第1章 勾股定理基础过关检测卷-【勤径学升】2025-2026学年新教材八年级上册数学全程时习测试卷（北师大版2024）

第一章 勾股定理 见此图标眼 抖音/微信扫码 领取配套资源，开启高效学习 考号 班级 ⋯⋯装⋯⋯订⋯⋯ i=1- 进 学 线⋯⋯内不⋯⋯⋯要⋯⋯ 答⋯⋯ = 题 基础过关检测卷 ·时间：120分钟·满分：120分 第一部分 选择题(共30分) 一、选择题(本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小 题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.(江苏徐州期中)下列各组数中，是勾股数的一组是 ( ) A.0.3,0.4,0.5 B.8,15,17 C.9,16,25 D.3,4,5 答题卡 2.将一个直角三角形的各边都扩大或缩小相同的倍数后，得到的三 角形 ( ) A.可能是锐角三角形 B.不可能是直角三角形 C.仍然是直角三角形 D.可能是钝角三角形 3.(眉山中考)如图，图①是北京国际数学家大会的会标，它取材于 我国古代数学家赵爽的“弦图”,是由四个全等的直角三角形拼 成.若图①中大正方形的面积为24,小正方形的面积为4,现将这 四个直角三角形拼成图②,则图②中大正方形的面积为 ( ) A.24 B.36 C.40 D.44 S?C D S? S? A E A S? B B CD 3题图① 3题图② 5题图 6题图 4. (广东深圳期中)若一个直角三角形的两边长分别为4和5,则第 三边长的平方为 ( ) A.6或9 B.3或9 C.9或41 D.6或41 5.(河南洛阳期末)如图，在四边形ABCD中，∠DAB=∠BCD=90°, 分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，它们的面积分别 是S?,S?,S?,S?.若S?+S?=100,S?=36,则S?的值是 ( ) A.8 B.50 C.64 D.136 6.如图，两个书柜相对平行摆放，当一架梯子倾斜靠在左侧书柜时， 梯子底端与左侧书柜的距离为1.5米，顶端与地面的距离为2米. 在保持梯子底端不变的情况下，将梯子顶端倾斜靠在右侧书柜上 时，顶端与地面的距离为2.4米，则两个书柜之间的距离为 ( ) A.1.5米 B.2.2米 C.2.4米 D.2.5米 7.(山西太原期末)如图，东西方向上有A,C两地相距10千米，甲以 16千米/时的速度从A地出发沿正东方向向C地前进，同时乙以 12千米/时的速度从C地出发向正南方向前进，甲、乙两人相距 6千米时，用时是 ( ) A.0.4时 B.0.5时 C.0.6时 D.0.8时 A-里 C C ↓乙 P A- B 7题图 8题图 8.如图所示的网格是正方形网格，点A,B,C,P是网格线交点，且点 P在△ABC的边AC上，则∠PAB+∠PBA= ( ) A.45° B.30° C.60° D.90° 9.如图是一张长方形纸片ABCD,折叠纸片使AB边与对角线AC重 合，点B落在点F处，折痕为AE,若AD=8,EF=3,则AB的长为 ( ) A.4 B.5 C.6 D.7 A D A F C< D B B E C F- E 9题图 10题图 10.勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是数形结合的纽带 之一.如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE=1m,将它 往前推4m至点C处时(即水平距离CD=4m),踏板离地的垂 直高度CF=3m,它的绳索始终拉直，则绳索AC的长是( ) A.4m B.5m C.6m D.8m 第二部分 非选择题(共90分) 二、填空题(本题共5小题，每小题3分，共15分) 11.(河南平顶山期中)已知直角三角形两条直角边的长分别为a,b, 斜边长为c,若a2=9,b2=16,则c的值为_____ 12.(吉林中考)图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出 红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图②,其中AB=AB′, AB⊥B'C于点C,BC=0.5尺，B′C=2尺.设AC的长度为x尺，可 列方程为_ B @ 诗文：波平如镜一湖面，半尺 高处生红莲.亭亭多姿湖中立， 突遭狂风吹一边.