第1章 勾股定理能力提优测试卷-【勤径学升】2025-2026学年新教材八年级上册数学全程时习测试卷（北师大版2024）

第一章 勾股定理 见此图标眼 抖音/微信扫码 领取配套资源，开启高效学习 考号 班级 ⋯⋯装⋯⋯⋯订⋯⋯ i⋯⋯=- 线⋯⋯内不⋯⋯⋯要⋯⋯ 答⋯⋯⋯题=⋯⋯⋯⋯⋯ 能力提优测试卷 ·时间：120分钟·满分：120分 第一部分 选择题(共30分) 一、选择题(本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小 题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.下列条件中，a,b,c分别为三角形的三边，不能判断 答题卡 △ABC为直角三角形的是 ( ) A.∠A=40°,∠B=50° B.∠A+∠B=∠C C.a:b:c=1:2:3 D.a=3,b=4,c=5 2.如图，在△ABC中，∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D.若AC=3,BC =4,则CD的长为 ( ) A.2.4 B.2.5 C.4.8 D.5 A D Bm D C B n C 水面 A2 2题图 3题图 4题图 5题图 3.(南通中考)“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理.如图 所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形 拼成的一个大正方形.设直角三角形的两条直角边长分别为m,n (m>n).若小正方形面积为5,(m+n)2=21,则大正方形面积为 ( ) A.12 B.13 C.14 D.15 4.新情境晨光微洒，湖边钓者静心垂钓，如图，已知鱼线没入水中的 长度AB为1.5米，在距离鱼线1.2米(BD=1.2米)的水下1米处 (CD=1米)有一条鱼发现了鱼饵，于是以0.2米/秒的速度向鱼饵 游去，则这条鱼到达鱼饵处至少需要 ( ) A.6秒 B.6.5秒 C.13秒 D.26秒 5.新情境生活中，可以用身体上的尺子：肘、拃、步长等来估计距离. 某校教室新安装了一批屏幕为长方形的多媒体设备，某同学想知 道屏幕有多大，他用手掌测量得多媒体屏幕的长是12拃，宽是 5拃，请你帮他计算出多媒体屏幕的对角线长度大约是(如图，1拃 ≈20 cm) ( ) A.100 cm B.240 cm C.260 cm D.340 cm 6.在△ABC中，AB=20,AC=13,高AD=12,则△ABC的面积为 ( ) A.66 B.126 C.54或44 D.126或66 7. 新素材《九章算术》“勾股”章有一问题，其意思是：现有一竖立着 的木柱，在木柱上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆 在地面的部分尚有3尺，牵着绳索退行，在离木柱根部8尺处时绳 索用尽，请问：绳索有多长?若设绳索长度为x尺，根据题意，可列 方程为 ( ) A.82+x2=(x-3)2 B.82+(x+3)2=x2 C.82+(x-3)2=x2 D.x2+(x-3)2=82 8.用四个全等的直角三角形围成一个如图(1)的大正方形，中间是 一个小正方形，这个图形是我国三国时期赵爽在注解《周髀算经》 时给出的，人们称它为“赵爽弦图”.现用如图(2)的两种直角三角 形各两个围成一个如图(3)的四边形ABCD,若知道图(3)中阴影 部分的面积，则一定能求出图(3)中 ( ) A.四边形ABCD的面积 B.四边形EFGH的面积 C.△ADH的面积 D.△CDG的面积 A B← FE A G H D E ① ② C B D P F C 8题图(1) 8题图(2) 8题图(3) 10题图 9.在学习“勾股数”的知识时，爱动脑的小明发现了一组有规律的勾 股数，并将它们记录在如下的表格中.则当a=90时，b的值为 a 6 8 10 12 14 ⋯ b 8 15 24 35 48 ⋯ c 10 17 26 37 50 ⋯ A.2022 B.2023 C.2024 D.2025 10.如图，在三角形纸片ABC中，∠BAC=90°,AB=2,AC=3,沿AD 和EF将纸片折叠，使点B和点C都落在边BC上的点P处，则 AE的长是 ( ) A B 6 c6 D号 第二部分 非选择题(共90分) 二、填空题(本题共5小题，每小题3分，共15分) 11.