陕西省安康市汉滨区七校2024-2025学年高一下学期期末联考数学试卷

2024-2025学年度高-第二学期“七校”期末联考·数学 参考答案、解析及评分细则 24 1.B女生被抽取的人数为32千24X14=6.故选B. 2.C=3+=三=5一=-5i,则：的虚部为-5.故选C. ī×(-i) 3.B对于A选项：若l⊥n,m⊥，则l与m可能平行、相交或异面.像墙角三条线，所以不能得出平行，A错.对 于B选项：l∥3，则3内有直线a与l平行，又l⊥a,所以a⊥a,a在3内，能推出a⊥3，B对.对于C选项：l∥a 且l⊥m时，m与a位置不确定，m可在a内，不能得出m⊥a,C错.对于D选项：a⊥，交线为m,⊥m,则l可 以在3内，可以与3平行，或与3相交但不垂直，位置不定，D错.故选B. 4A向量a在向量B上的投影向量为合-×号-一青0，放选入 5.B由S'O'∥y轴，得SO是圆锥SO轴截面△SAB边AB上的高，由2A'O'=OS'=2,得OA=OA'=1, OS=2OS'=4,则圆锥S0的母线SA=√OA十OS=√17，所以圆锥SO的侧面积为π·OA·SA= 17x.故选B. 6.A如图所示，设CD=h,因为从A,B两点测得建筑物顶端的仰角分别为30°，45°，可 得BC=√2h,AC=2h,且∠ACB=15°，因为AB=10,且sin15°=sin(60°-45)= 号×号言×号=62，在△ABC中，由正弦定理得nBS可得 2 2 4 10 √2h sin 15 sin30,所以V2h 10×号 20。,解得h=5(W5+1).故选A 6-√2√6-√2 4 7.C如图所示，连接AC1,AC,BD,则AC∩BD=O,连接AO,因为AB=2AB,= 2AA1,所以AC=2AC1.易知四边形A,CCO为平行四边形，则AO∥CC1,且 A,O=CC1,所以∠AOB或其补角为异面直线OB,与CC所成的角，同理知 BO=DD1,又CC1=DD1=AB1,所以△AOB1为等边三角形，所以∠AOB= 60°.故选C. 8.A上半部分电路畅通的概率为：号×(1一之×）一冬，下半部分电路畅通的概率为7，上下两部分并联， 畅通的概率为：1-(1-)×号-品故选A 9.BC某项比赛共有10个评委评分，若去掉一个最高分与一个最低分，则与原始数据相比，对于A选项，若每 个数据都不相同，则极差一定变化，故A选项错误；对于B选项，由10×0.45一4.5<5，所以将10个数据从 小到大排列，第45百分位数为第5个数据，从10个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到8个有效 评分，8×0.45=3.6<4，所以第45百分位数为8个数据从小到大排列后第4个数据，即为原来的第5个数 据，数据没变，故B选项正确：对于C选项，由10×0.5=5，所以将10个数据从小到大排列，中位数为第5个 和第6个数据的平均数，从10个原始评分中去掉1个最高分，1个最低分，得到8个有效评分，8×0.5=4，中 位数为第4个和第5个数据的平均数，即为原来的第5个和第6个数据的平均数，数据没变，故C选项正确； 对于D选项，去掉一个最高分、一个最低分，众数可能变化，故D选项错误.故选BC. 10AD对于A,=)=i.A正确：对于民异-=1-i,其共E复数为1十i,B正确： 对于C,取x=i,则|z|2=1,z=-1,C错误；对于D,设1=a十i,2=c十di,a,b,c,d∈R,则1=ac bd+(ad+bc)i,|x12|=√(ac-bd)+(ad+bc)'=√ac+b+ad+bc=√a+b·√c+d= ,D正确.故选ABD. 【高一“七校”期末联考·数学参考答案第1页（共4页）】 ZH250688A 11.ACD对于A选项，因为四边形ABCD为菱形，则BD⊥AC,因为PA=AC=a,PB=PD=√2a,∠ABC 60°，故△ABC为等边三角形，所以，AB=AD=a,则PA2十AB=PB2,故PA⊥AB,同理可得PA⊥AD,因 为AB∩AD=A,AB,ADC平面ABCD,所以PA⊥平面ABCD,因为BDC平面ABCD,所以BD⊥PA,因 为PA∩AC=A,PA,ACC平面PAC,所以BD⊥平面PAC,因为AFC平面PAC,故BD⊥AF,A正确：对 于B选项，易知△ACD为等边三角形，Sam=气a,因为点E在PD上，且PE:ED=2:1,则VEm ,m放V,m=号，m-号×5m·PA-号×停。