离开原处三 尺远，花贴湖面象睡莲. CP B' ① A 12题图① 12题图② 八年级数学 北师版 上册 第 1 页 13.一艘轮船和一艘渔船同时沿各自的航向从港口0出发，如图所 示，轮船从港口0沿北偏西20°的方向航行60海里到达点A处， 同一时刻渔船已航行到与港口0相距80海里的点B处.若A,B 两点相距100海里，则渔船在港口南偏西____的方向. A 北 0 东 B2 B A< 0 C D D A F G B E C 13题图 14题图 15题图 14.对角线互相垂直的四边形叫作“垂美”四边形，如图，四边形 ABCD是“垂美”四边形，对角线AC,BD交于点0.若AD=2,BC =4,则AB2+CD2=______ 15.如图，在△ABC中，D为BA延长线上一点，AE平分∠BAC交BC 于点E,过点E作EF//AB交∠DAC的平分线于点F,EF交AC 于点G,若AG=3,则AE2+AF2的值为_____. 三、解答题(本题共8小题，共75分.解答应写出文字说明、演算步骤 或推理过程) 16.(10分)如图，两艘轮船同时从港口0出发，一艘轮船以20海里/时 的航速沿正东方向航行，另一艘轮船以15海里/时的航速沿正北 方向航行，一小时后两艘轮船分别到达点A,B,此时两轮船沿AB 航线汇合. (1)求A,B两点之间的距离； (2)若从港口派一艘轮船在AB航线上接应，求该轮船行驶的最 短距离. 北 东 B 重 0 A 16题图 17.(8分)如图，在四边形ABCD中，AB=AD=2,∠A=60°,BC2= 20,CD=4,求∠ADC的度数. A D B C 17题图 眼抖音/微信扫码 ?学科精讲 区技巧提升 区错题收集 区学霸秘籍 18.(8分)(广东肇庆期中)如图，在电线杆AB上的点C处，向地面 拉有一条10m长的钢缆CD,地面固定点D到电线杆底部的距离 BD=6m,AB⊥BD于点B,电线杆上的固定点C到电线杆顶端A 的距离为2.5m,求电线杆的高度AB. C B D 18题图 19.(8分)如图，八年级的小明和小亮同学学习了勾股定理之后，为 了测得风筝的高度CE,他们进行了如下操作： ①测得BD=9米(注：BD⊥CE); ②根据手中线的剩余长度计算出风筝线 BC=15米； ③牵线放风筝的小明身高AB=1.6米. 求风筝的高度CE是多少米. C BZ DE 19题图 20.(8分)如图是一个无盖圆柱形玻璃容器，底面周长为14cm,高为 24cm.蚂蚁在容器上爬行，从容器外壁离容器上沿5cm的点A 爬到容器内壁离容器底部5 cm的点B处(点B与点A相对),求 蚂蚁爬行的最短路程. 0 A 0B 20题图 见此图标眼 抖音/微信扫码 领取配套资源，开启高效学习 21.(8分)如图，方格纸上每个小正方形的面积为1个平方单位. (1)在方格纸上，请你以线段AB为边画正方形ABCD并计算所 画正方形ABCD的面积； (2)请你在图上画出一个面积为5个平方单位的正方形. 21题图 22.(12分)如图，在△ABC中，AB=4,AC=3,DE是BC的垂直平分 线，交BC于点D,交AB于点E,AF⊥BC于点F.关于△ABC的形 状，小明和小亮展开以下讨论： 小明：如果△ABC是直角三角形，∠BAC=90°,那么我可以求出 AE的长.我的求解过程是这样的：如图，连接CE,设AE=x,则 BE=4-x.因为DE是BC的垂直平分线，所以CE=BE=4-x⋯⋯ 小亮：如果DF的长为70那么此时△ABC是直角三角形. (1)请补充完整小明的求解过程； (2)请判断小亮的说法是否正确，并说明理由. A E B D F C 22题图 23.(13分)新考法探索乘法公式时，可以由图形面积的不同表示方 法来验证乘法公式.我国著名的数学家赵爽，就把一个长方形分 成四个全等的直角三角形，用四个全等的直角三角形拼成了一 个大的正方形(如图①),这个图形被称为“赵爽弦图”,验证了一 个非常重要的结论：在直角三角形中，两直角边a,b与斜边c满 足a2+b2=c2,此关系式被称为勾股定理 (1)爱动脑筋的小明把这四个全等的直角三角形拼成了另一个 大的正方形(如图②),也能验证这个结论，请你帮助小明完 成验证过程； (2)小明又把这四个全等的直角三角形拼成了一个梯形(如图 ③),利用上面探究所得的结论，求当a=3,b=4时，梯形 ABCD的周长； (3)如图④,在每个小正方形的边长都为1的方格纸中，△ABC 的顶点都在方格纸的格点上.