在Rt△ABC中，直角边AB,AC的长分别为8,9,则BC2的值 为____ 八年级数学 北师版 上册 第 3 页 12. [传统文化]“春节”是我国传统节日中最重要的一个节日，在春 节期间有很多习俗，如贴对联、剪窗花、挂彩灯、吃饺子、守岁、放 鞭炮等.为了增添节日的气氛，某同学家买了一串长5m的彩灯， 按如图方式缠绕在圆柱体柱子上，且柱子的底面周长为2m,则 柱子高是_________. B A 12题图 13题图 13.如图，一扇卷闸门用一块长80cm、宽18cm的长方形木板撑住， 用这块木板最多可将这扇卷闸门撑起_______cm高. 14.(大庆中考)如图①,直角三角形的两个锐角分别是40°和50°,其 三边上分别有一个正方形.执行下面的操作：由两个小正方形向 外分别作锐角为40°和50°的直角三角形，再分别以所得到的直 角三角形的直角边为边长作正方形.图②是1次操作后的图形. 图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达 哥拉斯树”.若图①中的直角三角形斜边长为2,则10次操作后 图形中所有正方形的面积和为_____ ① ② ③ 14题图 15.在等腰三角形ABC中，AB=AC=5,P为BC上一点，PA=3,则 PB·PC等于____ 三、解答题(本题共8小题，共75分.解答应写出文字说明、演算步骤 或推理过程) 16.(10分)(甘肃武威期末)如图是由边长为1的小正方形组成的 网格，点A,B,C,D均在格点(小正方形的顶点)上. (1)求四边形ABCD的面积； (2)判断AD与CD的位置关系，并说明理由. D A c B 16题图 进姓名 学学校 17.(8分)(吉林长春期末)一块田地的形状如图所示，已知AB= 13m,BC=12m,CD=3m,AD=4m,∠ADC=90°,求该田地的 面积. A D C B 17题图 18.(8分)如图，一高层住宅发生火灾，消防车立即赶到距住宅9m 处(即车尾到住宅墙面的距离AC),升起云梯到火灾窗口.已知 云梯长15m,云梯底部距地面的高度AE=2m,则发生火灾的住 户窗口距离地面多高? B C A m D E 18题图 19.(8分)(江苏苏州期中)如图，△ABC中，E为AB边上的一点，连 接CE,过点A作AD⊥CE,交CE的延长线于点D,已知AD=7, AB=20,BC=15,DC=24. (1)试说明：∠B为直角； (2)记△ADE的面积为S?,△BCE的面积为S?,求S?-S?的值. A D E B C 19题图 见此图标眼 抖音/微信扫码 领取配套资源，开启高效学习 20.(8分)已知AD是△ABC边BC上的高，∠ACD=45°,AB=13,AD =5. (1)若点D在线段BC上，求线段BC的长； (2)若点D在直线 BC上，求△ABC的面积. 21.(8分)如图，喷泉广场和儿童游乐场分别位于道路AB同侧的点 C,D处，已知 DA⊥AB于点A,CB⊥AB于点B,AB=2.2km,AD= 1.7km,BC=0.5 km.为了更好地满足游客的需求，公园管理方 决定在道路AB的边上建一个游客服务中心E,使得喷泉广场和 儿童游乐场到游客服务中心的距离相等. (1)游客服务中心应建在距点A多少千米处? (2)求∠CED的度数. A B E 口 C YD 21题图 22.(12分)如图，把一张长方形纸片ABCD折叠起来，EF为折痕，使 其对角顶点A与点C重合，点D与点G重合.若长方形的长BC 为8,宽AB为4. (1)求DE的长； (2)求EF2的值； (3)求阴影部分△GED的面积. G A E D B F C 22题图 23.(13分)[核心素养]如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,AB=5cm, AC=3cm,动点P从点B出发沿射线 BC以2cm/s的速度移动， 设运动的时间为t s. (1)若点P运动到BC的中点时，t的值为_____; (2)若BP=AP,求BP的长； (3)当△ABP为直角三角形时，求t的值. A A A B P C B C B C 23题图 23题备用图① 23题备用图② 八年级数学 北师版 上册 第 4 页 全程时习测试卷·八年级数学·北师版·上册 (2)因为a=3,b=4,所以c2=a2+b2=32+42=25, 所以c=5, 所以梯形ABCD的周长为a+c+3a+c=4a+2c=4×3+ 2×5=22. (3)如答图，BD是△ABC的高. Ic] D A. B 23题答图 因为AC2=42+32=25,所以AC=5. 