×a-得e,B错误：对于C选项，连接BD 交AC于点O,连接OE,取线段PE的中点M,连接FM,BM,因为四边形ABCD为菱形，AC∩BD=O,则O 为BD的中点，因为点E在PD上，且PE:ED=2：1,M为PE的中点，则PM=ME=ED,所以E为DM 的中点，所以OE∥BM,因为BM丈平面ACE,OEC平面ACE,所以BM∥平面ACE,因为F为PC的中 点，M为PE的中点，所以MF∥CE,因为MF丈平面ACE,CEC平面ACE,所以MF∥平面ACE,因为 BM∩MF=M,BM,MFC平面BFM,所以平面BFM∥平面ACE,因为BFC平面BFM,故BF∥ 平面ACE,C正确：对于D选项，如图所示，由A选项可知，BO⊥平面PAC,所以直 线BF与平面PAC所成角为∠BFO,因为OFC平面PAC,所以BO⊥OF,则 tan∠BFO-8票.因为△ABC是边长为a的等边三角形，故OB=ABsin60-复a。 24, 因为PA⊥平面ABCD,ACC平面ABCD,所以PA⊥AC,又因为PA=AC=a,故 B △PAC为等腰直角三角形，则∠ACP=45°，当OF⊥PC时，OF取最小值，且最小值 为0Cin5°-号×号-，此时，an∠BFO取最大值，且最大值为(an∠BFO)=2×意=后，D 2 2a 正确.故选ACD 12.0.426因为M,N是相互独立事件，所以P(MN)=P(M)·P(N)=0.18×0.3=0.054,所以P(MUN)= P(M)+P(N)-P(MN)=0.18+0.3-0.054=0.426. 13.号令a=4,b=50c=71(0>0),由余弦定理可得c0sB=0十+-_16r,4925r-号 2ac 2×41×71 7 在△ABC中，AB=BC=2,AC=2V3,则cos∠BAC= AB=乞，sim∠BAC=号，由正弦定理得 △ABC外接圆半径r=号×n之BC=2.设球半径为R:于是R=(宁R)十2，解得R-号所以球的表 2 面积是4xR=64x 3 15.解：(1)向量a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),且a⊥b,b∥c, 可得a·b=x十y=0且一4一2y=0,解得x=2,y=一2，…3分 即a=(2,1),b=(1,-2),则a+b=(3,-1), 则|a+b=√32+(-1)=/10.… 6分 (2)因为2a十b-c=2(2,1)十(1，-2)-(2，-4)=(3,4)，a十b=(3,-1),…8分 所以(a+b)·(2a+b-c)=3×3-4=5,|2a+b-c=√/3+4=5，…10s分 设向量a+b与2a十b一c夹角为a, 则m。=装晋· 5 =0 04+++，+4.00++++++。0。+。。+++++404。 12分 即向量a+b与2a+b-c夹角的余弦值为四。 ……13分 【高一“七校”期末联考·数学参考答案第2页（共4页）】 ZH250688A 16.(1)证明：连接BC,交BC于点E,则E为BC中点，连接DE,如图所示，…2分 在△ABC中，因为D,E分别为AC,BC的中点，所以DE∥AB·…4分 B 又因为DEC平面BDC1,且AB在平面BDC,所以AB1∥平面BDC1.…7分 (2)解：在正三棱柱ABC-ABC中，因为AB=2,且B,B=3, 可得正三棱柱的体积为Vc-45=S。r·BB,=后X2X3=3尽，… 4 10分 又由三棱维G-BDC的体积为V题=号5am·BB=号×5△r·B- ,…13分 所以剩余部分的体积为V=Vc专45一V。x=5 ………15分 2 17.解：1)第六组的频率为壳-0.08， 所以第七组的频率为1一0.08-5×(0.008×2+0.016十0.04×2十0.06)=0.06；…3分 由直方图得，身高在第一组[155,160)的频率为0.008×5=0,04， 身高在第二组[160,165)的频率为0.016×5=0.08， 身高在第三组[165,170)的频率为0.04×5=0.2， 身高在第四组[170,175)的频率为0.04×5=0.2， 身高在第五组[175,180)的频率为0.06×5=0.3， 身高在第八组[190,195]的频率为0.008×5=0.04， 估计该校的800名男生的身高的平均数为157.5×0.04+162.5×0.08+167.5×0.2十172.5×0.2+ 177.5×0.3+182.5×0.08+187.5×0.06+192.5×0.04=174.1:…7分 (2)第六组[180,185)有4人，记为a,b,c,d, 第八组[190,195]的人数为0.008×5×50=2，记这2人分别为A,B, 因此样本空间可记为2={ab,ac,ad,bc,bd,cd,aA,aB,bA,bB,cA,cB,dA,dB,AB},共包含15个样本点， ………………………11分 记事件E:随机抽取的两名男生在同一组， 则E={ab,ac,ad,bc,bd,cd,AB},包含7个样本点， 所以P(E)=,所以轴取的两名男生在同一组的概率为名 …15分 18.