小组经过测量和咨询工人师傅了解到如下信息：如 图③,起重臂AB=10米，点B到地面的距离BE=1.8米，钢丝绳 所在直线AF垂直地面于点F,点B到AF的距离BG=8米，求点 A到地面的距离AF的长为多少米. A A D D B B C C一 7 E 13题图① 13题图② 13题图③ 14.如图，若南北向MN为我国领海线，MN以西为我国领海，以东为 公海.上午9时50分，我国反走私艇A发现正东方有一走私艇C 以13海里/时的速度偷偷向我国领海开来，便立即通知正在MN 线上巡逻的我国反走私艇B密切关注.反走私艇A和走私艇 C 的距离是13海里，A,B两艇的距离是5海里，反走私艇B距离C 艇12海里.若走私艇 C的速度不变，最早会在什么时候进入我 国领海? M A C B N 14题图 八年级数学 北师版 上册 第 6 页 参考答案及解析 因为SABC=2BC·AB=2×15×20=150, SAcD=AD·CD=2×7×24=84, 所以S?-S?=150-84=66. 20.解：(1)由题意画图如答图①. A B- CD 20题答图① 因为AD是△ABC边BC上的高， 所以∠ADC=∠ADB=90°. 因为∠ACD=45°,AD=5,所以AD=DC=5. 在Rt△ADB中，AB=13,AD=5. 由勾股定理，得BD=12, 所以BC=BD+CD=12+5=17. (2)在(1)的情形下. 因为BC=17,AD=5, 所以SSABC=2BC·AD= 2×17×5=82; 另一种情形如答图②. A B- C D 20题答图② 因为∠ADB=90°,∠ACD=45°, 所以∠ACD=∠CAD=45°,所以AD=CD=5. 在Rt△ADB中，根据勾股定理，得BD=12, 所以BC=BD-CD=12-5=7, 所以SABC= BC·AD=一2×7×5=325 综上，△ABC的面积是2或3 21.解：(1)在Rt△AED中，DE2=AD2+AE2. 在Rt△BEC中，CE2=BC2+BE2. 因为喷泉广场和儿童游乐场到游客服务中心的距离相等，所 以DE=CE. 设AE=xkm,则BE=(2.2-x)km, 所以1.72+x2=0.52+(2.2-x)2,解得x=0.5, 所以游客服务中心应建在距点A0.5km处. (2)由(1)可知AE=0.5km,BE=2.2-0.5=1.7(km), DE=CE, 所以AE=BC,AD=BE. 在L △AED和 △BCE中， 所以△AED≌△BCE(SSS), 所以∠AED=∠BCE. 因为∠BCE+∠BEC=90°, 所以∠AED+∠BEC=90°, 所以∠CED=180°-(∠AED+∠BEC)=90°. 22.解：(1)由折叠可知DE=GE,AG=DC=AB=4. 设DE=x,则GE=x,AE=8-x. 在Rt△AEG中，AG2+GE2=AE2, 所以16+x2=(8-x)2,解得x=3,所以DE=3. (2)如答图，过点F作FH⊥AD于点H,则FH=4. 在Rt△ABF中， 因为AF=FC,所以由勾股定理，得BF2=AF2-AB2, 即BF2=(8-BF)2-16,所以BF=AH=3. 因为AE=AD-DE=5,所以EH=AE-AH=2, 所以EF2=FH2+EH2=42+22=20. (3)如答图，过点G作GM⊥AD于点M. 在Rt△GAE中，GE=3,AE=5,AG=4. 由-2AG·GE=—AE·GM, 得GM=号， 所以 S△cED=2GM· DE=158 G A MH E D B F C 22题答图 23.解：(1)1 (2)若BP=AP,如答图①,设BP的长为xcm, 因为BC=4cm,BP=x cm,所以CP=(4-x)cm. 在Rt△ACP中，AP2=CP2+AC2, 所以x2=(4-x)2+32,解得：x=3, 故BP的长为cm A B PC 23题答图① A B C(P) A B C P 23题答图② 23题答图③ (3)由题意可知BP=2t cm,分类讨论如下： ①当∠APB为直角时，如答图②, 点P与点C重合，BP=BC=4cm, 即2t=4,解得t=2; ②当∠BAP为直角时，如答图③, BP=2t cm,CP=(2t-4)cm,AC=3cm. 在Rt△ACP中，AP2=AC2+CP2. 在Rt△BAP中，AB2+AP2=BP2, 所以AP2=AC2+CP2=BP2-AB2, 即32+(2t-4)2=(2t)2-52,解得=8 综上所述，当△ABP为直角三角形时，t的值为2或38 专项巩固训练卷(一) 勾股定理及其逆定理中的常见应用 1.C [解析]因为四边形ABCD是长方形，AB=4cm,BC= 8cm,所以CD=AB=4cm,AD=BC=8cm,∠D=90°.设AF= x cm,则DF=(8-x)cm.