请在图中画出△ABC的高 BD, 利用上面的结论，求高BD的长. c bc 2 bc c a a C bc C a a b D C b c AE FaB C? LA B 23题图① 23题图② 23题图③ 23题图④ 八年级数学 北师版 上册 第 2 页 参考答案及解析 勤径学升·全程时习测试卷·八年级数学·北师版·上册 参考答案及解析 第一章 勾股定理 基础过关检测卷 1.B 2.C 3.D 4.C 5.C 6.B 7.A 8.A 9.C 10.B [解析]由题意知CF=3m,BE=1m,所以BD=2m.设 AC的长为xm,则AB=AC=xm,所以AD=AB-BD=(x- 2)m.在Rt△ADC中，AD2+CD2=AC2,即(x-2)2+42=x2, 解得x=5,故绳索AC的长为5m.故选B. 11.5 12.x2+22=(x+0.5)2 13.70 14.20 15.36 [解析]因为AE平分∠BAC,AF平分∠DAC,所以∠BAE =∠EAC=—∠BAC,∠FAC=÷∠DAC.又因为B,A,D三 点共线，所以∠EAC+∠FAC=—∠BAC+∠DAC= (∠BAC+∠DAC)=90°因为EF//AB,所以∠AEF= ∠BAE,即∠AEF=∠EAC.过点G作GH⊥AE于点H.在 △AGH和△EGH中， 所以△AGH≌△EGH (AAS),所以AG=EG.同理可得AG=FG,所以EF=EG+FG =2AG=6.在Rt△EAF中，AE2+AF2=EF2=36. 16.解：(1)A,B两点之间的距离为25海里. (2)该轮船行驶的最短距离为AB边上对应的高的长度. 因为OB=15海里，OA=20海里，AB=25海里， 设AB边上对应的高为h, 所以SAAoB=2OB·OA=—AB·h, 所以h=12海里， 所以该轮船行驶的最短距离为12海里. 17.解：如答图，连接BD. 因为AB=AD=2,∠A=60°, 所以△ABD是等边三角形， 所以BD=2,∠ADB=60°. 因为CD=4,BC2=20, 所以BD2+CD2=22+42=20=BC2, 所以∠BDC=90°, 所以∠ADC=∠ADB+∠BDC=150°. A D B C 17题答图 18.解：由题意，得CD=10m,BD=6m. 在Rt△BCD中，由勾股定理，得BC=8m, 所以AB=BC+AC=8+2.5=10.5(m), 所以电线杆的高度AB为10.5m. 19.解：因为BD⊥CE,所以∠BDC=90°. 在Rt△BCD中，由勾股定理，得CD2=BC2-BD2, 即CD2=152-92=144, 所以CD=12米. 根据题意易得四边形ABDE是长方形， 所以DE=AB=1.6米， 所以CE=CD+DE=12+1.6=13.6(米). 答：风筝的高度CE为13.6米. 20.解：容器侧面部分展开图如答图所示，作点 A关于EF的对称点A',连接A'B. 根据对称性质可知FA'=FA,则FA+BF= FA'+FB≥A'B. 当点A',F,B在同一直线上时，AF+BF取 得最小值，最小值为A'B的长. 20题答图 因为容器高为24cm,底面周长为14cm, 所以A'D=7 cm,BD=24-5+5=24(cm), 所以A'B2=A'D2+BD2=625,所以A'B=25cm. 答：蚂蚁爬行的最短路程是25cm. A' ED A B 21.解：(1)如答图，正方形ABCD即为所求. H D E C C 4 B 21题答图 根据方格和勾股定理可知AB2=22+62=40, 所以正方形ABCD的面积为40个平方单位. (2)如答图，正方形EFGH 即为所求. 22.解：(1)因为∠BAC=90°,AC=3, 所以AE2+AC2=CE2,即x2+32=(4-x)2, 解得：x=8,,即AE=8 (2)小亮的说法正确. 理由如下： 设BD=y,则CD=y. 因为，DF=10,,所以BF=y+17,CF=y-10 因为AF⊥BC,所以AB2-BF2=AC2-CF2=AF2, 即42-(y+7o)2=32-(y-16), 解得：y=2,,所以BC=5. 因为AB2+AC2=42+32=52=BC2, 所以△ABC为直角三角形. 23.解：(1)由题图②,得-2ab×4+C2=(a+b)(a+b), 整理，得2ab+c2=a2+b2+2ab,即a2+b2=c2. ·1· 全程时习测试卷·八年级数学·北师版·上册 (2)因为a=3,b=4,所以c2=a2+b2=32+42=25, 所以c=5, 所以梯形ABCD的周长为a+c+3a+c=4a+2c=4×3+ 2×5=22. (3)如答图，BD是△ABC的高. Ic] D A. B 23题答图 因为AC2=42+32=25,所以AC=5. 