因为SABC=AC·BD= —AB×3, 所以iBD=3AC=3×3=9 第一章 勾股定理 能力提优测试卷 1.C 2.A 3.B 4.B 5.C 6.D 7.C 8.D 9.C 10.A [解析]因为沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边 BC上的点P处，所以AP=AB=2,∠B=∠APB.因为折叠纸 片，使点C与点P重合，所以CE =PE,∠C= ∠CPE.因为 ∠BAC=90°,所以∠B+∠C=90°,所以∠APB+∠CPE= 90°,所以∠APE=90°,所以AP2+PE2=AE2.设AE=x,则 CE=PE=3-x,所以22+(3-x)2=x2,解得，x=163,,即AE= B6.故选A. 11.145 12.3m 13.82 14.48 [解析]把题图②中各个小正方形标 f B 上字母，设正方形a的边长为x,正方形b e a b h 的边长为y,如答图，所以正方形a的面积 为x2,正方形b的面积为y2.由题意得，正 c 方形c的边长为2,并且是直角三角形的 14题答图 斜边，所以正方形c的面积为4.根据勾股定理，得x2+y2= 22=4,所以正方形a的面积+正方形b的面积=4,所以题 图①中所有正方形的面积和=4+4=8.同理可得，正方形e 的面积+正方形f的面积=正方形a的面积，正方形g的面 积+正方形h的面积=正方形b的面积，所以正方形e的面 积+正方形f的面积+正方形g的面积+正方形h的面积 =正方形a的面积+正方形b的面积=4,所以题图②中所 有正方形的面积和=题图①中所有正方形的面积和+4= 12,即1次操作后所有正方形的面积和=题图①中所有正方 形的面积和+4=12.同理可得，2次操作后增加的8个小正 方形的面积和也是4,所以2次操作后所有正方形的面积和 =题图①中所有正方形的面积和+2×4=8+8=16,所以 10次操作后所有正方形的面积和=题图①中所有正方形的 面积和+10×4=8+40=48. 15.16 [解析]如答图，过点A作AE⊥BC于点E,AP=3. 4 B E P C 15题答图 由题意，得△ABE≌△ACE,所以BE=CE,所以PB·PC= (BE+EP)(EC-EP)=(BE+EP)(BE-EP),所以PB·PC =BE2-EP2.由勾股定理可知BE2=AB2-AE2,AE2+EP2= AP2,所以PB·PC=AB2-AE2-EP2=AB2-(AE2+EP2)= AB2-AP2=52-32=16. 16.解：(1)如答图，S四边形ABCD=5×5-(S①+S②+S③+S④), 即 Smunucn=5 ×5-(×2×3+2×3×33+2×2×4+ 2×1×2)=25-(3+2+4+1)=2 D ④ ③ AK c ① ② B 16题答图 (2)AD⊥CD. 理由：连接AC.在△ADC中，AD2=12+22=5, CD2=22+42=20,AC2=52=25, 所以AD2+CD2=AC2, 所以△ADC是直角三角形，且∠D=90°,所以AD⊥CD. 17.解：如答图，连接AC. A, D C B 17题答图 因为∠ADC=90°,CD=3m,AD=4m, 所以在Rt△ACD中，根据勾股定理，得AC=5m. 因为AC2+BC2=52+122=169,AB2=132=169, 所以AC2+BC2=AB2, 所以△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°, 所以S△anc-S△AcD=2AC· BC-AD-CD=2×5×12- 2×4×3=30-6=24(m2) 故该田地的面积是24m2. 18.解：根据题意，知AC⊥BC. 在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC2=AB2-AC2=152-92 =144, 所以BC=12m. 因为CD=AE=2m, 所以BD=BC+CD=12+2=14(m). 答：发生火灾的住户窗口距离地面14m. 19.解：(1)因为AD⊥CD,所以∠D=90°. 