根据折叠的性质，得DF=D'F= ·3· 全程时习测试卷·八年级数学·北师版·上册 (8-x)cm,∠D'=∠D=90°,AD′=CD=4 cm.在Rt△AD'F 中，因为AF2=AD'2+D'F2,所以x2=42+(8-x)2,解得x= 5,所以AF=5cm. 2.C [解析]因为∠C=90°,AC=4cm,BC=3cm,所以AB2= AC2+BC2=25,所以AB=5cm.由折叠的性质可得EA=EB, AD=DB=—AB=2cm设AE=x cm,则BE=x cm,CE= (4-x)cm.在Rt△BCE中，BC2+CE2=BE2,所以32+(4- x)2=x2,解得2x=35,即AE=25 cm,,所以DE2=AE2-AD2= 645,所以DE=15cm.故选C 3.解：因为四边形ABCD为长方形，AD=8, 所以∠B=90°,AD=BC=8. 因为BE=3, 所以CE=BC-BE=8-3=5. 根据折叠的性质，得∠B=∠AFE=90°,BE=EF=3,AB=AF, 所以∠CFE=90°. 在Rt△CEF中，CF2=CE2-EF2=52-32=42, 所以CF=4. 4.解：①当∠EA'D=90°时，如答图①, 易知点B,A',D共线. 因为四边形ABCD为长方形， 所以∠A=90°,BC=AD=12, 所以BD2=AB2+AD2=132,所以BD=13. 根据折叠的性质，得AE=A'E,AB=A'B=5, 所以A'D=BD-A'B=8. 设AE=A'E=x,则DE=12-x. 在Rt△A'DE中，根据勾股定理，得A'E2+A'D2=DE2, 所以x2+82=(12-x)2,解得：x=13, 所以AE=3,,所以iDE=3, A E D A B C A E D B A' C 4题答图① 4题答图② ②当∠A'ED=90°时，如答图②, 所以∠AEA′=90°. 根据折叠的性质，得∠AEB=∠A'EB. 因为∠AEB+∠A'EB=90°, 所以∠AEB=∠A'EB=45°, 所以△ABE为等腰直角三角形，AB=AE=5, 所以DE=AD-AE=12-5=7. 综上，DE=3或7. 5.解：(1)由折叠，知∠C=∠EFD,EF=CE. 因为AB=AC,所以∠B=∠C=∠EFD. 因为FD⊥BC,所以∠B+∠BFD=90°, 所以∠EFD+∠BFD=90°, 所以∠AFE=180°-∠EFD-∠BFD=90°. (2)因为AF=3,BF=6,AB=AC, 所以AC=AB=3+6=9,所以EF=CE=AC-AE=9-AE. 在Rt△AFE中，AF2+EF2=AE2, 所以32+(9-AE)2=AE2,解得AE=5. 6.解：(1)根据折叠的性质，得AF=CF. 因为四边形ABCD是长方形， 所以∠B=90°. 设BF=x,则AF=CF=AB-BF=5-x, 在Rt△BFC中，因为BF2+BC2=FC2, 所以x2+32=(5-x)2,解得x=5, 所以BF=5 (2)因为四边形ABCD是长方形， 所以∠A=∠C=90°. 根据折叠的性质，得∠A=∠A'=90°,AD=A'D. 又因为BC=AD, 所以A'D=CB,∠A'=∠C. 因为A'B交CD于点E, 所以∠A'ED=∠CEB, 所以△A'ED≌△CEB, 所以ED=EB. 设CE=y,则ED=EB=DC-CE=5-y. 在Rt△BCE中，因为CE2+BC2=BE2, 所以y2+32=(5-y)2,解得：y=号， 所以CE=5 (3)因为四边形ABCD是长方形， 所以∠A=∠D=90°. 根据折叠的性质，得∠A'=∠A=90°,AP=A'P,AB=A'B=5, 所以∠D=∠A'=90°. 又因为DF=A'F,∠DFP=∠A'FE, 所以△DFP≌△A'FE,所以DP=A'E,PF=EF, 所以DE=PA'. 又因为AD=BC=3, 设PA=m,则DP=A'E=AD-PA=3-m,DE=PA'=m, 所以EC=5-m,BE=5-(3-m)=2+m. 在Rt△ECB中，(2+m)2=32+(5-m)2,解得m=1号， 所以CE=5-1=2 7.C [解析]将此圆柱的侧面沿点B所在 B C B′ 高线展开，如答图.因为圆柱的高为 8cm,底面半径为2cm,所以AC=8cm, BC=2BB'=2×2×2π=6(cm)在 A Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2=82+62 7题答图 =102,所以AB=10 cm.故它沿圆柱侧面爬行的最短路程为 10cm. 8.52cm [解析]由题图可知，彩带从易拉罐底 B. C 端的点A处绕易拉罐4圈后到达顶端的点B G M 处，将易拉罐侧面展开呈长方形，则彩带的最 F N 短缠绕方式如答图中虚线所示.因为彩带缠绕 E J 易拉罐4圈，所以每圈上升20÷4=5(cm),即 A D AE=5cm.