解：(1)由正弦边角关系有sin Asin B=-√3 sin Acos B,且sinA≠0，………2分 所以sinB=-V5cosB→anB=一√5，又B∈(0，x),则B= .………4分 3 (2)由余弦定理有b=a2+c2-2 accos B,则a2+a-6=(a+3)(a-2)=0, 所以0=2，…………………………6分 又bsin A-=-5 acos B,则7sinA=3→sinA=2T 7 所以△ABC的面积为2 esin A=号×厅X1X耳-写 2 ……10分 B 3)由BD为角平分线且AD2CD,则DD·而 CD C=2,故c=2a,……12分 2BD·asin号 由B市=Bi+A市=Bi+子AC-B+子(BC-Bi=号B贰+子BC. 14分 所以励=（号财+号C=号+号耐，BC+告B武=g-号 9a, 所以号a2-a+音a=1,则a= 3 17分 【高一“七校”期末联考·数学参考答案第3页（共4页）】 ZH250688A 19.(1)证明：三棱柱ABC一A1BC,中，四边形AA,C,C为平行四边形，D,F分别为AC,AC的中点，连 接DF, 所以AA/DF,且DF=AA1, 又因为AA1∥BB,且BB=AA,所以BB∥DF,且DF=BB, 所以四边形DFBB为平行四边形，所以FB∥DB, 又由于DB平面BFH,FBC平面BFH,所以DB∥平面B,FH,…2分 连接AC,在口AA,CC中，CA∥DE,且DE=CA,同理CA∥FH,且FH= D CA. 所以FH∥DE,又由于DE寸平面BFH,FHC平面BFH, 所以DE∥平面BFH, 又DB∥平面B,FH,DB∩DE=D,DB,DEC平面DBE, 所以平面DBE∥平面FBH. 4分 (2)证明：连接DA1, 因为AB=BC,所以AC⊥DB,又因为AC∥A,C,,且AC1⊥AB,所以AC⊥A,B, 因为AB,DBC平面DBA1,且A1B∩DB=B, 所以AC⊥平面DBA1,因为DA,C平面DBA, 所以ACDA1,……6分 在△ABC中，AB=BC-2,∠ABC=2= 3 由余弦定理求得AC=,√AB+BC-2AB·BCeos=√2+2-2X2X2×()=25， 3 则AC=AC=25,BC,=√14， 因为AC1⊥AB,所以AC十AB=BC,解得AB=√2， 在R△ADA1中，AA=2,AD=√5，可知A1D=1,又DB=1, 在△DBA1中，DA+DB=A1B,因此AD⊥DB.…8分 又AC,DBC平面ABC,且AC∩DB=D, 所以A1D⊥平面ABC, B 因为ADC平面AAC,因此平面A1ACL平面ABC.……………10分 ③)解：设BP=x(x∈[1,2]）7。一A二立V三V8c=V-c=号·号= 36 所以P到平面ACB的距离为d=气， 12分 在平行四边形AAB,B中，计算得c0s∠BAA,=是， 在△ABP中可得AP2=x2+3.x+4, 在平行四边形CC,B,B中，计算得cos∠BB,C=一 4 在△CBP中可得CP2=x2-3.x十4， 在△CAP中，S△cr= +4-9r]-2,写= 3.x+12 4 所以P到AC的距离为 x+4 …………………15分 2 设二面角P一AC-B的平面角为0，cos0 ,25. 25 …17分 x2十 √x+4 4 【高一“七校”期末联考·数学参考答案第4页（共4页）】 ZH250688A2024一2025学年度高一第二学期“七校”期末联考 数学 自工社 考生注意： 1,本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对 应题目的答案标号涂黑：非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答 题区战内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 3.本卷命题范围：人牧A版必修第二册。 的 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的， 1,某班有男生32人，女生24人，现用分层随机抽样的方法从该班中抽取14人参加跳绳比赛，则 的 女生被抽取的人数为 A.4 B.6 C.8 D.10 长 2.复数x满足xi=3十4，则复数g的虚部是 A.1 B.i C.-5 D.-5i 3.已知直线l,m,n与平面a,3,下列命题正确的是 A.若1Ln,m⊥n,则l∥m B.若lL⊥a,l∥B,则a⊥3 C.若l∥a,l⊥m,则m⊥a D.若a⊥B,a∩g=m,lLm,则l⊥B 高 4.已知a·b=一12且b=3,则向量a在向量b上的投影向量为 1 B.b C 5.已知圆锥SO的轴截面是△SAB,如图，△SA'B是水平放置的△SAB的直 观图，若S'O'平行于y轴，且2A'O=OS'=2,则圆锥SO的侧面积为 A.25π B.