因为AD=7,DC=24, 所以AC2=AD2+DC2=72+242=625. 因为AB=20,BC=15,202+152=625, 所以AB2+BC2=AC2, 所以△ABC是直角三角形且∠B为直角. (2)因为S?+S△ACE=SACD,S?+S△ACE=S△ABC, 所以S?=SAcD-S△AcE ,S?=S△ABC-S△ACE, 所以S?-S?=(S△ABC-S△AcE)-(S△AcD-S△ce)=S△ABC- S△ACD· ·2· 参考答案及解析 因为SABC=2BC·AB=2×15×20=150, SAcD=AD·CD=2×7×24=84, 所以S?-S?=150-84=66. 20.解：(1)由题意画图如答图①. A B- CD 20题答图① 因为AD是△ABC边BC上的高， 所以∠ADC=∠ADB=90°. 因为∠ACD=45°,AD=5,所以AD=DC=5. 在Rt△ADB中，AB=13,AD=5. 由勾股定理，得BD=12, 所以BC=BD+CD=12+5=17. (2)在(1)的情形下. 因为BC=17,AD=5, 所以SSABC=2BC·AD= 2×17×5=82; 另一种情形如答图②. A B- C D 20题答图② 因为∠ADB=90°,∠ACD=45°, 所以∠ACD=∠CAD=45°,所以AD=CD=5. 在Rt△ADB中，根据勾股定理，得BD=12, 所以BC=BD-CD=12-5=7, 所以SABC= BC·AD=一2×7×5=325 综上，△ABC的面积是2或3 21.解：(1)在Rt△AED中，DE2=AD2+AE2. 在Rt△BEC中，CE2=BC2+BE2. 因为喷泉广场和儿童游乐场到游客服务中心的距离相等，所 以DE=CE. 设AE=xkm,则BE=(2.2-x)km, 所以1.72+x2=0.52+(2.2-x)2,解得x=0.5, 所以游客服务中心应建在距点A0.5km处. (2)由(1)可知AE=0.5km,BE=2.2-0.5=1.7(km), DE=CE, 所以AE=BC,AD=BE. 在L △AED和 △BCE中， 所以△AED≌△BCE(SSS), 所以∠AED=∠BCE. 因为∠BCE+∠BEC=90°, 所以∠AED+∠BEC=90°, 所以∠CED=180°-(∠AED+∠BEC)=90°. 22.解：(1)由折叠可知DE=GE,AG=DC=AB=4. 设DE=x,则GE=x,AE=8-x. 在Rt△AEG中，AG2+GE2=AE2, 所以16+x2=(8-x)2,解得x=3,所以DE=3. (2)如答图，过点F作FH⊥AD于点H,则FH=4. 在Rt△ABF中， 因为AF=FC,所以由勾股定理，得BF2=AF2-AB2, 即BF2=(8-BF)2-16,所以BF=AH=3. 因为AE=AD-DE=5,所以EH=AE-AH=2, 所以EF2=FH2+EH2=42+22=20. (3)如答图，过点G作GM⊥AD于点M. 在Rt△GAE中，GE=3,AE=5,AG=4. 由-2AG·GE=—AE·GM, 得GM=号， 所以 S△cED=2GM· DE=158 G A MH E D B F C 22题答图 23.解：(1)1 (2)若BP=AP,如答图①,设BP的长为xcm, 因为BC=4cm,BP=x cm,所以CP=(4-x)cm. 在Rt△ACP中，AP2=CP2+AC2, 所以x2=(4-x)2+32,解得：x=3, 故BP的长为cm A B PC 23题答图① A B C(P) A B C P 23题答图② 23题答图③ (3)由题意可知BP=2t cm,分类讨论如下： ①当∠APB为直角时，如答图②, 点P与点C重合，BP=BC=4cm, 即2t=4,解得t=2; ②当∠BAP为直角时，如答图③, BP=2t cm,CP=(2t-4)cm,AC=3cm. 在Rt△ACP中，AP2=AC2+CP2. 在Rt△BAP中，AB2+AP2=BP2, 所以AP2=AC2+CP2=BP2-AB2, 即32+(2t-4)2=(2t)2-52,解得=8 综上所述，当△ABP为直角三角形时，t的值为2或38 专项巩固训练卷(一) 勾股定理及其逆定理中的常见应用 1.C [解析]因为四边形ABCD是长方形，AB=4cm,BC= 8cm,所以CD=AB=4cm,AD=BC=8cm,∠D=90°.设AF= x cm,则DF=(8-x)cm.根据折叠的性质，得DF=D'F= ·3·