因为易拉罐底面周长是12cm,即 8题答图 ·4· 参考答案及解析 AD=12cm,所以AJ2=122+52=132,所以AJ=13cm,所以所 需彩带的最短长度是13×4=52(cm). 9.50 [解析]如答图，把书架侧面展开，连接AB,AM,则蜘蛛爬 行的最短距离为AB的长.由答图可知OA=30+10= 40(cm),OB=40-10=30(cm).在Rt△AOB中，AB2=OA2+ OB2=402+302=502,所以AB=50 cm,所以蜘蛛爬行的最短 距离为50 cm. B A 30cm 0 M 10cm 10cm 30cm 10cm 30cm 10cm 9题答图 10.解：(1)作点A关于MN的对称点C,连接BC交MN于点P, 连接PA,此时PA+PB的值最小. (2)如答图，作CD⊥BB?的延长线于点D. 在Rt△BCD中，BC2=CD2+BD2=242+72=252, 所以BC=25千米， 所以PA+PB的最小值=PB+PC=BC=25千米. B A A? P B? M N C D 10题答图 11.解：(1)若树干的周长为30cm,绕一圈升高40cm, 则葛藤爬行的路程为50 cm. (2)若树干的周长为40cm,绕一圈爬行50cm, 则爬行一圈升高30 cm. 若爬行10圈到达树顶，则树干高10×30=300(cm). 12.D 13.解：在Rt△ABG中， 由勾股定理，得AG2=AB2-BG2=102-82=62, 所以AG=6米. 因为BE⊥EF,AF⊥EF,BG⊥AF, 所以∠BGA =∠EFG=90°, 所以BG//EF,所以GF=BE=1.8米， 所以AF=AG+GF=6+1.8=7.8(米). 答：点A到地面的距离AF的长为7.8米. 14.解：设MN与AC相交于点E,则∠BEC=90°. 因为AB2+BC2=52+122=132=AC2, 所以△ABC为直角三角形，且∠ABC=90°. 由于MN⊥CE, 所以走私艇C进入我国领海的最近的距离是CE. 因为Sam-AB·BC=—AC·BE, 所以BE=13 在Rt△BCE中，由勾股定理，得CE2+BE2=BC2, 解得CE=13 1143÷13=149=0.85(时)=51(分), 9时50分+51分=10时41分， 即走私艇C最早会在上午10时41分进入我国领海. 第二章 实数 基础过关检测卷 1.D 2.C 3.B 4.C 5.C 6.D 7.C 8.B 9.D 10.D 11.0 12.2(或3) 13.√5 14.4 15.1 [解析]因为正实数x的两个平方根是m和2m-b,所以 m2=x,(2m-b)2=x.因为m2x-2(2m-b)2x+5x2=4,所以 x2-2x2+5x2=4,所以x2=1.因为x>0,所以x=1. 16.解：(1)原式=3√2+√2-1+1=4√2. (2)原式=√3-2-2=√3-4. 17.解：负数集合：{-4.8,-2025,一π; 分数集合：{-4.8+2,002002002012} 非正整数集合：{0,-2025}; 无理数集合：{-π,0.010010001⋯(每两个1之间依次多一 个0)}. 18.解：原式=3x2-2x+6x-4-2x2-4x=x2-4. 当x=√3-1时， 原式=(√3-1)2-4=-2√3. 19.解：设这个长方体容器的长与宽至少为x cm, 则5x2=350,解得x=√70(负值已舍去). 答：这个长方体容器的长与宽至少是√70cm. 20.解：乐乐在计算第①种情况时，当m=-1时，这个数的算术 平方根为5m+1=-4<0. 因为一个数的算术平方根不能为负数，所以应该将这个结果 舍去.正确的解题过程如下： 因为一个数的算术平方根为5m+1,平方根为±(m-3), 所以5m+1=m-3或5m+1=-(m-3). ①当5m+1=m-3时，解得m=-1, 所以5m+1=-4,不符合题意，舍去； ②当5m+1=-(m-3)时，解得1m=3, 所以5m+1=3,,所以这个数为9 综上所述，这个数为66 21.解：(1)2×(√72+√32)=2×(6√2+4√2)=20√2(m). 答：长方形ABCD的周长是20√2m. (2)种植蔬菜的面积为√72×√32-(√10+1)×(√10- 1)=48-(10-1)=39(m2), 39×15×8=4680(元). 答：张大伯如果将所种蔬菜全部销售完，销售收入为 4680元. 22.解：(1)10 √10 [解析]Sm影正方形=4×4-2×1×3×4=10,,阴影正方形的 边长为√10.故答案为10,√10. (2)3 4 [解析]因为32=9,42=16,而9<10<16,所以√9<√10< √16,即3<√10<4.故答案为3,4. (3)阴影正方形的边长为√10,它的相反数是-√10. 如答图①所示，设原点为点0,每个小正方形的边长为1, ·5·