√17x C.22π D.5π 6.小张同学为测量学校紫阳楼的高度，在地面上选取A,B两点，从A,B两点测得建筑物顶端的 仰角分别为30°，45°，且A,B两点间的距离为10m,则紫阳楼的高度为( )m. 30 A.5(/5+1) B.10(5+1) c停+ 【高一“七校”期末联考·数学第1页（共4页）】 ZH250688A 7.在正四棱台ABCD一A,B,CD,中，AB=2A1B,=2AA,,点O为底面ABCD的中心，则异面直 线OB,与CC,所成的角为 A.30 B.45 C.60° D.90° 8.如图是某个闭合电路的一部分，每个元件的可靠性是)，则从A到B这部分电路畅通的概率为 c最 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.某项比赛共有10个评委评分，若去掉一个最高分与一个最低分，则与原始数据相比，一定不变 的是 A.极差 B.第45百分位数 C.中位数 D.众数 10.已知i为虚数单位，则下列说法正确的是 A.i2025=i 以复数是的共轭复数为1+i C.若复数x为纯虚数，则|z2= D.若1，为复数，则|x·z2|=x川2 11.在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=a,PB=PD=√2a,点E在 PD上，且PE:ED=2:1,点F是棱PC上的动点，则下列说法正确 的是 A.AF⊥BD 且三棱锥P一ABC的体积为亮。 B C.当F是棱PC的中点时，BF∥平面AEC D.直线BF与平面PAC所成角的正切值最大为√6 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知M,N是相互独立事件，且P(M)=0.18,P(N)=0.3,则P(MUN)= 13.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若sinA:sinB:sinC=4:5:7,则cosB= 14.已知过球面上A,B,C三点的截面和球心O的距离为球半径的一半，且AB=BC=2,AC= 2√3，则球的表面积是 【高一“七校”期末联考·数学第2页（共4页）】 ZH250688A 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15.(13分) 设x,y∈R,向量a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),且a⊥b,b∥c. (1)求a+b: (2)求向量a十b与2a十b一c夹角的余弦值. 16.(15分) 如图，在正三棱柱ABC一AB,C中，已知AB=2,B,B=3,D是棱AC的中点 (1)求证：AB,∥平面BDC1: (2)该正三棱柱被平面BDC,截去一个棱锥C一BDC,求剩余部分的体积. 17.(15分) 从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和195cm 之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[155,160)，第二组[160,165)，…，第八组 [190,195],下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第六组的人数为4. 十烦室 组距 0.0G0*- 0.0 4001 0.图 1550s05850肠身高m) (1)求第七组的频率，并估计该校800名男生身高的平均数（同组中的数据都用该组区间的中 点值代替)： (2)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名，求抽取的两名男生在同一组 的概率。 【高一“七校”期末联考·数学第3页（共4页）】 ZH250688A 18.(17分) 已知△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,bsin A=-√3 acos B. (1)求B: (2)若b=√7，c=1,求△ABC的面积： (3)若BD平分∠ABC交AC于点D,BD=1,AD=2CD,求a. 如 19.(17分) 在三棱柱ABC-A,B,C中，AB=BC=A4,=2,BC=,∠ABC-.A,B⊥AC,D,E, F,H,G分别为AC,AA,A,C,CC,BB,的中点. (1)证明：平面DBE∥平面FB,H; (2)证明：平面A,AC⊥平面ABC: (3)若P为线段B,G上的动点，求二面角P-AC-B的平面角的余弦 值的取值范围 【高一“七校”期末联考·数学第4页（共4页）】 ZH250688A