因为SABC=AC·BD= —AB×3, 所以iBD=3AC=3×3=9 第一章 勾股定理 能力提优测试卷 1.C 2.A 3.B 4.B 5.C 6.D 7.C 8.D 9.C 10.A [解析]因为沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边 BC上的点P处，所以AP=AB=2,∠B=∠APB.因为折叠纸 片，使点C与点P重合，所以CE =PE,∠C= ∠CPE.因为 ∠BAC=90°,所以∠B+∠C=90°,所以∠APB+∠CPE= 90°,所以∠APE=90°,所以AP2+PE2=AE2.设AE=x,则 CE=PE=3-x,所以22+(3-x)2=x2,解得，x=163,,即AE= B6.故选A. 11.145 12.3m 13.82 14.48 [解析]把题图②中各个小正方形标 f B 上字母，设正方形a的边长为x,正方形b e a b h 的边长为y,如答图，所以正方形a的面积 为x2,正方形b的面积为y2.由题意得，正 c 方形c的边长为2,并且是直角三角形的 14题答图 斜边，所以正方形c的面积为4.根据勾股定理，得x2+y2= 22=4,所以正方形a的面积+正方形b的面积=4,所以题 图①中所有正方形的面积和=4+4=8.同理可得，正方形e 的面积+正方形f的面积=正方形a的面积，正方形g的面 积+正方形h的面积=正方形b的面积，所以正方形e的面 积+正方形f的面积+正方形g的面积+正方形h的面积 =正方形a的面积+正方形b的面积=4,所以题图②中所 有正方形的面积和=题图①中所有正方形的面积和+4= 12,即1次操作后所有正方形的面积和=题图①中所有正方 形的面积和+4=12.同理可得，2次操作后增加的8个小正 方形的面积和也是4,所以2次操作后所有正方形的面积和 =题图①中所有正方形的面积和+2×4=8+8=16,所以 10次操作后所有正方形的面积和=题图①中所有正方形的 面积和+10×4=8+40=48. 15.16 [解析]如答图，过点A作AE⊥BC于点E,AP=3. 4 B E P C 15题答图 由题意，得△ABE≌△ACE,所以BE=CE,所以PB·PC= (BE+EP)(EC-EP)=(BE+EP)(BE-EP),所以PB·PC =BE2-EP2.由勾股定理可知BE2=AB2-AE2,AE2+EP2= AP2,所以PB·PC=AB2-AE2-EP2=AB2-(AE2+EP2)= AB2-AP2=52-32=16. 16.解：(1)如答图，S四边形ABCD=5×5-(S①+S②+S③+S④), 即 Smunucn=5 ×5-(×2×3+2×3×33+2×2×4+ 2×1×2)=25-(3+2+4+1)=2 D ④ ③ AK c ① ② B 16题答图 (2)AD⊥CD. 理由：连接AC.在△ADC中，AD2=12+22=5, CD2=22+42=20,AC2=52=25, 所以AD2+CD2=AC2, 所以△ADC是直角三角形，且∠D=90°,所以AD⊥CD. 17.解：如答图，连接AC. A, D C B 17题答图 因为∠ADC=90°,CD=3m,AD=4m, 所以在Rt△ACD中，根据勾股定理，得AC=5m. 因为AC2+BC2=52+122=169,AB2=132=169, 所以AC2+BC2=AB2, 所以△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°, 所以S△anc-S△AcD=2AC· BC-AD-CD=2×5×12- 2×4×3=30-6=24(m2) 故该田地的面积是24m2. 18.解：根据题意，知AC⊥BC. 在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC2=AB2-AC2=152-92 =144, 所以BC=12m. 因为CD=AE=2m, 所以BD=BC+CD=12+2=14(m). 答：发生火灾的住户窗口距离地面14m. 19.解：(1)因为AD⊥CD,所以∠D=90°. 因为AD=7,DC=24, 所以AC2=AD2+DC2=72+242=625. 因为AB=20,BC=15,202+152=625, 所以AB2+BC2=AC2, 所以△ABC是直角三角形且∠B为直角. (2)因为S?+S△ACE=SACD,S?+S△ACE=S△ABC, 所以S?=SAcD-S△AcE ,S?=S△ABC-S△ACE, 所以S?-S?=(S△ABC-S△AcE)-(S△AcD-S△ce)=S△ABC- S△ACD· ·2·